Modellierung. Prof.Dr. Hans Kleine Büning, Prof.Dr. Johannes Blömer. Paderborn, 6. Februar Universität Paderborn Institut für Informatik

Transkript

1 Modellierung Prof.Dr. Hans Kleine Büning, Prof.Dr. Johannes Blömer Universität Paderborn Institut für Informatik Paderborn, 6. Februar 2015 J. Blömer 1/19

2 Vorbereitung auf die Klausur 1 Vorlesungsinhalte Inhalte zusammenfassen Beispiele durchrechnen, neue Beispiele überlegen Probleme mit Kommilitonen aufarbeiten 2 Übungsaufgaben Lösungen durchgehen und verstehen Aufgaben erneut rechnen und erneut aufschreiben ähnliche Aufgaben rechnen Probleme mit Kommilitonen aufarbeiten 3 Probeklausur und alte Klausuren Durcharbeiten Zusammenfassung J. Blömer 2/19

3 Allgemeines 1 Begriffe: Objekte, Eigenschaften, Strukturen,... Definition angeben Eigenschaft überprüfen in Beispielen anwenden 2 Beweise Definition angeben Eigenschaft überprüfen in Beispielen anwenden 3 Verfahren Zweck und Ziel angeben beschreiben an Beispielen durchführen Ergebnisse prüfen Zusammenfassung J. Blömer 3/19

4 Grundlagen 1 Mengen intensionale, extensionale Beschreibung Kardinalität Potenzmengen Kartesisches Produkt, Tupel Folgen Menge der Relationen / Funktionen Modellieren mit Mengen Zusammenfassung J. Blömer 4/19

5 Grundlagen 1 Induktive Definitionen von Mengen, Formeln und Begriffen (Länge) 2 Induktion über die natürlichen Zahlen 3 Induktion über Struktur induktiv definierter Objekte (Formeln) 4 Relationen Eigenschaften von Relationen: reflexiv,... spezielle Relationen (Ordnung) Modellieren mit Relationen 5 Funktionen Begriff der Signatur Eigenschaften von Funktionen: total,... spezielle Funktionen (Boolesche Funktion) Modellieren mit Relationen Zusammenfassung J. Blömer 5/19

6 Aussagenlogik 1 Syntax (induktive Definition) 2 Semantik (Bewertung, Wahrheitstafel) 3 Erfüllbarkeitsbegriffe (Zusammenhänge, Überprüfung) (erfüllbar, widerspruchsvoll, tautologisch etc.)) 4 semantischer Folgerungsbegriff 5 logische Äquivalenz und Erfüllbarkeitsäquivalenz 6 Umformungsregeln, Formeltransformation und Normalformen 7 Länge von Formeln 8 (Horn-) Klauseln, (Unit-) Resolutionsregel, leere Klausel 9 (Unit-) Resolutionskalkül: Korrektheit, Widerlegungsvollständigkeit 10 (Unit-) Resolutionsherleitungen (Zweck, Vorgehensweise, Herleitung) 11 PS-Graphen: Transformation Formel zu PS-Graph 12 PS-Graphen: Transformation PS-Graph in KNF-Formel 13 Modellieren mit Aussagenlogik Zusammenfassung J. Blömer 6/19

7 Prädikatenlogik 1 Syntax und Semantik Syntax (induktive Definition) Interpretationen Wirkungsbereiche von Quantoren Umbenennung gebundener Variablen Erfüllbarkeitsbegriffe (Zusammenhänge, Überprüfung) semantischer Folgerungsbegriff logische Äquivalenz und Erfüllbarkeitsäquivalenz Umformungsregeln Zusammenfassung J. Blömer 7/19

8 Prädikatenlogik 1 Syntax und Semantik 2 Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe Negationsnormalform pränexe Normalform Skolem-Normalform Normalformen im Formelkern in KNF Algorithmen zur Transformation 3 Substitution, Unifikation und Resolution Zusammenfassung J. Blömer 8/19

9 Prädikatenlogik 1 Syntax und Semantik 2 Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe 3 Substitution, Unifikation und Resolution Substitution Ersetzungsliste vs. Substitution (allgemeinster) Unifikator binäre Faktorisierung (Unit-) Resolutionskalkül (Unit-) Resolutionsherleitungen (Zweck, Vorgehensweise, Herleitung) Zusammenfassung J. Blömer 9/19

10 Modellierung und Beweise 1 Modellieren mit Prädikatenlogik (siehe Anleitung Skript) 2 Formen von Beweisen allgemeine Form indirekter Beweis Beweis von Existenzaussagen, Allaussagen Fallunterscheidung Induktionsbeweis Zusammenfassung J. Blömer 10/19

11 Sorten und Terme 1 Sorten 2 Struktur 3 wohlgeformte Terme 4 Signatur 5 abstrakte und konkrete Algebra 6 Termnotationen: infix,... 7 Baumdarstellung von Termen 8 Ersetzungsregeln Zusammenfassung J. Blömer 11/19

12 Zusammenfassung - ungerichtete Graphen Definition und graphische Darstellung Graphenfamilien Grundbegriffe - Grade, Nachbarschaft, Wege Pfade, Kreise, Teilgraphen Zusammenhang und Zusammenhangskomponenten Knoten- und Kantenmarkierungen Eulerkreis, Hamiltonkreise einfache Modellierungen mit Graphen - Königsberger Brückenproblem, Problem des Handlungsreisenden Zusammenfassung J. Blömer 12/19

13 Zusammenfassung - Bäume Bäume und Wälder - Definition und einfache Eigenschaften Spannbäume und minimale Spannbäume Modellierung von Verbindungsproblemen durch Spannbäume Matchings bipartite Graphen Modellierung von Zuordnungsproblemen durch Matchings Knotenfärbungen und Zuordnungsprobleme 2-färbbare Graphen und bipartite Graphen Zusammenfassung J. Blömer 13/19

14 Zusammenfassung - gerichtete Graphen Definition und graphische Darstellung, Unterschiede zu ungerichteten Graphen Knotengrade, Wege, Pfade, Kreise DAGs und topologische Sortierung Modellierung von Projektorganisation durch gerichtete Graphen kritische Pfade in DAGs Teilgraphen und Zusammenhang in gerichteten Graphen Aufrufgraphen, Ablaufgraphen Zusammenfassung J. Blömer 14/19

15 Zusammenfassung - Wurzelbäume Definition, graphische Darstellung, äquivalente Charakterisierungen grundlegende Begriffe - Vorgänger, Nachfolger, Höhe,... Binärbäume - Definition, grundlegende Eigenschaften Modellierung von Strukturen durch Binärbäume - Dateisysteme, Programmkonstrukte Ableitungsbäume, Termbäume, Suchbäume Zusammenfassung J. Blömer 15/19

16 Zusammenfassung - Grammatiken kontextfreie Grammatiken - Definition, Anwendungen Ableitungen durch Grammatiken definierte Sprachen Ableitungsbäume Mehrdeutigkeit Links- und Rechtsableitungen, Zusammenhang Mehrdeutigkeit Backus-Naur-Form Chomsky und Greibach Normalform Grammatiken, arithmetische Ausdrücke, Klammerausdrücke, HTML reguläre Ausdrücke - Definition reguläre Ausdrücke und Sprachen Zusammenfassung J. Blömer 16/19

17 Zusammenfassung - Endliche Automaten deterministische endliche Automaten - Definition und graphische Darstellung Vervollständigung von Automaten Erweiterung der Übergangsfunktion Automaten und Sprachen Automaten mit Ausgabe - Mealy und Moore Automaten Modellierung mit Automaten - Getränkeautomat, Bezeichner in Programmersprachen Zusammenfassung J. Blömer 17/19

18 Zusammenfassung - Endliche Automaten nichtdeterministische endliche Automaten - Definition und graphische Darstellung Erweiterung der Übergangsfunktion nichtdeterministische Automaten und Sprachen Zusammenhang DFAs, NFAs, reguläre Ausdrücke - reguläre Sprachen Abschlusseigenschaften regulärer Sprachen Grenzen regulärer Sprachen Zusammenfassung J. Blömer 18/19

19 Zusammenfassung - Petri-Netze (markierte) Petri-Netze - Definition und graphische Darstellung Vorbereiche, Nachbereiche Schaltungen, Folgen von Schaltungen blockierte Petri-Netze, Konflikte, erreichbare Markierungen Petri-Netze und Sprachen lebendige und sichere Petri-Netze Erweiterungen um Kantengewichte und Kapazitäten Modellierung mit Petri-Netzen - parallele und nebenläufige Prozesse Zusammenfassung J. Blömer 19/19