GEKOPPELTE SCHWINGUNGEN

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1 Veruch 6/3 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN Blatt 1 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN iee Aufgabe gehört zu einer Gruppe von Veruchen, die neben einer Meßmethode vor allem mit einer typichen Grundercheinung der Phyik vertraut machen ollen. Gekoppelte ingungen pielen eine große Rolle in der Elektronik, der Molekül- und etkörperphyik; in Analogie pricht man von Kopplung bei der Wechelwirkung der Elementarteilchen, der Nukleonen, der Atomelektronen uw. Zweck der vorliegenden Aufgabe it e nun, an dem einfachen mechanichen Sytem zweier gekoppelter Pendel die phyikalichen Zuammenhänge der Koppelchwingungen durch quantitative Meungen zu verdeutlichen. Auch die erminologie (Eigenchwingung, uw. wird ein wenig eingeführt. Voraugeetzt werden dazu generelle Kenntnie über lineare ingungen und rehchwingungen, wie ie it in der Übericht 6/ zuammengefat ind. efinitionen Ein phyikaliche Pendel it ein an einer waagerechten Ache O aufgehängter tarrer Körper beliebiger orm der Mae m mit erpunkt in S, der unter dem Einfluß der erkraft (genauer: unter Einflu der Komponente mg in, wobei g die erkraftkontante it ingungen um die Ruhelage ( = auführt, iehe ig.1. Ein mathematiche Pendel it ein idealiierte phyikaliche Pendel, bei dem ich die geamte chwingende Mae im erpunkt befindet. ür dieen Veruch wurde ein, innerhalb der Megenauigkeit ideale, mathematiche Pendel kontruiert. Zwei Pendel heißen gekoppelt, wenn ie elatich o miteinander verbunden ind, da die Aulenkung eine Pendel auch Kräfte auf da andere bewirkt, alo beide nicht mehr unabhängig voneinander chwingen. Phyikaliche Grundlagen

2 Veruch 6/3 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN Blatt 1. Einzelpendel: Obwohl da Pendel nicht völlig reibunglo chwingt, wird zur Auwertung den all au 6/ herangezogen: Nach einmaliger Aulenkung mit einer Amplitude A, oll π da Sytem ungedämpft chwingen mit einer Periode = = π. ω Wie au ig.1 erichtlich, it da rücktreibende rehmoment für ein erkraftpendel gleich Mrück = mglin, wobei l die Pendellänge it. ür kleine Winkel darf in (mit in rad geetzt werden; unter dieer Bedingung vollführt da Pendel eine harmoniche ingung mit irektionmoment = M / = mgl. rück a rägheitmoment it bezogen auf die rehache O in ig.1; e ergibt ich au dem rägheitmoment bezogen auf die zu O parallele erpunktache, mit Hilfe de Steinerchen Satze: = ml (iehe z.b. den Anhang C von Veruch 6/. ür ein mathematiche Pendel it = (warum?, damit it = ml. Einetzen von = mgl owie = ml in = π ergibt die au der Anfängervorleung bekannte ormel für die ingdauer de mathematichen Pendel: (6.3.1 = π math l g ür ein phyikaliche Pendel mu da komplette rägheitmoment Periodendauerformel eingeetzt werden: ml = in die (6.3. phy = π ml. Kopplung zweier Pendel: Zwei gleiche Pendel werden durch eine Kopplungfeder verbunden, iehe ig.. ie eder wirkt auf beide Pendel, und zwar mit einem rehmoment, da nach dem Hookchen Geetz der ifferenz der beiden Aulenkungen proportional it. amit die eder nicht durchhängt (dann würde da Hookche Geetz nicht mehr timmen, it die eder etwa vorgepannt, die Pendel hängen in der Ruhelage chräg einander zugeneigt. n der folgenden Ableitung werden die Winkel 1 und auf diee Ruhelage bezogen.

3 Veruch 6/3 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN Blatt 3 ie ifferentialgleichungen (ohne ämpfung für die mit 1 rep. bezeichneten Pendel ind: (6.3.3 ( ( = = 1 ie beiden Gleichungen (6.3.3 ind gekoppelte ifferentialgleichungen : jede enthält die beiden Variablen 1 und. Zur Löung olcher Gleichungen verucht man immer, ie zu entkoppeln, alo Gleichungen nur einer Variablen zu erhalten. a beide Pendel gleich ind ( = ; = =, wobei da durch die Gravitation 1 1 und da durch die eder hervorgerufene irektionmoment it, gelingt da durch die Subtitution neuer Variablen = 1 und = 1. Addition bzw. Subtraktion der beiden Gleichungen (6.3. liefert: (6.3.4a = = ( ie beiden Gleichungen (6.3.3a ind nicht mehr gekoppelt. ie bedeutet, da die Löungen und Eigenfunktionen de Zwei-Pendelytem ind. a ie von der orm (6..1a au der Einführung 6/ ind, haben ie Löungfunktionen wie (6..1b: (6.3.4b ( ( ( t = A coω t ( t = A coω t, (6.3.4c π ω = = = ω und ω π = = ind die Eigenfrequenzen. abei it ω ( gleich der Winkelfrequenz ω (der ingungzeit de ungekoppelten Pendel. A,A ind die Amplituden,, die Anfangphaen der Eigenchwingungen und. Macht man die Subtitution der Variablen rückgängig, o erhält man für die Bewegung der beiden Pendel: ( t ( t 1( t = = A co( ω t A co( ω t (6.3.5 ( t / t ( t = = A co( ω t A co( ω t a Gleichungytem (6.3.5 bechreibt die allgemeine Bewegung jede der beiden Pendel. Sie kommen durch lineare Kombination der beiden harmonichen Eigenchwingungen und zutande. n welchen Anteilen und mit welchen Phaenlagen ie auftreten, (d.h, welche Werte A,A und, annehmen, können wir mit Hilfe der Anfangbedingungen betimmen. abei laen ich einige typiche älle untercheiden:

4 Veruch 6/3 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN Blatt 4 all Wir wollen die reine Mode, ohne - Anteil, anregen. a bedeutet: A =, it damit unerheblich bzw. willkürlich. A oll den Wert A haben (der aktor it radition, ont nicht. Außerdem möchten wir bei t = anregen, da bedeutet: t Aω ( mit Hilfe einer tatichen Aulenkung ( = = in = =. Umgerechnet auf 1 und mit Hilfe von (6.3.5 heißt die: 1( t = = ( t = = A und dementprechend: ( t ( ( t = ( t = = Aco( ω t Experimentell wird dieer all verwirklicht, indem beide Pendel, um den gleichen Winkel A augelenkt, zur Zeit t = logelaen werden. ie Kopplung kommt nicht zur Geltung, da die eder ihren Spannungzutand nicht ändert. ie requenz it ω = ω. ie Eigenchwingung it alo die ymmetriche ingung. (Bei einer Kette vieler gekoppelter Ozillatoren entpricht ie den akutichen Moden. all Jetzt wollen wir nur anregen, d.h. A =, A = A. Völlig analog zu all führt die zu: 1( t = = A, ( t = = A. ie Bewegungen der einzelnen Pendeln werden: ( t ( ( t = ( t = = Aco( ω t Beide Pendel chwingen jetzt mit Amplitude A und requenzω gegeneinander, it alo die antiymmetriche Eigenchwingung. (Bei einer Kette vieler gekoppelter Ozillatoren entpricht ie den optichen Moden. all Jetzt wollen wir und zu gleichen eilen michen, alo A = A = A. ie it keine reine Mode mehr (davon gibt e bei Ozillatoren nur, aber trotzdem intereant. Völlig analog wie bei all führt die zu den Anfangbedingungen: ( t = = A ( t = = = = 1 iee Michmode wird dadurch angeregt, da wir ein Pendel aulenken und anchließend lolaen (da zweite Pendel pat ich an. a anchließende Verhalten der beiden Pendel wird bechrieben von den Gleichungen (6.3.5 unter Berückichtigung der obigen Anfangbedingungen: ( ( t = A( co( ω t co( ω t ( t = A( co( ω t co( ω t ndem wir die Summen der Coinufunktionen in Produkte umwandeln, erhalten wir: ( ( t Aco ω ω t co ω ω t ( t Ain ω ω t in ω ω = = t

5 Veruch 6/3 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN Blatt 5 Laut (6.3.9 chwingen beide Pendel mit der mittleren Kreirequenz ( ω ω /, wobei die Amplituden einer periodichen Änderung der halben ifferenzfrequenz ( ω ω / =Δω/ unterworfen ind (Modulation. a ein Coinu ein um 9 verchobener Sinu it, beträgt der Phaenunterchied zwichen den Bewegungen der Pendel 9 bzw. π rad. ie entpricht einer typichen ebung: Anfang chwingt nur Pendel 1, durch die Kopplung wird Pendel mitgezogen, dabei wird Pendel 1 Energie entzogen, bi chließlich nur noch Pendel chwingt und Pendel 1 in Ruhe it. arauf beginnt daelbe Spiel in umgekehrter Richtung. ie ebungzeit it die Zeit, die zwichen zwei Stilltänden deelben Pendel vergeht. a e pro Periode eine Sinu Nulldurchgänge gibt, it die ebungzeit gleich einer halben Modulation-Periodendauer (iehe Simulation am Ende der Anleitung: (6.3.1 Mod π = = Δω Vor dem Pfeil teht die efinition, hinter dem Pfeil die darau folgenden ormeln, die man π mit ω = ineinander umrechnen kann. Unter dem Kopplunggrad χ verteht man da Verhältni: ( ( ω ( ω ( ( χ = = ( ( ( ( χ ω ω ie Kopplung kann tark ein ( bzw. 1 χ = oder chwach ( bzw. 1 χ. m alle chwacher Kopplung bzw. χ 1, mu nach Gl.( ein. Außerdem it = (iehe Gl. (6.3.4c. Nennen wir Δ =, dann it Δ bzw. =. ür gilt dann nach Gl. (6.3.1: (6.3.1a Analog für χ au (6.3.11: ( a ( Δ Δ = = = Δ Δ Δ ( ( Δ χ = bzw. χ ( ( iee können wir kombinieren zu: (6.3.1 χ Aufgabe: Leiten Sie die Näherungformeln für χ au den exakten elber her. abei behalten Sie, wie in (6.3.1a nur die jeweil größten Beitrage im Zähler und Nenner bei (kann aber mal Δ ein, wie im Nenner von (6.3.1a.

6 Veruch 6/3 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN Blatt 6 Veruchaufbau ie Apparatur beteht au zwei auf Schneiden gelagerten, durch eine eder miteinander gekoppelten Pendeln. Eine dieer Pendel it o jutiert, da eine freie (ohne eder ingungperiode 1, beträgt, da andere it in engen Grenzen eintellbar. ie Pendelaulenkungen ollten etwa 1 nicht überchreiten. ie Pendelcheibe de Einzelpendel im zweiten Rahmen kann man wahlweie blockieren bzw. frei rotieren laen mit Hilfe eine Metalltift. Aufgaben und Auwertung Meen Sie die ingungdauer de Einzelpendel mit und ohne Blockiertift. ie ifferenz it nur klein, meen Sie 3x jeweil 1 Perioden, um die notwendige Genauigkeit zu erreichen. Schauen Sie ich da Verhalten der Pendelcheibe in beiden ällen an: Mit Stift it die Scheibe gezwungen, die Winkeländerungen der Pendeltange zu folgen. Ohne Stift chwingt die Scheibe hin und her, ohne dabei um ihren erpunkt zu rotieren. ie hat zur olge, da da erpunkt-rägheitmoment S der Scheibe keinen Einflu mehr auf die 1 ingungdauer hat. ür eine Scheibe von Mae m S und Radiu R it = mr (iehe Anhang von Veruch 6/1. amit wird da für die ingungdauer wirkame 1 rägheitmoment der Scheibe um die rehache de Pendel mit Stift: = mr ml bzw. = ml ohne Stift. ie Scheibe it o chwer, da owohl Mae al auch da rägheitmoment der Pendeltange im Rahmen unerer Megenauigkeit vernachläigt werden können. n dieem all it da irektionmoment mit und ohne Stift gleich = mgl und die ingungdauer de Pendel mit Stift wird: ( ml 1 mr 1 R 1 R mit = phy = π = math 1 1, math R wenn l mgl l 4 l ie ingungdauer für da Pendel ohne Stift entpricht der eine mathematichen Pendel: ( = = π ohne math l g -Meen Sie Pendellänge l und Radiu der Scheibe R und kontrollieren Sie, ob die von hnen gemeene ifferenz zwichen ohne und mit prozentual mit ( übereintimmt. -Um wie viel Prozent müten Sie, im Vergleich dazu, l ändern, damit math de verlängerten Pendel gleich phy de urprünglichen Pendel wird? Berechnen Sie die Erdbechleunigung g (mit ehler und vergleichen Sie mit g = 9.81 m/. Lit

7 Veruch 6/3 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN Blatt 7 Jetzt wenden wir un dem oppelpendel zu. Zunächt entkoppeln Sie da Sytem, indem Sie die eder, die beide Pendel verbindet, entfernen. arauf werden durch Vertellen de jutierbaren Pendel die ingungperioden angeglichen. Koppeln Sie die Pendel mit der eder und laen Sie ie entprechend all mit gleicher Anfangphae und Amplitude chwingen. Meen Sie 1 mit Hilfe der Stoppuhr mindeten dreimal jeweil über 1 Perioden. Überzeugen Sie ich, da die Periode 1 = in dem ymmetrichen all mit der eine einzelnen Pendel übereintimmt, alo 1 = =. Lenken Sie entprechend all die beiden gekoppelten Pendel um denelben Winkel, jedoch in entgegengeetzter Richtung au der Ruhelage au und laen Sie ie in Gegenphae chwingen. Betimmen Sie die Periode = in dieem antiymmetrichen all. Meen Sie mindeten dreimal jeweil über 1 Perioden, da die ifferenz Δ = 1 klein it. Entprechend all wird eine der Pendel au der Gleichgewichtlage augelenkt. Beobachten Sie den ebungfall, den allmählichen Übergang der ingungenergie von einem auf da andere Pendel. Meen Sie die ebungzeit mit Hilfe der Stoppuhr mindeten dreimal, berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung de Mittelwert. Nun könnte man, mathematich geehen, hoffen, da man au den drei Gleichungen für 1, und (iehe Gl. (6.3.4c und (6.3.1 bzw. au den drei obigen Mewerten, die drei unbekannte Größen, und betimmen kann. E zeigt ich jedoch, da da nicht geht. er Grund it, da die ebungzeit eine von 1 = und = abhängige Zeit it, iehe Gl. ( Man benötigt daher noch eine der anderen drei Größen. azu wird eine tatiche Betimmung de ederrichtmomente augeführt: ie eder wird an einen auf der Seite de Rahmen angebrachten Haken angehängt. hr freie Ende bechwert man mit einem Zuatzgewicht, deen obere Kante al Bezugpunkt bei der ehnungmeung dient. Ermitteln Sie die ederkontante K au Δ = K Δx mit Hilfe der beigefügten Gewichte. Vergeen Sie den ehler nicht! Wenn die eder zwichen den Pendeln eingehängt it, it ihre Aulenkung Δ x= l in, wobei der Abtand der Pendelache zum Angriffpunkt der eder it (iehe l ig.. Sie übt omit ein rehmoment de Betrage M =Δ l = K l in au. Bei kleinen Pendelaulenkungen gilt in ( in rad. So erhält man für da Richtmoment: ( M = = K -Berechnen Sie amt ehler, achten Sie auf die Einheiten. l.

8 Veruch 6/3 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN Blatt 8 Bevor Sie die ontigen Unbekannten aurechnen, berechnen Sie den Kopplunggrad χ, mit Hilfe von 1 = und =, au Gl. ( ie ollte eine Zahl χ 1 (chwache Kopplung ein. E gelten alo die Näherungformeln (6.3.11a und ( Berechnen Sie χ auch nach dieen beiden Gleichungen, wobei Sie hren direkt gemeenen ebezeit benutzen. Entcheiden Sie anhand der ehler bzw. der ehlerfortpflanzung, welche der 3 Werte für χ am zuverläigten it (ertaunlicherweie nicht der au der exakten ormel (6.3.11!. -Vergleichen Sie hren direkt gemeenen Wert für Welcher Wert it am zuverläigten und warum? mit den au (6.3.1 bzw. (6.3.1a. -Merke: ache Kopplung bedeutet lange ebungzeit und umgekehrt. ür gilt: ( χ -ür einen erkraftpendel it = m gl (iehe oben, Abchnitt Einzelpendel, wobei g S die erkraftbechleunigung it. Berechnen und vergleichen Sie die beiden Werte für. ür gilt : ( = 4π 4π χ -Berechnen Sie owie die Mae der Pendelcheibe m (au ml, mit ehlern! ntereant it noch, da man nur mit Hilfe der Kopplung die Mae betimmen kann. Ohne Kopplung fällt die Mae rau, wie man z.b. an Gl.(6.3.1 ehen kann. -wie ieht da au für Gl.(6.3.? π Bemerkung: Auch die Näherungformeln kann mit ω = in entprechenden ω ω -Audrücken umrechnen, z.b. χ oder. Δω ω χ

9 Veruch 6/3 GEKOPPELE SCHWNGUNGEN Blatt 9 ür chwache Kopplung nehmen auch 1 (und t ( t au Gl.(6.3.9 eine einfachere orm an: ( Δω 1( t A co( ω t co( t Δω ( t A in( ω t in( t Mit Origin kann man olche unktionen leicht dartellen, z.b ( t : Extra-Aufgabe: Stellen Sie in Origin (z.b. mit Analyi/ non-linear curve fit/ imulate elber eine ebung dar. ie entprechende itformel heit "ebung1". E geht aber auch über "Set column value/ berechne Spaltenwerte". Zur akutichen emontration von ebungen ind dem Veruch zwei Stimmgabeln mit Reonanzkörpern und Abtimmklemmen beigegeben. m unvertimmten Zutand chwingen beide Stimmgabeln mit gleicher requenz f. Nun werden die Abtimmklemmen auf die Stimmgabeln aufgeetzt, die jetzt mit den requenzen f 1 und f chwingen. en Unterchied in requenz kann man hören, wenn man jeweil nur eine Stimmgabel anchlägt und die andere fethält. Schlägt man beide Stimmgabeln an, kann man eine ebung wahrnehmen. Man kann ich mit dieem emontrationveruch direkt davon überzeugen, da die ebungzeit umo länger wird, je ähnlicher die onhöhen ind.