Stochastische Simulation

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1 Literatur: J. Banks et al., Discrete Event System Simulation, Prentice Hall, 200. A.M. Law and W.D. Kelton, 99: Simulation, Modeling and Analysis, McGrawHill, 99. P. Page, Diskrete Simulation, Springer-Verlag, 992. Simulation mit stochastischen Modellaspekten Stochastische Modelle sind Modelle mit Zufallsaspekten Es werden Zufallsaspekte eingebracht bei der Bestimmung von - Zwischenankunftszeiten - Bedienzeiten - Ausfallszeiten - Entscheidungen -... Simulationsexperimente mit stochastischen Modellen sind Zufallsexperimente damit sind alle statistischen Verfahren für Auswertung von Ergebnisvariablen einsetzbar daneben gibt es eine Reihe von Besonderheiten für die Simulation *

2 Diskrete Modellierung Bei der Modellierung unterscheidet man: Modellparameter sind vom realen System vorgegeben müssen durch Beobachtung und Messung bestimmt und modelliert werden sind nicht beeinflussbar durch den Modellierer werden oft als Variablen bestimmter Zufallsverteilungen modelliert Eingriffsmöglichkeiten sind jene Parameter im System, die variiert werden können bestimmen die Systemkonfiguration, die untersucht wird die Schrauben, an denen man drehen kann Ergebnisdaten (Leistungsmerkmale) ergeben sich durch die Simulation und stellen das Ergebnis dar; bei der diskreten Simulation die Leistungsmerkmale sind oft stochastische Variablen müssen statistisch ausgewertet werden Modellierer Eingriffsmöglichkeiten Modell Modellparameter reales System Ergebnisdaten Diskrete Modellierung (2) Beispiele für die unterschiedlichen Kategorien von Modellvariablen : Modellparameter Verarbeitungszeiten bestimmter Bedienstationen Ausfallzeiten von Maschinen Ankunftsraten von Kunden Geschwindigkeiten von Fahrzeuge oder Personen... Eingriffsmöglichkeiten Menge und Art der eingesetzten Bedienstationen, Maschinen oder Transporter Menge der eingesetzten Werkzeuge und Hilfsmittel Größe der Warteräume und Bufferplätze Reihung in den Warteschlangen Anordnung der Systemkomponenten Gestaltung der Transportwege Varianten in der Ablaufsteuerung... Ergebnisdaten (response variables) Durchsatz an Kunden/Werkstücke Wartezeit der Kunden Länge von der Warteschlangen Auslastung der Ressourcen... +

3 Experimentierrahmen und Modell man unterscheidet grundsätzlich Systemmodell: Modell des zu untersuchenden Modells Experimentierrahmen (Experimental Frame): stellt das Experiment am Modell dar zum Experimentierrahmen gehört Lastmodell: stellt den Ankunftsstrom der zu bediendenden/verarbeitenden Entities dar Ergebnisdaten: zu beobachtende Werte im Modell und deren Auswertung Steuerung des Experiments: Anfangsbedingungen und Bedingungen für Ende eines Experiments Anmerkung: Experimentierrahmen und Modell sollten möglichst unabhängig voneinander sein (lässt sich aber oft schwer erreichen) Testen und Vergleich mehrere Modellvarianten unter dem gleichen Experimentierrahmen Simulation und Analyse eines Modells unter unterschiedlichen experimentellen Bedingungen, Lastmodell stellt den Ankunftsstrom der zu bedienenden/verarbeitenden Entities dar Für die Modellierung der Lastmodelle gibt es folgende Möglichkeiten: Trace-Driven Simulation: man verwendet reale Beobachtungen Stochastisches Modell: man charakterisiert Ankunftsstrom mittels Zufallsverteilungen Zufallsverteilung für Zwischenankunftszeiten Zufallsverteilung für Generierung der unterschiedlichen Arten von Entities (mit unterschiedlichen Arbeitsaufträgen) Maximale Last: System wird bei maximaler Last getestet, d.h. es stehen jederzeit Entities zur Verarbeitung bereit -

4 Durchführung von Simulationsprojekten () Festlegen der Zielsetzung des Simulationsprojekts Entscheidungskriterien Festlegen der Ergebnisvariablen Bestimmen der Eingriffsmöglichkeiten Modellierung Modellstruktur mit möglichen Modellvariationen Modellierung der Modellparameter Bestimmung geeigneter Zufallsverteilungen Modellverifikation und Modellvalidierung Modellverifikation: Zeigen der Korrektheit des Modells Modellvalidierung Prüfen, dass Realität adäquat abgebildet wurde (durch Vergleich der Simulationsdaten mit realen Daten). Durchführung von Simulationsprojekten Durchführung von Simulationsexperimenten Simulationsläufe als Zufallsexperimente Transientes Verhalten Steady-State Analyse, d.h. System im eingeschwungenen Zustand statistische Auswertung der Ergebnisdaten Beobachtung von bestimmten Leistungsmerkmalen Bestimmung von statistischen Größen wie Min, Max, Mittelwert, Varianz, Konfidenzintervalle Entscheidungsfindung und Sensitivitätsanalyse Variation von bestimmten Parametern und Beobachtung der Wirkung Variation der Modellstruktur und Steuerung Optimierung Festlegen der möglichen Parametervariationen und einer Zielfunktion gezielte Suche nach Modellparametern, die zu einer optimalen Systemleistung führen Einsatz von heuristischen oder stochastischen Optimierungsverfahren /

5 Bestimmung von Zufallsverteilungen für Modellparameter ausgehend von Messungen und Beobachtungen soll eine Zufallsverteilung für einen Modellparameter bestimmt werden Vorgehen Aufstellen eines Histogramms, um die Verteilung der Messwerte sichtbar zu machen Wahl einer Verteilung (z.b. Normalverteilung), die die das Histogramm möglichst annähert Bestimmung der Parameter der Verteilung aus den Messdaten Goodness-of-Fit-Tests, z.b. X 2 -Test 0 Zufallsverteilungen für Modellparameter: Vorgehen () Histogramm Wahl der Verteilung, z.b. Normalverteilung Parameter der Verteilung bestimmt durch Maßzahlen der Messungen (z.b. Mittelwert und Varianz)

6 Zufallsverteilungen für Modellparameter: Vorgehen (2) Test, ob Messdaten der gewählten Verteilung gehorchen (z.b. X 2 -Test) Hypothese: H 0 : die Beobachtungen gehorchen einer bestimmten Verteilung, H : die Beobachtungen gehorchen nicht dieser Verteilung Bilden des X 2 -Wertes als Quadrate der Abstände von beobachteten und berechneten Werten Χ mit h i = beobachtete Wahrscheinlichkeit und e i ist Wahrscheinlichkeit aus Verteilung Ermittlung des kritischen Wertes c aus Tablle der X 2 -Verteilung mit f Freiheitsgraden und einem bestimmten Wahrscheinlichkeitswertes α, wobei f sich ergibt aus der Anzahl der Klassen der Beobachtungen minus minus Anzahl der freien Parameter der Verteilung (z.b. Normalverteilung 2 freie Parameter) Test der Hypothese nach P Χ 2 2 ( h e ) = i i Ist X 2 -Wert größer als c so muß H 0 verworfen werden e ( > c) = α i i 2 2 Häufigkeitsfunktion von Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskrete Verteilung : Gibt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Wertes x an P ( x) = h( x) stetige Verteilung: Wahrscheinlichkeitsdichte f = P ( a < x b) f ( v) dv b a +*

7 Verteilungsfunktion von Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskrete Verteilung : Gibt die kummulierte Häufigkeit aller Wahrscheinlichkeiten für Werte <= x an stetige Verteilung: x F ( x) = P( X x) = h( x ) x x F ( x) = f ( v) dv j j + Gebräuchliche Zufallsverteilungen () Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit p(x) für x Erfolge bei n Versuchen, wobei die Versuche unabhängig sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit jeweils p ist Parameter: p und n Poissonverteilung Wahrscheinlichkeit p(x), dass in einem bestimmten Zeitintervall x Ereignisse auftreten Parameter: λ Mittelwert für Anzahl der Ereignisse Exponentialverteilung Zwischenankunftszeit bei einem Poisson-Prozess Parameter: λ Mittelwert für Anzahl der Ereignisse k-erlangsche Verteilung Prozess mit k-phasen mit jeweils exponentialverteilten Zeiten = Summe von k exponentialverteilten Prozessen Parameter: λ Mittelwert für exponentialverteilten Prozess, k Anzahl der unabhängigen Prozesse Normalverteilung modelliert eine Verteilung für Prozesse, die sich aus vielen Einzelprozessen ergeben (zentraler Grenzwertsatz) Parameter: Mittelwert µ und Varianz σ ++

8 Gebräuchliche Zufallsverteilungen (2) Weibull-Verteilung nähert die Lebenszeit von Systemen, die aus mehrere Einzelteilen bestehen, wobei der Ausfall eines Teils den Ausfall des Gesamtsystems bedeutet Triangularverteilung Verwendet, wenn nur minimaler, maximaler und wahrscheinlichster Wert bekannt sind Parameter: Minimum, Maximum, Modalwert Gleichverteilung gleiche Wahrscheinlichkeit der Werte zwischen Minimum und Maximum Parameter: Minimum und Maximum Diskrete Tabelle diskrete Werte Wahrscheinlichkeiten direkt aus Beobachtungen Parameter: Liste von Paaren mit Wert und Wahrscheinlichkeit des Auftretens Kontinuierliche Tabelle: Wahrscheinlichkeiten der Werte aus Beobachtungen Stützpunkte der Verteilung in Form von Werten - Wahrscheinlichkeiten Interpolation der Zwischenwerte und weitere +, Generierung von Zufallszahlen bestimmter Verteilungen () Bei der Simulation müssen für die Modellgrößen fortlaufend Zufallszahlen generiert werden, die den modellierten Verteilungen entsprechen Ausgangsbasis dafür sind klassische Zufallszahlengeneratoren, die gleichverteilte Zufallszahlen im Intervall [0,] erzeugen mit Hilfe der Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion werden daraus Zufallszahlen nach der vorgegebenen Verteilung generiert Zufallszahlengenerator [0,]-gleichverteilte Zufallszahlen inverse Transformation Zufallszahlen der vorgegeben Verteilung +-

9 Generierung von Zufallszahlen bestimmter Verteilungen (2) gegeben Verteilungsfunktion (kumulierte Häufigkeit) x F ( x) = f ( y) dy F ( x) = h( y) stetig erzeuge eine gleichverteilte Zufallszahl r zwischen 0 und löse die Gleichung F(x) = r nach x, d.h. x = F ( r) y x diskret +. Gleichverteilte Zufallszahlen UD (a,b) in einem beliebigen Intervall [a, b] /(b-a) r 0 a b a x b f(x) F(x) x a b a = x = a + r ( b a) r +/

10 Exponentialverteilung ED(/λ) Zwischenzeiten bei Poissonprozessen z.b. für Zwischenankunftszeiten, Zeiten zwischen Ausfällen F( x) = e λx = x = ln( r) λ x = ln r λ r wobei λ die Ankunftsrate und / λ der Mittelwert der Zwischenankunftszeiten ist r x +0 Normalverteilung (Gaußverteilung) ND(µ, σ) Für F - gibt es keine geschlossene Formel aber es gibt zwei Verfahren, um normalverteilte Zufallszahlen zu erzeugen: ) Verfahren basierend auf zentralem Grenzwertsatz die Summe von 2 gleichverteilten Werten UD(0,) ist eine Näherung für eine Normalverteilung mit Mittelwert 6 und Varianz normierte Normalverteilung ND(0,) z = 2 * UD(0,) 6 Normalverteilung mit beliebigen Mittelwert µ und Standardabweichung σ x = zσ + µ +

11 Normalverteilung (Gaußverteilung) ND(µ, σ) (2) 2) Näherung von Werten der Normalverteilung mittels Tabelle - gegeben ist eine Tabelle mit einigen Stützpunkten der normierten Normalverteilung ND(0,) - Erzeuge eine gleichverteilte Zahl r = UD(0,) zwischen 0 und - Durch Interpolation (lineare) berechne einem Wert z der normierten Normalverteilung aus der Tabelle - Normalverteilung mit beliebigen Mittelwert µ und Standardabweichung σ durch x = zσ + µ +2 Triangularverteilung Triangularverteilung ist gegeben durch minimalen, maximalen und Mittelwert einfacher Ersatz für Normalverteilung oder wenn wenig Messdaten vorhanden,*

12 Empirische Verteilung Viele Messungen in der Realität lassen sich nicht optimal durch die gängigen Verteilungen abbilden Beobachtungen zur Erzeugung von Zufallszahlen (empirische Verteilungen) f(x) Beobachtungen Klassenbildung mit relativen Häufigkeiten kumulierte Häufigkeit Interpolation F(X) r X x=f - (r), X Diskrete, empirische Verteilung Beispiel: Länge von Dateien in Spuren Spuren (i) Häufigkeits verteilung (f(i)) kummulierte Häufigkeiten (F(i 0,06 0,06 2 0,7 0,23 3 0,238 0, = n 0.003,0! ",+

13 Statistische Auswertung Simulationsexperimente sind Zufallsexperimente; Ergebnisvariablen sind stochastische Variablen alle statistischen Verfahren anwendbar Mittelwert Varianz Konfidenzintervalle... um statistisch signifikante Ergebnisse zu bekommen viele Experimente und/oder lange Läufe (Batchmittelwertverfahren) Es gibt einige spezielle Phänomene bei der Simulation, die besonders beachtet werden müssen,, Leistungsmerkmale () Folgend sind typische Leistungsmerkmale für Systeme aufgelistet Allgemeines: Beobachtungszeitraum (time) Anzahl der Beobachtungen obs (observations) Raten (rate) mittlere Zwischenzeit (mean) Ankunftsprozesse : erzeugte Werkstücke (arrived) Ankunftsrate λ (arrival rate) Zwischenankunftszeit ia_time (interarrival time) Durchsatz: bearbeitete Werkstücke solved Durchsatz throughput rate = mean = λ = ia obs time rate arrived time _ time = throughput = λ solved time,-

14 Leistungsmerkmale (2) Umlaufzeit tat (turnaround time): Zeitintervall zwischen Ankunft und Verlassen eines (Teil-)Systems Arbeit Arbeitszeit time_busy Auslastung utilization Freizeit time-idle Warteschlangen time _ busy utilization = time time _ idle = time time _ busy Länge von Warteschlangen = Anzahl der Werkstücke in der Warteschlange queue_length Wartezeit eines Kunden in der Warteschlange waiting_time,. Zeitgewichtete und nicht-zeitgewichtete Statistiken In der Simulation unterscheidet man grundsätzlich zwei Arten von Statistiken: nicht-zeitgewichtete Statistiken (auch Observational oder Tally genannt) Statistik pro Beobachtung oft verwendet für Mittelwerte über Zeiten Bsp.: durchschnittliche Bedienzeit, Wartezeit oder Umlaufzeit pro Werkstück zeitgewichtete Statistiken (auch Timed oder Accumulate genannt) Statistik über eine Zeit verwendet für sich über die Zeit ändernde Zustände Bsp.: Durchschnitt der Länge einer Warteschlange in einer Zeitspanne, Auslastung einer Bedienstation, etc.,/

15 Nicht-zeitgewichteter Mittelwerte und Standardabweichung Schätzwerte für Mittelwert und Varianz: Mittelwert: Varianz: 2 s = n n j= ( x j x) xi x = n Standardabweichung: 2 oder Summe der Werte = Anzahl der Beobachtungen n n s = x j ( x j) n j= n j= s = 2 s oder n s = x j nx n j=,0 Zeitgewichteter Mittelwert Schätzwert für Mittelwert (für einen Simulationslauf) Ergibt sich aus der Fläche der Zustandstrajektorie / Zeit s x = x i j ( x j * tx ) time j mit x i ist der Zustandswert und mit tx i sei die Zeit bezeichnet, die der Zustand x i gesetzt ist tx i T,

16 Konfidenzintervalle P(u u u 2 ) = γ Die Wahrscheinlichkeit, daß der Parameter u zwischen u und u 2 liegt beträgt γ oder Konfidenzintervall ist jenes Intervall [u, u 2 ], sodaß mit Wahrscheinlichkeit γ garantiert werden kann, daß der Parameterwert u in [u, u 2 ] liegt. Berechnung: mit z abhängig von Wahrscheinlichkeitsniveau γ (z =,64 für γ=90%, z =,96 für γ=95%, z = 2,58 für γ=99%, Beispiele: s x z, x + z n die mittlere Warteschlangenlänge ist mit 99 % Sicherheit zwischen [7.8, 9,2] s n die Auslastung der Verarbeitungseinheit liegt mit 95 % Sicherheit im Bereich [0.72, 0.84],2 Beispiel # $%&%' () *& + #, * *+ # -*./0( (23 # -*.0 (456 7,2,3,4 6,8,,3 5,5,7,5 4,9,2,2 # ) 7 8α9* µ &* '* ' 8' * 8α ''% *( # :9* ; (:25(;2; s 2 = 3 4 i= X X2 X3 X4 ( X i X ) s s X t3 ( 0.95), X + t3(0.95) = [3.7766,5.3484] = = = = *

17 Beispiel Konfidenzintervalle - Terminating versus Steady-State Simulation Zwei grundsätzliche Arten von Simulationsexperimenten: Terminating Simulation (Transientes Systemverhalten ) Es gibt eine definierten Anfang und ein definiertes Ende der Simulationsexperiments Bsp.: In einem Produktionsbetrieb von Beginn bis Ende des Arbeitstages Steady-State Simulation: Es gibt keinen definierten Anfang und kein Ende man ist vielmehr an einem durchschnittlichen Langzeitverhalten interessiert dabei bedeutet Steady-State nicht dass der Zustand stabil ist sonder dass sich die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von bestimmten Zuständen nicht mehr ändern!!! Steady-State-Simulation sind wesentlich schwieriger wann ist Steady-State erreicht?? Problem der Anlaufphase (welche stört und statistisch nicht signifikant ist) -+

18 Anlaufphase bei Simulationsexperimenten Simulationsexperimente durchlaufen gewöhnlich verschiedene Phasen Anfangszustand transiente Phase: Größen x stark von Zeit t abhängig stationäre Phase: Größen x nicht von Zeit t abhängig X transient stationär Transiente Phase am Anfang verfälscht statistische Ergebnisse diese solle in der statistischen Auswertung oft nicht berücksichtigt werden Heuristiken zur Bestimmung der transienten Phasen: über einen Zeitraum keine neuen (signifikaten) Minimas und Maximas (Ende der steigenden Phase) über längere Zeit keine größeren Veränderungen von x T -, AnyLogic: Zufallsverteilungen AnyLogic 4.5 bietet eine Reihe von Verteilungen als Klassen implementiert abgeleitet von... Objekte können zur Generierung von Zeiten bei von -Transitionen -.

19 AnyLogic: statistische Auswertung ist ein Modellelement zur Berechung von Statistiken Werte werden durch dem angefügt. Es wird über die Werte berechnet: Minimum und Maximum Mittelwert Varianz und Standardabweichung Konfidenzintervall für Mittelwert Histogramm (bei entsprechenden Einstellungen) Zeitgewichtete Statistik mit Einstellung -/ AnyLogic: Beispiel statistische Auswertung available von Resource für Statistik über Verfügbarkeit einer Resource!" wenn verfügbar #" wenn nicht verfügbar Auswertung als -Statistik mit entsprechenden Ergebnissen -0

20 AnyLogic: Steuerung der Simulationsexperimente $% -Dialog bietet Möglichkeiten zur Durchführung mehrerer Simulationsläufe Abbruch bei bestimmten Bedingungen Konfidenzintervall klein genug Erreichen eines Zustandswertes Benutzerdefinierte Bedingung Einstellung der Zufallszahlengeneratoren fixed seed random seed Optimierung - Simulation und Optimierung Kombination von (stochastischen, heuristischen) Optimierungsverfahren und Simulation Optimierung gibt beeinflußbare Parameter und Zielfunktion vor Simulation liefert die Ergebnisse für eine bestimmte Parametervariation Optimierungsverfahren variiert die Parameter entsprechend der Ergebnisse und initiiert neue Simulationsläufe Ergebnisse Zielfunktion Heuristisches Optimierungsverfahren Parameter Simulation -2

21 Optimierungsverfahren Methode des gleichförmigen Rasters reine stochastische Suche Simulated Annealing Methode des steilsten Anstieges (Hill- Climbing) Einzelfaktormethode Mutationsmethode (Genetische und Evolutionäre Algorithmen).* Zusammenfassung Simulation bedeutet Experimentieren mit Modellen, dabei handelt es sich häufig um Zufallsexperimente, d.h. bzgl. Experimentdesigns (welche Verteilung von Inputs) als auch bzgl. Interpretation der Outputs sind statistische Verfahren notwendig. Modellierer: Hypothese über die Verteilung von exogenen Parametern (Test z.b. Chi- Quadrat) Protokollierung von Kenngrößen und statistische Auswertung (Mittelwert, Varianz, Konfidenzintervalle) Simulationsprogrammierer: Wahl bzw. Implementierung eines Zufallszahlengenerators z.b. ein PMMLCG, der eine Uniforme Verteilung berechnet darauf basierend zur Verfügungstellung von gebräuchlichen Verteilungen, z.b. Poisson, Exponential, Normal etc..