MATLAB-Toolskurs HS17

Transkript

1 4 Kontrollstrukturen 1. Gegeben sei der Vektor x = [ ]. Erstellen Sie kurze Kommandos, die: (for) Die Summe aller Elemente bilden (Kontrolle mit sum) (length) x = [ ] s = 0; for k = 1: length (x) s = s + x(k); disp (s) disp ( sum (x)) Die laufe Summe bilden (für das n-te Element ist die laufe Summe die Summe der Elemente 1... n (Kontrolle mit cumsum) (OPTIONAL) x = [ ] s = zeros ( size (x)); s (1) = x (1) ; for k = 2: length (x) s(k) = s(k -1) + x(k); disp (s) disp ( cumsum (x)) Den Sinus der Elemente berechnet x = [ ] s = zeros ( size (x)); for k = 2: length (x) s(k) = sin (x(k)); disp (s) 2. Erstellen sie eine 7 5 Zufallsmatrix (rand). Setzen Sie alle Elemente, die kleiner als 0.2 sind zu 0 und alle anderen Elemente zu 1. A = rand (7,5) for r = 1: size (A,1) for c = 1: size (A,2) if A(r,c) < 0.2 A(r,c) = 0; else A(r,c) = 1; disp (A) 13

2 3. Gegeben sind x = [4 1 6] und y = [6 2 7]. Berechnen Sie folge Arrays: (min) x = [4 1 6] y = [6 2 7] a ij = x i y j c i = x i y i x i d ij = 2 + x i + y j e ij = Der Kehrwert des kleineren Elementes aus {x i, y j } a = zeros ( length (x),length (y)); for row = 1: length (x) for col = 1: length (y) a(row, col ) = x( row )*y( col ); disp (a) c = zeros ( length (a)); for k = 1: length (a) c(k) = x(k)*y(k); disp (c) d = zeros ( length (x),length (y)); for row = 1: length (x) for col = 1: length (y) d(row, col ) = x( row ) /(2+ x( row )+y( col )); disp (d) e = zeros ( length (x),length (y)); for row = 1: length (x) for col = 1: length (y) e(row, col ) = 1/ min (x( row ),y( col )); disp (e) 4. Schreiben Sie ein Skript, das den Zufallszahlengenerator rand benutzt und bestimmen Sie Die Anzahl Zufallszahlen die benötigt werden, um eine Summe zu bilden, die 20 übersteigt (while) k = 0; s = 0; while s < 20 s = s + rand (1) ; k = k +1; 14

3 disp (k) Die Anzahl Zufallszahlen die erzeugt werden, bevor eine Zahl zwischen 0.8 und 0.85 auftritt (&&) k = 0; test = false ; while ~ test disp (k) a = rand (1) ; test = a >0.8 && a <0.85; k = k + 1; 15

4 5 Vektorisierung Obwohl MATLAB Schleifen kennt, lassen sich viele Probleme weit effizienter mittels der sogenannten Vektorisierung lösen. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie möchten eine Funktion wie den Sinus plotten. Dazu benötigen Sie zwei Vektoren; einen mit den Abszissenwerten (hier das Intervall von 0 bis 10 an 1001 Punkten) und einen mit den zugehörigen Ordinatenwerten. In den meisten Programmiersprachen würde in etwa ein solches Konstrukt verwet, um die Vektoren zu kreieren: for k = 1: 1001 x(k) = (k -1) *0.01; y(k) = sin (x(k)); Dies ist ausführbarer MATLAB-Code. Viel einfacher und schneller ist aber folge Variante: x = linspace (0,10,1001) ; y = sin (x); Die Funktion sin wird dabei in einem Schritt auf den gesamten Vektor angewet, mit demselben Resultat. Oder nehmen wir an Sie haben einen (sehr langen) Datenvektor x x = rand (10^6,1) ; und wollen einen neuen Vektor y erstellen, der jeweils die Summe von zwei benachbarten Elementen von x beinhaltet. Die klassische Variante könnte zum Beispiel so aussehen: for k = 1: length (x) -1 y(k) = x(k) + x(k +1) ; Vektorisiert schreibt sich viel eleganter: y = x (1: -1) +x (2: ); Diese Variante ist ungefähr 30-mal schneller! Auch Multiplikationen, Divisionen und Potenzoperationen lassen sich vektorisiert durchführen, dazu wird der.-operator benötigt. Um zum Beispiel zwei gleichlange Vektoren elementweise zu multiplizieren oder dividieren, schreibt man m = x.*y; d = x./y; Oder für die Kubikzahl jedes Elementes eines Vektors: p = x.^3; 16

5 Schreiben Sie zur Übung folge Programme mit Schleifen in eine vektrorisierte Form um. Überprüfen Sie die Rechenzeiteinsparungen mit und. 1. Matrixmultiplikation n = 3000; A = B = rand (n); rand (n); for m = 1: n for q = 1: n C(m,q) = A(m,q)*B(m,q); clear n = 3000; A = rand (n); B = rand (n); % ohne Allozierung des Speichers : for m = 1: n for q = 1: n C(m,q) = A(m,q)*B(m,q); % mit Allozierung des Speichers : C = zeros ( size (A)); for m = 1: n for q = 1: n C(m,q) = A(m,q)*B(m,q); % Vektorisiert C = A.*B; 2. Summe der Elemente eines potenzierten Vektors n = 1000; A = rand (n,1) ; s = 0; for k = 1: n s = s + A(k) ^2.5; 17

6 n = 1000; A = rand (n,1) ; s = 0; for k = 1: n s = s + A(k) ^2.5; disp (s) s = sum (A.^2.5) ; disp (s) 3. Norm aller Spalten einer Matrix n = 100; A = rand (n); for k = 1: n a(k) = norm (A(:,k)); clear n = 100; A = rand (n); for k = 1: n a(k) = norm (A(:,k)); a = sqrt ( sum (A.^2,1) ); 4. Fallunterscheidung (Shwort: logische Indizierung) n = 1000; A = rand (n,1) ; B = rand (n,1) ; C = zeros ( size (A)); for k = 1: n if B(k) > 0.5 C(k) = A(k) ^2; else C(k) = exp (B(k)); clear n = 1000; 18

7 A = rand (n,1) ; B = rand (n,1) ; C = zeros ( size (A)); for k = 1: n if B(k) > 0.5 C(k) = A(k) ^2; else C(k) = exp (B(k)); yes = B >0.5; D = zeros ( size (A)); D( yes ) = A( yes ).^2; D(~ yes ) = exp (B(~ yes )); 5. Welche Aufgaben der Übung Kontrollstrukturen lassen sich vektorisieren? Summe aller Elemente x = [ ] s = x* ones ( length (x),1) % oder s = sum (x) Kumulierte Summe x = [ ] s = cumsum (x) Sinus x = [ ] sin (x) Zufallsmatrix A = rand (7,5) A = (A >=0.2) *1 Arrays x = [4 1 6] y = [6 2 7] a = x '*y c = x* diag (y) % d?? e = 1./ min ( repmat (x ',1, length (y)),repmat (y, length (x),1)) 19

8 6 Programmieren 1. Programmieren Sie eine Routine, mit welcher die Elemente der Matrix A R n m elementweise in das Kommandofenster eingegeben werden können. Mögliche Programmstruktur: a) Frage nach der Anzahl Zeilen n der Matrix A. b) Frage nach der Anzahl Spalten m der Matrix A. c) Frage nach dem Wert der einzelnen Elemente (verschachtelte for-schleife) d) Matrix A im Command Window anzeigen. disp (' Die Elemente einer Matrix elementweise einlesen.') disp (' ') n= input ('Wieviele Zeilen hat die Matrix? '); disp (' ') m= input ('Wieviele Spalten hat die Matrix? '); disp (' ') A = zeros (n,m); for i =1: n for disp (A) j =1: m A(i,j)= input ([ ' Welcher Wert soll ',... 'dem Element in der ','\n'... int2str (i),'. Zeile ', int2str (j),... '. Spalte zugewiesen werden? ']); disp (' ') 2. Das Newtonsche Näherungsverfahren ist ein Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung einer gegebenen Funktion f(x). Die Newtonsche Näherungsformel lautet (sofern gewisse Anforderungen an die Funktion erfüllt werden): x i+1 = x i f(x i) f (x i ) Das Abruchkriterium lautet x i x i 1 < ε. Programmieren Sie für die Funktion f(x) = e x + sin(x) = 0 mit dem Anfangswert x 0 = 0.7 eine while-schlaufe, die bei ε = 10 4 die Berechnung abbricht. Variante: ohne Funktion clear x0 = -0.7; % oder x0 =-3, k = 1; x(k) = x0; test = false ; while ~ test x(k +1) = x(k) -( exp (x(k))+ sin (x(k))) /... ( exp (x(k))+ cos (x(k))); test = abs (x(k +1) -x(k)) < 1.0e -04; k = k + 1; 20

9 disp (x ') Variante: Funktion Datei myfunction.m: function [f, df_dx ] = myfunction (x) f = exp (x) + sin (x); df_dx = exp (x) + cos (x); Hauptdatei: clear x0 = -0.7; % oder x0 =-3, k = 1; x(k) = x0; test = false ; while ~ test [f, df_dx ] = myfunction (x(k)); x(k +1) = x(k) - f/ df_dx ; test = abs (x(k +1) -x(k)) < 1.0e -04; k = k + 1; disp (x ') Variante: Funktion und lokale Funktion Datei myfunction.m: function [f, df_dx ] = myfunction (x) f = exp (x) + sin (x); df_dx = derivative (x); function deriv = derivative ( arg ) deriv = exp ( arg ) + cos ( arg ); Hauptdatei: wie oben Variante: Funktion und nested Function Datei myfunction.m: function [f, df_dx ] = myfunction (x) f = exp (x) + sin (x); df_dx = derivative (x); function deriv = derivative ( arg ) deriv = exp ( arg ) + cos ( arg ); 21

10 Hauptdatei: wie oben 3. Eine Kugel kann auf einer horizontalen Führungsstange reibungsfrei gleiten. Die Länge der entspannten Feder ist l 0, die Federsteifigkeit ist c. Berechnen Sie für den Fall einer Kraftbeanspruchung F die Gleichgewichtslage x mit dem Newton-Verfahren. Gegeben ist: h = 0.1 m; l 0 = 0.3 m; F = 10 N; c = 20 N/m Der mechanische Lösungsweg: Freischneiden der Kugel Kräftegleichgewicht an der gelagerten Kugel: Fx = 0 = cos(α) K(x) F (1) Der Winkel α ausgedrückt in geometrischen Verhältnissen: cos(α) = x h 2 + x 2 (2) Mit der Anwung des allgemeinen Federgesetzes auf den vorliegen Fall beträgt die Federkraft K(x): ( ) K(x) = c h 2 + x 2 l 0 (3) Diese Federkraft und den Wert von cos(α) (Gl. 2) eingesetzt in das Spannungsgleichgewicht (Gl. 1), liefern: ( ) x ( ) f(x) = c h 2 + x 2 l h 2 + x 2 0 F = 0 (4) Die Frage ist nun für welche x ist das Spannungsgleichgewicht (Gl. 4) erfüllt? Dazu muss diese nichtlineare Gleichung mithilfe des Newtonschen Näherungsverfahren (siehe Aufgabe 6.2) gelöst werden. Zur Vereinfachung der Aufgabe ist die analytische Ableitung f (x) von (Gl. 4) bereits gegeben mit: f 1 cl (x) = c 0 h 2 h 2 + x 2 h 2 + x 2 22

11 a) Lösen Sie das nichtlineare Problem der Gleichung 4 mit der bereits gegebenen analytischen Ableitung und Ihrem Code von Aufgabe 6.2. Für den Anfangswert benutzen Sie den Startpunkt x 0 = 1. h = 0. 1; l = 0. 3; F = 10; c = 20; x_0 = 1. 0; test = false ; k =1; x(k)= x_0 ; f=@(x)(c*( sqrt (h ^2+ x ^2) -l)*(x/( sqrt (h ^2+ x ^2) ))-F); df=@(x)(c -(1/( sqrt (h ^2+ x ^2) ))*(c*l*h ^2) /(h^2+ x ^2) ); while ~ test x(k +1) =x(k)-f(x(k))/df(x(k)); test = abs (x(k +1) -x(k)) < 1.0e -04; k = k + 1; disp (x( )) b) Lösen Sie das Problem indem Sie die Matlabfunktion fzero benutzen. Verwen Sie den gleichen Startpunkt und vergleichen Sie ihre Resultate mit Aufgabenteil a.). Zusatzfrage: Verwet fzero die 1. Ableitung der Funktion? f=@(x)(c*( sqrt (h ^2+ x ^2) -l)*(x/( sqrt (h ^2+ x ^2) ))-F) [x,fval, exitflag, output ]= fzero (f,x_0 ) %nein, fzero benutzt nur funktionsauswertungen 4. Die Parallelschaltung eines Feder- und eines Dämpferelementes (Kelvin-Voigt-Körper) ist ein rheologisches Modell zur Beschreibung des viskoelastischen Materialverhaltens. Ziel ist es die Dehnung des Systems ε(t) mittels dem Euler-Vorwärts-Verfahren im Zeitintervall t = [0; 1s] für eine Spannungsbeanspruchung σ(t) zur berechnen. 23

12 Gegeben sind: E, die Relaxationszeit 1 τ = η E, die Anfangsbedingung ε(t = 0) = 0 sowie die Belastung mit σ(t 0) = σ und σ(t = 0) = 0 Der mechanische Lösungsweg: Für t > 0 erhalten wir eine Differentialgleichung 1.Ordnung ε = σ η ε τ Die Näherungslösung mit dem Euler-Explizit Verfahren ist nun: ( σ ε k+1 = ε k + η ε ) k t für k = 1,..., n ε 1 = 0 τ a) Berechnen Sie die Werte der Näherungslösung für 20 Stützpunkte (k = 20). Um eine numerische Lösung zu erhalten verwen Sie bitte: E = 10 N/m, τ = 0.1 s, σ = 2.0 N/m 2 E = 10; tau = 0. 1; sig = 2; eta = tau *E; e (1) =0; n =20; delta_t =1/ n; for k =1: n e(k +1) =e(k)+( sig /eta -e(k)/ tau )* delta_t ; b) Wie viele Stützpunkte brauchen Sie um eine gute Annäherung an die analytische Lösung zu erhalten? Erstellen Sie dazu ein Plot. ( ) Hinweis: Die analytische Lösung ist: ε(t) = σ E 1 e t τ % Verwe eigene Euler - Vorw aertsf unktio n e_20 = eulervorwaerts (20,[ sig,eta, tau ]); e_50 = eulervorwaerts (50,[ sig,eta, tau ]); e_100 = eulervorwaerts (100,[ sig,eta, tau ]); e_200 = eulervorwaerts (200,[ sig,eta, tau ]); % Exakte Loesung dt =10^ -3 t =0:10^ -3:1; e_exakt =( sig /E)*(1 - exp (-t./ tau )); % Plot figure hold on plot ([0:20]/20, e_20,'o-',[0:50]/50, e_50,'o-',... [0:100]/100, e_100,'o-',[0:200]/200, e_200,'o-') 1 Die Relaxationszeit ist die Zeit, in welcher sich ein System (meist exponentiell) dem stationären Zustand annähert. 24

13 plot (t,e_exakt,'r',' LineWidth ',2) xlabel ('Zeit [s]') ylabel ('Dehnung [ -] ') leg ('k =20 ','k =50 ','k =100 ','k =200 ',' Analytisch ') % ca. 200 Stuetzstellen notwig % Definiton der eulervorwaerts Funktion function [ e] = eulervorwaerts ( n, params ) delta_t =1/ n; e (1) =0; for k =1: n e(k +1) =e(k)+( params (1) / params (2) -e(k)/ params (3) )* delta_t ; 5. Programmieren Sie eine neue MATLAB Funktion, die die Temperaturen von der Kelvin-, Rankineoder Fahrenheit-Skala in die Celsius-Temperatur umrechnet. T K = T C T R = 9 5 T C T F = 9 5 T C + 32 Tipp: Die Temperaturskala und die Temperatur in dieser Skala sind die Eingabeparameter der neuen Funktion. Die Umrechnung in die Celsius-Skala können Sie mit dem Befehl switch bewerkstelligen. function temp = temperatur ( skala, T) % temperatur von Grad Kelvin, Rankine oder % Fahrenheit in Grad Celsius % temperatur (' skala ',T) rechnet die % Temperaturen von der Kelvin -, Rankine - % oder Fahrenheit - Skala in die ent - % spreche Celsius - Temperatur um. % skala steht fuer die Temperaturskalen % 'K' ( Kelvin ), 'R' ( Rankine ) oder % 'F' ( Fahrenheit ). T entspricht der % Temperatur in dieser Skala. switch skala case 'K' % Kelvin - Skala temp =T ; case ' R' % Rankine - Skala temp =5/9*T ; case ' F' % Fahrenheit - Skala temp =5/9*( T -32) ; 6. Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv definiert über F n = F n 1 + F n 2, F 0 = F 1 = 1. 25

14 Erstellen Sie einen Vektor mit den ersten 10 Fibonacci Zahlen (OPTIONAL) F_n_1 = 1; F_n_2 = 1; F = [ F_n_1 F_n_2 zeros (1,8) ]; for k = 3: length (F) F(k) = F_n_1 + F_n_2 ; F_n_1 = F(k); disp (F) F_n_2 = F(k -1) ; Berechnen Sie für die ersten 50 Zahlen das Verhältnis F n /F n 1 und stellen Sie den Verlauf graphisch dar. Gegen welchen Wert konvergiert das Ergebnis (Internetsuche)? F_n_1 = 1; F_n_2 = 1; ratio = zeros (1,50) ; for k = 1: length ( ratio ) F = F_n_1 + F_n_2 ; ratio (k) = F/ F_n_1 ; F_n_2 = F_n_1 ; F_n_1 = F; figure plot ( ratio ) Das Verhältnis konvergiert gegen den Goldenen Schnitt (1 + 5)/2 7. Die Legre-Polynome P n (x) lassen sich aus der Rekursionsformel (n + 1)P n+1 (x) = (2n + 1)xP n (x) np n 1 (x) konstruieren, wobei P 0 (x) = 1 und P 1 (x) = x gilt. Stellen Sie die Verläufe der Polynome P 0 bis P 5 im Intervall [ 1, 1] graphisch dar. (OPTIONAL) x = linspace ( -1,1,201) ; P_n_1 = ones ( size (x)); P_n = x; figure hold on plot (x, P_n_1 ) plot (x,p_n ) for n =1:4 P_np1 = ((2* n +1) *x.* P_n - n* P_n_1 )/(n+1) ; plot (x, P_np1 ) P_n_1 = P_n ; P_n = P_np1 ; grid on xlabel ('x') ylabel ('P_n ') 26