1 Theorie des Allgemeinen Gleichgewichts

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1 1 Theorie des Allgemeinen Gleichgewichts Literatur: Farmer [1993, Ch. 4] Schumann [1992, III.B] Ein einfaches Tauschmodell Annahmen: Zwei Güter X und Y, deren Mengen mit x und y beeichnet werden. Zwei Wirtschaftssubjekte A und B, deren Anfangsausstattungen durch e A x und e A y bw. eb x und eb y gegeben sind. Präferenen werden durch Nutenfunktionen U A (x A,y A ) bw. U B (x B,y B ) abgebildet. Die Nutenfunktionen weisen die üblichen Eigenschaften auf ( Grennuten ist positiv, sinkt aber mit steigendem Konsum). Die Nutenfunktion ist udem streng quasikonkav, so daß die resultierenden Indifferenkurven streng konvex sind. Es wird grundsätlich Nichtsättigung unterstellt. 6

2 Tauschbox P 1 = {{ e A x,e A y }, { e B x,e B y }} = Ausstattungspunkt Tauschbox eigt Menge der ulässigen Allokationen: x e B y P 1 ȳ e A y e A x e B x 7 Gütertausch und Pareto superiore Allokationen Ausstattungspunkt P 1 : Nutenniveaus I A und I B I A e B x Durch Tausch werden (rel. u P 1 ) Pareto superiore Allokationen erreicht(.b. P S ). e A y I B P 1 P S e B y Pareto-effiiente Allokation: Es existiert keine Pareto superiore Allokation (Pareto Optimalität) Pareto-effiien: Identische Grenraten der Substitution (vgl. Punkt P S ). e A x GRS A = UA x U A y = UB x U B y = GRS B 8

3 Marktlicher Tausch Gütertausch auf anonymen, vollkommenem Markt: X ist Numéraire: p y = Preis des Gutes Y in Mengeneinheiten des Gutes X A und B verhalten sich als Mengenanpasser. Budgetrestriktion für A: e A x + p y e A y x A + p y y A Optimierungsproblem: y A I A max x A,y A U A (x A,y A ) u. Nb. e A x + p y e A y = x A + p y y A y A P GRS A = 1 p y Notwendige Bedingung: GRS A = UA x U A y = 1 p y e A y x A e A x P 1 y A = e A y + 1 p y [e A x x A ] x A 9 Allgemeines Gleichgewicht Allgemeines Gleichgewicht: Preis p y mit folgenden Eigenschaften: Individuell optimale Konsumpläne xa, y A sowie x B, y B. Markträumung: xa + x B = x sowie y A + y B = ȳ. Existen und Eindeutigkeit? e B x xb 1 p y I A I. Wohlfahrtstheorem: Jedes Marktgleichgewicht ist ein Pareto Optimum (Ausnahmen:.B. externe e A y y A I B P 1 P I A e B y y B Effekte). I B e A x x A 10

4 1.2 Sequentielle Gleichgewichte, Unsicherheit und Erwartungsbildung Erweiterung: 2 Perioden Modell mit 3 Gütern: Zwei Perioden t und t + 1 (.B. Gegenwart und Zukunft). Anfangsausstattungen mit X in t: e A x und eb x. Anfangsausstattungen mit Y und Z in t + 1: e A y und eb y sowie ea und eb. Nutenfunktionen: U A (x A,y A, A ) bw. U B (x B,y B, B ). 11 Vollständige Marktstruktur Vollständige Marktstruktur: Alle Güter können u einem einigen Zeitpunkt gegeneinander getauscht werden (Arrow Debreu Ökonomie). Gut X wird als Numéraire verwendet: p y und p sind die Preise von Y und Z in Mengeneinheiten von X. Budgetrestriktionen für A und B: e A x + p y e A y + p e A = x A + p y y A + p A e B x + p y e B y + p e B = x B + p y y B + p B Arrow-Debreu-Ökonomie ist Verallgemeinerung des wei Güter Modells. I. Wohlfahrtstheorem gilt: Marktgleichgewicht impliiert Pareto-effiiente Allokation. 12

5 Unvollständige Marktstruktur Unvollständige Marktstruktur: Nicht alle Güter können u einem einigen Zeitpunkt gegeneinander getauscht werden. Sequentielle Marktstruktur: In Periode t öffnet kein Markt (in t ist nur X verfügbar und ein Tauschgegenstand fehlt). In Periode t + 1 können Y und Z gegeneinander auf einem Markt getauscht werden. In t + 1 wird Gut Y als Numéraire verwendet: p ist der Preis von Z in Mengeneinheiten von Y. Sequen von Budgetrestriktionen für die Perioden t und t + 1: e A x = x A e A y + p e A = y A + p A A und B können in t nur ihre Anfangsausstattung mit dem Gut X konsumieren. Allokation unterscheidet sich von derjenigen einer Arrow-Debreu-Ökonomie. 13 Transaktionsvollständige Marktstruktur Einführung eines usätlichen, periodenübergreifenden Marktes führt u transaktionsvollständiger Marktstruktur. Transaktionsvollständige Marktstruktur: Erlaubt prinipiell die gleichen Tauschhandlungen wie eine vollständige Marktstruktur. Kreditmarkt: Wirtschaftssubjekte können in t anderen Wirtschaftssubjekten eine Mengeneinheit von X um Preis von R Mengeneinheiten des Gutes Y in t + 1 überlassen. b A,b B = Kreditangebote von A bw. B (b A < 0 bw. b B < 0 bedeuten Kreditnachfrage). Budgetrestriktionen: e A x b A = x A e A y + p e A + Rb A = y A + p A 14

6 Transaktionsvollständige Marktstruktur Einseten liefert eine einige Budgetrestriktion: e A y + p e A + R(e A x x A ) = y A + p A e A x + 1 R ea y + p R ea = x A + 1 R y A p R A Es existieren Preise R und p, die eine ur Arrow-Debreu-Ökonomie identische Allokation ermöglichen. Wesentlicher Unterschied: Endogene Unsicherheit: In t wird Nachfrage nach X und Kreditangebot in Unkenntnis des Preises p geplant ( p bildet sich erst in t + 1). Erwartungsbildung über den ukünftigen Preis p erforderlich. 15 Preiserwartungen Erwartungen von A und B beüglich p : p e,a bw. p e,b Optimierungsproblem für A lautet (R = in t auf dem Kreditmarkt herrschender Preis): max x A,y A, A U A (x A,y A, A ) u. Nb. e A x + 1 R ea y + pe,a R ea = x A + 1 R y A + pe,a R A Lösungen x A, y A sowie A impliieren optimales Kreditangebot b A = ea x x A. x A kann durch eine allgemeine Nachfragefunktion ausgedrückt werden: xa ( = f x,a R, p e,a, e A x, e A y, e A ) } {{ } Preise, Preiserwartungen und Präferenen 16

7 Temporäres Gleichgewicht Marktgleichgewicht in t (Walrassches Geset): e A x + e B x = x A + x B b A + b B = 0 Markt für Gut X Kreditmarkt (redundant) Gleichgewichtspreis R (Abkürung: E = { e A x,e B x, e A y,e B y, e A,e B } ) e A x + e B x = f x,a (R,...)+ f x,b (R,...) R = f( p e,a,e) Temporäres Marktgleichgewicht: R räumt nur den in t geöffneten Markt. Zugrundeliegende Erwartungen müssen nicht korrekt sein. p stellt sich in t + 1 so ein, daß die Märkte für Y und Z geräumt werden. Inkorrekte Erwartungen: Optimale Nachfragemengen y A und A sind nicht mit einem Gleichgewicht in t + 1 vereinbar (Revision der Nachfragepläne). Nuteneinbußen und Abweichung der sich einstellenden Allokationen von der einer Arrow-Debreu-Ökonomie. 17 Temporäres Gleichgewicht in t + 1 Nachfrage nach Y und Z (R und x A sowie b A = ea x x A sind determiniert): maxu A (x y A, A A,y A, A ) u. Nb. e A y + p e A + R b A = y A + p A Lösungen y A und A darstellen: lassen sich wieder durch allgemeine Nachfragefunktionen y ( A = f y,a p, R, p e,a, e A x, e A y, e A ) ( A = f,a p, R, p e,a, e A x, e A y, e A ) Marktgleichgewicht in t + 1 : y A + y B= f y,a ( p,...)+ f y,b ( p,...) = e A y + e B y A + B= f,a ( p,...)+ f,b ( p,...) = e A + e B 18

8 Gleichgewichtspreis Gleichgewichtspreis p : Funktion des Gleichgewichtspreises R aus t, den Ausstattungen E und den Preiserwartungen p e,a bw. p e,b : Wegen R = f( p e,a p = g( p e,a p = g( p e,a,e) ergibt sich: = H( p e,a,r,e) = g( p e,a, p e,b,e), p e,b,r,e), f( p e,a,e),e) Erwartungen der Wirtschaftssubjekte beüglich p beeinflussen den tatsächlichen Preis. Korrekte Erwartungen: p e,a = p e,b = p : Es resultiert die gleiche Allokation wie in einer entsprechenden Arrow-Debreu-Ökonomie (Pareto-effiiente Allokation bei einer Sequen temporärer Gleichgewichte) Rationale Erwartungen Hypothese rationaler Erwartungen: Wirtschaftssubjekten unterlaufen bei der Erwartungsbildung keine systematischen Fehler. Alle Wirtschaftssubjekte sind über die Struktur des Modells informiert (+ keine exogene Unsicherheit): Rationale Erwartungen entsprechen korrekten Erwartungen (perfekte Voraussicht). Wirtschaftssubjekte kennen die Funktion H( p e,a,e) sowie die Ausstattungen E: Berechnung des Gleichgewichtspreises möglich. 20

9 Rationale Erwartungen Korrekte Erwartungen impliieren p e,a = p e,b = p e : p = H( p e,a = H( p e,e),e) p p R p = p e H( p e,e) Rationale bw. korrekte Erwartungen sind Fixpunkt der Abbildung von Preiserwartungen auf tatsächliche Preise. p R p e 21 Rationale Erwartungen Probleme Bilden alle anderen Wirtschaftssubjekte rationale Erwartungen? Common Knowledge : Alle Wirtschaftssubjekte agieren rational und wissen, daß alle Wirtschaftssubjekte rational agieren. p p R,1 p R,2 p = p e H( p e,e) Möglichkeit mehrerer Lösungen unter rationalen bw. korrekten Erwartungen. Selektionsproblem bei multiplen Gleichgewichten. p R,2 p R,1 p e 22

10 1.4 Struktur dynamischer makroökonomischer Modelle Theorie des Allgemeinen Gleichgewichts als Grundlage der makroökonomischen Theorie: Wirtschaftssubjekte treffen periodenübergreifende Entscheidungen. Konsequenen heutiger Entscheidungen für ukünftige Perioden werden berücksichtigt. Grundlegende Annahmen: 1) Es existieren keine Marktunvollkommenheiten. Auf allen Märkten herrscht vollständige Konkurren. Flexible Preise gewährleisten ständige Markträumung. 2) Die Marktstruktur ist war unvollständig, jedoch transaktionsvollständig. Die Wirtschaftssubjekte bilden rationale Erwartungen über ukünftige Größen. 23 Struktur dynamischer makroökonomischer Modelle Implkationen der Annahmen: Marktliche Allokation ist Pareto-effiient (Annahme: Eindeutigkeit). Pareto-effiiente Allokation maximiert eine wohldefinierte soiale Wohlfahrtsfunktion. Nuten aller Wirtschaftssubjekte geht mit genau speifiierter Gewichtung ein (utilitaristische Nutenfunktion). Aggregation aller individuellen Budgetrestriktionen u einer einigen aggregierten Budgetrestriktion und Maximierung der soialen Wohlfahrtsfunktion unter dieser Restriktion Identische Allokation. Wohlfahrtsfunktion genügt, um die auf der makroökonomischen Ebene resultierende Allokation u beschreiben. Repräsentativer Haushalt: Präferenen werden durch die soiale Wohlfahrtsfunktion abgebildet. Betrachtung der intertemporalen Entscheidungen dieses repräsentativen Haushaltes. 24