Fakultät Maschinenwesen, Institut für Fertigungstechnik, Professur Formgebende Fertigungsverfahren

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1 Fakultät Maschinenwesen, Institut für Fertigungstechnik, Professur Formgebende Fertigungsverfahren Spezielle Fertigungsverfahren und Mikrofertigungstechnik Werkstoffdatenidentifikation und numerische Analysemethoden Prof. Dr.-Ing. Aleander Brosius 2. Januar 216 Plastizitätstheoretische Lösungsverfahren in der Umformtechnik Plastizitätstheoretische Lösungsverfahren in der Umformtechnik Elementare Plastizitätstheorie Plastizitätstheorie Analytische Methoden Energiemethode Streifenmodell Scheibenmodell Röhrenmodell Graphische-, empirische-, analytische Methode Strenge Lösung -3- Gleitlinienverfahren Viskoplastizität Numerische Methoden Schrankenverfahren Fehlerabgleichverfahren Finite-Elemente-Methode aufgrund von Vereinfachungen aufgrund der Theorie geschlossene Lösung Näherungslösung (Quelle: Klocke, König, Fertigungsverfahren 4)

2 Numerische Ansätze Finite Element Methode (FEM) Finite Differenzen Methode (FDM) -4- Randelementmethode (REM) F Unterteilung des Bereichs in Elemente Einführung von Gitterpunkten auf den Koordinatenlinien im Bereich Unterteilung des Randes in Elemente und Einführung von Randknoten Einführung von Ansatzfunktionen im Element Einführung von Differenzenquotienten bzgl. der Gitterpunkte Einführung von Ansatzfunktionen im Randelement F Ein- und Ausgabegrößen einer FE-Rechnung Eingabe Ausgabegrößen AnalyseTyp Kraft-Weg-Kurven Geometriedaten Geschwindigkeitsverlauf Werkstoffdatendaten Randbedingungen Numerische Parameter FE - Berechnung Dehnungszustände Temperaturverlauf Spannungsverlauf Mikrostrukturentwicklung Was ist das gewünschte Berechnungsergebnis? (Quelle: ) -5-

3 Eingabedaten Analyse Typ Geometriedaten statisch Transient Dynamisch thermo-mechanisch gekoppelt Werkstück- und Werkzeugdimensionen CAD-Daten Werkstoffdaten Werkstoffverhalten elastisch elasto-plastisch starr-plastisch visko-plastisch Werkstoffparameter Fließkurve elastische Konstanten Anisotropie Leitfähigkeit Reibung Reibmodell Reibparameter Randbedingungen Numerische Parameter (Quelle: ) starre / elastische Werkzeuge Symmetrie- / Verschiebungsrandbedingungen Wärmeübergangskoeffizienten Elementtyp Diskretisierung (Ort und Zeit) Gleichungslöser, Iterationsvorschrift, Konvergenzwerte etc. -6- Werkstoffcharakterisierung für die Finite-Element-Analyse Werkstoffverhalten Fließkurvenermittlung Fließortkurvenbeschreibung Modellierung der Anisotropieentwicklung Versagensvorhersage Schädigungskriterien und -parameter Tribologie Realitätsnahe Modellierung der Reibverhältnisse Eperimentelle Bestimmung von geeigneten Kennwerten und Parametern -7-

4 Erreichbare Dehnungen mit unterschiedlichen Versuchsaufbauten Fließspannung k f Kreuzugversuch Zugversuch Scherversuch Stauchversuch Umformgrad φ Torsion,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1, Maimale Dehnung im Zugversuch limitiert Berechnete Dehnung in FEA i. Allg. deutlich größer Unterschiedliche Versuche liefern unterschiedliche Fließkurven Versuche mit homogenem Dehnungsfeld i. Allg. erforderlich Etrapolation Fließkurvenetrapolation Etremdarstellung Fließspannung k f in MPa Werkstoff: DC4 Swift Voce Swift: k = k ( f ϕ + ϕ ) n Voce: k f = b - (b -a) e - (c ϕ ),2,4,6,8 1 Umformgrad ϕ (Quelle: )

5 Zusammenhang Fließkurve - Fließortkurve Fließkurve Fließortkurve k f in MPa 2 1 σ 2 in MPa 2 1 σ σ σ V -1 σ.2.4 Umformgrad ϕ σ 1 in MPa Fließkriterium nach v. Mises bei ebenem Spannungszustand Ebener Spannungszustand: σ σ II = 2 =! σ III Y -Y 45 Y σ I -Y Der Fließvorgang beginnt, wenn: k = σ = σ σ σ + σ 2 2 f v. M. I I III III

6 Anisotrope Fließortbeschreibungen AA σ 2 in MPa Hill '48 Barlat89 Yld2 σ 1 in MPa -15 Fließort nach Hill 48 Eperimentelle Approimation der Fließortkurve σ 2 σ

7 Beispiel Schichtstauchversuch Schichtstauchprobe Ausgangszustand Schichtstauchversuch d 2 3D-Dehnungsmesssysteme Endzustand f = = = = + d 2 d 1 (Quelle: LFT, Erlangen) Spannungsdeviator Der wahre Spannungstensor kann zusätzlich unterteilt werden in: σ = σ + σ h ij ij ij Mit dem deviatorischen Spannungstensor σ ij : ( - ) σ σh τ y τ z h σ ij = σij σij = τ y ( σ yy -σh ) τ yz τ z τ zy ( σ zz-σ h ) Der deviatorische Spannungszustand ist für die Umformung relevant!

8 Vergleich der Spannungszustände Hydraulischer Tiefungsversuch Schichtstauchversuch Alternative Versuchsaufbauten Beispiel Ebener Torsionsversuch Kreisförmige innere Spannbacken Ringförminge äußere Spannbacken Blechhalbzeug als Probe (s,ma 2 mm) Erreichbarer Vergleichsumformgrad ϕ v 1 M, θ M Versuchsaufbau (automatisiert) A r i A Bestimmung von Eigenschaften (Quelle: ) Probe Innere Spannbacken Probe A-A Äußere Spannbacken r a

9 Inverse Analyse Zyklische Scherversuche Der Unterschied zwischen den Kurven wird durch Optimierung iterativ minimiert. Eperimentelle Identifikation der Anisotropie Bestimmung von Eigenschaften Versuch Fließspannung, k f Fließortkurvenpunkt Zug (einachsig) 45 & 9 FOK benötigt Plane Strain-Zug & 9 FOK benötigt Hydraulische Tiefung Kreuzzug Scherung Schichtstauchversuch FOK benötigt FOK benötigt FOK benötigt FOK benötigt FOK: Fließortkurve

10 Inverse Methoden zur Werkstoffdatenidentifikation Konventionelle Methode Inverse Methode Annahme eines homogenen Deformationsfeldes Analytische Berechnung der Spannungen und Dehnungen Die Annahme eines homogenen Deformationsfeldes wird nicht benötigt Keine wesentliche Beschränkung der Probengeometrie Berücksichtigte eperimentelle Daten Werkstoffe: AA616 1 mm AA mm DC6 1 mm F σ 2 Genormte Zugversuche : σ 1 Schichtstauchversuch Zugversuch taillierter Proben : F Anfangs-FOK v. Mises Ermittelte Kenngröße: σ σ 45 σ 9 σ b r r 45 r

11 Inverse Identifikation Ergebnisse AA Hauptumformgrad 45 Kraft in kn Eperiment Optimiertes Ergebnis Weg in mm -24- Werkstoffparameter Eperimentelle Werte invers ermittelt σ [MPa] 112,5 112,5 σ 9 [MPa] σ b [MPa] r,85,92 r 9,77,85 Ergebnisse Strategie Al σ 2 in MPa σ 1 in MPa Analytisch angepasste FOK Inv. ermittelte FOK -25-

12 Isotrope und kinematische Verfestigung Bauschinger-Effekt Bedeutung / Beobachtung: Belastung im Zugbereich bis k f, Zug Lastumkehr bis k f, Druck k f, Druck < k f, Zug σ k f, Zug k f, F ε k f, Druck -26- Spannungs-Dehnungskurve mit Bauschinger- Effekt F (Quelle: ) Eperimenteller Aufbau für zur Identifikation des Bauschinger-Koeffizienten Stabilisierungsplatten Hydraulische Einspannung Optische Dehnungsmessung Zug-Druck Test Material: DC6 Dicke s = 1, mm Messbereich: 2 2 mm² Messbereich Beleuchtung Vorrichtung für Universal Zug-Druck-Prüfmaschine Miniaturisierte Zugprobe Ermittelter Bauschinger-Koeffizient von β DC6 =,73 =, -27-

13 Relevanz der kinematischen Verfestigung am Beispiel Tiefziehen Vergleichsumformgrad ϕ v,66,44,22, Dicke in mm 1,25 1,,75,5 1. Hauptumformgrad ϕ 1,3,2,1 Material: DC6 (s =,5 mm) -,2 -,1,1 2. Hauptumformgrad ϕ 2 Kreuztiefziehnapf mit nicht-linearen Dehnungspfaden Wechsel des Spannungszustands Zug-Druck biaialer Zug -28- Isotrope und kinematische Verfestigung Fließorte Isotrope Verfestigung Kinematische Verfestigung σ II Folgefließortkurven σ II Folgefließortkurven σ I α α σ I Initiale Fließortkurve Initiale Fließortkurven In der Realität meist nicht zutreffend! -29-

14 r-werteentwicklung bei isotop-kinematischer Verfestigung σ β = 1 : isotrope Verfestigung β = : kinematische Verfestigung - β = 1, σ iso σ β =,73 X β =,5 2 r -Wert Vergleichsumformgrad ϕ v Φ=! " X =! " $%& = Initialer Fließort Folgefließort Schwierigkeit: Trennung von isotropem Anteil σ iso und kinematischen Anteil X Eperimenteller Aufbau für Bia-Prüfung Optische Dehnungsmessung Kreuzzugprobe Spannvorrichtung CCD Spannvorrichtung für Kreuzzugprobe A Kraftmessdose Lager y F A α z y Schnitt A-A F z Beweglicher Tisch Biaialer Zug in Anlehnung an ISO Verschiebungsgesteuerte biaiale Zugprüfvorrichtung (r b = 1,) Kraftmessdose für jede einzelne Lastrichtung Optische Dehnungsmessung zur lokalen Dehnungsanalyse

15 r-werteentwicklung bei isotop-kinematischer Verfestigung σ β = 1 : isotrope Verfestigung β = : kinematische Verfestigung - β = 1, σ iso σ β =,73 X β =,5 2 r -Wert Vergleichsumformgrad ϕ v Φ=! " X =! " $%& = Initialer Fließort Folgefließort Inverse Methoden zur Werkstoffdatenidentifikation Konventionelle Methode Inverse Methode Annahme eines homogenen Deformationsfeldes Analytische Berechnung der Spannungen und Dehnungen Die Annahme eines homogenen Deformationsfeldes wird nicht benötigt Keine wesentliche Beschränkung der Probengeometrie

16 Optimierungsverfahren =( Iterationsverfahren Umformtechnische Verfahrensgestaltung SoSe215 FEM - 2 Prinzipielle Fragestellung: Iteration K( u) u = F( u) K( u) u = ˆ f ( ) 15,15 ( ) = C f F = 12,5 Frage: Wert für bei f() = F = 12,5 Funktion f () 1 5 Überführung in Nullstellenproblem S Argument

17 Prinzipielle Fragestellung: Iteration ( ),15 f = C F = F = 12,5 5 Frage: Wert für bei f() = Funktion f () -5-1 Methode? S Argument Sekantenverfahren / Direkte Iteration 1 F f() = F Frage: Abbruchbedingung? Eakte Lösung δ = n - n-1 < Vorgabewert δ = F n - F n-1 < Vorgabewert Rechenvorschrift n n+1 = F f n f ( ) ( )

18 Sekantenverfahren / Direkte Iteration 1 ( ),15 f = C F = F = 12,5 Funktion f () Iterationsanzahl (δ =,1): 3 Iterationsanzahl (δ =,1): 44 Iterationsanzahl (δ =,1): S Argument Vorteil: Einfache Implementierung Nachteil: Viele Iterationen Sekantenverfahren / Direkte Iteration 2 F f() = F Eakte Lösung Rechenvorschrift = n+1 n ( n n-1 ) f ( n ) f ( ) f ( ) n n

19 Sekantenverfahren / Direkte Iteration 2 ( ),15 f = C F = F = 12,5 Funktion f () Iterationsanzahl (δ =,1): 6 Iterationsanzahl (δ =,1): 7 Iterationsanzahl (δ =,1): S Argument Vorteil: Einfache Implementierung Nachteil: Relativ viele Iterationen Newtonverfahren F f() = F Eakte Lösung Rechenvorschrift = n+1 n f f ( n ) ( ) n

20 Newtonverfahren ( ),15 f = C F = F = 12,5 Funktion f () Iterationsanzahl (δ =,1): 5 Iterationsanzahl (δ =,1): 5 Iterationsanzahl (δ =,1): S Argument Vorteil: Wenige Iterationen Nachteil: Ableitung muss wiederholt gebildet werden! Modifiziertes Newtonverfahren ( ),15 f = C F = F = 12,5 Funktion f () Iterationsanzahl (δ =,1): 14 Iterationsanzahl (δ =,1): 2 Iterationsanzahl (δ =,1): S Argument Vorteil: Ableitung muss nur einmal gebildet werden Nachteil: Hohe Iterationsanzahl

21 Newtonverfahren allgemein Eindimensional Mehrdimensional F f() = F Eakte Lösung Rechenvorschrift = n+1 n f f ( n ) ( ) n Mehrdimensionaler Optimierungsalgorithmus nach Nelder & Mead Γ () = ( - 2) + ( - 2) ( - 3) + ( - 3) Γ () 2 in 1 2 S in in in