wie in statischen Bayesianischen Spielen...

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1 KAP 17. Dynamische Spiele unter unvollständiger Information Betrachten nun folgende Situation: wie in statischen Bayesianischen Spielen wählt zunächst Natur die Typen der Spieler doch dann ziehen die Spieler sequentiell Ein solches Spiel heisst Dynamisches Spiel unter unvollständiger Information 1

2 KAP 17. Dynamische Spiele unter unvollständiger Information Beschreibung von Dynamischen Spielen unter unvollst. Info: extensives Spiel mit Zufallszug Lösungskonzept: PBG doch nun: beim Aktualisieren der Beliefs auch noch Wkten berücksichtigen, mit denen Natur zieht 2

3 3 Beispiel 1: Markteintritt (0, 4) ne q [D] e t M a N (0, 4) 1 q [H] E ne e t M a (2, 2) ( 2, 2) (2, 2) ( 2, 3) Beachte: M entscheidet unter vollkommener Information: Also optimale Strategie: σm (D) = t, σ M (H) = a Betrachte E Wkt, dass er sich links befindet: q Also: e liefert q 2 + (1 q) ( 2); ne liefert 0 Damit: Optimale Strategie: σ E = e q 1/2

4 4 Bemerkung Beispiel 1 ist aus zwei Gründen sehr einfach und speziell (a) E zieht vor M (b) E hat keine private Information Wegen (a): die Entscheidung von M beeinflusst nicht wo sich E im Spielbaum befindet E muss beim Updaten seiner Beliefs nur die Wkt q berücksichtigen... aber nicht die Strategie von M Wegen (b): M wählt unter vollkommener Information

5 5 Signalisierungs-Spiele Wir betrachten nun Spiele, in denen ein Spieler mit privater Information zuerst zieht und die nachfolgenden Spieler dessen Aktionen beobachten können Solche Spiele nennt man Signalisierungs-Spiele

6 6 Signalisierungs-Spiele In Signalisierungs-Spielen offenbart der Zug des zuerst ziehenden Spielers Information über seinen Typ... (denn wie er zieht, hängt ja von seinem Typ ab) Die nachfolgenden SP werden ihre Beliefs aktualisieren und ihr Verhalten entsprechend anpassen Der zuerst ziehende Spieler antizipiert aber den Informationsseffekt seines Zuges auf die anderen Spieler und wird diesen in sein strategisches Kalkül mit einbeziehen

7 7 Bsp 2: Ausbildung als Intelligenz-Signal Spieler und Typen ein Arbeiter, SP1, ein Arbeitgeber, SP2 SP1 kann entweder intelligent sein oder nicht: t 1 {H,L} Mit Wkt p t ist er vom Typ t [SP2 hat keine priv Info] Spielregeln Natur zieht den Typ von SP1 SP1 beobachtet seinen Typ, aber nicht SP2 SP1 entscheidet, ob er an die Uni geht oder nicht: a 1 {u,nu} SP2 beobachtet die Wahl von SP1 und entscheidet ob er SP1 einstellt oder nicht a 2 {j,n}

8 8 Bsp 2: Ausbildung als Intelligenz-Signal Nutzen An die Uni zu gehen, hat Kosten c t für SP1 (Zeit, Büffeln...) Da H-Typ intelligenter, gilt: c H < c L!! Wird SP1 eingestellt: SP1 erhält Lohn w > 0 SP2 erzielt Gewinn v t w [unabhg. von u oder nu!] Da H-Typ intelligenter, gilt: v H > v L!! Wird SP1 nicht eingestellt, so erhält SP1 den Lohn 0, und SP2 erzielt den Gewinn 0 Annahme: A1: v L w < 0 < v H w, A2: w c L < 0 < w c H

9 Behauptung: Die folgenden Strategien und Beliefs bilden ein PBG des Ausbildungsspiels: 9 SP1: Gehe an die Uni, wenn Typ H: σ 1 (H) = u Gehe nicht an die Uni, wenn Typ L: σ1 (L) = nu SP2: Wenn SP1 an der Uni war, stelle ihn ein σ 2 (u) = j Wenn SP1 nicht an der Uni war, stelle ihn nicht ein σ 2 (nu) = n Beliefs von SP2 Wenn SP1 an der Uni war: µ u H = 1, µu L = 0 Wenn SP1 nicht an der Uni war: µ nu H = 0, µnu L = 1

10 10 Verifikation: Verhält sich SP1 rational, gegeben σ 2 Typ H u liefert w c H, nu liefert 0 A2 σ1 (H) = u optimal Typ L u liefert w c L, nu liefert 0 A2 σ1 (L) = nu optimal

11 11 Verifikation: Verhält sich SP2 sequentiell rational? Sei µ wie in der Behauptung gegeben Beobachtet SP2 Aktion u, dann glaubt er, dass SP1 vom Typ H ist j liefert v H w, n liefert 0 A1 σ2 (u) = j ist optimal Beobachtet SP2 Aktion nu, dann glaubt er, dass SP1 vom Typ L ist j liefert v L w, n liefert 0 - A1 σ2 (nu) = n ist optimal

12 12 Verifikation: Sind die Beliefs von SP2 Bayesianisch konsistent? Sei σ 1 gegeben Betrachte Info-Menge, nachdem SP1 u gespielt hat Die bedingte Wkt, dass SP1 vom Typ H gegeben diese Info-Menge wird erreicht, ist: µ u H = p H Pr[ H spielt u ] p H Pr[ H spielt u ] + p L Pr[ L spielt u ] Unter σ 1 gilt: Pr[ L spielt u ] = 0 Also: µu H = 1 Für Info-Menge, nachdem SP2 nu gespielt hat: analog Damit alles gezeigt

13 13 Bemerkung Das soeben hergeleitete GG heisst separierendes GG In einem separierenden GG spielen verschiedene Typen verschiedene Aktionen Der nachfolgende Spieler kann also den Typ eindeutig identifizieren Man sagt: Die Typen offenbaren bzw. enthüllen sich Um die Logik hinter einem separierenden GG zu verstehen, machen wir das folgende Gedankenexperiment

14 14 Gedankenexperiment: Nimm an, es gäbe keine Universität SP2 muss direkt entscheiden, ob er einstellt oder nicht j liefert p H (v H w) + p L (v L w), n liefert 0 Also: Nicht einstellen optimal wenn p L relativ gross Nimm an, das ist der Fall Der H-Typ würde gerne eingestellt werden und könnte argumentieren ich bin ein H-Typ; wenn Du mich einstellst, machst Du Gewinn Das Problem ist: Der L-Typ würde auch gerne eingestellt werden und könnte das gleiche behaupten

15 15 Gedankenexperiment SP1 wird entgegnen: jeder kann behaupten, dass er ein H-Typ ist ich will Beweise sehen! und zwar so: Um mir zu beweisen, dass du ein H-Typ bist, musst du eine Aktion wählen, die nur für den H-Typ profitabel ist aber unprofitabel für den L-Typ In unserem Bsp ist dies die Aktion u MaW: Wahl u signalisiert glaubwürdig, dass SP1 ein H-Typ ist denn wäre er ein L-Typ, dann wäre ihm u zu teuer

16 16 Anreizverträglichkeit Die Aktion u erfüllt also folgende Bedingung Gegeben, Einstellen folgt auf u, dann (a) Der H-Typ hat einen Anreiz, u zu wählen (b) Der L-Typ hat keinen Anreiz, u zu wählen Diese Bedingung nennt man Anreizverträglichkeitsbedingung für ein separierendes GG Ann A2 gewährleistet Anreizverträglichkeit Ist A2 verletzt, gibt es kein separierendes GG (siehe unten)

17 17 Pooling GG in Bsp 2 A2 ist aber nur eine notwendige keine hinreichende Bedingung für ein sep. GG In der Tat: es gibt ein PBG in Bsp 2, in dem beide Typen nu wählen: σ1 (H) = nu, σ 1 (L) = nu Falls p L groß, dann σ 2 (u) = σ 2 (nu) = n Falls p L klein, dann σ 2 (u) = σ 2 (nu) = j Beliefs: µ H = p H, µ L = p L für beide Info-Mengen Selber verifizieren Ein GG, in dem alle Typen dieselbe Aktion wählen heisst Pooling-GG

18 18 Pooling GG in Bsp 2 In Bsp 2 ist das Pooling GG nicht unbedingt plausibel... - (aus Gründen, die wir nicht behandeln) -... aber immerhin eine theoretische Möglichkeit Wir hatten gesagt: A2 ist eine notwendige Bedingung für ein separierendes GG Um das deutlicher zu machen, betrachten wir Bsp 2, wenn A2 verletzt ist

19 19 Bsp 2, wenn A2 verletzt ist Nimm nun an, dass gilt: w c H > 0 und w c L > 0 Beh: Dann wählen in jedem PBG beide Typen dieselbe Aktion - d.h. es gibt nur ein Pooling-GG Bew: Nimm an, es gibt ein GG mit σ 1 (H) = u und σ 1 (L) = nu Wegen Bayesianischer Konsistenz muss dann SP2 glauben, dass SP1 ein H-Typ ist, wenn er u beobachtet (und also SP1 einstellen)... SP1 ein L-Typ ist, wenn er nu beobachtet (und SP1 nicht einstellen) Dann hätte aber der L-Typ einen Anreiz abzuweichen: denn u liefert w c L > 0, ; nu liefert 0 (Wid-spr. zu σ 1 (L) = nu)

20 Bsp 2, wenn A2 verletzt ist Gleiches Argument: es gibt kein GG mit σ 1 (H) = nu, und σ 1 (L) = u Das Beispiel illustriert: Wenn c L klein ist dann wird der L-Typ den H-Typ imitieren... und es kann zu keiner Separierung der Typen kommen Allgemeiner gesprochen gilt - Wenn die Aussendung des Signals relativ billig ist -... kann es zu keiner Separierung der Typen kommen -... weil ein Signal nicht glaubwürdig ist und nichts bedeutet 20

21 21 Bemerkung Man kann Bsp 2 erweitern und den Lohn w endogenisieren d.h. der Lohn wird auf einem kompetitiven Arbeitsmarkt gebildet Das resultierende Modell ist das Spence-Modell - (die zugrunde liegende Logik bleibt gleich) Signalisierungs-Phänomene kann man ständig beobachten Konsum von Luxusgütern signalisiert Reichtum und resultiert in hohem Status Damit es zu Separierung kommt... - müssen Luxusgüter also teuer sein (sonst A2 verletzt)

22 22 Signalisierungs-Phänomene Moden und Trends wie kommt es zu konformem Verhalten? Herden-Verhalten in Gruppen kann als Pooling GG erklärt werden Werbung Biologie: Phänotyp als Signal für Genotyp (Pfauenfedern) Selbsttäuschung

23 23 Expertenberatung Wir betrachten eine Modell, in dem... (a)... ein Spieler eine Entscheidung treffen muss... (b)... der andere Spieler (Experte) über private entscheidungsrelevante Information verfügt (c)... der Experte Präferenzen über die Entscheidung hat Patient Arzt, Klient Anwalt, Investor Finanzberater Modelle dieser Art werden Cheap Talk Modelle genannt der Experte macht nichts ausser einen für ihn kostenlosen Rat geben

24 24 Expertenberatung (Crawford and Sobel, 1982) Spieler: Entscheider (E), Experte (X) Spielregeln Natur wählt einen Typen t gleichverteilt auf [0, 1] X beobachtet t (E beobachtet t nicht) X schickt einen Bericht s [0, 1] an E E beobachtet den Bericht und trifft eine Entscheidung y 0 Nutzen: u E (y,t) = (y t) 2 Lieblingsentscheidung: y E = t u X (y,t) = (y t b) 2 Lieblingsentscheidung: y X = t+b b > 0 heisst bias misst Interessenkonflikt zwischen E und X

25 25 Strategien X: Für jeden Typ t ein Bericht s [0, 1] ( Bericht kann falsch sein!) σ X : [0, 1] [0, 1], t σ X (t) E: Für jeden Bericht s eine Entscheidung y 0 σ E : [0, 1] [0, 1], s σ E (s) Ausserdem müssen im PBG für jeden Bericht s die Beliefs von E über die Typen spezifiziert werden µ E (s) = W-Verteilung auf [0, 1]

26 26 Beobachtung Für b > 0 gibt es kein PBG, in dem E dem Bericht des X mit Wkt 1 glaubt Angenommen, E würde dem Bericht s = t glauben dann: σ E (s = t) = t wäre sequentiell rational für E Dann würde aber der Typ t = t b optimalerweise den Bericht s = t senden... da dies seine Lieblingsentschedung induzieren würde Im GG müssen aber die Beliefs von E korrekt sein! E kann nicht glauben, dass, wenn er den Bericht s = t sieht, X mit Wkt 1 vom Typ t ist, wenn es optimal für den Typ t = t b ist, den Bericht s = t zu senden

27 27 Satz: (i) Sei b < 1/4. Definiere t = 1/2 2b, und sei 0 s 0 t < s 1 1. Dann gibt es ein PBG, so dass gilt: σx (t) s 0 falls t t σ E s 1 falls t > t (s) = 1/4 b falls s t 3/4 b falls s > t µ E (s) = Gleichverteilung auf [0, t] falls s t Gleichverteilung auf ( t, 1] falls s > t (ii) Für b 1/4 gilt in jedem PBG, dass E den Bericht des X ignoriert und seine ex ante ideale Entscheidung y = 1/2 trifft.

28 28 Interpretation: Für kleinen Interessenkonflikt kommt es zu partieller Informationsübermittlung: X verwendet nur zwei Berichte, die offenbaren, ob t klein (s 0 ) ist oder gross (s 1 ) Für grossen Interessenkonflikt kann keine Information vermittelt werden sog. babbling Gleichgewicht Was ein Bericht bedeutet, wird endogen als Gleichgewicht bestimmt Für b 0 kann man GGe konstruieren, die zunehmend informativer werden

29 29 Beweis von (i): Verhält sich X optimal, gegeben σe? Beachte: jedes s t liefert den gleichen Nutzen wie s 0 : s 0 liefert (1/4 b t b) 2 = (1/4 t 2b) 2 Beachte: jedes s > t liefert den gleichen Nutzen wie s 1 : s 1 liefert (3/4 b t b) 2 = (3/4 t 2b) 2 Also: s 0 optimal t 1/2 2b = t s 1 optimal t > 1/2 2b = t Damit Optimalität von σx verifiziert

30 30 Beweis von (i): Verhält sich E optimal, gegeben σ X,µ E? Gegeben µ E und s t liefert Entscheidung y den Nutzen: Optimales y via BeO: t 0 t 0 (y t) 2 dt 1 t 2(y t) dt = 0 1 t Ausrechnen liefert y = 1/2 t = 1/4 b Optimale Entscheidung, wenn s > t: genauso Damit Optimalität von σe verifiziert

31 31 Beweis von (i): Sind die Beliefs von E konsistent, gegeben σ X? Gegeben σ X, offenbart der Bericht s 0, dass t t Updaten: die a priori Verteilung von t ist die Gleichverteilung,... die bedingte Verteilung, bedingt auf t t, ist die Gleichverteilung auf dem Träger [0, t] Also µ E konsistent für s = s 0 Gleiches Argument: µ E konsistent für s = s 1 Für s s 0 und s s 1 können die Beliefs beliebig spezifiziert werden denn: s s 0 und s s 1 werden nur abseits des GG-Pfades gewählt Damit (i) gezeigt Beweis von (ii): ähnliche Argumente (selbst)