Aufgabe 1. Charakterisieren Sie folgende Begriffe mit ein bis zwei Sätzen. (je 2 Punkte) Menge Preis. b. Leontiefsche Produktionsfunktion

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1 Aufgabe Charakterisieren Sie folgende Begriffe mit ein bis zwei Sätzen. (je Punkte) a. Erlös Menge Preis b. Leontiefsche Produktionsfunktion Die PF ist y = min{a x,a x,...,a n x n } mit positiven Konstanten (a,a,...,a n ) c. Konditionale Faktorennachfrage Die Faktormengen x i = X i (y; p, p,..., p n ) mit denen y zu den geringsten Kosten produziert werden kann sind die KF. d. Transitivität Sei eine beliebige Relation auf einer Menge M (bspw. Güterraum). Sie ist transitiv, wenn für alle x,x,x 3 M gilt: x x und x x 3 x x 3 e. Luxusgut ist ein superiores Gut, d.h. für die Marshallsche NF gilt y i (E;q,...,q n )/ E > 0, mit konvexer Marshallscher NF, d.h. y i (E;q,...,q n )/ E > 0. f. Marshallsche Nachfragefunktion Die Komponenten des optimalen Güterbündels in Abhängigkeit von den Güterpreisen q,...,q n und dem Einkommen E heißen Marshallsche Nachfragefunktionen. g. Monopolgrad Monopolgrad = p GK(y) p mit p = geltender Preis und y = zugehörige Menge h. Paretooptimalität Ein gesellschaftlicher Zustand S heißt Paretooptimum, wenn es keinen alternativen Zustand S gibt, in dem sich kein Individuum oder Haushalt verschlechtert, sich aber mindestens einer verbessert. i. Externer Effekt Externe Effekte liegen vor, wenn der Konsum oder die Produktion eines Haushaltes oder einer Unternehmung Einfluss auf den Nutzen eines anderen Haushaltes oder die Kosten einer anderen Unternehmung haben. j. Preiselastizität der Nachfrage Sei Y (q) eine Nachfragefunktion, dann ist dy dq /Y q die PE der Nachfrage. Bei den folgenden drei Multiple Choice-Aufgaben gibt es immer nur eine richtige Antwort.

2 Aufgabe a. Die Produktionsfunktion y = x x x 3 ist nicht homogen ist homogen und hat steigende konstante sinkende Skalenerträge. b. Wenn die Kostenfunktion K(y) = y+y ist, dann lautet die kurzfristige Angebotsfunktion (p = Mark- 4 tpreis des produzierten Gutes) y = (p ), d.h. notwendig ist p (NB: bei p = GK gilt hier auch p > DV K = + y). c. Was ist richtig? Die Grenzkostenkurve einer Produktionsfunktion, die dem Ertragsgesetz genügt, ist eine dauernd fallende Funktion ist eine dauernd steigende Funktion schneidet die Durchschnittskostenkurve in ihrem Minimum berührt die Durchschnittskostenkurve von oben d. Für jeden Faktor gilt Grenzertrag = Reallohn. Schreiben Sie diese Gleichung als Formel auf, wobei Sie alle Symbole definieren. Grenzertrag = f (x,...,x n ) x i = p i q = Reallohn mit f (x) als Produktionsfunktion, p als Faktorpreis, und q als Produktpreis. e. Isoquanten sind normalerweise fallend und konkav steigend und konvex stückweise linear fallend und konvex f. Berechnen Sie die Grenzrate der Substitution für die Produktionsfunktion y = x / x /4 an der Stelle 4 x = 4, x = 6. Antwort: dx dx = dy/dx dy/dx = 4 x /4 x / x / x 3/4 = x x = 6 4 = 3 g. Was ist richtig? Der Expansionspfad ist immer eine steigende Funktion

3 Der Expansionspfad einer homogenen Produktionsfunktion ist linear und verläuft durch den Ursprung Auf dem Expansionspfad gilt Preis = Grenzkosten Mit dem Expansionspfad ist auch die Kostenfunktion gegeben h. Elektrizität (Menge y) wird mit Kohle (Preis p ) und Kapital (Preis p ) produziert. Warum ist K(y) = y (p + p ) keine Kostenfunktion? Antwort: Sie ist nicht homogen vom Grad in (p, p ). Aufgabe 3 a. Die Haushaltsrestriktion eines Haushalts lautet E 5x + 4x. Wie viel kann der Haushalt höchstens von Gut kaufen? Antwort: x = E 5 Welche Menge von Gut muss der Haushalt aufgeben, um eine Einheit mehr von Gut konsumieren zu können? Antwort: x = 4 5 b. Aus der Annahme der Nichtsättigung ergibt sich, dass bestimmte Güterbündel einem Güterbündel x 0 vorgezogen werden und x 0 bestimmten anderen Güterbündeln vorgezogen wird. Kennzeichnen Sie diese Bereiche im folgenden Diagramm. Antwort: Alle Punkte nordöstlich von x 0 im Diagramm werden x 0 vorgezogen, und x 0 wird allen Punkten südwestlich von x 0 vorgezogen. c. Angenommen, ein Haushalt mit Einkommen E hat eine homogene Nutzenfunktion. Wie reagiert der Haushalt auf eine Preiserhöhung für das Gut? Er verbraucht mehr von Gut. Er verbraucht gleichviel. Er verbraucht weniger von Gut. Alles ist möglich. d. Welche Nutzenfunktionen beschreiben dieselben Präferenzen? U (x) = x x + x x 3 + x x 3 U (x) = x x + x x 3 + x x 3 U 3 (x) = x + x + x 3 U und U U und U3 U und U3 alle drei 3

4 e. Bestimmen Sie den Expansionspfad eines Haushaltes mit der Nutzenfunktion U(x) = x x bei gegebenen Preisen q, q. Antwort: GRS = PV /x /x = q q x x = q q x = x q q f. Die Marshallsche Nachfragefunktion ist: homogen vom Grad in den Preisen homogen vom Grad 0 in Preisen und Einkommen homogen vom Grad in Preisen und Einkommen homogen vom Grad 0 im Einkommen g. Skizzieren Sie die Marshallsche Nachfrage für ein relativ inferiores Gut und geben Sie ein Beispiel. 3 (Tragen Sie die Achsenbezeichnung und den Kurvenverlauf ein.) Antwort: Der Kurvenverlauf ist steigend und konkav, Beispiele sind Lebensmittel (Engelsches Gesetz), Wohnung (Schwabesches Gesetz), und andere. h. Preis Periode Preis Periode Menge Periode Menge Periode Gut Gut Der Laspeyres-Preisindex ist Antwort: L = Summe (alte Mengen neue Preise) Summe (alte Mengen alte Preise) = = Aufgabe 4 a. Wenn eine Regierung in einen kompetitiven Markt eingreift und eine (wirksame) Preisobergrenze setzt, dann wird die angebotene Menge und die nachgefragte Menge. steigen; steigen fallen; fallen fallen; steigen steigen; fallen b. Eine wirksame Preisobergrenze verursacht eine Senkung der Konsumentenrente mit Sicherheit und der Produzentenrente vielleicht. der Produzentenrente mit Sicherheit und der Konsumentenrente vielleicht. der Konsumentenrente, aber nicht der Produzentenrente. der Produzentenrente, aber nicht der Konsumentenrente. c. Sie produzieren Stereoanlagen zum Verkauf in zwei Märkten, Inland und Ausland, und die zwei Kon- sumentengruppen können nicht miteinander handeln. Sie fordern den höheren Preis in dem Markt mit 4

5 der höheren Preiselastizität. den größeren Konsumenteneinkommen. der geringeren Preiselastizität. der größeren Anzahl an Teenagern. d. Welche der folgenden Aussagen ist wahr bei einem Outputniveau, bei dem P = MC gilt? Der Monopolist maximiert seinen Profit nicht und sollte das Outputniveau senken. Der Monopolist maximiert seinen Profit nicht und sollte das Outputniveau steigern. Der Monopolist maximiert seinen Profit. e. Angenommen, der kompetitive Markt für Reis in Japan würde plötzlich monopolisiert. Die Auswirkung dieser Änderung wäre: eine Senkung der Produzentenrente der japanischen Reisproduzenten. ein Anstieg des Reiskonsums der japanischen Bevölkerung. eine Senkung der Konsumentenrente der japanischen Reiskonsumenten. ein Wohlfahrtsanstieg für das japanische Volk. f. Eine zeigt, wie viel eine Firma produziert als Funktion der Menge, die die Wettbewerber vermutlich produzieren. Nachfragekurve Kontraktkurve Reaktionskurve nichts von oben g. In einem Vergleich des Cournotgleichgewichts mit dem Wettbewerbsgleichgewicht sieht man, dass der Gewinn höher und das Outputniveau geringer sind im Wettbewerbsgleichgewicht. der Gewinn höher und das Outputniveau geringer sind im Cournotgleichgewicht. sowohl Gewinn als auch Outputniveau höher sind im Wettbewerbsgleichgewicht. sowohl Gewinn als auch Outputniveau höher sind im Cournotgleichgewicht. Szenario : Barbara s Firma ist Monopolist. Ihre Nachfragefunktion, Erlösfunktion, Grenzerlösfunktion und Kostenfunktion sind (in dieser Reihenfolge): Y = 60 4P E = 40Y 0.5Y GE = Y K = 4Y GK = 4 h. Betrachten Sie Szenario. Wie viel wird Barbara produzieren?

6 7 i. Betrachten Sie Szenario. Der Preis ihres Produkts wird sein: j. Betrachten Sie Szenario. Wie hoch wird ihr Profit sein? Von den folgenden vier Aufgaben sollen Sie genau drei beantworten. Aufgabe 5 a. Skizzieren Sie die Beschreibung eines Mehrproduktunternehmens mit Hilfe des Nettooutputvektors und der Transformationsfunktion. 0 Antwort: Sei z = (z,z,...,z n ) die Liste der für ein (Mehrprodukt-) Unternehmen relevanten Güter und Faktoren. Zu Beginn einer Periode sei die Austattung gleich z A, zum Ende der Periode sei die Ausstattung gleich z B (ohne Ein- bzw. Verkauf). Dann ist z E z A der Nettooutputvektor. Wir bezeichnen alle z i > 0 als Outputmengen (y), und alle z i < 0 als Inputmengen (x). Die Transformationsfunktion t kennzeichnet die Menge aller y die mit x (höchstens) produziert werden können (etwas genauer, aber nicht klausurrelevant: sie bildet die Menge der Inputvektoren x auf die Potenzmenge der Menge aller Outputvektoren y ab). Der Zusammenhang wird normalerweise als implizite Funktion T (x, y) = 0 notiert. b. Angenommen, die Kostenfunktion eines -Produktunternehmens ist K(Y,Y ) = Y +Y Y Y. Es herrscht vollständige Konkurrenz und die Güterpreise sind q = und q =. Welche Mengen wird das Unternehmen produzieren und wie hoch ist sein Gewinn? 0 6

7 Lösung: Eigentlich reicht Preis = GK, aber trotzdem ausführlicher: der Gewinn ist Π = q Y + q Y Y Y +Y Y Π! = q 4Y +Y = 0 Y Π! = q 4Y +Y = 0 Y 0 = q 4Y +Y + 4 (q 4Y +Y ) = q + 4q 5Y Y = 5 (4q + q ) = 6 5 = 5 Y = 5 (4q + q ) = 9 5 = 3 5 Π = = ( ) 5 = 0 5 = 4 5 Aufgabe 6 Robinson sammelt Früchte der Menge X = T R pro Tag. Freitag fängt Fische der Menge X = T F pro Tag. Dabei sind T ( R und T F die Zeit, die die beiden mit dieser Tätigkeit ( verbringen. ( Am Ende des Tages konsumieren beide X, X ). Robinsons Nutzenfunktion ist U R = ln X )+ln X ) T R. Freitags Nutzenfunktion ist U F = ln( X ) + ln ( X ) T F. a. Bestimmen Sie die optimale Arbeitszeit von Robinson und Freitag, wenn die beiden ihre eigene Nutzenfunktion maximieren. 0 U R = = 0 T R T R T R = U F = = 0 T F T F T F = b. Wie groß ist ihr Nutzen? U R = ln0.5 = ln =.4 U F = ln0.5 = ln =.4 c. Könnten sich beide verbessern, indem beide doppelt so lange arbeiten? 4 Antwort: Ja, sie würden sich verbessern. U n R = ln = U n F = ln = d. Sollte Robinson Freitag anbieten, dass er in Zukunft einen Anteil α > seiner Fische behält? 4 ( ) Antwort: Nein, sollte er nicht. Freitags Nutzen ist U F = ln TR + ln(αt F ) T F. Sein Grenznutzen und deshalb auch seine Arbeitszeit im Gleichgewicht sind unabhängig von α, d.h. Robinson erhält in jedem Fall α Fische. Daher präferiert Robinson geringe α. 7

8 Aufgabe 7 Die Nachfrage nach den Gütern zweier Unternehmen (Duopolisten) ist gegeben durch die Nachfragefunktionen: x = p + p / und x = p + p. Beide Unternehmen haben nur Fixkosten F und F. a. Bestimmen Sie das Nashgleichgewicht in Preisstrategien. Π = p ( p + p /) F Π = p + p / = 0 p = p + p 4 Π = p ( p + p ) F Π = 4p + p = 0 p = p 4 + p 4 p = + 4 5p = 8 + p = 9 5 = 3 5 p = p = 4 ( 4 + p ) = p 6 ( + 9 ) = = 5 b. Welche Mengen gehören zu diesen Preisen? x = p + p / = = 9 5 = 3 5 x = p + p = = 5 = 4 5 c. Wie lauten die inversen Nachfragefunktionen 6 x = p + p / x = p + p x + x = p + p / + p + p = 3 p p = 3 ( x x ) 4x + x = 4 4p + p + p + p = 5 3p p = 3 (5 4x x ) Aufgabe 8 a. Was ist eine Edgeworthbox? Was beschreiben die Punkte in einer Edgeworthbox? 6 Antwort: passende Beschreibungen gibt es überall. Hier die aus Wikipedia: Die Edgeworth-Box entsteht durch die Zusammenlegung von zwei binären Koordinatensystemen, welche jeweils ein Wirtschaftssubjekt repräsentieren (oder: ein Wirtschaftssubjekt und das Aggregat aller anderen Wirtschaftssubjekte). Die sich gegenüberliegenden Ursprünge stellen jeweils die Punkte dar, in denen das eine Individuum alle Einheiten der 8

9 betrachteten Tauschgüter besitzt und das andere keine. Der durch die Achsen aufgespannte Raum stellt grafisch die Menge aller theoretisch möglichen Verteilungen der beiden Güter dar, wobei die Achsenlänge jeweils die gesamte vorhandene Menge des abgebildeten Gutes darstellt. Jeder Punkt entspricht also einer Aufteilung der beiden Güter. b. Wie ist die Kontraktkurve definiert? Was ist der Kern? 6 Antwort: Ein gesellschaftlicher Zustand S heißt Paretooptimum, wenn es keinen alternativen Zustand S gibt, in dem sich kein Individuum oder Haushalt verschlechtert, sich aber mindestens einer verbessert. Eine Kontraktkurve stellt die Menge aller paretooptimalen Verteilungen von vorgegebenen Gütern auf zwei Haushalte dar. Der Kern ist die Teilmenge der Kontraktkurve, bei der sich beide Haushalte gegenüber ihrer Anfangsausstattung nicht verschlechtern. c. Haushalt A hat die Nutzenfunktion U A = x A + xa (x i = Gütermengen). Seine Anfangsausstattung ist (,0). Haushalt B hat die Nutzenfunktion U B = x B xb. Seine Anfangsausstattung ist (0,). Bestimmen Sie die Grenzraten der Substitution für beide Haushalte. Was gilt dann für die Kontraktkurve, soweit sie innerhalb (nicht auf dem Rand) der Edgeworthbox liegt? Zeichnen Sie die Kontraktkurve, soweit sie innerhalb der Edgeworthbox liegt. Kennzeichnen sie den Kern. 8 Antwort: Die GRS für A ist, die für B ist x B/xB. Auf der Kontraktkurve (im Innern) sind die GRS beider HH gleich, d.h. sie müssen beide sein, und daher gilt dort x B = xb. Die Kontraktkurve (KK) beginnt im Punkt (x B,xB ) = (0,0) und läuft entlang der B-Diagonalen, bis sie auf eine der Achsen von A trifft (sie läuft entlang der Achse weiter, bis zum Ursprung von A). Die Indifferenzkurve I A von HH A durch (,0) im Koordinatensystem von HH A ist gegeben durch U A = + 0 = x A + xa. Die Indifferenzkurve I B von HH B in dessen Koordinatensystem ist gegeben durch U B = 0 = x B xb, d.h. x B = 0 oder xb = 0. x A x B I B HH B I A KK HH A x A x B B s Indifferenzkurve durch die Anfangsausstattung verläuft auf dem Rand der Edgeworthbox (entlang B s Achsen). Der Kern ist der Bereich auf KK zwischen I A und I B, also der Bereich wo x B = xb 0.5 gilt. 9