Sommersemester MMSM 2, Vorlesung 2. Dr.-Ing. Ulrich Simon Dipl.-Math. Bernhard Wieland.

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1 Sommersemester 212 MMSM 2, Vorlesung 2 Dr.-Ing. Ulrich Simon Dipl.-Math. Bernhard Wieland Ulmer Zentrum für Wissenschaftliches h Rechnen (UZWR) 2 Allgemeines 2.1 Ziel der Vorlesung Reale dynamische Probleme in Mathematik übersetzen können. Probleme lösen könne (Methoden, Werkzeuge). Ergebnisse verständlich darstellen können. 1

2 2.2 Gliederung Grundlagen aus der Statik Kinetik Dynamik Schwingungen von 1 G Schwingungen von n G Kontinuums-Schwingungen Regelung 3 Grundlagen aus der Statik 3.1 Größen, Dimensionen, Einheiten 3.2 Kraft, Moment, reikörperbild 3.3 Spannung, Dehnung, Werkstoffgesetze Kurze Wiederholung aus dem Wintersemester 2

3 3.1 Größen, Dimensionen, Einheiten Standard: ISO 31, DIN 1313 Größe = Zahlenwert Einheit Länge L = 2 m = 2 m {Größe} = Zahlenwert [Größe] = Einheit falsch: Länge L [m] richtig: Länge L / m oder Länge L in m SI-Basiseinheiten (Mechanik): m (Meter), kg (Kilogramm), s (Sekunde), K (Kelvin) 3.2 Kraft, Moment, reikörperbild, statisches Gleichgewicht 3

4 Die Kraft Kräfte aus Erfahrung bekannt: Muskelkraft,... Der Begriff Kraft ist axiomatisch, d.h. ohne Definition. Zweites Newtonsches Axiom: Kraft = Masse Beschleunigung oder = m a Zum Merken: Die Kraft ist die Ursache für eine Beschleunigung (Bewegungsänderung) oder eine Verformung Dehnung) eines Körpers. Einheit der Kraft Newton N = kg m/s 2 1 N Zum Merken: Gewichtskraft einer Tafel Schokolade 1 Newton 4

5 Schnittprinzip (Euler) und reikörperbild 1 kg 1 N reikörperbild Zum Merken: Erst schneiden dann Kräfte und Momente eintragen. reikörperbild = völlig freigeschnittenes Teilsystem Darstellen von Kräften Kräfte sind vektorielle Größen mit Betrag und Richtung. Wirkungslinie Schraube 5 N 5

6 Das Moment Schlitzschraube mit Schraubenzieher- Klinge (belastet) Klinge Schraube M = a a Kräftepaar (, a) Moment M Zum Merken: Ein Moment ist die Ursache für eine Dreh-Beschleunigung (Bewegungsänderung) oder eine (Dreh-) Verformung (Torsion, Biegung) eines Körpers. Zum Denken: Moment gleich Drehkraft Einheit des Moments Newton-Meter N m = kg m 2 /s 2 Rechte-Hand-Regel: Darstellung von Momenten... mit Drehpfeilen oder Doppelpfeilen Momente sind vektorielle Größen Betrag Richtung Richtungssinn Achse Drehpfeil 5 Nm oder 5 Nm Doppelpfeil 6

7 Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes P P h P M = h M P P axial quer Zum Merken: Moment = Kraft mal Hebelarm (Hebelarm senkrecht zur Wirkungslinie) Verschiedene Schnittkräfte und -momente Schnitt durch a) Seil b) Balken 2D c) Balken 3D d) (Scharnier-)Gelenk in 2D e) Allg. Punktkontakt f) Allg. Schnitt durch 3D Körper (Kartoffel) 7

8 reiheitsgrade, Bindungen reiheitsgrade [degrees of reedom, DO]: Objekt reiheitsgrade f Bewegungsarten Punktmasse in 2D Punktmasse in 3D Starrer Körper in 2D Starrer Körper in 3D n starre Körper in 3D reiheitsgrade, Bindungen reiheitsgrade [degrees of reedom, DO]: Objekt reiheitsgrade f Bewegungsarten Punktmasse in 2D 2 2 Translationen Punktmasse in 3D 3 3 Translationen Starrer Körper in 2D 3 2 Transl., 1 Rotation Starrer Körper in 3D 6 3 Transl., 3 Rotation n starre Körper in 3D n x 6 Systeme von n starren Körpern mit Bindungen b [constraints]: f = 3n b (in 2D) f = 6n b (in 3D) 8

9 Statische Bestimmtheit reiheitsgrade it f = 6n - b Gleichungssystem System ist statisch unbestimmt bestimmt überbestimmt > = < Dynamik bestimmt Sechs Gleichungen für sechs unbekannte Auflagerkräfte /- momente unterbestimmt Redundante Bindungen führen zu nichteindeutigen Lösungen Statisches Gleichgewicht 1 N reikörperbild innerhalb der Hüllfläche Wichtig: Gleichgewicht nur an reikörperbildern 9

10 3 Gleichgewichtsbedingungen für KB in 2D: Summe aller Kräfte in x - Richtung : Summe aller Kräfte in y - Richtung : Summe aller Momente bezüglich P : 1, x 1, y M + P 1, z + 2, x 2, y + M! +... =, +... =, P 2, z!! +... =. KräfteGG können durch MomentenGG ersetzt werden, aber 3 MomentenGG dürfen nicht auf einer Geraden liegen 6 Gleichgewichtsbedingungen für KB in 3D: Summe aller Kräfte in x - Richtung Summe aller Kräfte in y - Richtung : Summe aller Kräfte in z - Richtung Summe aller Momente um x - Achse Summe aller Momente um y - Achse Summe aller Momente um z - Achse : : i i i ix! =,! =, iy! =, iz bezüglich Punkt P : bezüglich Punkt Q : bezüglich Punkt R : i i i M M M P ix Q iy R iz! =.! =.! =. KräfteGG können durch MomentenGG ersetzt werden, aber Max. 2 MomentenGG um parallele Achsen 1

11 Lösungsrezept Schritt 1: Modellbildung. Generieren eines Ersatzmodells (Skizze mit Geometrie, Lasten, Einspannungen). Weglassen unwichtiger Dinge. Das reale System muss abstrahiert werden. Schritt 2: Koordinaten (Wege, Winkel) einführen. Ausgelenktes System hinzeichnen und Auslenkungen gegenüber Referenzlage beschreiben. Schritt 3: Schneiden, KB: System aufschneiden, Schnittkräfte/-momente, reikörperbild (KB). Schritt 4: Gleichgewichte: Kräfte-/Momentengleichgewichte für reikörper anschreiben Gleichungen. Schritt 5: Gleichungen lösen. Schritt 6: Auswerten: Ergebnisse prüfen, deuten, darstellen. Verifizieren: Mathematisch korrekt? Plausibilität, Konvergenz, prüfen. Validieren: Annahmen gültig? Mit Experimenten vergleichen Spannung, Dehnung, Werkstoffgesetze 11

12 Die Spannung 5 N otos: Lutz Dürselen Definition der Spannung σ : = Δ lim A ΔA Δ Zum Merken: Spannung = verschmierte verschmierte Schnittkraft, Spannung = Kraft pro läche oder σ = /A 12

13 Einheit der Spannung Mega-Pascal: 1 MPa = 1 N/mm 2 Pascal: 1 Pa = 1 N/m 2 Normal- und Schubspannungen 1 P 2 P σ 1 P P τ 2 σ 2 Schnitt 1: Schnitt 2: Zugstab mit Normalspannung σ 1 mit Normalspannung σ 2 und Schubspannung τ 2 13

14 Allgemeiner (3D) Spannungszustand in einem Punkt des Körpers: Drei Spannungskomponenten in einem Schnitt (Normalsp., 2x Schubsp. ) mal Drei Schnitte (z.b. frontal, sagittal, transversal) gleich Neun Spannungskomponenten, die den vollständigen 3d Spannungszustand in einem Punkt im Körper kennzeichnen. Sechs Komponenten davon sind unabhängig ( Gleichheit der Schubsp. ) σ σ = σ σ xx yx zx σ σ σ xy yy zy σ xz σ yz σ zz σ = τ τ xx xy xz τ σ τ xy yy yz τ xz τ yz σ zz Der Spannungstensor Allgemeiner Spannungszustand... Sechs Komponenten Der Spannungstensor 14

15 Problem: Will man bunte Bilder machen, muss man sich für eine Komponente entscheiden. Aber welche soll man nehmen? Man kann statt tt einer einzelnen auch Mischungen der Komponenten- verwenden. So genannte Invarianten sind nichts weiter als besonders schlaue Mischungen bei denen unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems das selbe rauskommt: Hauptspannungen, Von-Mises-Spannung, Hydrostatischer Spannungsanteil, Oktaeder-Schubspannung,... σ Mises = σ 2 xx + σ 2 yy + σ 2 zz σ xx σ yy σ xx σ zz σ yy σ zz + 3 τ 2 xy + 3 τ 2 xz + 3 τ 2 yz Dehnungen DETAILS Seiltyp: Einfachseil Durchmesser: 1.5 mm Imprägnierung: ohne Gewicht: 72 g pro Meter angstoß: 9.6 kn Anz. Stürze: 1 Mantelverschiebung: mm Dehnung statisch: 7.7 % Dehnung dynamisch: 32 % Knotbarkeit:.7 arbe: mix Zum Merken: Dehnung = relative Längenänderung (Winkeländerung) 15

16 Definition der Dehnung Dehnung = Längenände Ursprungsl rung änge Einheit der Dehnung Ohne Einheit, also z.b.: 1 1/1 = % 1/1.. = μ (micro strain) =,1 % Globale oder lokale Dehnungen Globale, äußere Dehnung Lokale, innere Dehnungen Spalt Dehnung (Gestaltänderung) im rakturkallus 16

17 Definition des lokalen Dehnungszustands y y +Δy α z γ β x α +Δα z +Δz γ +Δγ β +Δβ x +Δx unverformt (spannungsfrei) verformt (Spannungen an allen Oberflächen) Definition des lokalen Dehnungszustands xx xy = = lim Δx, = lim Δy, lim yy zz x x y y y 1 Δγ, 2 xz 1 = Δβ, 2 yz = 1 = Δα 2 Δz z 1 2 ( u + u ), i, j { x, y, } ij = i, j j, i = z xx = xy xz xy yy yz xz yz zz Der Dehnungstensor 17

18 Werkstoffgesetze... verknüpfen Spannungen und Dehnungen miteinander Lineares Werkstoffgesetz σ = E σ = E σ ij = E ijkl kl Stress σ Strain linear Linear Elastic Law σ σ σ τ τ τ xx yy zz xy yz zx (1 v) E = (1 + v) (1 2v) sym σ = E v (1 v) v v (1 v) (1 2v) 2 (1 2 v ) 2 γ γ (1 2v) γ 2 xx yy zz xy yz zx E - Elastizitätsmodul, E-Modul [Young s modulus] ν - Querkontraktionszahl [Poisson s ratio] ( ) Voll besetzter Tensor 4. Stufe für drei Dimensionen (81) Gleichheit einander zugeordneter Schubspannungen (Boltzmann Gleichheit einander zugeordneter Schubspannungen (Boltzmann Kontinua) und Scherdehnungen (36) Maxwellscher Reziprozitätssatz Volle Anisotropie (21) Orthotropic (9) Transverse Isotropic (5) Isotropy (2) 18

19 Zum Merken: Ein linear-elastisches, isotropes Werkstoffverhalten wird durch zwei Werkstoffparameter gekennzeichnet: z.b.:. E und ν Ein allgemeines anisotropes Werkstoffgesetz besitzt 21 Werkstoffparameter. Zwei von: E - Elastizitätsmodul, E-Modul [Young s modulus] ν - Querkontraktionszahl [Poisson s ratio] ( ) G - Schubmodul [Shear modulus] K - Kompressionsmodul [Bulk modulus] μ, λ - Lamesche Konstanten [Lame Constants] Kompliziertere Werkstoffgesetze: Spannung σ Belastung Spannung σ Belastung Entlastung Dehnung Nicht-linear Nicht-elastisch, plastisch Anisotrop Viskoelastisch, Typ: innere Dämpfung Viskoelastisch, Typ: Gedächtniseffekt Entlastung Dehnung b 1 Spannung σ.. k b k. k 1 Dehnung 19

20 Vier einfache Lastfälle: a. Zug und Druck Zugstab (Dehnsteifigkeit EA) EA EA = ΔL, k = L L L d d -Δd A σ ΔL unbelastet belastet Schnitt b. Scherung Scherstift (Schersteifigkeit GA) A γ w τ GA = w, k = L GA L L unbelastet belastet Schnitt 2

21 c. Biegung (Kragbalken) Kragbalken (Biegesteifigkeit EI a, Länge L) Schnitt z x M w ϕ Zugsp. Neutrale aser Drucksp. 3 L w= 3EI 2 L ϕ = 2EI a a 2 L + 2EI + L EI a a M, M. Schubsp. D k d. Torsion Torsionsstab (Torsionssteifigkeit GI T ) L γ R ϕ M τ GI M = ϕ, L c T = GI L T Länge L, Radius r Schnitt Zum Merken: Der Röhrenknochen hat eine günstige (materialsparende) Gestalt bei Torsions- und Biegebeanspruchungen. 21

22 lächenmomente Rechteck: Vollkreis: Rohr: h D D d b Axiales lächenmoment zweiten Grades I a b h = 12 3 I a π 4 = 64 D I a π 4 = ( D d ) 64 Polares lächenmoment zweiten Grades I I π 4 32 D T = P = I T = I p π = ( D d )