7 Theorie der Eigenwertprobleme

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1 7 Theorie der Eigenwertprobleme 7.1 Definition und Eigenschaften SeiA n n.λ heißteigenwert(=rechtseigenwert) von A, wenn Ax = λx für ein x n \{0}. x ist dann Eigenvektor zu λ. λ ist daher genau dann Eigenwert, wenn die Matrix A λi singulär ist und damit das charakteristische Polynom von A φ(µ) = det(a µi) in λ eine Nullstelle besitzt. Die Größe σ(λ) = Vielfachheit der Nullstelle λ in φ heißt algebraische Vielfachheit von λ. Der Vektorraum heißt Eigenraum zu λ. Ferner heißt L(λ) = {x n : Ax = λx} ρ(λ) = diml(λ) geometrische Vielfachheit von λ. ρ(λ) ist die Zahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zu λ. heißt Spektrum von A. σ(a) = {λ : λ ist Eigenwert von A} Satz 7.1 (a) Ist p(µ) ein Polynom und gilt Ax = λx für ein x 0, so besitzt p(a) ebenfalls den Eigenvektor x zum Eigenwert p(λ). (b) λ ist genau dann Eigenwert von A, wenn λ Eigenwert von A H ist. Insbesondere: Ist die Matrix A reellwertig, so ist mit einem komplexen Eigenwert λ von A auch λ Eigenwert von A. (d) Die Determinante von A stimmt mit dem Produkt aller Eigenwerte von A überein. (c) Ähnliche Matrizen besitzen das gleiche charakteristische Polynom, also auch die gleichen Eigenwerte. Wenn B = T 1 AT und A besitzt den Eigenwert λ mit Eigenvektor x, so besitzt B den Eigenwert λ mit Eigenvektor T 1 x. Beweis: (a) Aus Ax = λx folgt A k x = λ k x und p(a)x = a m A m x+...+a 0 x = p(λ)x. (b) det(a H λi) = det(a λi) H = det(a λi). (c) In φ(µ) = det(a µi) = ( 1) n (µ λ 1 )...(µ λ n ) setze man µ = 0. (d) Mit dem Determinantenmultiplikationssatz folgt det(b λi) = det(t 1 AT λi) = det ( T 1 (A λi)t ) = dett 1 det(a λi)dett = det(a λi). Ferner gilt BT 1 x = T 1 Ax = T 1 (λx) = λt 1 x. 62

2 Beispiel 7.2 Das Jordan-Kästchen der Länge ν zum Eigenwert λ ist definiert durch λ (7.1) C ν (λ) =... 1 ν ν. 0 λ Wegen det(c ν (µ) λi) = (µ λ) ν ist λ Eigenwert mit σ(λ) = ν, aber x = e 1 ist einziger Eigenvektor von C ν, also ρ(λ) = 1. Damit ist gezeigt, dass algebraische und geometrische Vielfachheit nicht übereinstimmen müssen. Lemma 7.3 Es gilt ρ(λ) σ(λ). Beweis: Sei ρ = ρ(λ) und x 1,...,x ρ seien die linear unabhängigen Eigenvektoren von A zu λ. Ergänze x 1,...,x ρ durch x ρ+1,...,x n zu einer Basis des n. Sei T = [x 1 x n ]. Für 1 i ρ gilt Te i = x i und damit T 1 x i = e i, also T 1 ATe i = T 1 Ax i = T 1 (λx i ) = λe i, 1 i ρ. Also gilt T 1 AT = λ λ 0 und damit det(t 1 AT µi) = (λ µ) ρ detr(µ). 7.2 Die Jordansche Normalform Es sei an die Definition des Jordan-Kästchens C ν (λ) in (7.1) erinnert. Satz 7.4 Sei A n n, λ 1,...,λ k seien die Eigenwerte von A mit geometrischen bzw. algebraischen Vielfachheiten ρ(λ i ) und σ(λ i ). Zu edem λ i gibt es Zahlen ν (i) 1,...,ν(i) ρ(λ i ) mit σ(λ i ) = ν (i) ν (i) ρ(λ i ) und eine reguläre Matrix T n n mit J = T 1 AT, C (1) ν (λ 1 ) C (1) ν (λ 1 ) ρ(λ J = 1 ) C (2) ν (λ 2 ) C ν (k) (λ k ) ρ(λ k ) J ist bis auf die Reihenfolge der Jordan-Kästchen eindeutig bestimmt. 63

3 Beweis: Den Beweis findet man in edem Lehrbuch der linearen Algebra. Entsprechend den Jordan-Kästchen partitionieren wir die Matrix T T = [ T (1) 1... T (1) T (2) 1... T (k) ρ(λ k )]. Wegen AT = TJ folgt Mit erhalten wir oder (A λ i I) [ t 1... t ν (i) ρ(λ 1 ) AT (i) = T (i) C (i) ν (λ i ). T (i) = [ t 1... ] t (i) ν ] = [ t1... t ν i ] = [ 0 t 1... ] t ν i (7.2) (A λ i I)t m = t m 1 für m = ν (i),...,2, (A λ i I)t 1 = 0. Mansagtauch:DieVektorent 1,...,t ν (i) bildeneinejordan-kette.t 1 isteineigenvektor,t 2,...,t ν (i) heißen Hauptvektoren. Die Spalten von T bestehen daher aus Eigen- und Hauptvektoren von A. Da T regulär ist, bilden die Eigen- und Hauptvektoren eine Basis des n. Die Eigenwerte hängen als Nullstellen eines Polynoms stetig von den Koeffizienten und damit auch von den Elementen der Matrix ab. Besitzt A ein Jordan-Kästchen der Länge ν > 1, so zerfällt dieses im Allgemeinen, wenn die Matrix gestört wird. Die Jordansche Normalform lässt sich daher numerisch nur schwer bestimmen. Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn für alle Eigenwerte λ i gilt ρ(λ i ) = σ(λ i ). Wenn man dann mehrfache Eigenwerte auch mehrfach zählt, folgt wegen ν (i) = 1, J = λ λ n Anders ausgedrückt: Im diagonalisierbaren Fall gibt es eine Basis aus Eigenvektoren {x 1,...,x n } und die Matrix T hat die Gestalt T = [x 1... x n ] Die Schursche Normalform Wir nannten eine Matrix T unitär, wenn T H T = TT H = I. Sowohl die Zeilen als auch die Spalten einer solchen Matrix bilden eine Orthonormalbasis des n. Satz 7.5 Zu A n n gibt es eine unitäre Matrix U mit λ 1... U H AU = λ n wobei auf der Diagonale die nicht notwendig verschiedenen Eigenwerte von A stehen. 64

4 Beweis: durch vollständige Induktion über n. Für n = 1 ist u 11 = 1. Sei der Satz für alle Matrizen der Dimension n 1 richtig. Sei λ 1 ein Eigenwert von A mit Ax 1 = λx 1 und x 1 = 1. Ergänze x 1 durch x 2,...,x n zu einer Orthonormalbasis des n. Die Matrix X = [x 1... x n ] ist dann unitär mit X H AXe 1 = X H Ax 1 = X H (λx 1 ) = λ 1 e 1 oder [ ] X H λ1 a AX =. 0 A 1 Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine unitäre Matrix U 1 (n 1) (n 1) mit λ 2 U1 H A 1 U 1 = λ n Die Matrix [ 1 0 U = X 0 U 1 ist als Produkt zweier unitärer Matrizen unitär. Weiter gilt U H AU = [ U H 1 ] X H AX [ U 1 ] ] = λ λ n. 7.4 Hermitesche Matrizen Satz 7.6 Ist A n n hermitesch, so gibt es eine unitäre Matrix U = [x 1,...,x n ], deren Spalten aus Eigenvektoren besteht, mit λ 1 0 U 1 AU = U H AU = λ n mit reellen Eigenwerten λ 1,...,λ n. Damit ist A diagonalisierbar und die Eigenvektoren bilden eine Orthogonalbasis des n. Ordnet man die Eigenwerte so mit dem Rayleigh-Quotienten λ 1 λ 2... λ n, λ n = max x n \{0} R(x), λ 1 = min x n \{0} R(x), R(x) = (Ax,x) (x,x). Ist A reell und damit symmetrisch, so können die Eigenvektoren reell gewählt werden. 65

5 Beweis: Nach Satz 7.5 gibt es eine unitäre Matrix U, so dass U H AU eine rechte obere Dreiecksmatrix ist. Wegen A = A H gilt (U H AU) H = U H A H U = U H AU und U H AU = D ist eine reelle Diagonalmatrix. Aus AU = UD folgt, dass U aus den Eigenvektoren von A besteht und in D die zugehörigen Eigenwerte stehen. Wir normieren die Eigenvektoren x i zu x i = 1 und entwickeln x n x = α i x i. Wegen (x i,x ) = δ i gilt (Ax i,x ) = λ i δ i und (7.3) R(x) = n α i 2 λ i n α i 2 λ n n α i 2 n α i 2 = λ n. Andererseits gilt R(x n ) = λ n. Das Maximum des Rayleigh-Quotienten wir daher auf dem Eigenvektor x n angenommen. Korollar 7.7 Eine hermitesche Matrix ist genau dann positiv (semi)definit, wenn alle Eigenwerte von A positiv (nichtnegativ) sind. Dann gilt λ 1 x 2 (Ax,x) λ n x 2 für alle x n. Auch für die Eigenwerte λ 2,...,λ n 1 gibt es Charakterisierungen durch den Rayleigh-Quotienten: Satz 7.8 Sei A n n hermitesch mit Eigenwerten λ 1... λ n und zugehörigen Eigenvektoren x 1,...,x n. (a) (Rayleighsches Minimumprinzip) Mit ist E i = span{x 1,...,x i }, E 0 = {0}, λ i = min{r(x) : x E i 1, x 0} und das Minimum wird auf einem Vektor des Eigenraums von λ i angenommen. (b) (Minmax-Prinzip von Poincaré) Es gilt λ i = min max {R(x)} dim M=ix M\{0} und das Minimum wird auf M für i erste Eigenvektoren von A angenommen. (c) (Maxmin-Prinzip von Courant-Hilbert-Fischer) Es gilt λ i = max min{r(x) : x M, x 0} dimm i 1 und das Maximum wird auf M für i 1 erste Eigenvektoren von A angenommen. Bemerkung 7.9 Die etwas schwammig anmutende Formulierung, dass eine Extremum auf den ersten Eigenvektoren angenommen wird, ist der Tatsache geschuldet, dass im Falle mehrfacher Eigenvektoren die Extrema nicht eindeutig angenommen werden (siehe Beweis). 66

6 Beweis: (a) Ist x E i 1, so x = n =i α x und man schließt wie in (7.3), dass λ i das Minimum des Rayleigh-Quotienten über solche x ist. Ist λ i > λ i 1, so gilt für eden Eigenvektor x i zu λ i, dass λ i = R(x i ). Ist λ i = λ i 1, so orthogonalisieren wir einen Eigenvektor von λ i an die bereits gefundenen. Für diesen Eigenvektor x i gilt dann wieder λ i = R(x i ). (b) Sei M ein i-dimensionaler Teilraum des n. Aus Dimensionsgründen gibt es ein y M, y 0, mit y E i 1 = span{x 1,...,x i 1 }. Nach dem Rayleighschen Minimumprizip gilt dann R(y) λ i. Für M = span{x 1,...,x i } gilt max x M R(x) = R(x i ) = λ i. (c) Für i = 1 ist die Behauptung richtig, sei also i > 1. Wir setzen für Unterräume M mit dimm i 1 h(m) = min{r(x) : x 0, x M}. Nach dem Rayleighschen Minimumprinzip gilt h(e i 1 ) = λ i und damit max M h(m) λ i. Ist dimm i 1 und M E i 1, so gibt es einen Vektor y in E i 1 \{0} mit y M. Für diesen ist dann R(y) λ i 1. Im Gegensatz zum Rayleighschen Minimumprinzip lassen sich mit (b) und (c) Aussagen über höherer Eigenwerte treffen, ohne die niedrigen zu kennen. Beispiele 7.10 (i) Sind A,B Ê n n symmetrisch mit (Ax,x) (Bx,x) für alle x Ê n, so gilt nach (b) oder (c) λ i (A) λ i (B) für alle i = 1,...,n. (ii) Ist A Ê n n symmetrisch mit a i 0 und A 0, so ist der größte Eigenwert positiv und man kann den zugehörigen Eigenvektor nichtnegativ wählen. Wenn nämlich x ein Eigenvektor zum größten Eigenwert ist, so gilt für x = ( x 1,..., x n ), dass R(x) R( x). Ferner ist R(1,...,1) > 0, daher λ n > Eigenwertnäherung bei hermiteschen Matrizen Satz 7.11 Sei A n n hermitesch. Wenn für λ Ê und x n mit x = 1 gilt so gibt es einen Eigenwert λ i von A mit Ax λx ε, λ λ i ε. Beweis: Seien λ i Ê die Eigenwerte von A mit (x i,x ) = δ i. Da {x i } eine Basis bilden, gilt für x n mit x = 1 x = ( α i x i, 1 = x 2 = α i x i, i α x ) = α i 2 sowie ( Ax λx 2 = λ i α i x i λα i x i, i λ α x λα x ) = α i (λ i λ) 2 ε 2. Daher min λ λ 2 = min λ λ 2 α i 2 α i (λ i λ) 2 ε 2. Die numerische Berechnung der Eigenwerte einer hermiteschen Matrix ist daher ein gutartiger Algorithmus. 67

7 7.6 Normale Matrizen Eine Matrix A n n heißt normal, wenn AA H = A H A. Das wichtigste Beispiel für normale Matrizen sind unitäre Matrizen. Satz 7.12 Eine Matrix ist genau dann normal, wenn es eine unitäre Matrix U gibt mit λ 1 0 U 1 AU = U H AU = λ n Bemerkung 7.13 Normale Matrizen sind daher diagonalisierbar und besitzen orthogonale Eigenvektoren. Beweis: Sei A normal. Nach Satz 7.5 ist U H AU = R mit einer rechten oberen Dreiecksmatrix R. Dann Damit gilt RR H = U H AUU H A H U = U H AA H U = U H A H AU = (U H A H U)(U H AU) = R H R. (R H R) 11 = r 11 2 = (RR H ) 11 = r 1k 2, daher r 1k = 0 für k 2. Durch wiederholte Anwendung dieses Arguments erschließt man, dass R eine Diagonalmatrix ist. Sei nun umgekehrt U H AU = diag(λ 1,...,λ n ) = D. Dann gilt A = UDU H und mit D 2 = diag( λ 1 2,..., λ n 2 ) A H A = UD H U H UDU H = U D 2 U H = AA H. k=1 7.7 Singuläre Werte In diesem Abschnitt betrachten wir nicht notwendig quadratische Matrizen A m n. Die Matrizen A H A und AA H sind dann positiv semidefinit wegen Die Eigenwerte von A H A sind (A H Ax,x) = (Ax,Ax) = Ax 2 0. λ 1 λ 2... λ n 0. Wie in der Theorie der singulären Werte üblich, bezeichnen wir hier den kleinsten Eigenwert mit λ n. Lemma 7.14 Seien A,B m n. Dann besitzen AB H m m und B H A n n abgesehen von λ = 0 die gleichen Eigenwerte: σ(ab H )\{0} = σ(b H A)\{0}. Beweis: Für v 0 sei AB H v = λv mit λ 0. Dann ist B H v 0 und wegen (B H A)B H v = λb H v. auch Eigenvektor von B H A zum Eigenwert λ. Die andere Richtung zeigt man genauso mit dem Eigenwertproblem für B H A. 68

8 Wir schreiben λ k = σ 2 k mit σ k 0. Die Zahlen σ 1 σ 2... σ n 0 heißen singuläre Werte von A. Aufgrund des obigen Lemmas besitzen A H A und AA H die gleichen nichtverschwindenden singulären Werte. Für x = 1 ist Ax = R(x) mit dem Rayleighquotienten R zu A H A. Nach Satz 7.4 gilt dann Für m = n und A regulär folgt hieraus Ax σ 1 = A = max x n \{0} x, Ax σ n = min x n \{0} x. κ(a) = A A 1 = σ 1 σ n. Im Fall m = n gibt σ n den Abstand zur nächsten singulären Matrix an: Satz 7.15 Seien A,E n n. A besitze die singulären Werte σ 1... σ n 0. Dann gilt: (a) E σ n, falls A+E singulär. (b) Es gibt eine Matrix E mit E = σ n, so dass A+E singulär ist. Beweis: (a) Sei A+E singulär, also (A+E)x = 0 für x 0. Dann σ n x Ax = Ex E x. (b) Sei σ n > 0. Dann gibt es u,v n u = v = 1 mit Für E = σ n vu H gilt dann Wegen (a) folgt E = σ n. Au = σ n, v = 1 σ n Au. (A+E)u = Au σ n v(u H u) = Au σ n v = 0, E = σ n vu H = σ n max x =1 v(uh x) σ n v u = σ n. Satz 7.16 (Singulärwertzerlegung) Sei A m n. Dann gibt es eine unitäre m m-matrix U, eine unitäre n n-matrix V mit [ ] U H D 0 AV = Σ =, D = diag(σ 0 0 1,...,σ r ), wobei σ 1,...,σ r die nichtverschwindenden singulären Werte von A sind. A = UΣV H heißt Singulärwertzerlegung von A. 69

9 Beweis: Wir zeigen dies durch Induktion über m und n, d.h. wir nehmen für die Singulärwertzerlegung eines A m n an, dass die Singulärwertzerlegung für Matrizen B (m 1) (n 1) existiert. Zur Induktionsverankerung müssen wir daher den Fall A m 1 betrachten. Ist A = 0, so ist Σ = 0 und als U und V können wir beliebige unitäre Matrizen nehmen. Für A 0 wählen wir eine unitäre Matrix U m m mit erster Spalte A/ A, Σ = A e 1 m 1 sowie V = Dann gilt offenbar A = UΣV. Den Fall A 1 n behandelt man ganz analog. Sei A m n. Wenn A = 0, so ist Σ = 0 und für U und V können wir wieder beliebige unitäre Matrizen wählen. Sei also A 0. Wegen A = max v =1 Av gibt es einen Vektor v mit v = 1 und Av = A = σ > 0. Ferner setze u = Av/ Av. Wir ergänzen v und u zu unitären Matrizen V = [v V 1 ] n n und U = [u U 1 ] m m. Dann gilt [ ] [ ] [ ] u H u H σ w H à = U H AV = [Av AV 1 ] = [σu AV 1 ] = 0 A 1 U H 1 mit w = V1 HAH u und A 1 = U1 HAV 1 (m 1) (n 1). Aus ( ) ( ) σ 2 σ 2 +w H w 2 à = (σ 2 + w 2 ) 2 w A 1 w folgt à 2 σ 2 + w 2. Andererseits ist und daher w = 0. Damit besitzt σ 2 = A 2 = ρ(a H A) = ρ(vãh U H UÃV H ) = ρ(ãh Ã) = à 2, à die Gestalt [ σ 0 0 A 1 Nach unserer Induktionsvoraussetzung existiert die Singulärwertzerlegung von A 1. Der Beweis zeigt auch, dass man zu einer reellen Matrix eine reelle Singulärwertzerlegung A = UΣV T bekommen kann mit orthogonalen Matrizen U und V. Ist A = UΣV H so folgt ] U H 1 A H = VΣ T U. Die nichtverschwindenden singulären Werte von A und A H stimmen überein (vergleiche obiges Lemma). Aus dieser Darstellung der Singulärwertzerlegung von A H folgt auch A H A = VΣ T ΣV H, AA H = UΣΣ T U H. Damitbilden{v 1...,v n }bzw.{u 1,...,u m }OrthonormalsystemevonEigenvektorenvonA H Abzw. AA H. Beispiel 7.17 Wir bestimmen die Singulärwertzerlegung der Matrix ( ) A = Ê Um weniger rechnen zu müssen, bestimmen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der kleineren Matrix AA T Ê 2 2 ( ) 1 1 ( ) AA T 2 1 = 1 0 =

10 Die Eigenwerte sind λ 1 = 3 mit Eigenvektor x 1 = (1,1) T und λ 2 = 1 mit (1, 1) T. Entsprechend bekommen wir 1 1 ( ) A T A = 1 0 = Neben λ 1 = 3 und λ 2 = 1 gibt es hier noch den Eigenwert λ 3 = 0 mit Eigenvektoren λ 1 = 3 : y 1 = 1, λ 2 = 1 : y 2 = 1, λ 3 = 0 : y 3 = 1. 1 In A = UΣV H wird U aus den Eigenvektoren von AA T und V aus den Eigenvektoren von A T A gebildet. Daher ( )( ) 2/ 6 1/ 6 1/ 6 A = UΣV H = / 2 1/ 2 1/ 3 1/ 3 1/ Satz 7.18 Sei A = U H ΣV die Singulärwertzerlegung von A mit singulären Werten σ 1... σ r > σ r+1 =... = σ min{m,n} = 0 und Matrizen U = [u 1... u m ], V = [v 1... v n ], so ist (a) r der Rang von A, (b) Kern(A) = {x n : Ax = 0} = span{v r+1,...,v n }, (c) Bild(A) = {Ax : x n } = span{u 1,...,u r }, (d) A = r σ i u i v H i = U r Σ r V H r mit U r = [u 1... u r ], V r = [v 1... v r ], Σ r = diag(σ 1,...,σ r ), (e) A 2 = m =1 a i 2 = r σi. 2 Beweis: (a) Die Multiplikation mit den regulären Matrizen U H und V ändern den Rang von A nicht, daher RangA =RangΣ = r. (b) Wegen V H v i = e i ist Also gilt Av i = UΣV H v i = UΣe i = 0 für i = r +1,...,n. v r+1,...,v n Kern(A). Da dim Kern(A) = n r bilden diese Vektoren eine Basis von Kern(A). (c) Wegen A = UΣV H ist Bild(A) = U Bild(Σ) = U span{e 1,...,e r } = span{u 1,...,u r }. (d) Durch Ausmultiplizieren erhalten wir A = UΣV H = [u 1... u m ]Σ 71 v H 1. v H n = r σ i u i vi H.

11 (e) Mit A = [a 1... a n ] erhalten wir wegen Ux = x A 2 = a i 2 = U H a i 2 = U H A 2. Mit den Zeilen von U H A kann man genauso argumentieren, daher A 2 = U H AV 2 = Σ 2 = r σi Spektralradius und induzierte Matrizennormen Satz 7.19 Sei V eine Vektornorm auf n und V V die induzierte Matrix-Norm. Dann gilt für A n n λ A V V für alle Eigenwerte λ von A. Beweis: Aus Ax = λx folgt Ax V = λ x V und λ Ax V x V A V V. Wir erinnern daran, dass wir mit ρ(a) = max i λ i den Spektralradius der Matrix A bezeichnen. Nach dem letzten Satz gilt daher ρ(a) A V V. Es muss nicht unbedingt eine induzierte Matrixnorm mit ρ(a) = A V V geben. Als Beispiel wählen wir für A das Jordan-Kästchen C 2 (0) 2 2. Es gilt ρ(j 2 (0)) = 0, aber es ist J 2 (0) 0. Das folgende Resultat ist daher nicht zu verbessern. Satz 7.20 Zu eder Matrix A n n und edem ε > 0 gibt es eine Vektornorm V mit A V V = ρ(a)+ε. Beweis: Nach Jordan gibt es eine reguläre Matrix T mit TAT 1 = J = diag(c ν i (λ i )) mit Sei D ε = diag(1,ε,ε 2,...,ε ν 1 ). Dann λ C ν (λ) =. =: λi +E λ D 1 ε C ν (λ)d ε = D 1 ε (λi +E)D ε = λi +D 1 ε ED ε. Mit ε ε ED ε = = ε ν ε ν

12 folgt Also können wir äquivalent schreiben 0 ε 0 Dε ED ε =... ε 0 0 (7.4) TA T 1 = J, wobei die Jordan-Kästchen von J in der Nebendiagonalen ε statt 1 stehen haben. Ist S n n regulär, so ist eine Vektornorm mit induzierter Matrixnorm x S = Sx Ax S SAx A S S = sup = sup x 0 x S x 0 Sx SAS 1 x = sup = SAS 1. x 0 x Mit (7.4) folgt daher A T T = J ρ(a)+ε. 7.9 Der Rayleigh-Quotient bei allgemeinen Matrizen Satz 7.21 (Hausdorff, Bendixson) Sei A n n und R(x) = (Ax,x) (x,x) der Rayleigh-Quotient zu A. Ferner bezeichne G(A) den Wertebereich von R(x) für x n. Dann gilt: (a) G(A) ist konvex und enthält die Eigenwerte von A. (b) Ist A normal, so ist G(A) die konvexe Hülle der Eigenwerte von A. (c) Mit H 1 = 1 2 (A+AH ), H 2 = 1 2i (A AH ) sind H 1,H 2 hermitesch mit A = H 1 +ih 2. Für eden Eigenwert λ von A gilt dann Beweis: (a) Für Ax = λx, x 0, ist λ min (H 1 ) Reλ λ max (H 1 ), λ min (H 2 ) Imλ λ max (H 2 ). (7.5) R(x) = (Ax,x) (x,x) = λ. Die Konvexität von G(A) benötigen wir im Folgenden nicht. Auf den schwierigen Beweis soll daher verzichtet werden. 73

13 (b) Für eine normale Matrix haben wir die Darstellung A = U H DU mit einer unitären Matrix U und einer Diagonalmatrix D = diag(λ 1,...,λ n ). Dann { } { } (DUx,Ux) (Dy,y) G(A) = : x 0 = : y 0. (Ux,Ux) (y,y) Der Wertebereich von G(A) besteht daher genau aus der konvexen Hülle der Eigenwerte. (c) Wegen (7.5) folgt (Ax,x) Reλ maxre x 0 (x,x) = maxre x 0 = max x 0 ((A+A H )x,x) 2(x, x) = max x 0 Für den Imaginärteil beweist man das ganz genauso. i a ix x i (x,x) (Hx, x) (x,x). = max x 0 (Ax,x)+(x,Ax) 2(x, x) 7.10 Gerschgorin-Kreise Lemma 7.22 Seien A,B n n und λ sei Eigenwert von A, aber nicht von B. Dann gilt für ede induzierte Matrixnorm 1 (λi B) 1 (A B) (λi B) 1 A B. folgt Beweis: Aus und damit (A B)x = (λi B)x x = (λi B) 1 (A B)x x V (λi B) 1 (A B) x V. Wir wenden das Lemma an auf die Vektornorm x = max 1 i n x i mit der Zeilensummennorm als zugehöriger Matrixnorm, Ax A = A = sup = max x 0 x 1 i n Mit B = diag(a 11,...,a nn ) erhalten wir aus dem letzten Lemma Damit haben wir gezeigt: 1 (λi B) 1 1 (A B) = max 1 i n λ a ii Satz 7.23 (Gerschgorin) Die Vereinigung der Kreissscheiben K i = { µ : µ a ii enthält alle Eigenwerte der Matrix A n n. k=1, k i a ik. k=1 k=1, k i } a ik Zusatz Wenn k =1 K i eine Zusammenhangskomponente von i K i bildet, so liegen in dieser genau k Eigenwerte. 74 a ik.

14 Beweis: Schreibe A = D +R mit D diagonal und R ii = 0. In A(t) = D +tr, t [0,1], hängen die Eigenwerte von A(t) stetig von t ab. Sie können daher k =1 K i (t) nicht verlassen. Man kann die Gerschgorin-Kreise auch auf A T anwenden. Demnach liegen die Eigenwerte auch in den Kreisen um a ii mit einem Radius, der aus den Elementen der i-ten Spalte gebildet wird. Eine andere Möglichkeit besteht in der Anwendung der Gerschgorin-Kreise auf D 1 AD mit einer Diagonalmatrix D = diag(d 1,...,d n ), K i = {µ : µ a ii a ik d k d i }. k=1, k i In edem Fall erhält man vernünftige Abschätzungen nur für Matrizen mit großen Diagonalelementen. Beispiel 7.24 A n n heißt (strikt) diagonaldominant, wenn a ik < a ii für 1 i n. k=1, k i Nach dem Satz von Gerschgorin ist eine diagonaldominante Matrix regulär Abschätzungen von Nullstellen von Polynomen Zum Polynom p(λ) = a n λ n +a n 1 λ n a 0, a n 0, gehört die Frobeniusmatrix 0 γ F = , γ i = a i, a... n γ n 1 denn wenn wir det(f λi) nach der letzten Spalte entwickeln, erhalten wir det(f λi) = 1 a n ( 1) n p(λ). Damit können alle Eigenwertabschätzungen für die Abschätzung von Nullstellen von Polynomen herangezogen werden. Der Satz von Gerschgorin angewendet auf F oder F H liefert beispielsweise { a ( 0, (a) λ k max max 1+ a )} i, a n 1 i n 1 a n { (b) λ k max 1, n 1 a } i. a n i=0 Beispiel 7.25 Für das Polynom p(λ) = λ 3 6λ 2 +11λ 6 erhalten wir (a) max{6,1+ a i } = 12, (b) max{1,23} = 23. Die Nullstellen sind λ 1,2,3 = 1,2,3. 75