Josef Trölß. Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch

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2 Josef Trölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band : Komplexe Zahlen und Funktionen Vektoralgebra und Analytische Geometrie Matrizenrechnung Vektoranalysis SpringerWienNewYork

3 Josef Trölß Puchenau/Linz, Österreich Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. 006 Springer-Verlag/Wien Printed in Austria SpringerWien New York ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.at Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Produkthaftung: Sämtliche Angaben in diesem Fachbuch/wissenschaftlichen Werk erfolgen trotz sorgfältiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewähr. Insbesondere Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Druck: Börsedruck Ges.m.b.H., 10 Wien, Österreich Gedruckt auf säurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier TCF SPIN: Mit zahlreichen Abbildungen Bibliografische Informationen der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN-10 ISBN SpringerWienNewYork SpringerWienNewYork

4 Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad", richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad sind die im Band 1 (Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was-wäre-Wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weitere Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können. Gliederung des zweiten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Graphiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 1 erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: Komplexe Zahlen und Funktionen: Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen, Darstellungsformen komplexer Zahlen, Rechnen mit komplexen Zahlen, Anwendungen komplexer Größen: komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen, Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz; Berechnungen im Wechselstromkreis: Widerstands- und Leitwertoperatoren und Wechselstromleistung, Ortskurven, komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis, Amplituden- und Phasengang bei Vierpolen. Vektoralgebra und analytische Geometrie: Vektoren, Grundrechenoperationen von Vektoren, Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem, Vektorräume: Untervektorräume, lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension; Betrag eines Vektors, Produkte von Vektoren: Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt; analytische Geometrie: Teilung einer Strecke, Geradendarstellung, Ebenendarstellung, Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde.

5 Matrizenrechnung: Reelle Matrizen: Transposition, Gleichheit von Matrizen, Multiplikation von Matrizen, Determinanten, reguläre und singuläre Matrix, inverse Matrix, orthogonale Matrix, Rang einer Matrix, Spur einer Matrix, verallgemeinerte inverse Matrix, Untermatrizen, verschiedene Matrixzerlegungen, lineare Gleichungssysteme, quadratische lineare Gleichungssysteme; komplexe Matrizen: konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix, hermitesche Matrix, schiefhermitesche Matrix, unitäre Matrizen, komplexe quadratische lineare Gleichungssysteme; Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix: Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix, Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix, Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix, verallgemeinertes Eigenwertproblem; Matrixnormen und Konditionszahlen. Anwendungen der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik: einfache Anwendungen in der linearen Netzwerktechnik, Anwendungen in der Vierpoltheorie; Anwendungen in der Mechanik, Anwendungen in der Computergraphik, Anwendungen in der linearen Optimierung, Anwendungen in der Ökonomie. Vektoranalysis: Raumkurven: vektorielle Darstellung einer Kurve, Ableitung einer Vektorfunktion, Tangentenund Hauptnormaleneinheitsvektor und Krümmung einer Kurve; Flächen im Raum: vektorielle Darstellung einer Fläche, Kurven auf Flächen; ebene und räumliche Koordinatensysteme: zweidimensionale Koordinatensysteme (Kartesisches System und Polarkoordinatensystem), dreidimensionale Koordinatensysteme (Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten); Skalar- und Vektorfelder, klassische Differentialoperatoren: Gradient eines Skalarfeldes, Divergenz eines Vektorfeldes, Rotation eines Vektorfeldes; Mehrfachanwendung der Differentialoperatoren, Linien und Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale von Vektorfeldern, Integralsätze von Gauß und Stokes. Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Dafür stehen z.b. folgende Schriftarten zur Verfügung: Symbol, Bookshelf Symbol, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT und IBM techexplorer Symbol A bis D. Einige Sonderzeichen stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zu Verfügung ( QuickSheets - Rechensymbole). Zum Einfügen verschiedener Zeichen ist z.b. das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm findet man unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Viele Zeichen können aber auch aus dem ASCII-Code gewählt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Texte und Variable werden in diesem Buch in der Schriftart Arial dargestellt. Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen wird vor allem in Definitionen und Sätzen verwendet. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z.b. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht. Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im September 005 Josef Trölß

6 Inhaltsverzeichnis 1. Komplexe Zahlen und Funktionen Allgemeines 1. Definition einer komplexen Zahl 1. Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen 1.4 Darstellungsformen komplexer Zahlen 1.5 Rechnen mit komplexen Zahlen Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen 1.5. Multiplikation und Division von komplexen Zahlen 1.5. Potenzieren von komplexen Zahlen Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen Logarithmieren von komplexen Zahlen 1.6. Anwendungen von komplexen Zahlen Komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen 1.6. Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz 1.6. Berechnungen im Wechselstromkreis Widerstands- und Leitwertoperatoren und Wechselstromleistung 1.7 Ortskurven Geradlinige Ortskurven 1.7. Ortskurve durch Inversion komplexer Größen 1.7. Komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis Amplitudengang und Phasengang bei Vierpolen Vektoralgebra und analytische Geometrie Vektoren. Grundrechenoperationen für Vektoren..1 Addition von Vektoren.. Subtraktion von Vektoren.. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl. Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem.4 Vektorräume.4.1 Untervektorräume.4. Lineare Unabhängigkeit.4. Basis und Dimension.5 Betrag eines Vektors.6 Produkte von Vektoren.6.1 Skalarprodukt

7 Inhaltsverzeichnis.6. Vektorprodukt.6. Spatprodukt.7 Analytische Geometrie.7.1 Teilung einer Strecke.7. Geradendarstellung.7. Ebenendarstellung.7.4 Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde Matrizenrechnung Reelle Matrizen.1.1 Transposition.1. Gleichheit von Matrizen.1. Multiplikation von Matrizen.1.4 Determinanten.1.5 Reguläre und singuläre Matrix.1.6 Inverse Matrix.1.7 Orthogonale Matrix.1.8 Rang einer Matrix.1.9 Spur einer Matrix.1.10 Verallgemeinerte inverse Matrix.1.11 Untermatrizen.1.1 Verschiedene Matrixzerlegungen.1.1 Lineare Gleichungssysteme.1.14 Quadratische lineare Gleichungssysteme. Komplexe Matrizen..1 Konjugiert komplexe Matrix.. Konjugiert transponierte Matrix.. Hermitesche Matrix..4 Schiefhermitesche Matrix..5 Unitäre Matrix..6 Komplexe quadratische lineare Gleichungssysteme. Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix..1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix.. Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix.. Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermitschen Matrix..4 Verallgemeinertes Eigenwertproblem.4 Matrixnormen und Konditionszahlen

8 Inhaltsverzeichnis.5 Anwendungen der Matrizenrechnung Anwendungen der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik Einfache Anwendungen in der Netzwerktechnik Anwendungen in der Vierpoltheorie Anwendungen in der Mechanik 6.5. Anwendungen in der Computergrafik Anwendungen in der linearen Optimierung Anwendungen in der Ökonomie Vektoranalysis Raumkurven Vektorielle Darstellung einer Kurve Ableitung einer Vektorfunktion Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor und Krümmung einer Kurve 7 4. Flächen im Raum Vektorielle Darstellung einer Fläche Kurven auf Flächen Ebene- und räumliche Koordinatensysteme Zweidimensionale Koordinatensysteme Dreidimensionale Koordinatensysteme Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Skalar- und Vektorfelder Skalarfelder Vektorfelder Klassische Differentialoperatoren Der Gradient eines Skalarfeldes Die Divergenz eines Vektorfeldes Die Rotation eines Vektorfeldes Mehrfach-Anwendung der Differentialoperatoren Linien- und Kurvenintegrale Oberflächenintegrale von Vektorfeldern Integralsätze von Gauß und Stokes 47

9 Inhaltsverzeichnis Anhang Übungsbeispiele Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

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11 Komplexe Zahlen und Funktionen 1. Komplexe Zahlen 1.1 Allgemeines Im Bereich der reellen Zahlen sind die Rechenoperationen erster und zweiter Stufe (+, -,., : ) unbeschränkt ausführbar (Außer der Division durch 0!). Dies gilt nicht für die Rechenoperationen. Stufe wie Potenzieren! Dieses Problem führt unweigerlich zum Begriff der komplexen Zahlen. Eine breite Anwendung finden komplexe Zahlen z.b. in der Elektro, Regelungs- und Nachrichtentechnik. Beispiel 1.1.1: Lösung der quadratischen Gleichung x + 1 = 0 x 1 = 0 gegebene Gleichung x = 1 umgeformte Gleichung Im Reellen sind Zahlen wie 1 nicht erklärt! Denn es gibt keine reelle Zahl x mit der Eigenschaft x = -1! Die Quadrate von positiven und negativen Zahlen sind immer positiv! Es ist daher notwendig, neue Zahlen zu konstruieren (vor Einführung der negativen Zahlen gab es ja auch die Zahl -1 nicht). 1. Definition einer komplexen Zahl Der formale Wurzelausdruck 1 heißt imaginäre Einheit und wird durch das Symbol j gekennzeichnet: j = 1. (1-1) Das Quadrat der imaginären Einheit j ergibt dann die reelle Zahl -1: j = 1 (1-) Bemerkung: In der Mathematik wird statt j meist der Buchstabe i verwendet. In den physikalischen und technischen Anwendungen ist, um Verwechslungen mit der Stromstärke i zu vermeiden, der Buchstabe j gebräuchlich. Mit j = 1darf nicht mit den für nichtnegative Radikanden gültigen Wurzelgesetzen gerechnet werden, wie das nachfolgende Beispiel zeigt: 1 = j j = 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1!!! Mit dieser Definition ist die oben angeführte Gleichung lösbar: x 1 = 0 x 1 = j x = j Lösungen der Gleichung Probe: j = 1 ( j) = 1 Seite 1

12 Komplexe Zahlen und Funktionen Potenzen der imaginären Einheit: Positive Potenzen: j 0 = 1 j 1 = j j = 1 j = j j = j j 4 = j j = 1 j 5 = j 4 j = j j 6 = j 4 j = 1 Negative Potenzen: j = 1 j = j Allgemein gilt: j 1 1 = = j j = j j j = 1 j = j = = j j = j j 4 = 1 mit n. Definitionen: j 4n = 1, j 4n 1 Unter einer imaginären Zahl = j, j 4n = 1, j 4n = j (1-) j y oder y j (1-4) versteht man das formale Produkt aus der reellen Zahl y und der imaginären Einheit j. Unter einer komplexen Zahl z versteht man die formale Summe aus einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl j.y: z = x y j = x j y ( x,y ) (1-5) Wir schreiben z auch in Zahlenpaarform: z Die komplexe Zahl = ( x ; y). z* = z = x j y (1-6) heißt die zu z = x j y konjugiert komplexe Zahl. Bemerkung: "Imaginär" bedeutet "nur in der Vorstellung existierend" im Vergleich zu reell (wirklich). "Komplex" heißt "zusammengesetzt", nämlich aus einer "reellen Zahl und einer imaginären Zahl. x und y. j heißen Komponenten von z. Daher heißt diese Darstellung der komplexen Zahl Komponentendarstellung. Sie wird auch algebraische Form, kartesische Form oder Normalform genannt. x heißt Realteil und y heißt imaginärteil von z. Wir schreiben: Re(z) = x und Im(z) = y. Eine komplexe Zahl kann damit auch in folgender Form geschrieben werden: z = Re(z) + j. Im(z). Die Menge = { z z = x + j. y x,y } heißt Menge der komplexen Zahlen. In der Mathematik wird eine komplexe Zahl häufig nur mit z bezeichnet. In den Anwendungen werden komplexe Größen durch Unterstreichen gekennzeichnet (z.b. U, Z, I usw.). Wir verwenden hier generell die Schreibweise mit Unterstreichen. Seite

13 Komplexe Zahlen und Funktionen 1. Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen Betrachtet man den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl als kartesische Koordinaten eines Punktes P der x-y-ebene, so kann jeder komplexen Zahl z genau ein Bildpunkt P(z) = (x ; y) zugeordnet werden. Es gilt auch die Umkehrung. z = x + j * y P(z) = (x ; y) (1-7) Die Bildebene heißt komplexe Ebene oder Gaußsche Zahlenebene. Die beiden Koordinatenachsen werden als reelle und imaginäre Achsen bezeichnet. In Mathcad muss die imaginäre Einheit i bzw. j in der Form 1i bzw. 1j (ohne Malpunkt!) eingegeben werden. Falls man die Eins vergisst, interpretiert Mathcad i, bzw. j als normale Variable! Wir verwenden hier in Mathcad zur Darstellung einer komplexen Zahl ein eigenes Format (Fett mit Unterstreichen). Beispiel 1..1: x y z x j y Real- und Imaginärteil gegebene komplexe Zahl Gaußsche Zahlenebene Re( z) Imaginäre Achse 1 z Re( z) Reelle Achse Abb Bildliche Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Punkt in der Gaußschen Zahlenebene. Die Bildpunkte der reellen Zahlen liegen dabei auf der reellen Achse und die Bildpunkte der imaginären Zahlen auf der imaginären Achse. In den Anwendungen werden komplexe Zahlen (Größen) oft durch komplexe Zeiger dargestellt. Es handelt sich hier um eine bildliche Darstellung der komplexen Zahl z in Form eines Pfeils, der vom Koordinatenursprung aus zum Bildpunkt P(z) = (x ; y) gerichtet ist. Diese geometrische Darstellungsform der komplexen Zahl darf nicht mit einem Vektor verwechselt werden! Zeiger und Vektoren unterliegen unterschiedlichen Rechengesetzen. Seite

14 Komplexe Zahlen und Funktionen Beispiel 1..: ORIGIN 1 zeiger( z) x 1 0 y 1 0 x y x Re( z) Re( z) y x 4 x sin y 4 y cos x 5 Re( z) winkel x y winkel x y Dieses Unterprogramm liefert die Endpunkte der Teilstrecken aus der ein Zeiger zusammengesetzt ist. y 5 x 6 x cos winkel x y y 6 y sin winkel x y X erweitern( xy) 6 6 z 1 4 j 4 x z1 zeiger z 1 1 y z1 zeiger z 1 gegebene komplexe Zahl x- und y-werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken z 4 j 4 gegebene komplexe Zahl (konjugiert komplexe Zahl von z 1 ) x z zeiger z 1 y z zeiger z x- und y-werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken Seite 4

15 Komplexe Zahlen und Funktionen Imaginäre Achse Imz 1 y z1 Imz y z Bildpunkte und Zeiger Rez 1 x z1 Rez Reelle Achse Abb. 1.. z x z z 1 geometrische Punkt- und Zeigerdarstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene = z 1 Auf gleichmäßige Einteilung der Achsen achten! Bemerkung: z ist die zu z 1 konjugiert komplexe Zahl (Vorzeichenwechsel im Imaginärteil). Die zugehörigen Bildpunkte bzw. Zeiger liegen dabei spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Unter dem absoluten Betrag z = x y ( z 0 ) (1-8) der komplexen Zahl z = x j y versteht man die Länge des zugehörigen Zeigers. Der absolute Betrag hat folgende Eigenschaften: z = z * ; z = z z * ; z 1 z = z 1 z ; z 1 z 1 =. (1-9) z z Wir schreiben in Mathcad anstatt z 1 * für die konjugiert komplexe Zahl z 1. Der Querstrich kann nach Eingabe der Variablen mithilfe der Anführungszeichentaste <"> eingegeben werden. Seite 5

16 Komplexe Zahlen und Funktionen 1.4 Darstellungsformen komplexer Zahlen Eine komplexe Zahl z kann in drei verschiedenen Formen dargestellt werden: 1. Komponentenform (algebraische- oder kartesische- bzw. Normalform): Sie wurde bereits oben besprochen.. Trigonometrische Form oder Polarform: Darstellung mithilfe von Polarkoordinaten.. Exponentialform: Sie erhält man aus der Polarform mithilfe der Eulerschen Beziehungen. Darstellung in trigonometrischer Form oder Polarform: Gaußsches Koordinatensystem: Den Bildpunkt P(z) einer komplexen Zahl z = x + j. y können wir durch die Polarkoordinaten r und festlegen. Abb Eine in Komponentenform z = x j y vorliegende komplexe Zahl lässt sich mithilfe der Transformationsgleichungen x = r cos( ), y = r sin( ) (1-10) und unter Berücksichtigung des Quadranten, in dem der zugehörige Bildpunkt liegt, in die trigonometrische Form oder Polarform überführen. z = x j y= r cos( ) j r sin( ) = r cos( ) j sin( ) (1-11) Wir schreiben z auch in Zahlenpaarform: z = ( r ; ) (1-1) Umgekehrt gilt auch: Eine in Polarform z = r ( cos( ) j sin( ) ) vorliegende komplexe Zahl lässt sich mithilfe der Transformationsgleichungen x = r cos( ), y = r sin( ) (1.1) in die Komponentenform z = x j y (1-14) überführen. Es gilt dabei: r = z = x y y und tan( ) =. (1-15) x Seite 6

17 Komplexe Zahlen und Funktionen Bemerkung: r steht hier für den Betrag von z (Länge des Zeigers). = arg(z) heißt Argument, Winkel oder Phase von z. Für Re(z) = 0 und Im(z) = 0 ist unbestimmt! Der Übergang von einer komplexen Zahl z zu ihrer konjugiert komplexen Zahl bedeutet geometrisch eine Spiegelung des Bildpunktes P(z) an der reellen Achse. Dabei tritt ein Vorzeichenwechsel im Argument ein (Drehung im mathematisch negativen Drehsinn), r bleibt dabei unverändert. Die konjugiert komplexe Zahl zu z lautet daher in Polarform: z = r ( cos( ) j sin( ) ) = r ( cos( ) j sin( ) ). (1-16) Winkelbestimmung: Bei der Winkelbstimmung ist besondere Sorgfalt geboten. Die Winkelkoordinate ist unendlich vieldeutig, denn jede weitere volle Umdrehung im Koordinatensystem führt zum gleichen Bildpunkt. Man beschränkt sich daher bei der Winkelangabe meist auf den im Intervall 0 < gelegenen Wert. Er wird auch öfters Hauptwert genannt. Beschränkt man sich wie vereinbart auf das Intervall 0 <, so ergibt sich der Winkel aus: = arctan y für den I. Quadranten, (1-17) x = arctan y für den II. und III. Quadranten, (1-18) x = arctan y für den IV. Quadranten. (1-19) x Die arctan-funktion heißt in Mathcad atan. Der Winkel kann in Mathcad mit der Funktion winkel berechnet werden: = winkel( x y) 0 <. (1-0) Im technischen Bereich wird häufig der kleinstmögliche Drehwinkel als Hauptwert angegeben. Drehung im Gegenuhrzeigersinn (I. und II. Quadrant): positiver Drehwinkel von 0 bis. Drehung im Uhrzeigersinn (III. und IV. Quadrant): negativer Drehwinkel von 0 bis -. Die Drehung erfolgt dabei aus der positiv-reellen Achse heraus. Die Hauptwerte des Winkels liegen demgemäß dann im Intervall - < Damit ergeben sich folgende Berechnungsformeln für : = arccos x if y 0 (1-1) r arccos x if y 0 r Für die reellen Zahlen z = x + j. 0 = x ist = 0 if x 0 (1-) "unbestimmt" if x = 0 if x 0 Seite 7

18 Komplexe Zahlen und Funktionen Für die imaginären Zahlen z = 0 + j. y ist wie folgt gegeben: = if y 0 (1-) if y 0 Die arccos-funktion heißt in Mathcad acos. Der Winkel kann in Mathcad mit den Funktionen arg oder atan berechnet werden: = arg( z) ; (1-4) = atan( x y) - < Es gilt nämlich: Achtung: arg( x j y) = atan( x y) (1-5) Die Funktion atan y x in Mathcad liefert nur Werte im Bereich -/ < < / (- 90 < < 90 )! Quadrant x y liegt zwischen tan() I und 90 + II und III und 70 + IV und 60 - Beispiel 1.4.1: x y z x y j z j z j Real- und Imaginärteil komplexe Zahl in Komponentenform Konjugierte komplexe Zahl in Komponentenform Re( z) Re z Im z Real- und Imaginärteil von z Real- und Imaginärteil der konjugiert komplexen Zahl von z r z r 4.4 Betrag der komplexen Zahl (Länge des Zeigers) Der Winkel zwischen reeller Achse und Zeiger kann auf verschiedene Art und Weise berechnet werden: 1 arg( z) arg( z) 1.56 Winkel in Radiant 1 15 Grad Winkel in atan( x y) 15 Grad atan y x 45 Grad atan im Bereich -/ < < / winkel( x y) 15 Grad Winkel in Grad Winkel im Bereich 0 < 4 Winkel in Radiant Seite 8

19 Komplexe Zahlen und Funktionen z r ( cos( ) j sin( ) ) z j z komplex Grad x z y z z 8 cos zeiger( z) 1 zeiger( z) x z1 zeiger z 1 1 y z1 zeiger z 1 x z zeiger z 1 y z zeiger z i z 1 10 ( cos( 0 ) j sin( 0 )) j sin Polarkoordinatenform numerische Auswertung Bei der symbolischen Auswertung wird für die imaginäre Einheit immer i ausgegeben! Graddefinition gegebene komplexe Zahl in Polarform gegebene komplexe Zahl in Polarform x- und y-werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken x- und y-werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken x- und y-werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken Imz Lage der Bildpunkte und Zeiger z 1 z 4 Imaginäre Achse y z Imz 1 y z1 Imz z 4 y z 6 8 z 10 Re( z) Re z Re( z) x z Rez 1 x z1 Rez Reelle Achse Abb x z Seite 9

20 Komplexe Zahlen und Funktionen Darstellung ohne Zeigerspitzen: k 1 x z ( 0 Re( z) ) T Bereichsvariable y z ( 0 ) T Ursprung und Bildpunkt x z* 0 Re z T y z* 0 Im z T Ursprung und Bildpunkt z Lage der Bildpunkte und Zeiger 4 Lage der Bildpunkte und Zeiger 4 Imaginäre Achse 0 k Imz 0 Imz k Re( z) z 1 4 Imz Imaginäre Achse y z Imz y z* Re( z) 0 Re z Re( z) k Reelle Achse 0 Re z k 4 Re( z) x z Re z x z* Reelle Achse Abb Abb Der komplexe Zeiger z liegt symmetrisch zum konjugiert komplexen Zeiger z bezüglich der reellen Achse. Darstellung in Exponentialform: Unter der Verwendung der von Euler stammenden Formeln e j = cos( ) j sin( ) und e j = cos( ) j sin( ) (1-6) erhält man aus der Polarform für z = r ( cos( ) j sin( ) ) und deren konjugiert komplexen Zahl z = r ( cos( ) j sin( ) ) die als Exponentialform bezeichnete Darstellungsform: z = z e j = r e j und z = z e j = r e j. (1-7) Wir schreiben z auch hier in Zahlenpaarform: z = ( r ; ). Eine in Exponentialform vorlegende komplexe Zahl z lässt sich mithilfe der Transformationsgleichungen x = r cos() und y = r sin() in die Komponentenform z = x + j. y überführen: z = r e j = r ( cos( ) j sin( ) ) = r cos( ) j r sin( ) = x j y (1-8) Seite 10