Einfachere Pflichtbereichaufgaben ohne Parameter e

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1 Einfachere Pflichtbereichaufgaben ohne Parameter e Aufgabe (Pflichtbereich 000) Für nebenstehende Figur gilt: AB0, 8cm, BC4,5 cm, 54, Berechne die Länge AS. Aufgabe (Pflichtbereich 000) Vom rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben: AC0, 0cm ; BC6, 0cm. Der Winkel ACD wird von w halbiert. Berechne die Länge von w. Aufgabe (Pflichtbereich 00) Im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt: AB9,5 cm ; 5, 0 ; AG BG Wie groß ist? Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks BCG. Aufgabe 4 (Pflichtbereich 00) Im rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben: BC,cm ; DC4, 4cm ; 8, Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ADC.

2 Aufgabe 5 (Pflichtbereich 006) Die Figur besteht aus den Dreiecken ABC und DFC. Gegeben sind: AB4, 0cm ; BC7, 4cm ; AE,7 cm ; AC ist die Winkelhalbierende von. Berechne die Länge DF.

3 Schwierigere Pflichtbereichaufgaben ohne Parameter e Aufgabe 6 (Pflichtbereich 999) Von der Figur ABCD sind bekannt: AB4,cm AD5,7cm 07, 0 BD CD. Berechne den Abstand des Punktes D von BC. Aufgabe 7 (Pflichtbereich 999) Vom Trapez ABCD sind gegeben: AB,6cm DE6,5 cm 64, 0 47,. Berechne die Länge BE und CE. Aufgabe 8 (Pflichtbereich 00) Gegeben ist der Würfel mit der Kantenlänge a = 7, cm. Der Streckenzug PQRS hat die Länge,7 cm. Der Winkel beträgt 7,5. Berechne die Länge PQ und den Winkel. Aufgabe 9 (Pflichtbereich 00) Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 6,8 cm. Auf ihm liegt der Streckenzug PQR mit der Länge 4,9 cm. Wie groß ist der Winkel?

4 Aufgabe 0 (Pflichtbereich 00) Das Viereck ABCD ist ein rechtwinkliges Trapez. Es gilt: AE, cm ; CE8, cm ; 5, 8. Berechne die Länge CD. Aufgabe (Pflichtbereich 00) In der Figur ABCDE sind gegeben: BC7,0cm CD6,6cm DE5,4cm 7, 0 Berechne die Länge AE. Aufgabe (Pflichtbereich 004) Im Viereck ABCD sind gegeben: AC 0,7 cm AD 5,5 cm BC 9,6 cm 48, Berechne den Winkel. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks ACD? 4

5 Aufgabe (Pflichtbereich 004) Das rechtwinklige Dreieck ABD und das gleichschenklige Dreieck ABC haben die Seite AB gemeinsam. Es gilt: AD, cm ACBC5,9 cm, 7 Berechnen Sie den Winkel. Aufgabe 4 (Pflichtbereich 005) Das Viereck ABCD ist ein Quadrat. Es gilt AE8,0 cm 57,0 Berechnen Sie die Länge BE. Aufgabe 5 (Pflichtbereich 005) Auf der Geraden AD liegen die Dreiecke ABC und BDE. Es gilt: AB5,4cm 48, 0 BE 0, cm 74, 0 Berechnen Sie die Länge CE. Aufgabe 6 (Pflichtbereich 006) Im Quadrat ABCD liegt der Streckenzug AEF. Es gilt: AE5,6cm EF4,7 cm 57, 0 Berechnen Sie die Länge einer Quadratseite. 5

6 Wahlbereichsaufgaben ohne Parameter e Aufgabe 7 (Wahlbereich 999) Von der Figur ABCDE sind gegeben: BC9,8cm DE,7 cm AE8,8 cm 55, 0 Berechne den Flächeninhalt der Figur. Aufgabe 8 (Wahlbereich 000) Vom Fünfeck ABCDE sind gegeben: BC,5cm DE6,0 cm EA,4cm 8, 0 A = 5, cm² (Fläche des Fünfecks) Berechne den Abstand des Punktes D von AB und den Winkel. Aufgabe 9 (Wahlbereich 00) Vom Viereck ABCD sind gegeben: AB4,cm AD6,9cm BC7,5cm 70, 6 Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD sowie den Winkel ADC. 6

7 Aufgabe 0 (Wahlbereich 00) Für das Trapez ABCD gilt: BC7,8cm CD7,0 cm 6, DE liegt parallel zu BC und halbiert die Fläche des Trapezes. Berechne den Winkel Aufgabe (Wahlbereich 00) Vom Viereck ABCD sind gegeben: AB,0 cm ; CD 8, cm ;, 0; 6, 0 Berechne den Abstand des Punktes D von AC sowie den Winkel CAD. Auf AC liegt ein Punkt E; er ist von A und D gleich weit entfernt. Berechne die Länge von AE Aufgabe (Wahlbereich 00) Zwei Quadrate mit den Seitenlängen 0,0 cm bzw. 7,0 cm werden wie rechts skizziert aneinander gelegt. P und R sind die Mittelpunkte der Diagonalen, Q ist der Mittelpunkt der Strecke AB. Berechne die Länge des Streckenzuges APQRB und die Größe des Winkels RQP. Aufgabe (Wahlbereich 00) Die Punkte A(-4/0) und B(0/ y B) bilden mit dem Koordinatenursprung ein rechtwinkliges Dreieck. Der Punkt B ist auf der y-achse beweglich. Der Innenwinkel des Dreiecks bei A wird mit bezeichnet. Der Winkel ist von y B abhängig. Tabellieren Sie diese Abhängigkeit des Winkels für y B von 0 bis 7 in Einerschritten. Zeichne das zugehörige Schaubild. Wie groß ist jeweils y B, wenn die Werte 0 bzw. 60 annimmt? Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck jeweils, wenn die Werte 0 bzw. 60 annimmt? 7

8 Aufgabe 4 (Wahlbereich 00) Vom gleichschenkligen Trapez ABCD sind gegeben: AB5,6cm AD 7,8 cm 64, Berechne die Länge AE. Welchen Abstand hat E von BC? Aufgabe 5 (Wahlbereich 004) Das Fünfeck ABCDE besteht aus einem Quadrat und einem rechtwinkligen Dreieck. Gegeben sind: CD 4, cm, 4. Berechne die Länge BD und den Flächeninhalt des Vierecks ABDE. Aufgabe 6 (Wahlbereich 005) Im Dreieck ABC liegt das Trapez ADEF. Gegeben sind: AF7,cm FE5,0cm BC4,0cm 44, 0 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes ADEF. 8

9 Aufgabe 7 (Wahlbereich 006) In der Figur ABCDE sind gegeben: AB,cm AE8,5 cm BC4,7 cm 59, 0 4, 0 Berechnen Sie die Länge DF. Aufgabe 8 (Wahlbereich 006) Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt 4,5 cm². Weiterhin gilt: AC5, 8cm ; AM MB Das Dreieck MBD nimmt ein Drittel der Fläche des Dreiecks ABC ein. Berechnen Sie die Länge BD. Wahlbereichsaufgaben mit Parameter e Aufgabe 9 (Wahlbereich 999) Im nebenstehenden Rechteck ABCD halbiert der Punkt E die Länge vonaf. Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass sich der Flächeninhalt des Teildreiecks AED mit der Formel e A 6 berechnen lässt. 9

10 Aufgabe 0 (Wahlbereich 000) Gegeben ist das Dreieck ABC. Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass sich der Umfang des Teildreiecks ABD mit folgender Formel berechnen lässt: u e( 6) Aufgabe (Wahlbereich 00) Der Umfang des Trapezes (siehe Skizze) lässt sich mit der Formel u e(9 6) berechnen. Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass gilt: tan 4 Aufgabe (Wahlbereich 00) Im nebenstehenden Dreieck ABC ist M der Mittelpunkt von CF. Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass gilt: tan. Aufgabe (Wahlbereich 004) Im Rechteck ABCD gilt: AD e; 0 Zeige, dass sich der Flächeninhalt des Vierecks ASED mit der Formel berechnen lässt: A e 6 0

11 Aufgabe 4 (Wahlbereich 005) Gegeben ist ein rechtwinkliges Trapez. Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass gilt: tan Aufgabe 5 (Wahlbereich 006) Nebenstehende Figur zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten- und Hypotenusenquadrat. Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte: Der Abstand des Punktes F von der Geraden DE beträgt 7 e

12 Lösung Aufgabe (Pflichtbereich 000) Berechnung der Strecke AD im Dreieck ABD: AD cos AD ABcos 0,8 cos 54, 6,cm AB Berechnung des Winkels im Dreieck ABC: Daraus folgt 54,,6, 58 Berechnung der Strecke AS im Dreieck ADS: BC 4,5 tan tan, 6 AB 0,8 AD AD 6, cos AS 7,4 cm AS cos cos,58 Lösung Aufgabe (Pflichtbereich 000) BC 6 Berechnung des Winkels im Dreieck ABC: tan tan AC 0 Berechnung des Winkels im Dreieck ADC: Berechnung des Winkels : 9,5 CD Berechnung von CD im Dreieck ADC: sin CDACsin0sin5,5cm AC CD CD 5,5 Berechnung von w CE im Dreieck EDC: cos CE w 5,9 CE cos cos 9,5 cm

13 Lösung Aufgabe (Pflichtbereich 00) Da das Dreieck ABG gleichschenklig ist, gilt 5 Aus der Winkelsumme im Dreieck ABC folgt BC Berechnung der Strecke BC im Dreieck ABC: sin BC 9,5 sin5 4, 0cm AB CG Berechnung der Strecke CG im Dreieck BCG: tan CG 4,0tan40, 6cm. CB Berechnung der Fläche des Dreiecks BCG: A BCG BCCG 4,0, 6 6,74 cm² Lösung Aufgabe 4 (Pflichtbereich 00) BC, Berechnung von im Dreieck DBC: cos 4, 4 DC 4,4 Berechnung des kompletten Winkels bei C: 4,4 8, 59, 5 Berechnung von BD im Dreieck DBC: BD DC BC 4,4,, 9cm Fläche des Dreiecks DBC: A DBC DBBC,9, 4, 8cm² AB Berechnung von AB im Dreieck ABC: tan AB, tan 59,5 5, 6cm BC Fläche des Dreiecks ABC: A ABC ABBC 5,6, 9, 4cm² Fläche des Dreiecks ADC = 9,4 cm² - 4,8 cm² = 4,44 cm²

14 Lösung Aufgabe 5 (Pflichtbereich 006) Lösungsplan:.) Berechnung der Strecke AC im Dreieck ABC mit Pythagoras.) Berechnung des Winkels im Dreieck ABC mit der Tangensformel.) Berechnung der Strecke CFim Dreieck EFC mit der Kosinusformel 4.) Berechnung der Strecke DF im Dreieck DFC mit der Tangensformel.) Berechnung der Strecke AC im Dreieck ABC AC AB BC 4,0 7,4 8,4cm.) Berechnung des Winkels im Dreieck ABC AB 4 tan tan 8,4 56,8 BC 7,4.) Berechnung der Strecke CFim Dreieck EFC Es gilt CEACAE8,4,7 5, 7cm CF cos EC CF EC cos CF5,7cos8,4 5cm 4.) Berechnung der Strecke DF im Dreieck DFC: DF tan DFFCtan DF5tan56,87,6cm FC 4

15 Lösung Aufgabe 6 (Pflichtbereich 999) Der gesuchte Abstand von D zu BC entspricht der Strecke DE. Da das Dreieck BCD gleichschenklig ist, teilt die Höhe DE den Winkel in zwei gleiche Teile auf. Berechnung von BD im Dreieck ABD: BD AD AB 4,² 5,7² 7, 08cm Damit gilt auch CD7, 08cm. AB 4, Berechnung des Winkels im Dreieck ABD: tan 6,4 AD 5,7 Es gilt 07,0 6, 4 70,6 Berechnung der Strecke DE im Dreieck BDE: DE cos DE 7,08 cos 5, 5,8 cm DB 5

16 Lösung Aufgabe 7 (Pflichtbereich 999) Berechnung der Strecke FB EG: FB ABAF,66,5 6, cm = EG Berechnung der Strecke BE im Dreieck EFB: cos FB BE BE 6, cos 64,0,9 cm Berechnung der Strecke EF BG im Dreieck EFB: EF BE² FB²,9² 6,², 49cm BG BG,49 Berechnung der Strecke CG im Dreieck BGC: tan CG, 5cm CG tan 47, Damit gilt: CEGECG6,, 5 7,6 cm Lösung Aufgabe 8 (Pflichtbereich 00) Berechnung von PQ: a sin PQ PQ Berechnung von QR: QR a a,6 sin 7,5 5,9 cm 7,²,6² 8,05cm Es gilt: PQQRRS, 7cm RS8, 75 cm. Berechnung des Winkels : a 7, cos cos 4,6 RS 8,75 6

17 Lösung Aufgabe 9 (Pflichtbereich 00) Berechnung der Strecke PQ im Dreieck PQT: PQ PT TQ,4 6,8 7,6cm Daraus folgt: QR4,9 PQ7, cm Berechnung von Winkel im Dreieck SQR: SR 6,8 sin 68,7 QR 7, Lösung Aufgabe 0 (Pflichtbereich 00) Berechnung der Strecke BE im Dreieck EBC: CE CE 8, sin BE 0,6cm BE sin sin 5,8 7

18 AE, Berechnung des Winkels im Dreieck ABE: cos 78, 07Außerdem gilt: BE 0, , Daraus folgt: 8078,076, 65, 7 Berechnung der Strecke CD im Dreieck ECD: CD sin CD CEsin 8, sin 65, 7 7,5 cm CE Lösung Aufgabe (Pflichtbereich 00) Berechnung der Strecke CF im Dreieck CDF: CF cos CF CD cos 6,6 cos 7 5,7cm CD Es gilt AGBFBCCF7,05,7,7 cm Es gilt und Berechnung der Strecke EG im Dreieck EGD: EG sin EG DE sin 5,4 sin 7,5cm DE Berechnung der Strecke AE: AEAGEG,7,5 4,98cm 8

19 Lösung Aufgabe (Pflichtbereich 004) E EC Berechnung der Strecke EC im Dreieck EBC: sin EC 9,6 sin 48, 7, 6cm BC Berechnung von im Dreieck AEC: EC 7,6 sin 4 AC 0,7 Berechnung der Strecke AE im Dreieck AEC: AE AC EC 0,7 7,6 7, 95cm Berechnung der Dreiecksfläche ACD: AACD ATrapezAECDADreieckAEC ADEC 5,5 7,6 A TrapezAECD AE 7,95 50,cm² AEEC 7,957,6 A DreieckAEC 8,46cm² und damit folgt A ACD 50,8,46, 86cm² Lösung Aufgabe (Pflichtbereich 004) AD, Berechnung der Strecke AB im Dreieck ABD: tan AB 5cm AB tan,7 AF,5 Berechnung von im Dreieck AFC: cos 64,9 AC 5,9 Daraus folgt ,9,7 8, 4 und daraus folgt 80 96, 6 9

20 Lösung Aufgabe 4 (Pflichtbereich 005) Lösungsplan:.) Berechnung der Strecke EF im Dreieck AEF mit der Sinusformel.) Berechnung der Strecke AF im Dreieck AFE mit der Kosinusformel.) Berechnung der Strecke BE im Dreieck FBE mit Pythagoras.) Berechnung der Strecke EF im Dreieck AEF sin EF EF AE sin AE Also gilt ABBCCDDA 6, 7cm. EF8sin576,7cm.) Berechnung der Strecke AF im Dreieck AFE cos EF EF AE cos AE EF8cos574,4cm.) Berechnung der Strecke BE im Dreieck FBE Berechnung der Strecke FB: FBABAF6,74,4,cm BE FB EF, 6,7 7,cm 0

21 Lösung Aufgabe 5 (Pflichtbereich 005) Lösungsplan:.) Berechnung der Strecke FC im Dreieck ACF mit der Tangensformel.) Berechnung der Strecke GE im Dreieck BGE mit der Sinusformel.) Berechnung der Strecke BG im Dreieck BGE mit Pythagoras 4.) Berechnung der Strecke CE im Dreieck CEH mit Pythagoras Aufgrund der gleich bezeichneten Winkel sind die beiden Dreiecke gleichschenklig. Da das Dreieck ABC gleichschenklig ist, halbiert der Punkt F die Strecke AB. Da das Dreieck BDE gleichschenklig ist, halbiert der Punkt G die Strecke BD.) Berechnung der Strecke FC im Dreieck ACF FC tan AF FCAFtan FC,7tan48 cm.) Berechnung der Strecke GE im Dreieck BGE GE sin GEBEsin GE0,sin749,9cm BE..) Berechnung der Strecke BG im Dreieck BGE BG BE GE 0, 9,9,8cm 4.) Berechnung der Strecke CE im Dreieck CEH HEFGFBBG,7,8 5,5 cm CHGEFC9,9 6,9 cm CE CH HE 6,9 5,5 8,8cm

22 Lösung Aufgabe 6 (Pflichtbereich 006) Lösungsplan:.) Berechnung der Strecke AF im Dreieck AEF mit Pythagoras.) Berechnung des Winkels im Dreieck AEF mit der Tangensformel.) Berechnung der Strecke AD im Dreieck AFD mit der Sinusformel.) Berechnung der Strecke AF im Dreieck AEF AF AE EF 5,6 4,7 7,cm.) Berechnung des Winkels im Dreieck AEF tan AE tan EF 5,6 50 4,7 Daraus folgt ,0507.) Berechnung der Strecke AD im Dreieck AFD sin AD AD AF sin AF AD7,sin77cm

23 Lösung Aufgabe 7 (Wahlbereich 999) Berechnung der Strecke BF im Dreieck FBC: Berechnung der Strecke AG im Dreieck AGF: BC tan BF FG tan AG BC 9,8 BF 6,9 tan tan 55 cm FG,7 AG,6 tan tan55 cm Berechnung der Strecke EG: EGAEAG8,8,6 6,cm Es gilt FGDE,7cm Berechnung der drei Teilflächen: BCBF 6,99,8 AGFG,6,7 A,8 cm² A 4,8 cm² A EGDE6,,7,9 cm² Agesamt AA A,8,9 4,8 6,5 cm²

24 Lösung Aufgabe 8 (Wahlbereich 000) Berechnung der Strecke AD im Dreieck ADE: AD AE ED,4 6,0 6, 46 cm Berechnung des Winkels im Dreieck ADE: DE 6,0 tan 68, AE,4 Daraus folgt 8,0 68, 59, 8 Berechnung der Strecke DF (= Abstand des Punktes D von AB) im Dreieck AFD: DF sin DFADsin 6,46 sin 59, 8 5,58 cm AD Berechnung der Winkel und : , 8090,8 Berechnung der Strecke AF im Dreieck AFD: AF AD DF 6,46 5,58,6cm Berechnung der Strecke CG mithilfe der gegebenen Fläche: AFünfeck AADEAAFDATrapezFBCD 5,,46,0,65,58 (5,58,5) CG 5, 7, 9, 4,54CGCG,96cm Berechnung der Strecke GD: GDFDBC5,58,5,08cm Berechnung des Winkels im Dreieck GCD: GC,96 tan 4,0 GD,08,8 0,4,95, 4

25 Lösung Aufgabe 9 (Wahlbereich 00) Berechnung der Strecke EC im Dreieck EBC: EC sin ECBCsin 7,5 sin 70,6 6,5cm BC Berechnung der Strecke EB im Dreieck EBC: EB BC EC 7,5 6,5 5, 80cm Daraus folgt: DFAE ABEB 4, 5,80 8, 4cm FCECEF6,56,9 9,6cm Berechnung der Fläche des Vierecks ABCD: A A A ABCD A ABCD EBC TrapezAECD 5,806,5 (6,9 6,5) 8, 446, cm² FC 9,6 Berechnung des Winkels ADC: tan 48, 84 DF 8,4 Winkel ADC = 48, = 8,84 5

26 Lösung Aufgabe 0 (Wahlbereich 00) Berechnung der Strecke CF im Dreieck FBC: CF sin CFDGBCsin 7,8 sin 6, 6,84cm BC Fläche des Parallelogramms EBCD: A EBCD EBCF7,06,8447,88 cm² Daraus folgt: A AED 47,88 AEGD 47,88 AE6,84AE4cm Berechnung der Strecke GE im Dreieck GED: DG tan EG EG DG tan 6,84,76cm tan 6, Berechnung der Strecke AG: AGAEGE4,760, 4cm Berechnung des Winkels im Dreieck AGD: DG 6,84 tan,7 AG 0,4 Lösung Aufgabe (Wahlbereich 00) Es gilt und 6, Der Abstand des Punktes D von AC entspricht der Strecke DH. DH Berechnung der Strecke DH im Dreieck HCD: sin DH8, sin67 7,46 cm CD AB,0 Berechnung der Strecke AC im Dreieck ABC: cos AC, 8cm AC cos,0 6

27 CH Berechnung der Strecke CH im Dreieck HCD: cos CH8, cos67, 6cm CD Es gilt: AHACCH,8,6 9, 67cm Berechnung von Winkel CAD = im Dreieck AHD: DH 7,46 tan 7,6 AH 9,67 Der Punkt E liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke AD, da er von A und D denselben Abstand besitzt. AH 9,67 Berechnung der Strecke AD im Dreieck AHD: cos AD, cm AD cos 7,6 Es gilt AF AD 6, cm. Berechnung der Strecke AE im Dreieck AEF: cos AF AE AE 6, cos 7,6 7,7 cm Lösung Aufgabe (Wahlbereich 00) Es gilt AP dquadrat 0 7, 07cm. Da das Dreieck AEP gleichschenklig ist, gilt AEEP5cm Wegen AB 7cm folgt AQ8, 5cm und EQ8,55,5cm. Berechnung der Strecke PQ im Dreieck EQP: PQ EP EQ 5,5 6, cm Es gilt RB dquadrat 7 4, 95cm Da das Dreieck FBR gleichschenklig ist, gilt FBFR,5cm. Es gilt FQBQBF8,5,5 5cm. Berechnung der Strecke QR im Dreieck QFR: QR QF FR 5,5 6,cm Gesamtstreckenzug APQRB = 7,07 + 6, + 6, + 4,95 = 4, cm EP 5 Berechnung des Winkels im Dreieck EQP: sin 55 PQ 6, 7

28 FR,5 Berechnung des Winkels im Dreieck QFR: sin 5 RQ 6, Winkel RQP = Lösung Aufgabe (Wahlbereich 00) y Es gilt tan B. 4 Mit dieser Formel können nun für y B 0,,,..., 7 der Winkel berechnet werden. y B ,6 6,9 45 5, 56, 60, Für 0 gilt y B 4tan0,. Für 60 gilt y B 4tan606, 9. Dreiecksfläche für 0: A 4,4, 6FE Dreiecksfläche für 60: A 46,9, 86FE 8

29 Lösung Aufgabe 4 (Wahlbereich 00) Es gilt ADBC7, 8cm. BG Berechnung der Strecke BG im Dreieck BCG: sin BG7,8 sin 64, 7cm BC AFBG7cm Berechnung der Strecke GC im Dreieck BCG: GC BC BG 7,8 7, 4cm Es gilt DFGC, 4cm und DGDFFG,4 5,6 9cm DG 9 Berechnung von Winkel im Dreieck BGD: tan 5, BG 7 Berechnung von Winkel : ,7,9 Berechnung der Strecke AE im Dreieck ABE: AE tan AE AB tan 5,6 tan 7,9 4,6cm AB Der Abstand von E zu BC entspricht der Strecke EH. Berechnung von EB im Dreieck ABE: EB AB AE 5,6 4,6 7, cm Berechnung des Winkels im Dreieck BCG: ,5,8 Berechnung von 4: 4 5,5,8 77,9 EH Berechnung der Strecke EH im Dreieck BHE: sin4 EH 7, sin 77,9 6,94 cm EB Der Abstand von E zu BC beträgt 6,94 cm. 9

30 Lösung Aufgabe 5 (Wahlbereich 004) CD 4, Berechnung der Strecke CD im Dreieck ECD: cos EC 4, 9cm EC cos,4 Es gilt CBEC4, 9cm F G FD Berechnung der Strecke FD im Dreieck FCD: sin FD4, sin,4, 6cm CD Es gilt DGGFFD4,9,6 7, 6cm FC Berechnung von FC im Dreieck FCD: cos FC4, cos,4, 4cm CD Es gilt GB FC, 4cm. Berechnung der Strecke BD im Dreieck GBD: BD GB DG,4 7,6 7, 9cm Berechnung der Fläche des Vierecks ABDE: AABDE AAGDE AGBD GDAE 7,64,9 AAGDE ATrapez EF (4,9,4) 8,9cm² A GBD GBDG,47,6,4cm² Gesamtfläche: A ABDE 8,9,4, cm² 0

31 Lösung Aufgabe 6 (Wahlbereich 005) Lösungsplan:.) Berechnung der Strecke LF im Dreieck ALF mit der Sinusformel.) Berechnung der Strecke AC im Dreieck ABC mit der Sinusformel.) Berechnung der Strecke AD mit dem zweiten Strahlensatz 4.) Berechnung der Trapezfläche ADEF.) Berechnung der Strecke LF im Dreieck ALF LF sin LFAFsin AF LFhTrapez 7,sin44 4,9cm.) Berechnung der Strecke AC im Dreieck ABC BC BC 4,0 sin AC AC 0,cm AC sin sin44 Daraus ergibt sich auch FCACAF0,7,,cm..) Berechnung der Strecke AD Mit Hilfe des.strahlensatzes ergibt sich AD AC AD 0, AD 7,7 EF FC 5,0, cm. 4.) Berechnung der Trapezfläche ADEF A ADEF Trapez htrapez Trapez 7,75,0 A 4,9, cm²

32 Lösung Aufgabe 7 (Wahlbereich 006) Lösungsplan:.) Berechnung der Strecke GC und GB im Dreieck GBC mit der Sinus- bzw. Kosinusformel.) Berechnung der Strecke AH im Dreieck AHE mit der Sinusformel.) Berechnung des Winkels im Dreieck AGC mit der Tangensformel 4.) Berechnung der Strecke DF im Dreieck DFC mit der Tangensformel.) Berechnung der Strecke GC und GB im Dreieck GBC GC sin GCBCsin GC4,7sin59 4cm BC Daraus folgt GCHD4cm GB cos GBBCcos GB4,7cos59,4 cm BC.) Berechnung der Strecke AH im Dreieck AHE AH sin AHAEsin AH8,5sin45,6cm AE Es gilt GHCDABAHGB,5,6,4 4,cm.) Berechnung des Winkels im Dreieck AGC AG 5,64, 9,8 tan tan 67,8 GC 4 4 Daraus folgt ,8, 4.) Berechnung der Strecke DFim Dreieck DFC tan DF DF DC tan DC DF4,tan,,7 cm

33 Lösung Aufgabe 8 (Wahlbereich 006) Lösungsplan:.) Berechnung der Strecke BC mit Hilfe der gegebenen Dreiecksfläche ABC.) Berechnung der Strecke AB im Dreieck ABC mit Pythagoras.) Berechnung der Strecke ME mit dem zweiten Strahlensatz 4.) Berechnung der Strecke BD mit Hilfe der gegebenen Dreiecksfläche MBD.) Berechnung der Strecke BC AABC ACBC 4,5 5,8BC BC,9 cm.) Berechnung der Strecke AB im Dreieck ABC AB AC BC 5,8,9,cm Es gilt MB AB6,6cm..) Berechnung der Strecke ME Da die Strecken AC und ME parallel sind, kann der.strahlensatz angewandt werden: AC AB 5,8, ME,9 ME MB ME 6,6 cm 4.) Berechnung der Strecke BD Für die Fläche des Dreiecks MBD gilt: AMBD,5 cm². Aufgrund der Flächenformel gilt: AMBD BDME,5 BD,9 BD 7,9cm

34 Lösung Aufgabe 9 (Wahlbereich 999) Berechnung der Strecke AF im Dreieck ABF: AB cos0 AF AF AE AF e AB cos0 e e 4 e Berechnung der Strecken AG und EG im Dreieck AEG: AG cos60 AGAEcos60 AE e e EG sin60 EGAEsin60 AE e e Berechnung der Strecke DG im Dreieck GED: Da das Dreieck GED gleichschenklig ist, gilt EG DGe Berechnung der Fläche A : Berechnung der Fläche A : DGGE ee A e e e EGAG A e 6 Berechnung der Fläche des Dreiecks AED: e AAA e e ( ) was zu zeigen war

35 Lösung Aufgabe 0 (Wahlbereich 000) Berechnung der Strecke BC im Dreieck DBC: BC cos45 BCBDcos45e BD e Da das Dreieck BCD aufgrund des 45 -Winkels gleichschenklig ist, folgt CD BCe Berechnung der Strecke AB im Dreieck ABC: BC sin0 AB AB BC sin0 e 0,5 e Berechnung der Strecke AC im Dreieck ABC: cos0 AC ACABcos0e AB e 6 Umfang des Dreiecks ABD: U ACDCBDAB e 6 e ee e( 6 ) was zu zeigen war Lösung Aufgabe (Wahlbereich 00) Da es sich bei der Figur um ein Trapez handelt, müssen die Trapezhöhen eingezeichnet werden, damit man rechtwinklige Dreiecke erhält. FC Im Dreieck AFC gilt: tan. AF Um die Formel nachzuweisen müssen diese beiden Strecken FC und AF berechnet werden. Es gilt

36 Berechnung der Strecke DE im Dreieck AED: DE cos0 DE e cos0 e e AE und damit auch CF e Aufgrund des 45 -Winkels ist das Dreieck FBC gleichschenklig ist: CF FB e Berechnung der Strecke BC im Dreieck FBC: FC FC e e sin45 BC e 6 BC sin45 Berechnung der Strecke AE im Dreieck AED: AE sin0 AEADsin0e e AD Die dargestellte Umfangformel ist nicht zu zeigen, sondern muss hier als Information benutzt werden! Mit Hilfe des gegebenen Umfangs des Trapezes können die Strecken CD EFx berechnet werden: UAFxEBBCx AD Einsetzen aller bekannten Größen ergibt: e(9 6) e xe e 6 xe 9ee e 6 exe e 6 x 6e x ecd EF e Daraus folgt AFAEEFe e 4e Daraus folgt FC e tan was zu zeigen war AF 4e 4 6

37 Lösung Aufgabe (Wahlbereich 00) Im Dreieck AFC gilt berechnet werden. tan CF. Um die Formel nachzuweisen, müssen die beiden Strecken AF CF 5 Berechnung der Strecke CF im Dreieck FBC: sin45 CF5e e BC 5 Damit gilt MF CF e. 4 AF 5 5 Berechnung der Strecke AF im Dreieck AFM: tan60 AF e e 6 FM e CF 4 Daraus folgt: e 6 tan AF 5 e e 6 4 Dies war zu zeigen. 7

38 Lösung Aufgabe (Wahlbereich 004) Es gilt AD BC e. EC Berechnung der Strecke EC im Dreieck BCE: tan ECetan0 e BC BS Berechnung der Strecke BS im Dreieck BSC: cos BSecos0e BC BS e Berechnung der Strecke AB im Dreieck ABS: cos AB e AB 0,5 AS Berechnung der Strecke AS im Dreieck ABS: sin AS e e AB A AB AD e e 4e RechteckABCD A BC CE e e e DreieckBCE ADreieckABS ASBS ee e A A A A 4e e e e ASED ABCD BCE ABS was zu zeigen war 6 8

39 Lösung Aufgabe 4 (Wahlbereich 005) EC Im Dreieck AEC gilt tan, daher müssen diese beiden Strecken berechnet werden. AE Lösungsplan:.) Berechnung der Strecke EC im Dreieck EBC mit der Kosinusformel.) Berechnung der Strecke AE im Dreieck AEC mit Pythagoras.) Berechnung von EC AE.) Berechnung der Strecke EC im Dreieck EBC EC cos45 ECBCcos45 ECe e BC Das Dreieck BEC ist gleichschenklig (wegen 45 -Winkel): EBEC e.) Berechnung der Strecke AE im Dreieck AEC mit Pythagoras 9 9e AE AC EC (e 5) e 5e e e 9e e e e e.) Berechnung von EC AE e EC tan was zu zeigen war. AE e 9

40 Lösung Aufgabe 5 (Wahlbereich 006) Der gesuchte Abstand des Punktes F von der Geraden DE entspricht der Strecke FH Lösungsplan:.) Berechnung der Strecke AB und BC im Dreieck ABC mit der Kosinus-/Tangensformel.) Berechnung der Strecke FG im Dreieck BGF mit der Sinusformel.) Berechnung der Strecke FH FG GH.) Berechnung der Strecke AB und BC im Dreieck ABC e e e cos60 AB e AB cos 60 0,5 Daraus folgt: ABADGH e AC tan0 BC AC BC tan0 Daraus folgt BCBFe. e e BC e.) Berechnung der Strecke FG im Dreieck BGF FG sin60 FGBFsin60 BF FG e e.) Berechnung der Strecke FHFG GH (Abstand Punkt F von Gerade DE) 7 FHFGGH ee e was zu zeigen war 40