Institut für Medizinische Physik und Informatik

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1 Institut für Medizinische Physik und Informatik Medizinische Physik und Statistik I WS 2016/2017 Tamás Marek 07. September 2016

2 Vorlesungen A) Medizinische Physik Mittwoch, 8:00 s.t. 9:30 Uhr Großes Unterrichtsgebäude, Ivánovics Saal B) Biostatistik Donnerstag, 13:00 s.t. 13:45 Uhr Großes Unterrichtsgebäude, Ivánovics Saal

3 Biostatistische Rechnungen Neben der wöchentlichen Vorlesung Biostatistik empfehlen wir dringend die Teilnahme an der Wahlpflichtübung Biostatistische Rechnungen 2 Stunden pro Woche, Kurscode: AOK-KN1801, 2 Kreditpunkte im Allgemeinen in Deutschland anerkannt bereitet den Statistikteil der Endprüfung durch Übungen vor semesterbegleitend werden zwei Klausuren geschrieben keine zusätzliche Prüfungsbelastung in der Prüfungsphase unabhängig von der kombinierten Physik-/Statistikendprüfung

4 Themen der Physik Vorlesungen ( Einleitung Mechanik von Massenpunkten Mechanik von Starren Körper Mechanische Schwingungen Mechanische Wellen, Ultraschall Physik des Hörens Physik der Strömung von Gasen u Flüssigkeiten Diffusion und Osmose Wärmelehre und Thermodynamik Optik Physik des Sehens Thermodynamik von Transportprozessen

5 Vorlesungen Die Teilnahme an den Vorlesungen wird, sowohl in der Medizinischen Physik als auch in der Biostatistik, dringend empfohlen. Die Teilnahme an den Vorlesungen wird regelmäßig kontrolliert, die Anwesenheit wird für jede Person dreimal zu zufälligen Zeitpunkten dokumentiert und die dokumentierten Anwesenheiten werden in max. 3 Prüfungsbonuspunkten konvertiert. Für die Registration an den Anwesenheitskontrollen ist immer ein Personalausweis oder ein Reisepass erforderlich.

6 Seminare und Praktika in Physik Die Funktion des Seminars ist es, den Vorlesungsstoff in kleinen Gruppen zu diskutieren und Fragen zu klären. Die Praktika (Messübungen) bereiten die späteren Untersuchungen von physiologischen Erscheinungen vor. Durch diese modellhafte Herangehensweise dienen sie dem direkten Verständnis der in der ärztlichen Praxis angewandten physikalischen Vorgänge und Methoden.

7 Seminare und Praktika in Physik Alle 14-Tage, im wöchentlichen Wechsel (in 2 5 Gruppen, siehe auch Stundenplan) Dieser Woche starten mit dem -> Praktikum die Gruppen: 1, 2, 5, 7, 9, mit dem -> Seminar die Gruppen: 3, 4, 6, 8, 10.

8 Leistungskontrolle während des Semesters Ab der 3. Woche, wird am Anfang jedes Seminars und Praktikums die Vorbereitung im Rahmen eines kurzen (ca. 6 Min.) Tests kontrolliert. Die Tests enthalten Multiple-Choice Fragen (1 richtige und 4 falsche Antworten), bzw. einfache Rechenaufgaben.

9 Leistungskontrolle Seminare Jeder Seminartest enthält drei Multiple-Choice Fragen (je 1 Punkt) und eine Rechenaufgabe (2 Punkte). Pro Test also maximal 5 Seminarpunkt. Im Rahmen der 5 Seminartest können also maximal 25 Seminarpunkte erreicht werden Die Seminartests prüfen den Stoff des vorigen Seminars. Rechtzeitig im CooSpace veröffentlichte Musterfragen und die Übungen für Seminartests sollen die Vorbereitung erleichtern.

10 Übung für Seminartests in Physik In den Übungen für Seminartests werden gezielt Übungsaufgaben gelöst, die vergleichbaren Inhalt und Form haben wie die Aufgaben in den Seminartests und später in dem Abschlussprüfung in Physik. Die Übungen für Seminartests werden alle 14 Tage, im wöchentlichen Wechsel mit dem Seminar abgehalten. D.h. die Gruppen, die in der jeweiligen Woche keinen Seminar haben, können an die Übungen für Seminartests teilnehmen. Die Übungen für Seminartests ist eine gemeinsame Veranstaltung aller Gruppen, die keinen Seminar haben.

11 Übung für Seminartests in Physik Die Teilnahme an den Übungen für Seminartests wird dringend empfohlen. Sie ist aber freiwillig. Mittwochs 18:00 19:30; Hetényi Géza Vorlesungssaal, 1. Internistische Klinik (1. Belgyógyászati klinika) Straße: Korányi fasor 8-10., Stadt: 6720 Szeged Start, Nächster Woche mit den Gruppen: 3, 4, 6, 8, 10.

12 Leistungskontrolle Praktika Die Praktikumstests prüfen den theoretischen Hintergrund des aktuellen Versuches, und den theoretischen Hintergrund und die Beobachtungen, die Instrumente usw. der bisherigen Praktika. Jeder Praktikumstest enthält 3 Multiple-Choice Fragen (je 1 Punkt) in gleicher Form, wie die Prüfungsfragen. Am Ende des Semesters werden der erwartete Wissensstand und die Kompetenzen im Rahmen eines Kompetenztests kontrolliert (für 10 Praktikumspunkte).

13 Voraussetzungen der Unterschrift für die Seminare, bzw. Praktika Die Voraussetzung der Unterschrift der Anleiter für die Seminare und Praktika ist, dass sowohl für die Seminartests, als auch für die Praktikumtests mehr als 20 % (mind. 6 Punkte) der Gesamtpunkte (25 Punkte) erreicht werden. Ansonsten muss am Ende des Semesters ein Nachholtest aus dem ganzen Material der Seminare und/oder der Praktika erfolgreich absolviert werden. alle Praktika erfolgreich absolviert (oder ggf. nachgeholt) werden, der Seminarleiter die erfolgreiche Seminarteilnahme bestätigt.

14 Endprüfung Form der Prüfung Die Abschlussprüfungen sowohl für Physik als auch für Statistik werden an einem gemeinsamen Termin abgehalten. Beide Teilprüfungen müssen voneinander unabhängig die Mindestanforderungen ergeben. Für die Berechnung des Gesamtergebnisses für den Kurs Medizinische Physik und Statistik gehen die Leistungen aus der Einheit in Medizinischer Physik zu 2/3 und aus der Einheit in Biostatistik zu 1/3 ein. Für den Physik Teil der Abschlussprüfung werden sowohl Multiple Choice Fragen als auch in geringem Umfang Rechenaufgaben im Coospace System gestellt. Für den Statistik Teil der Abschlussprüfung werden nur Multiple Choice Fragen gestellt.

15 Endprüfung Anzahl der Fragen Physik 40 Fragen 40 Prüfungspunkte in dem Physikteil Statistik 20 Fragen 20 Prüfungspunkte in dem Statistikteil Hilfsmittel Physik: Schreibzeug, Taschenrechner Statistik: gestellte Formelsammlung und Tabelle, Schreibzeug, Taschenrechner Elektronische Geräte mit zusätzlichen Rechnerfunktion (Mobiltelefone etc.) sind nicht zugelassen. Zeitdauer Insgesamt für beide Teile der Prüfung 80 Minuten.

16 Prüfungsleistung Semesterleistung Prüfungspunkte Physikteil Die für die Berechnung des Gesamtergebnisses erreichbare Punktzahl ergibt sich aus der Addition der in der Abschlussprüfung erzielten Punkte, der Seminar- und Praktikumspunkte und der eventuellen Bonuspunkte aufgrund der Anwesenheitskontrolle und der Seminararbeit. 5 Prüfungspunkte aus den Seminartests (s. die Umrechnung später) 5 Prüfungspunkte aus den Praktikumstests (s. die Umrechnung später) 1 Bonuspunkt für herausragende Leistungen in den Seminaren 0 3 Bonuspunkte aufgrund der zufälligen Teilnahmekontrollen 40 Prüfungsunkte aus den Prüfungsfragen = insgesamt maximal Prüfungspunkte

17 Prüfungspunkte Physikteil Das Umrechnen der Seminar- und Praktikumspunkte zu Prüfungspunkten: 0 5 Seminar-/Praktikumsunkte: Nachholprüfungspflicht 6 8 Seminar-/Praktikumspunkte: 0 Prüfungspunkt 9 11 Seminar-/Praktikumspunkte: 1 Prüfungspunkt Seminar-/Praktikumspunkte : 2 Prüfungspunkte Seminar-/Praktikumspunkte : 3 Prüfungspunkte Seminar-/Praktikumspunkte : 4 Prüfungspunkte Seminar-/Praktikumspunkte : 5 Prüfungspunkte Die Bewertung des Physikteils: 0 25 Prüfungspunkte: ungenügend (1) Prüfungspunkte: genügend (2) Prüfungspunkte: befriedigend (3) Prüfungspunkte: gut (4) Prüfungspunkte: sehr gut (5)

18 Prüfungspunkte Statistikteil Die Bewertung des Statistikteils: 0 9 Prüfungspunkte: ungenügend (1) Prüfungspunkte: genügend (2) Prüfungspunkte: befriedigend (3) Prüfungspunkte: gut (4) Prüfungspunkte: sehr gut (5)

19 Pflicht- und empfohlene Literatur Vorlesungsskripte, Praktikumsbeschreibungen Damjanovich, S. Fidy, J. Szöllősi, J. (Verf.): Biophysik für Mediziner. Budapest, Medicina Verlag, Wolfgang Hellenthal: Physik für Mediziner und Biologen, Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft mbh, Stuttgart. Prof. Dr. Leonhard Held Dr. Kaspar Rufibach Prof. Dr. Burkhardt Seifert: Medizinische Statistik, Pearson, 2013 Volkers Harms: Physik für Mediziner und Pharmazeuten, Harms Verlag, 17., überarbeitete Auflage. Paul Davidovits: Physics in Biology and Medicine. Fourth edition. Academic Press, (auf Englisch)

20 Weitere nützliche Infos Für die Seminar- und Praktikumstests ist ein Zugang zu dem Coospace System erforderlich, deshalb sollten alle Einschreibungsprozesse bis Ende dieser Woche abgeschlossen sein. Medizinische Physik und Statistik I. AOK-KUN Description (public), Requirements, Topics Die Hilfsmaterialen werden auf dem entsprechenden Schauplatz des Coospace Systems und teilweise auf der Webseite des Instituts (www2.szote.u-szeged.hu/dmi) hochgeladen. Eine Beschreibung über die Verbindung zu dem WiFi in den Universitätsgebäuden ist zu finden auf der Webseite eduroam.bibl.u-szeged.hu/index.en.html (auf Englisch).

21 Medizinische Physik und Statistik I WS 2016/2017 Mechanik 1 Grundkenntnisse Tamás Marek 07. September 2016

22 Gliederung Einige Grundlagen Funktionen, Relationen Beispiele für Funktionen Grenzübergang, Ableitung Integration

23 Einleitung In der medizinischen Praxis werden täglich verlässliche Informationen darüber benötigt, wie sich bestimmte Eigenschaften des menschlichen Organismus verhalten. Dabei werden diese Messergebnisse mit solchen aus der Vergangenheit verglichen und so über Normalität bzw. Anomalie entschieden. Für solche Vergleiche eignen sich nur solche Eigenschaften eines Systems, die sich, durch die Definition geeigneter Kriterien, von anderen Eigenschaften möglichst eindeutig abgrenzen und quantifizieren lassen. Es muß also möglich sein die Menge der Eigenschaft als ein Mehrfaches einer Einheitseigenschaft auszudrücken.

24 Metrologie Die Eigenschaft muß also eindeutig abgrenzbar und meßbar sein! In den Naturwissenschaften werden solche Eigenschaften Größen, z.b. physikalische Größen, genannt. Der Wert einer physikalischen Größe ist somit durch eine Maßzahl und eine Einheit definiert. Größenwert = {Maßzahl} mal [Einheit] m = 1 kg

25 Metrologie Es ist die Metrologie, die sich mit dem Vorgang des Messens wissenschaftlich beschäftigt. Ihre Aufgabe ist es u.a. die Bereitstellung der Messeinheiten (z.b. 1meter, 1kg, 1s etc.) und ihre Weiterleitung an die Messaparaturen. Mit diesen zuerst Eich-, später Kalibrier- Aufgaben sind die folgende Institutionen betraut: In Ungarn ist es das Hungarian Trade Licensing Office (MKEH), in Budapest. In Deutschland ist es die Physikalisch Technische Bundesanstalt (PTB), in Braunschweig.

26 Metrologie Messaparaturen können ganz einfach beschaffen sein, wie z.b. ein Metermaß. Es gibt aber auch Beispiele, bei denen entweder wegen der äußeren Gegebenheiten oder aber wegen der zu messenden Größe ein wesentlich größerer technischer Aufwand notwendig ist. Es haben aber alle Meßinstrumente den folgenden Aspekt gemeinsam: Sie geben alle das Ergebnis als ein Vielfaches bzw. ein Bruchteil, einer Maßeinheit, in Form von Zahlenwerten an: z.b. 3m, 0,5kg oder 5400s etc. Meßinstrumente quantifizieren die zu messende Eigenschaft und liefern Zahlenwerte!

27 Die Zahlenwerte -> Wertetabelle Wertetabellen In Wertetabellen werden die Messergebnisse geordnet nach ihrer inhaltlichen Zusammengehörigkeit als Werte- Paare, -Tripel, etc. dargestellt. Dieses Vorgehen erleichtert das Auffinden von möglichen Zusammenhänge oder Abhängigkeiten zwischen den Messwerten.

28 Die Zahlenwerte -> Wertetabelle Wertetabelle = Geordnete Liste von Zahlenwerten Zeitmessung Nr. t/s Längenmessung Nr. l/m Zeitmessung und Längenmessung Nr. t/s l/m 1 2 0,0 2,0 und 1 2 0,0 4, ,0 2,0 0,0 4,0 3 4,0 3 8,0 3 4,0 8,0 4 6,0 4 12,0 4 6,0 12,0

29 Die Zahlenwerte -> Grafik Um gesetzmäßige Zusammenhänge zwischen den Messwerten zu erkennen sind häufig grafische Darstellungen hilfreicher. Am häufigsten werden deshalb Koordinatensysteme verwenden.

30 Koordinatensysteme Koordinatensysteme sind Hilfsmittel der Mathematik für die eindeutigen Beschreibung von Positionen im Raum. Sie werden ebenfalls in vielen Wissenschaften und in der Technik verwendet. Die Position eines Punktes im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch die Angabe von Zahlenwerten oder Größenwerten, den Koordinaten, eindeutig bestimmt. Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte ist die Dimension des Raumes. In diesem Sinne bezeichnet man z.b. eine Ebene als zweidimensionalen Raum.

31 Koordinatensysteme Beispiele von Koordinatensystemen, jeweils mit dem Punkt P=(3;2). a) geradlinige b) geradlinige orthogonale c) krummlinige orthogonale d) krummlinige Kartesisches Koordinatensystem P(x,y,z) Die Reihenfolge der Komponenten x,y,z ist bei der Angabe der Position eines Punktes fest definiert.

32 Koordinatensysteme Bestimmung der Lage eines Punktes II. II. Quadrant Quadrant III. III. Quadrant Quadrant I. I. Quadrant Quadrant Y=3 X=5 IV. IV. Quadrant Quadrant P(5/3) Auf der x-achse wird der Wert für die x- Koordinate abgetragen. An der Stelle x wird eine Senkrechte errichtet und auf ihr der Wert für die y- Koordinate abgetragen.

33 Veranschaulichung einer empirisch gefundenen Beziehung zwischen zwei physikalischen Größen Zeitmessung und Längenmessung 12 l/m x Nr. t/s l/m 1 0,0 0,0 8 x 2 2,0 4,0 4 x 3 4 4,0 6,0 8,0 12,0 0 x t/s

34 Die Mathematik Eine weitere Möglichkeit empirisch gewonnene Beziehungen zwischen Größen darzustellen oder zu analysieren bieten mathematische Rechenausdrücke! Wir nennen sie auch mathematische Modelle. Sie sind: in der Regel kürzer und übersichtlicher als die in Worten beschriebenen Zusammenhänge. eindeutiger und somit leichter, ohne Missverständnisse mitteilbar. sie erlauben Voraussagen über das Verhalten der Größe auch in Wertebereichen, die empirisch noch nicht abgesichert sind.

35 Mathematische Funktionen In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Definitionsmenge D, unabhängige Variable, x-wert) genau ein Element der anderen Menge (Zielmenge Z, abhängige Variable, y-wert) zuordnet. Definitionsmenge D Zielmenge Z x-werte y-werte

36 Anmerkungen: Funktionen, Relationen Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Zielmenge Z zu. Schreibweise: f: D->Z, x->y oder f(x) = y (gesprochen: f von x gleich y) Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge muss nicht notwendiger Weise einem Element des Definitionsbereiches zugeordnet werden. Eine Relation r ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D nicht notwendiger Weise genau ein Element y einer Zielmenge Z zu.

37 Lineare Funktionen Jede lineare Funktion wird durch die folgende Funktionsgleichung beschrieben: f(x) = kx + d k = Steigung, k = positiv, steigende Funktion k = negativ, fallende Funktion d = Distanz (Entfernung des Schnittpunktes auf der y- Achse vom Nullpunkt) d = 0, homogene Funktion d ungleich 0, inhomogene Funktion

38 Lineare Funktionen f(x) = 1x + 2 f(x) = kx + d f(x) = -2x - 3 k = 1, d = 2 k = -2, d = -3

39 Veranschaulichung einer empirisch gefundenen Beziehung zwischen zwei physikalischen Größen Zeitmessung und Längenmessung Nr. t/s l/m 12 l/m x 1 2 0,0 2,0 0,0 4,0 8 x l = 2 t+0 3 4,0 8,0 4 x 4 6,0 12,0 0 x t/s

40 Die Mathematik Wenn Sie also die Mathematik in diesem Sinne in Ihrem Studium und später im Beruf als eine Art hilfreichen Freund ansehen könnten, dann wird Ihnen einiges und nicht nur in der Physik, leichter fallen.

41 Potenzfunktionen Potenzfunktionen sind Funktionen f, die eine Variable x auf einer festen Potenz von x abbilden oder auf ein Vielfaches davon. Sie haben also folgende Form: f(x) = ax n Dabei ist n eine ganze Zahl und a irgendein Faktor, also eine beliebige, reelle Zahl. Man unterscheidet die Potenzfunktionen mit geraden Exponenten und die mit ungeraden Exponenten.

42 Potenzfunktionen f(x) = ax n n ist positiv und gerade x, y R n N n ist positiv und ungerade

43 Potenzfunktionen f(x) = ax n n ist negativ und gerade x, y R n N n ist negativ und ungerade

44 In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten x in der Basis a Wurzelfunktionen x n x n a Hierbei ist n eine natürliche Zahl größer als 1 und a eine nichtnegative reelle Zahl. Das Ergebnis des Wurzelziehens bezeichnet man als Wurzel oder Radix. Das Radizieren ist eine Umkehrung des Potenzierens. Im Fall n=2 spricht man von Quadratwurzeln, bei n=3 von Kubikwurzeln.

45 Wurzelfunktionen a x n x n a Frage: Welche Zahl x muß mit sich n (z.b. =2) mal multipliziert werden, damit das Ergebnis a (z.b.=4) wird. 4 x 2 x 2 4 x 2

46 Wurzelfunktionen f ( x) n x

47 Exponentialfunktionen Exponentialfunktion haben die allgemeine Form f(x) = c a bx mit der Basis (oder auch Grundzahl) a>0 und a 1. In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen (a=x n ), bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) ist, ist bei Exponentialfunktionen die Variable der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung.

48 Exponentialfunktionen Als die Exponentialfunktion im engeren Sinne (präziser eigentlich: natürliche Exponentialfunktion, auch e-funktion) bezeichnet man die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl e=2, als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise f(x)=e x

49 Exponentialfunktionen f(x)=e x Wachstum einer Population von z. B. Mikroorganismen Radioaktiver Zerfall Barometrische Höhenformel

50 Logarithmusfunktionen Als Logarithmus einer Zahl x zur Basis b bezeichnet man die Zahl f(x), welche die folgende Gleichung löst: x=b f(x) f(x)=log b x Mit welcher Zahl f(x) (abhängige Variable) muss ein fester Basis b potenziert werden damit als Ergebnis die Zahl x (unabhängige variable) herauskommt. Die Funktion, die zu einer festen Basis b jeder Zahl ihren Logarithmus zuordnet, nennt man Logarithmusfunktion zur Basis b. Die Logarithmusfunktion ist damit die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

51 Logarithmusfunktionen f(x)=lnx natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e, der Eulerschen Zahl 2, ; er wird in Zusammenhang mit Exponentialfunktionen verwendet. f(x)=lgx dekadischer Logarithmus, auch als Zehnerlogarithmus bezeichnet, der Logarithmus zur Basis 10; er wird bei numerischen Rechnungen im Dezimalsystem verwendet. f(x)=lbx binärer Logarithmus, auch als Zweierlogarithmus bezeichnet, der Logarithmus zur Basis 2; er wird in der Informatik bei Rechnungen im Binärsystem verwendet.

52 Logarithmusfunktionen

53 Trigonometrische Funktionen Mit trigonometrischen Funktionen oder auch Winkelfunktionen bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen in rechtwinkligen Dreiecken. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des rechtwinkligen Dreiecks, das zur Berechnung verwendet wird. In jedem rechtwinkligen Dreieck mit gleichem Winkel α ergeben die Verhältnisse den gleichen Wert. Also auch für c=1!!

54 sin (x) Trigonometrische Funktionen cos (x) x sin (x) cos (x) x x 45 4 x 90 2 Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen, elektromagnetische Wellen lassen sich aus Sinus- und Kosinuswellen zusammengesetzt beschreiben, so dass diese Funktionen in der Physik als harmonische Schwingungen allgegenwärtig sind.

55 Die Analyse von Funktionen Die Differenzialrechnung, Die Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Mathematik. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der Bezeichnung Analysis oder auch Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Anliegen der Differentialrechnung ist die Berechnung der lokalen Veränderungen, also die Steigungen, von Funktionen.

56 f(x 1 )-f(x 0 ) Die Steigung einer linearen Funktion f(x) = kx + d, d=0 k f ( x x 1 ) f ( x0) 1 x 0 12 f(x) x identisch 8 (f(x 1 )/x 1 ) x k f ( x0 x) f ( x0) x 0 4 (f(x 0 )/x 0 ) x x=x 1 -x x k Steigung: (8 (4 k 4) 2) 4 2 2

57 Die mittlere Steigung einer beliebigen Funktion

58 Die lokale Steigung einer beliebigen Funktion

59 Die lokale Steigung einer beliebigen Funktion Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x 0 gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen im Punkt P 0 (x 0 y 0 ) berührt und ist damit zugleich die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P 0 (x 0 y 0 ). Man sagt auch Steigung der Funktion.

60 Die Ableitung von Funktionen als Maß ihrer Änderung Nr Funktion f(x) Ableitung f (x) 1 ax+b a1 2 ax n anx n-1 3 x 1/(2 x) 4 e x e x 5 lnx 1/x 6 sinx cosx 7 cosx -sinx

61 Die Integralrechnung, die Ermittlung der Fläche unter einer Die Integralrechnung ist aus dem Problem der Flächenund Volumenberechnung entstanden. Die Berechnung von Integralen heißt Integration. Funktion,

62 f(x) Die Ermittlung der Fläche unter einer Funktion, die Integralrechnung 10 1 f ( x) x x Das Integrationsintervall [a,b] wird zunächst in n (z.b. 10) gleichgroße Teilintervalle zerlegt, so dass der gesuchte Flächeninhalt in senkrechte Streifen zerfällt.

63 Die Ermittlung der Fläche unter einer Funktion, die Integralrechnung Indem man die Anzahl der Rechtecke nach und nach erhöht, erhält man mit der Zeit eine immer genauere Annäherung an den Funktionsgraphen durch die zu den Rechtecken gehörenden Treppenfunktionen. b a f ( x) x f ( x) dx b a 10 1 f ( x) dx

64 Literatur Vorlesungsskript ( Lehrbücher über Mathematik Internet