1 Reelle Zahlen. Einstieg. Ausblick

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1 Reelle Zahlen Einstieg Der Pariser Platz in Berlin ist ein rund, ha großer quadratischer Platz, an dem das Brandenburger Tor steht. Du läufst einmal um den Pariser Platz herum. Ermittle die Länge des Weges, den du dabei zurücklegst. Beschreibe deinen Lösungsweg. Wie lang ist die Strecke, wenn man einmal quer über den Pariser Platz läuft? Bestimme zeichnerisch die Länge der zurückgelegten Strecke. Auf dem Pariser Platz sind rechteckige Gartenanlagen. Welche Seitenlänge hat ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt? Beschreibe dein Vorgehen. Ausblick Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, was Kubikwurzeln sind. mit Potenzen zu rechnen. die rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen zu erweitern. die Rechenoperationen und Rechengesetze auf reelle Zahlen zu übertragen.

2 Das kann ich schon Rationale Zahlen erkennen Nimmt man alle positiven und negativen Zahlen (also ganze Zahlen, Brüche oder Dezimalzahlen) sowie die Null zusammen, dann erhält man die Menge der rationalen Zahlen Q. Jede Zahl außer der Null hat eine Gegenzahl mit anderem Vorzeichen. Die Null ist Gegenzahl zu sich selbst., 0, 0 +0, , negative Zahlen positive Zahlen Gegenzahl von + Gegenzahl von Gegenzahl von + Gegenzahl von Gegenzahl von, +, Gegenzahl von Mit rationalen Zahlen rechnen Addition zweier rationaler Zahlen: Bei gleichen Vorzeichen beider Zahlen werden die Beträge addiert; das gemeinsame Vorzeichen bleibt im Ergebnis erhalten. Bei verschiedenen Vorzeichen beider Zahlen wird die Zahl mit dem kleineren Betrag von der Zahl mit dem größeren Betrag subtrahiert; das Ergebnis hat das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag. Subtraktion mit einer rationalen Zahl: Die Subtraktion einer rationalen Zahl lässt sich stets durch die Addition ihrer Gegenzahl ersetzen. Multiplikation und Division zweier rationaler Zahlen: Man multipliziert bzw. dividiert die Beträge der beiden Zahlen. Bei gleichen Vorzeichen beider Zahlen hat das Ergebnis dann ein positives Vorzeichen. Bei verschiedenen Vorzeichen beider Zahlen hat das Ergebnis ein negatives Vorzeichen. kurz: + mal + + bzw. + geteilt durch mal + geteilt durch mal + geteilt durch + mal + geteilt durch + gleiche Vorzeichen: ( ) + ( 6,) = Beträge addieren: + 6, = 9, gemeinsames Vorzeichen im Ergebnis: 6, = 9, verschiedene Vorzeichen: ( + ) + ( 0) = größerer Betrag minus kleiner Betrag: 0 = Vorzeichen zum größeren Betrag im Ergebnis: + 0 =, (+,) =, + (,) Nach Ersetzen durch Addition den passenden Fall zu anwenden. gleiche Vorzeichen: (,8) (,) = Rechnen mit Beträgen:,8, = 9,6 Ergebnis hat das Vorzeichen + :,8 (,) = +9,6 verschiedene Vorzeichen: (+7,) : (,) = Rechnen mit Beträgen: 7, :, = Ergebnis hat das Vorzeichen : 7, : (,) = Quadratzahlen und Kubikzahlen bestimmen Das Produkt aus zwei gleichen natürlichen Zahlen nennt man Quadratzahl. Schreibweise: n n = n² für n N Das Produkt aus drei gleichen natürlichen Zahlen nennt man Kubikzahl. Schreibweise: n n n = n³ für n N = = 6 = = 6 ist eine Quadratzahl ist eine Kubikzahl 0 ist keine Quadratzahl, denn es gibt keine natürliche Zahl n für die gilt: n² = 0 ² = < 0 < 6 = 6²

3 Rationale Zahlen erkennen ohimi Wie lauten die markierten Zahlen? a) A B C b) D E F Ordne die Zahlen aufsteigend der Größe nach. a) 6; 7; ; 9; 0;,; 6,; b) 0,8; ; ; ; ; 0,; 0, c),; ;,; ; ;,; 0 d),;,0;,;,0;,0;,0 9 Mit rationalen Zahlen rechnen Stelle die folgenden Aufgaben an einer Zahlengeraden dar. a) + 8, b),7 c) 0 0 d) Berechne. a) 6, 8, b) 8 + ( ) c) 7 d),, +,6 ( 0,9), ( ),8 : ( 0,7),, + (,7) 8 : 0,,6 ( 0,) ,, (,) : ( ) 6 : ( ) <, > oder =? a) 8 (7 + 6) b), (,8 +,9),,8 +,9 c),9 (0,8 +,),9 + 0,8 +, d) + ( ) + + e) (, 0,9) +, 0,9 f), (, + 8,7), 8,7, g) (, + ) 7, + h) (, 9,6) :, 9,6 : Quadratzahlen und Kubikzahlen bestimmen 6 7 Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die Quadratzahlen und die Kubikzahlen bis 0. Lerne die Quadratzahlen auswendig. Lasse dich von einem Partner oder einer Partnerin abfragen. Zahl Quadratzahl Kubikzahl Übertrage in dein Heft und schreibe die ungeraden natürlichen Zahlen bis 9 als Differenz zweier Quadratzahlen. Welche Zusammenhänge erkennst du? ungerade Zahl 7 9 Differenz Quadratzahlen 9

4 Entdecken Kap.. Selbst ist das Kind In einem Schulprojekt soll eine Garage für die Tretfahrzeuge eines Kindergartens gebaut werden. Es stehen 00 Holzbretter (Maße: mm 0 mm 0 mm) zur Verfügung. Die Tür soll ebenfalls aus den Brettern sein, aber der Boden frei bleiben. Berechne mögliche Volumen, wenn die Garage quader- oder würfelförmig ist und dabei alle Bretter benutzt werden. Beurteile, wie realistisch die verschiedenen Lösungen jeweils sind. Kap.. Erste Hilfe in Mathematik Im Internet gibt es zahlreiche Mathematikchats, die dir bei Fragen zu deinen Hausaufgaben behilflich sein können. Nenne einen solchen Chat. Du kannst dich auch mit deinen Mitschülerinnen und Mitschülern austauschen. Ein Benutzer eines solchen Chats hat die Frage nebenan gestellt. Hilf ihm, indem du eine passende Antwort formulierst. rechenmeister00 schrieb: Hallo! Mir ist schleierhaft, wie die folgende Aufgabe funktioniert: 7 7 = 7 So hatten wir das an der Tafel stehen. Mein Taschenrechner spuckt für beide Seiten 78 aus. Es scheint also zu stimmen. Mein Lehrer möchte, dass wir erklären können, warum das so ist. Kann mir jemand helfen? 6

5 Hilfe bei den Hausaufgaben Kap.. Vergrößern leicht gemacht, oder? Paul zeichnet für ein Referat das Brandenburger Tor. Er hat das Bild auf einem quadratischen Rahmen (0 cm 0 cm) festgemacht. Bei der Besprechung in seiner Referatsgruppe stellt er fest, dass das Bild zu klein ist. Er beschließt, dass es doppelt so groß werden soll. Welche Möglichkeiten gibt es, die doppelte Größe zu bestimmen? Unterscheide dabei doppelte Fläche und doppelte Seitenlängen. Finde eine zeichnerische Lösung für die Ver dopplung einer Quadratfläche. Erläutere dein Vorgehen. Kap.. und.6 Immer Ärger mit den Hausaufgaben Helin hat Fehler in ihren Hausaufgaben gemacht. Überprüfe mit dem Taschenrechner die Ergebnisse. Beschreibe vorkommende Fehler. a) b) 9 6 = _ c) 6 = = 0 + = 9 = Erprobe mit einem Taschenrechner an verschiedenen Beispielen die Möglichkeiten zwei Wurzelterme miteinander zu addieren subtrahieren multiplizieren dividieren. Finde Gesetzmäßigkeiten für die Vereinfachung, wenn es welche gibt. 7

6 . Potenzen mit negativen Exponenten Entdecken Lena und Peter unterhalten sich über ihre neuen Taschenrechner. Weißt du eigentlich, was das Zeichen ^ bewirkt? Ich glaube, damit kann man Potenzen berechnen, am besten probieren wir es aus. Wir wählen Potenzen, deren Ergebnis wir auch ohne Taschenrechner kennen. Berechne zunächst,, 0 und. Berechne anschließend ( ), ( ), ( 0) und ( ). Was fällt dir auf? Untersuche, was passiert, wenn du in den obigen Beispielen die Exponenten mit negativen Vorzeichen eintippst. Wähle weitere Potenzen mit positiven und negativen Exponenten und vergleiche die Ergebnisse. Verstehen Du kennst bereits Potenzen als vereinfachte Schreibweise für die Multiplikation der jeweils gleichen Zahlen. Basis Exponent Produkte aus lauter gleichen Faktoren kann man auch als Potenz schreiben. Diese Schreibweise gilt auch für rationale Zahlen a als Basis: a n = a a a n Faktoren Es gilt weiterhin: a = a für alle a Q. Teilt man a m schrittweise durch a, so erhält man a m, a m,, a, a, a0, a, a usw. Auf diese Weise erhält man Potenzen mit negativen Exponenten. Ist a 0, dann gilt: a n = a. n Aus der Division durch a ist ersichtlich, dass im Allgemeinen a0 = gelten muss. Beispiele. Schreibe die Potenzen ohne negative Exponenten. a) b), c) ( 0 ) 6 d) p e) a 00 Lösung: a) = b), = 0 c) ( 0 ) = d) p e) _ a00. Wandle die Bruchterme in Potenzen mit negativem Exponenten um. a) b) _, c) _ 7 d) t7 e) ( s) Lösung: a) = b), =, c) ( 7) = ( ) d) t 7 e) ( s) 8

7 Vergleiche mit, mit und mit. Formuliere ein Kriterium, wann a größer, kleiner oder gleich a ist. Nachgefragt Ergänze die fehlende Basis bzw. den fehlenden Exponenten. Aufgaben a) = b) 6 = c) 6 = ( ) d) = Ordne die Zahlen der Reihe nach, fange mit der kleinsten an. a) ( ); ; ; ( ) ( ) ; ( ) b) ( ); ; ( ); ( ) ; ( ) ohimi Was gehört zusammen? Ordne zu. () () () Du kennst bereits die Potenzgesetze für eine negative Basis. Gerader Exponent: Ungerader Exponent: ( ) = ( ) ( ) = +6 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = +6 Ist der Exponent eine gerade Zahl, dann kommt die Basis in einer geraden Anzahl vor. Also ist der Wert der Potenz stets positiv. ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = 6 Ist der Exponent eine ungerade Zahl, dann kommt die Basis in einer ungeraden Anzahl vor. Also ist der Wert der Potenz stets negativ. Weiterdenken Beschreibe die Unterschiede zwischen folgenden Potenzen: ( ) und. Vergleiche und ersetze durch <, > oder =. a) (,) (,) b) 0,9 ( 0,9) c) ( ) d) ( 0,) 0, e) (,), f),, 6 Der Wert einer Potenz ist höchstens 6, wobei die Basis genau halb so groß ist wie der Exponent. Bestimme die Potenz. Findest du mehrere Lösungen? 7 Erstelle den zugehörigen Term und bestimme den Wert der Potenz. a) Eine Potenz mit dem Exponenten 8 und der Basis. b) Die Basis ist der Nenner des Bruches 7. Der Exponent ist 8. c) Die Potenz mit dem Exponenten und seiner Gegenzahl als Basis. 9

8 . Zehnerpotenzen Entdecken Wow, seht nur wie weit unser Heimatplanet entfernt ist km! Warum musste ich ausgerechnet mit diesen beiden zur Mission aufbrechen Sie haben keine Ahnung von Gigakilometern. Vielleicht sind ihre Gehirne nur einen Mikrometer groß hähähä Der Computer zeigt aber,9 09 km an Beurteile die Angaben der Aliens. Giga und Mikro sind Vorsilben von Zehnerpotenzen. Welche weiteren Vorsilben kennst du? Gib Beispiele aus dem Alltag. Verstehen Unser Stellenwertsystem ist ein Zehnersystem. Deshalb sind Potenzen mit der Basis 0 in der Wissenschaft und im Alltag von Bedeutung. Um sehr große oder sehr kleine Zahlen darstellen zu können, nutzt man Zehnerpotenzen. Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 0: 0 n = n Faktoren Es gilt weiterhin: 0 = 0 und 00 =. Für negative Exponenten ergibt sich somit: 0 n = 0 n Beispiel: _ 000 _ ,00 0,0 0, Der Exponent einer Zehnerpotenz gibt an, um wie viele Stellen sich das Komma gegenüber der Zahl nach rechts oder links verschiebt. Beispiel: =, =, 0 Der Exponent ist positiv, das Komma verschiebt sich um fünf Stellen nach rechts., 0 =, 0,0000 = 0,0000 Der Exponent ist negativ, das Komma verschiebt sich um fünf Stellen nach links. Beispiele. Schreibe mithilfe einer Zehnerpotenz. a) b) 0, c) 0,008 Lösungsmöglichkeiten: a),9 08 b) c),8 0. Schreibe ohne Zehnerpotenz. a),7 06 b), 0 c) 6 0 Lösungsmöglichkeiten: a) b) 0,0000 c) 0,

9 Beurteile die Aussage: Der Exponent einer Zehnerpotenz gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach links oder rechts verschoben wird. Bei gleichen Werten hat die größere Maßeinheit kleinere Exponenten als die kleinere Maßeinheit. Was meinst du dazu? Überprüfe an Beispielen. Nachgefragt Schreibe mithilfe einer Zehnerpotenz in der Form a 0 n mit < a < 0. a) b) c) d) e) f) g) 0, h) 0, i) 0, j) 0, k) 0,00099 l) 0, ohimi, Aufgaben Berechne mit dem Taschenrechner. Gib das Ergebnis auch in der Zehner potenzschreibweise an. Mögliche Anzeigen der Zehnerpotenz, 0 8 beim a) b) c) 0, Taschenrechner:, d) 0, ,0007 e) 0,000 : 0, f) 0,0009 : oder, 0 8 oder,e 08 Speziell im Sprachgebrauch ist es häufig praktikabler, Zehnerpotenzen mit einer Vorsilbe abzukürzen. Einige der gebräuchlichsten Vorsilben findest du in der Tabelle. Weiterdenken Faktor Vorsilbe Symbol Faktor Vorsilbe Symbol 0 Tera T 0 Dezi d 09 Giga G 0 Zenti c 06 Mega M 0 Milli m 0 Kilo k 0 6 Mikro μ 0 Hekto h 0 9 Nano n Gib die Längen in Metern an. Beispiel: mm = 0 m = 0,00 m a) mm b), dm c) 7 μm d) 6 cm e) 89 nm Speichermedien haben verschiedene Kapazitäten. a) Vergleiche mithilfe von Zehnerpotenzen: Byte, Kilobyte (kb), Megabyte (MB), Gigabyte (GB), Terrabyte (TB) b) Vergleiche die Speicherkapazität eines USB-Sticks ( GB), einer DVD (8, GB) und einer externen Festplatte (, TB) miteinander. c) Eine vollgeschriebene DIN-A-Seite hat etwa eine Datenmenge von kb. Wie viele solcher Seiten lassen sich auf einem USB-Stick (6 GB) speichern? d) Berechne die Zeit, die eine Schreibkraft brauchen würde, bis eine 8, GB-DVD voll ist, wenn sie 7 Byte pro Minute tippen kann.

10 . Potenzgesetze Entdecken x² + 7x² = x² x² x³ + x² + x³ = 7x² x² 7x⁵ x² 7x² = x⁴ x⁴ +x³ x³ x³ = x³ + x² x³ x² Welche Terme haben denselben Wert? Setze Zahlen ein und überprüfe. Wie lassen sich Terme mit Potenzen der gleichen Basis vereinfachen? Beschreibe. ⁶ ² = ¹² ⁸ ( )⁸ ( )⁴ = ( )¹² ( )² ( )³ ( )² = ( )¹ ( )⁶ ⁶ : ² = ⁴ ³ ( )⁸ : ( )⁴ = ( )⁴ ( )³² ( )³ : ( )² = ( )² ( )⁵ Bei welchen Kärtchen ergibt sich derselbe Wert? Welche Gesetzmäßigkeiten erkennst du? Beschreibe und überprüfe deine Vermutungen an weiteren Beispielen. Verstehen Mit Potenzen kann man auch rechnen. Dazu gibt es besondere Regeln. Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem die beiden Exponenten addiert (subtrahiert) werden. Die Basis bleibt erhalten. Beispiele: ( ) ( ) = ( ) + = ( ) 8 ( ) : ( ) = ( ) = ( ) Begründung für alle a Q (für die Division gilt a 0) und m, n Z: a m a n = (a a) (a a) m Faktoren m Faktoren n Faktoren a m : a n a = m a a a = _ n a a n Faktoren = a a a a = a m + n = a a = a m n (m + n) Faktoren (m n) Faktoren Kürzen der gemeinsamen Faktoren Mit dem Potenzgesetz können wir auch folgende Fälle erklären: Der Exponent ist negativ. Der Exponent ist 0. Beispiel: : = = Beispiel: 6 : 6 = 6 = 60 = = _ = 6 = = = Somit ist =. Also muss 60 = sein. Beispiele. Vereinfache durch Anwendung der Potenzgesetze so weit wie möglich. a) 6 6 b) 7 7 c) 9 : 9 Lösung: a) 6 + = 6 b) 7 + ( ) = 7 = 7 c) 9 = 9 = 9. Schreibe als Produkt bzw. Quotient aus Potenzen mit gleicher Basis. a) b) 8a c) Lösungsmöglichkeiten: a) = ² b) 8a = (a)² (a)² c) = = 8 :

11 Erkläre den Unterschied zwischen, und. Welches Vorzeichen hat der Wert der Potenz ( 6) n, wenn n gerade (ungerade) ist? Begründe deine Antwort. Nachgefragt Vereinfache durch Anwendung der Potenzgesetze so weit wie möglich. a),,6 ( ) ( ) ( 0,9) ( 0,9)8 b) 7 : 0,7 : 0,7 (,) : (,) ( ) 6 : ( ) 8 c) ( ) : ( ) + ( ) ( ),9,9,9 :,9 d) (,) (,) 0, 0, ( ) : ( ) ohimi, 7 Aufgaben Übertrage die Multiplikationsmauern und bestimme die fehlenden Potenzen. Der Wert eines Steins a) b) c) ergibt sich als Produkt der Potenzen aus den ( )⁶ (,)⁷ (,) ⁴ darunterliegenden ³ ² ⁶ ( )² (,)³ Steinen. 6 Schreibe auf verschiedene Arten als Produkt zweier Potenzen. Beispiel: (,) = (,) (,) Quotient zweier Potenzen. Beispiel: (,) = (,) 7 : (,) a) 6 ;, 7 ; 0,6 ;, ; ( 7 ) 9 b) (,) ; ( ) 7 ; ( ) 0 ; ( 0,) ; 7 Vereinfache so weit wie möglich. a) a a 6 b) ( b) : ( b) c) c c c d) d 7 : d : d e) e e 7 e f) f f f g) g 7 : g : g h) ( h) ( h) : ( h) i) i i j),j : j k) 6k k : k l) ( l) 6 ( l) Übertrage in dein Heft und setze <, > oder = ein. a) + b) 6 ( 6) 6 c) : d) (,)6 (,), 7 e),86,8,86 :,8 f) (,) : (,) (,)0 In der folgenden Tabelle wurden die Potenzen mit der Basis berechnet. Potenz Wert der Potenz a) Betrachte die Einerstellen der Potenzwerte. Welche Muster erkennst du? Welche Einerstelle hat (,, )? b) Untersuche die Potenzreihen mit der Basis (, ) auf solche Muster. 7 Hier hat sich doch ein Fehler versteckt. Finde ihn und verbessere im Heft. a) b) c) a + a = a + = a 8 b b = b = b 8 d) d + d = ( + )d + = 6d 6 e : e = ( ) e = 7 e

12 . Potenzgesetze Weiterdenken Achte bei der Anwendung der Potenzgesetze darauf, ob die Basis zweier Potenzen gleich ist oder wie hier der Exponent. Werden zwei Potenzen mit demselben Exponenten multipliziert (dividiert), dann bleibt der gemeinsame Exponent erhalten. Die Basis ist dabei das Produkt (der Quotient) der einzelnen Basen. Beispiele: ( 8) = ( 8 ) = ( 6) ( 8) : = ( 8 : ) = ( ) Begründung für alle a, b Q (für die Division gilt b 0) und m, n Z: a n b n = (a a) (b b) n Faktoren a n : b n a = n b a a = _ n b b = ( a b ) ( a n Faktoren n Faktoren b ) n Faktoren n Faktoren = (a b) (a b) = (a b) n = ( a b ) n = (a : b) n n Faktoren Wird eine Potenz potenziert, dann werden die Exponenten multipliziert und die Basis bleibt erhalten. Beispiel: (7) = = = 7 = 7 Begründung für alle a Q und m, n Z: (a m ) n = a m a m = (a a) (a a) = a a = a m n n Faktoren m Faktoren m Faktoren n Produkte mit jeweils m Faktoren (m n) Faktoren Lösungen zu 8: 6; 6; 6; ; ; ; ; ; 9; 6 000; 6; ohimi Vereinfache die Potenz so weit wie möglich und berechne dann. a) b) 0 6 c) d) ( ) e) ( ) 8 g) ( 96) : ( 8) h) 9 : 7 ) f) ( i) 7, :, j) 9 7 k) 0 l) _,, Berechne auf zwei verschiedene Arten. Beispiel: ( ) = = ; ( ) = = 9 6 = a) ( ) b) ( ) c) ( ( ) ( 8) ( ( 6) ( 7 ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ) 7 ) Vereinfache durch Anwendung der Potenzgesetze. a) (,) b) ()7 c) (0,)8 d) ( )6 e) (,) f) (7) g) ( 7) h) (0,8) i) ((,)) j) (( )6)8 k) ( ) l) (0, ) Mathias meint: Wenn Potenzen potenziert werden, ist das letztlich nichts anderes, als Potenzen mit gleicher Basis zu multiplizieren. Hat Mathias recht? Begründe.

13 Jenny: Theresa: = + = ( ) Beurteile die Lösung der Hausaufgaben. Jana: = ( ) Schreibe ohne Klammern. a) (a) b) (,b ) c) ( f) ( f c ) d) ( d ) e) ( e ) ) ( f ) g) ( g ) h) ( 0,h ) i) (,i 0 ) j) ( x) ( Übertrage in dein Heft und fülle die Lücken im Stern aus. y 7 ) ⁵ ( )³ (,8)⁵ ( )⁵ 0,³ 7⁵ ( 0 ) ³ ( 0,8)³ ( ⁵ ) ⁵ ( ) ( ³ 7 ) ³ 6 Vereinfache und berechne den Wert des Terms. a) b) 6 6 c) 8 d) ( e) ) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( 9 ) ( 8 ) Bei welchen Kärtchen ergibt sich derselbe Wert? Begründe. ² ³ ( 0)⁴ ² ² = 7² ( 6)³ ( )³ = ( )³ ( )⁴ ⁴ = ⁴ ⁴ ³ (,)⁴ ⁶ ( )⁸ ( )⁰ (³)² ⁵ (( )⁴)² = ( )⁶ () ² ( )² ( ) ⁴ ¹ ( )² ( )⁴ 7 In wie viele kleine Würfel lässt sich der große Würfel zerlegen? Schreibe als Potenz und berechne.

14 . Wurzeln Entdecken cm³ Alex baut aus Holzwürfeln mit cm Volumen größere Würfel. Wie viele der kleinen Würfel braucht er jeweils für größere Würfel mit den Volumen 8 cm, 7 cm, 6 cm bzw. 8 cm? Wie lang sind jeweils die Kantenlängen? Der große Würfel soll ein Volumen von dm haben. Wie lang wäre eine Kantenlänge eines solchen Würfels? Verstehen Du weißt bereits, dass man die Umkehrung des Potenzierens als Wurzelziehen (Radizieren) bezeichnet. Das geht auch für andere Potenzen als. Die Kubikwurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl b, deren dritte Potenz a ergibt. Wir betrachten vor allem die Kubikwurzeln von Kubikzahlen. Es gilt: a = b, wenn b b b = b = a (a, b > 0) Sprechweise: Die _. Wurzel aus a ist b. oder Die Kubikwurzel aus a ist b. Beispiel: 79 = 9. Die Kubikwurzel aus 79 ist 9. Bedeutung: Ein Würfel mit einem Volumen von 79 cm hat die Kantenlänge 9 cm. Beachte beim Lösen von Gleichungen: Die Gleichung x = 69 beispielsweise hat die Lösungen x = und x = + denn (±) = 69. Unter 69 versteht man aber nur die positive Zahl. Bei der Gleichung x = 8 tritt dieses Problem nicht auf, denn hier gibt es nur die Lösung x = +. a Seitenfläche a a Beispiele. Das Volumen eines Würfels beträgt 7 cm (8 l). Bestimme seine Kantenlänge. Lösung: _ 7 cm = cm, da ( cm) = 7 cm 8000 cm = 0 cm, da (0 cm) = 8000 cm = 8 dm = 8 l. Die Größe einer der sechs Seitenflächen eines Würfels ergibt sich als Quadrat der Kantenlänge, das Volumen als dritte Potenz derselben. Bestimme jeweils die Seitenflächen der Würfel mit den folgenden Volumen. a),7 m b) cm c) 9, cm d) 9,6 dm Lösung: Man bestimmt zunächst die Kantenlänge durch ziehen der Kubikwurzel, analog zu Beispiel. Anschließend quadriert man die berechnete Länge und erhält damit die Größe der Seitenfläche. a), m b) 6 cm c) 0, cm d), dm 6

15 Begründe, wieso es keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gibt, aber durchaus eine Kubikwurzel. Für welche Zahlen ist die Kubikwurzel größer als die zugehörige Zahl? Erläutere, wie du den Oberflächeninhalt eines Würfels berechnen kannst, wenn dessen Volumen gegeben ist. Nachgefragt Ziehe jeweils die Kubikwurzel aus folgenden Zahlen im Kopf. Begründe. Aufgaben a) b) 000 c) d) e) f) 0,79 Bestimme jeweils die Kantenlänge des Würfels. a) b) c) ohimi A Seitenfläche = 96 cm² V =,096 dm³ A O = 9 cm² Grenze die Kubikwurzel zwischen zwei ganzen Zahlen ein. Beispiel: 0 : < 0 <, denn < 0 < a) 0 b) 0 c) 0 d) 800 e) a) Berechne die Kubikwurzeln _ und setze die _ Reihe um mindestens Schritte fort. 8 ; 80 ; 800 ; 8000 ; ; ; ; ; 0 ; 00 ; 000 ; _ _ ; ; ; 7 ; 70 ; 700 ; ; ; ; b) Welche Gesetzmäßigkeiten erkennst du? Beschreibe und überprüfe an weiteren Reihen. Lena und Peter wollen mit ihrem Taschenrechner herausfinden, was passiert, wenn sie nach dem ^ -Zeichen Bruchzahlen eingeben. Sie berechnen, 8, 9, 6 und 6. a) Führe diese Berechnungen durch. Formuliere eine Vermutung über die Bedeutung des Exponenten der Form n. b) Eine weitere Taste kennen die beiden noch nicht:. Sie geben, 8, 9, 6 und 6 ein. Führe diese Berechnungen ebenfalls durch. Vergleiche deine Ergebnisse mit deinen vorherigen Lösungen. c) Vergleiche nun 8 mit, mit, 7 mit. Formuliere eine Vermutung über die Bedeutung von n a m. 7

16 . Wurzeln Weiterdenken Die nichtnegative Lösung der Gleichung x n = a mit a 0 und n N ist n a, die n-te Wurzel aus a. n Mit anderen Worten: a ist diejenige nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. Das Potenzieren (einer nichtnegativen Zahl) mit n und das Ziehen der n-ten Wurzel heben n sich auf. Somit ist folgende Festlegung sinnvoll: a = a n. Steht die m-te Potenz (m Z) von a 0 unter der n-ten Wurzel (n N), so können die beiden Rechenoperationen Potenzieren und Wurzelziehen zusammengefasst werden: n a m m = a n. ohimi a) Wandle die Wurzelterme in Potenzen um. _ 6 8 a 7 b b) Wandle die Potenzen in Wurzelterme um. 7 7 a 7 b Was gehört zusammen? Ordne zu. a a 7 6 A 7 B C D _ E _ F a a 6,; ; Summenwerte der Ergebnisse der drei Teilaufgaben von Aufgabe Berechne jeweils ohne Verwendung des Taschenrechners den Termwert und überprüfe dann dein Ergebnis mit dem Taschenrechner. a) 8 ; 6 ; ; 9 ; ; ; 0 ; b) ; ; 08 ; 08 ; 8 9 ; c) 0,07 ; 0,00008 ; 0,000 ; 8 ; _ 0 ; ; ; _, Silke und Philipp wollen herausfinden, was ist. Wer hat Recht? Begründe. ist. Wenn ich durch die Basis, also durch dividiere, muss ich den Exponenten um vermindern, ich erhalte also und dies ist. Wenn ich die Wurzel ziehe, halbiere ich den Exponenten. Da = ist, muss = sein. 8

17 0 Gib die größere der beiden Zahlen an. Begründe deine Entscheidung. Überprüfe anschließend mit deinem Taschenrechner. a) ; b) ; c) 7 ; 7 d) ; e) ; f) ; g) ( ) ; h) ( ) ; ( ) In welcher Beziehung stehen die Zahlen zueinander? Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie mit den angegeben Zahlenpaaren. gleich. Zahl und deren Kehrwert. Die Zahlen sind Gegenzahlen zueinander. Zahl und deren Quadratzahl. a) ( ); 6 b) ; _ c) ; e) _ ; f) ; g) ( 9 d) ; 8 7 ) ; 9 h) ( ) ; ( Gib jeweils an, zwischen welchen beiden natürlichen Zahlen der Term liegt. Überprüfe anschließend mit _ deinem Taschenrechner. Beispiel: < < _ a) 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 00 0 _ b) 00 ; 00 ; 00 ; 00 ; c) 0 ; 00 ; 000 ; ; Schreibe jeweils als Potenz mit möglichst kleiner natürlicher Basis. _ a) 6 b) c) 0,008 d) _ 6 e) 60 f) 6 6 g) 7 h) 000 Die größte bis heute bekannte Primzahl ist (Stand: Juni 07). a) Schätze ab, wie viele Ziffern diese Zahl im Dezimalsystem etwa hat. b) Wie viele DIN-A-Blätter braucht man, wenn man die Dezimaldarstellung dieser Zahl ausdrucken möchte? c) Primzahlen der Art n heißen Mersenne-Primzahlen. Recherchiere nach ihren Eigenschaften und nach dem Zusammenhang zwischen ihnen und den sogenannten vollkommenen Zahlen. ) Aus den abgebildeten Zahlen sollen sinnvolle Potenzterme gebildet werden, wobei jede der Zahlen genau einmal verwendet werden soll. Vorzeichen und Klammern darfst du beliebig setzen. Beispiel: ( ) oder a) Bilde eine möglichst große Zahl. möglichst kleine Zahl. Zahl, die möglichst nah an 0 ist. Zahl, die möglichst nah an ist. b) Wähle drei andere Zahlen und löse die Aufgaben bis aus a). 9

18 . Die Menge der reellen Zahlen Entdecken aus: Hans Magnus Enzensberger: Der Zahlenteufel. Carl Hanser Verlag, München 997, S. 77 f. Der Zahlenteufel und Robert unterhalten sich: Zahlenteufel: Rettich aus vier? Robert: Rettich aus vier ist zwei. Zahlenteufel: Rettich aus 99? Robert: Du spinnst ja. Wie soll ich das denn ausrechnen? Zahlenteufel: Immer mit der Ruhe. Für solche kleinen Probleme haben wir doch unsern Taschenrechner. Also probier mal. Robert: 77 Zahlenteufel: Wunderbar. Aber jetzt kommt s! Drücke bitte, aber halte dich gut fest! Informiere dich über die Bedeutung des Wortes Rettich im Text. Was liest Robert nach der Eingabe von auf dem Taschenrechner? Probiere. Verstehen Du kennst bereits die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen. Darüberhinaus gibt es aber noch weitere Zahlen, die sich keiner der drei Mengen zuordnen lassen. endliche Dezimalzahl: 0,;,;,; 8 periodische Dezimalzahl: 0, ;, N Z Q R Eine Zahl nennt man irrational, wenn man sie nicht als Bruch p q mit p, q Z und q 0 schreiben kann. Rationale Zahlen lassen sich als endliche oder periodische Dezimalzahlen darstellen, irrationale Zahlen nur als unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen. Beispiel: ist irrational, denn es gibt keine rationale Zahl, die quadriert ergibt (zum Beweis siehe nächste Seite). Die Mengen der rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen R. Es gibt unendlich viele rationale Zahlen, aber auch unendlich viele irrationale Zahlen. Jeder reellen Zahl ist genau ein Punkt auf der Zahlengeraden zugeordnet. 0 Beispiele Achte bei Wurzeln darauf, ob du die Zahl als eine Quadratzahl oder als Quotient aus Quadratzahlen darstellen kannst. LE: Längeneinheit FE: Flächeneinheit. Entscheide, ob die Zahl rational oder irrational ist. a) b) c) d) 9 Lösung: a) rational b) irrational c) rational d) rational, da 9 =. Zeige, dass die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge LE die Länge LE hat. Lösung: Setzt man vier Quadrate der Seitenlänge LE zu einem großen Quadrat zusammen, dann hat es den Flächeninhalt FE. Das rote Quadrat, dessen Seiten die Diagonalen der kleinen Quadrate sind, FE hat den halben Flächeninhalt, also FE. Also müssen die Diagonalen die Länge LE haben, denn LE LE = FE. 0

19 . Stelle die irrationale Zahl auf der Zahlengeraden dar. Lösung: Die Länge der Diagonalen d ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: d = + 0 Richtig oder falsch? Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. Begründe. Erkläre, warum zwischen den rationalen Zahlen,6 und,7 unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen. Nachgefragt Entscheide ohne Taschenrechner, ob der Wert des Terms rational oder irrational ist. a) b) + c) d) + e) 0 + f) g) _, h) 0 Aufgaben Versuche, Quadratzahlen zu erkennen. Berechne. Runde irrationale Zahlen auf zwei Dezimalen. a) b) 6 c) Welche Aufgaben kannst 0, d) 7 _ 00 du im Kopf lösen? e) _ f) 9 g) 7 h) 0 ohimi, Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf vier Nachkommastellen. a) b) c) _ 6 7 d) : e) f) _, g) : 0, h) _, 69 Beweis der Irrationalität von Mithilfe eines Widerspruchsbeweises kann man zeigen, dass keine rationale Zahl ist. Annahme: ist rational, d. h. lässt sich als Bruch schreiben: = p q mit q 0. Folgerungen aus der Annahme: Quadrieren ergibt: = p q Umformung zu: p = q Es gilt: Jede natürliche Zahl lässt sich ein deutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Wissen Beim Widerspruchsbeweis nimmt man zunächst an, dass eine rationale Zahl ist, und führt diese Annahme zu einem Widerspruch. Zerlegung von p und q in Primfaktoren: p = p p p p n ; q = q q q q m p p p p n = q q q q m Der Linksterm hat durch das Quadrieren eine gerade Anzahl an Primfaktoren, weil dadurch die Anzahl verdoppelt wurde. Der Rechtsterm hat jedoch wegen des Faktors zu Beginn einen zusätzlichen Primfaktor, wodurch die Gesamtanzahl ungerade wird. Widerspruch: Das kann nicht sein, da die Primfaktorzerlegung einer Zahl stets eindeutig ist. Somit kann die Annahme, dass eine rationale Zahl ist, nicht stimmen: ist irrational. Übertrage die Umformungen in dein Heft und beschreibe sie mit eigenen Worten. Zeige auf gleiche Weise, dass ebenfalls eine irrationale Zahl ist.

20 . Die Menge der reellen Zahlen n n Vergleiche und setze <, > oder =. a) 6 b), c) 0 ( 0 ) d), e) 7 f) g) 7,0, h) 9 Peter berechnet mit dem Taschenrechner. Begründe, dass die Angabe des Taschenrechners nicht exakt sein kann. a) Bestimme die ersten vier Dezimalen des angegebenen Punkts auf dem Zahlenstrahl. b) Konstruiere mithilfe eines Quadrats der Seiten länge 7 cm den Punkt der reellen Zahl 98 auf der Zahlengeraden. Erläutere dein Vorgehen. 7 Addiere dreimal mit sich selbst in der Bruchschreibweise und in der Dezimalschreibweise. Was stellst du fest? Erkläre deine Feststellung. 0 P x Stelle die angegebenen Zahlen auf der Zahlengeraden dar. Was stellst du fest? a) b) 8 c) 8 d) e) f) 7 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Finde Beispiele oder Gegenbeispiele und begründe. a) Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl. b) Die irrationale Zahl liegt zwischen, und,. c) 8 ist eine natürliche Zahl. d) Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl. e) Es gibt natürliche Zahlen, die reelle Zahlen sind. f) Es gibt rationale Zahlen, deren Produkt irrational ist. g) Zwischen den rationalen Zahlen 0, und 0,6 liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen (reelle Zahlen). h) Es gibt irrationale Zahlen, deren Zehnfaches eine rationale Zahl ist. 0 _ _ a) Gib die beiden natürlichen Zahlen an, zwischen denen die Wurzel liegt. Begründe jeweils. b) Bestimme mit dem Taschenrechner einen Wert für die angegebene Wurzel. Runde auf zwei Dezimalen. Bestimme die jeweiligen Werte mit dem Taschenrechner. Runde auf zwei Dezimalen. a) 8 b) + 8 c) 8 d) 8 a) Berechne die Wurzelwerte mit dem Taschenrechner und runde auf zwei Nachkommastellen. Quadriere den gerundeten Wert wieder und bestimme die prozentuale Abweichung vom genauen Wert. 0 _ 700 _ 000 b) Führe die Teilaufgabe a) mit drei Nachkommastellen durch. Vergleiche. 6

21 a) Vervollständige folgende Tabelle im Heft. x 0, 0 x, b) Stelle die Wertepaare grafisch dar. Zeichne einen möglichen Kurvenverlauf. c) Lies weitere Wertepaare aus dem Graphen ab, die ebenfalls auf der Kurve liegen. Kontrolliere ggf. mit dem Taschenrechner. Welche Wertepaare kannst du besonders schnell angeben? d) Löse die Aufgaben a) bis c) für x. Berechne mit dem Taschenrechner. Runde auf zwei Dezimalen. Vergleiche die jeweiligen Werte. Formuliere eine Vermutung. a) und 0 0 b) _ und 0 c) + + und + + d) + + und In den letzten Jahren gibt es immer wieder Diskussionen unter Mathematikern, ob es nicht sinnvoll wäre, die Kreiszahl π ( Pi ) durch eine neue Kreiszahl τ ( Tau ) zu ersetzen. π ist wohl die bekannteste irrationale Zahl. τ drückt nichts anderes aus als π. In diesem Fall gilt einfach: u Kreis = τ r. Gegner der Idee bezweifeln die Sinnhaftigkeit, die hinter ihr steckt, da die zugrundeliegende Mathematik dieselbe ist. a) Begründe, dass τ eine irrationale Zahl ist. b) Entscheide anhand der dir bekannten Formeln, die π enthalten, ob die Verwendung von τ für dich derzeit sinnvoll ist. Begründe. Irrationale Zahlen Schon seit langem sind die Menschen darum bemüht, Näherungswerte für zu finden, obwohl der Begriff der irrationalen Zahlen erst sehr viel später aufkam: Die Inder bestimmten näherungsweise durch Die Babylonier nutzten um 800 v. Chr. die Näherung Platon _ (7 7 _ v. Chr.) stellte fest, dass nicht nur und irrational sind, sondern z. B. auch und 7. Die Grundlagen für die Bestimmung eines Näherungswertes über eine Intervallschachtelung legten Karl Weierstraß (8 897) und Georg Cantor (8 98). Bestimme _ die prozentuale Abweichung _ der Näherungswerte der Inder und Babylonier von. Verwende dabei für den Taschenrechner-Wert. Gib weitere Zahlen an, die Platon als irrational bezeichnet haben könnte. Die Längen von,, kann man näherungsweise mit einer so genannten Wurzelschnecke ermitteln. Dabei geht man von einem rechtwinkligen Dreieck mit einer Schenkellänge _ von LE (hier: _ cm) _ aus. Konstruiere wie im Bild die Längen für,,,,, 7. Markiere die irrationalen Längen. Geschichte Karl Weierstraß Georg Cantor

22 .6 Rechnen mit reellen Zahlen Entdecken _ 69 _ _ _ 9 6 _, _ 6, _ _ 6 _ _ 00 _ 00 Überprüfe jeweils, ob das Gleichheitszeichen gesetzt werden kann. Nenne die Rechenarten, für die die Gleichheit gilt. Beschreibe die Gesetzmäßigkeiten in Worten und überprüfe an weiteren Beispielen. Verstehen Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten die gleichen Rechengesetze wie bei den bisher bekannten Zahlenmengen. Die Multiplikation und Division zweier Quadratwurzeln lässt sich zu einer einzelnen Quadratwurzel zusammenfassen. Multiplikation Division _ a b = a b für a, b > 0 a b = a für a, b > 0 b Beispiel: 6 9 = 6 9 = _ Beispiel: _ 9 6 = 9 6 = = Bei der Addition und Subtraktion lassen sich zwei verschiedene Quadratwurzeln nicht zu einer einzelnen Quadratwurzel zusammenfassen. Beispiel: = = = Für Summen gilt das Distributivgesetz: a c + b c = (a + b) c, c > 0 Beispiel: + = ( + ) = 8 Man spricht von teilweisem Wurzelziehen. Lässt sich der Radikand in ein Produkt zerlegen, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, dann wird häufig nur für diesen Teil die Wurzel gezogen. Für b > 0 gilt: a b = a b Beispiel: = = = Oftmals wird in einem Bruch eine Wurzel im Nenner durch Erweitern rational gemacht. a = a b b b = _ a b Beispiel: b b = = _ = _ Beispiele Durch das Zusammenfassen lassen sich manchmal Wurzeln einfacher ziehen.. Vereinfache, wenn möglich. a) b) + c) d) _ e) 80 Lösung: a) = = 6 = _ 8 b) _ + _ = + 6 _ = ( _ + ) = c) = ( ) = d) _ = = 6 = e) 80 = 6 =

23 . Entscheide, ob die Umformungen richtig sind. a) 8 = _ 8 = b) 0 = 0 = c) _ 0 0 = 0 0 = = d) 0 + = = e) = Lösung: a) richtig b) im Allgemeinen falsch, da jedoch 0 = 0 klappt dieser Sonderfall. c) richtig d) falsch e) richtig Begründe, dass für alle reellen Zahlen x gilt: _ 0 x + _ 0 x = 0. Begründe, dass der Term x nur für die reellen Zahlen x definiert ist. Entscheide, ob der Nenner rational oder irrational ist. _ x x Nachgefragt Berechne im Kopf. Nutze die Gesetzmäßigkeiten. a) b) _ 8 c) 9 d) _ 9 7 e) 7 f) _ 00 : g) 0 h) _ 69 6 i) 0, _ 000 j) _ k) 8 l) _ 00 m) 0 7 n) o) 6 p) _ 9 Vereinfache. a) 0 b) c) _ 7 d) 7 e) f) _ 9 g) _ 6 _ h) i) 8 8 j) 9 _ k) l) 6 Lege die Steine wie beim Domino zu einer geschlossenen Kette zusammen. Der vordere Teil ist jeweils das Ergebnis eines Aufgabenteils. 0 : : 0 Aufgaben Lösungen zu : 0; ; ; 6 7 ; ; ; ; 6; 9; 0; 0; 0; ; ; 6; ohimi 6 : _ a) Vereinfache so weit wie möglich. Klammere dazu gleiche Quadratwurzeln aus b) Beschreibe, unter welchen Bedingungen sich Wurzeln bei der Addition und Subtraktion zusammenfassen lassen. Überprüfe an eigenen Beispielen.

24 6.6 Rechnen mit reellen Zahlen ohimi Schreibe den Term möglichst ohne Wurzel. a) 6 b) _ c) 7 7 d) 6 e) 0,, f) g) a _ a h) b i) a b a j) 7xy y x k) _ y x y x l), x y : y z _, xz Ergänze die Gleichungen. a) 8 : = b) = 7 0 c) 0 = 6 d) _ 8 = 7 Überprüfe die Rechnungen und korrigiere gegebenenfalls. a) = _ b) 6 _ 6 = c) 0 = 0, Den Nenner rational 8 machen bedeutet, dass durch geschickte Umformungen keine Wurzel mehr im Nenner steht. 9 0 Mache den Nenner rational. a) b) _ 0 c) 6 + y d) 6 y e) 6 7 _ Forme den Term so um, dass im Nenner keine Wurzel steht. a) b) _ x 6y c) _ 0ab d) b b b e) a + a f) a + a g) _ a + b _ a + b h),8x y xy _ Übertrage das Rechennetz in dein Heft und vervollständige es, wenn entlang derselben Richtung immer mit derselben Zahl multipliziert bzw. dividiert wird. a) b) : 0 _ : _ a) Gib die Terme an, die zu 8 gleich sind. Begründe. _ 8 _ 7 _ 60 _ 8 0 b) Nutze dein Wissen aus a), um weitere Terme zu finden, die zu _ 8 gleich sind. Lass einen Partner oder eine Partnerin die Terme überprüfen. 6

25 Du kennst bereits den allgemeinen Zusammenhang zwischen Wurzel und Potenz: n a m m = a n mit a R + 0 ; m Z; n N Auch für solche Potenzen mit rationalem Exponenten gelten alle dir schon bekannten Potenzgesetze. Weiterdenken Lege die Potenzgesetze für rationale Exponenten zugrunde. Für a 0 gilt: ( a ) = a = a = a Also: ( a ) = a a ist die nichtnegative Lösung der Gleichung x = a. Für a 0 gilt: ( a ) = a = a = a Also: ( a ) = a a ist die Lösung der Gleichung x = a. a) Beschreibe das Vorgehen in den beiden Darstellungen. b) Zeige ebenso, dass a m n die nichtnegative Lösung zu x n = a m ist. Gib wie in den drei Beispielen in Wurzelschreibweise an. 7 x = ( x ) 7 = 7 x ( a ) = a _ x = x 0 = a = 0 a = x = x = x 7 9 a) x x b) y : y c) 6 : 6 d) m m e) 6 f) ( ) ( ) g) 0, 8 h) ( 0 ) : i) ( ) j) ( c ) k) ( a ) l) [(a) ] Schreibe als Potenz und vereinfache, wenn möglich. a) ( ) b) ( a ) c) ( y ) d) ( a ) a e) x f) _ x g) ax h) a6b a) Begründe die Richtigkeit jedes Schrittes in dem abgebildeten Beweis. Für a, x, y R + 0 und m, n N gilt: a m a n = a Es sei x = a m und y = a n. Beweis: xm = a und yn = a ( x m ) n = ( a ) n und ( y n ) m = ( a ) m x m n = a n und ym n = a m Es gilt: xm n y m n = a n a m (x y) m n = a n + m x y = a n m + m n Somit: a m a n n + m m n = a = a _ n m n + _ m m n = a m b) Beweise ebenso ein weiteres Potenzgesetz. + n m + n 7

26 Aufgaben zur Differenzierung zu. Fasse zu einer Potenz zusammen. a) b) c) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) d) (,8) (,8) (,8) (,8) a) x x x x x b) a a a a a a c) ( x y² ) ( x y² ) d) ( x)³ ( x)³ ( x)³ zu. Übertrage ins Heft. Vergleiche und ersetze durch <, > oder =. a) ² b) ( )² ( )³ a) ( ) b) 9,² 9,² c) ³ d) ( 6,)9 ( 6,)² c) ( 0,) ( 0,) d),70,90 Schreibe die Zahlen als Produkt aus einer rationalen Zahl zwischen und 0 und einer Zehnerpotenz. Entfernung Erde Sonne km Mondoberfläche km Lichtjahr km Erdmasse t Dicke Spinnenfaden 0,00 mm Dicke Haar 0,09 mm Dicke Blattgold 0,000 mm Masse Wasserstoffatom 0, mg zu. Berechne. Gib das Ergebnis in der Zehnerpotenzschreibweise an. a) 0, , b), ,8 0 c) ( ) Bestimme die fehlenden Potenzwerte in der Multiplikationsmauer. a) : b) ³ c) ( 8 ) 8 ⁵ ² ¹ ³ ² 6 Übertrage in dein Heft und fülle die Lücken im Stern aus. ( )⁵ (,)⁸ ⁸ ( ) ⁸ ( ⁸ ) ( )⁸ ⁸ (0,)⁵ ⁵ ( ⁵ ) ( ⁵ 9 ) 8

27 7 Vereinfache durch Anwenden der Potenzgesetze. zu. a) b) 0 c) 0, 0, ² d) ( b) ( b) e) c c c6 f) e e e g) x + x² h) x x + x i) 0x 0x + x a) ( )7 : ( ) b) 0,8 0,8 c) 0, 0, 0, d) ( + ) e) d d d f) ( f) ( f) g) x + x 8x h),x,7x,x i) ( x) ( x) + (x) 8 Bestimme die Wurzeln im Kopf. zu. a) 6 b) _ c) _ 96 a) _ b), c) 0,07 _ d) 6 e) f) 0,6 d) 0,006 e),0 f), 9 Grenze die Wurzel zwischen zwei natürlichen Zahlen ein. _ a) 0 b) 60 c) 0 a) _ b) _ 6 c) d) 87 e), f) 0, d),6 e) 0, f) _ _,7, 0 Entscheide ohne Taschenrechner, ob die Zahl rational oder irrational ist. zu. a) b) _ + 7 c) : _ d) e) 9 + _ a) 00 b) _ _ 00 c) 6 0,09 f) d) _, e) _ 6 f) _, 0, 0 Vereinfache, wenn möglich. zu.6 a) 7 b) c) : d) 8 a) b) 08 8 c) 7 d) Übertrage das Rechennetz in dein Heft und vervollständige, wenn entlang derselben Richtung immer mit derselben Zahl multipliziert bzw. dividiert wird. _ 7 _ _ 70 : _ _ 6 : _ Gib in Wurzelschreibweise an. Vereinfache so weit wie möglich. 8 a) a a b) b b c) 7 9 d) ( 9 ) ( 9 ) 7 a) a 7 c) ( c : a b) 0, 6 0 ) ) d) ( 9d ( d ) 9

28 ohimi Vermischte Aufgaben Suche die richtige Lösung auf den Karten. Zwei Karten bleiben übrig. a) a + a + a + a b) a a + a a c) a a a a d) a a f) ( a ) e) a7 : a a a7 a a 0 a a a E s gilt: 6 = 6 =. Wandle ebenso in Potenzen um. Finde verschiedene Möglichkeiten. 6 a) 8 b) 0 c) 6 d) e) f) Schreibe als Potenz mit Basis. ; ; ; a) 7; 8; ; 87 b) Berechne ohne Taschenrechner. a) b) e) : 7 f) i) 0 6 : 06 j) 06 : 0 6 c) 8 6 : 6 g) ( ) k) a : b d) h) ( ) l) n7 : n Zerlege die Potenzen. a) 6 = 6 6 b) 000 = 0 0 c) = ( ) d) 9 = 9 : 9 6 Vereinfache die Potenzen so weit wie möglich (a, b, c ℚ; n, m ℕ). a) a a a6 b) a b a b c) n 6 n d) ( c ) e) b : b b f) a : a (,a ) g) 0, m ( )n m h) (,ac ) 7 Vergleiche die Terme. Was fällt dir auf? 8 x 6 x 0 x0 : (x) x6 x ( 0 x8 ) : ( x ) : x 8 6 x0 : x 9 8 Setze <, > oder = so ein, dass eine wahre Aussage entsteht. a) 6 : 6 d) 6 g) : 6 b) 6 : 6 e) ( : ) : h) ( ) (( ) ) ( p 6q ) m) _ ( p q ) 0 j) e f n 9a n) _ 7a : _ n 0b b 6 x ( ) c) 0, : f) 0 i) 9 9 Vereinfache die Terme. Vermeide negative Exponenten. a) b) a a c) b : b e) 0 f) 0 g) x x i) 6 x x d) ( c ) h) 8 : k) + 7 l) ( ) ( ) o) a a ( a ) ab c p) _ 6a b cd d ( ) ( ) ( )

29 0 Hier stimmt doch was nicht. Finde die Fehler und berichtige. a) b) x x = x 8 a 7 a = a c) 6 6 = 7 6 d) 0 : = 0 e) = f) (a a ) = a Stelle als Zehnerpotenz in der Form a 0 m ( a < 0, m Z) dar. a) μm 0, km b) GB B c) Lichtgeschwindigkeit: c cm s d) Ruhemasse eines Protons: m = 0, mg Schreibe die Angaben als Zehnerpotenz und in Kurzform. Entfernung Berlin München Entfernung Wohnort Schule Zehnerpotenz in m,9 0 m Kurzform Bestimme fehlende Entfernungen so genau wie möglich. Größe roter Blutkörperchen m Herpesvirus 80 nm Abstand Augen Heft Dicke eines Haars 0,07 mm Entfernung Erde Mond etwa km Durchmesser Erde ca. 00 km Etwa Menschen zwischen 0 und Jahren Verschuldung ca Durchmesser eines Sandkorns ca. 0,00006 m 6 Gewicht eines Sandkorns ca. 0, g Schreibe mithilfe von Zehnerpotenzen so, dass der Faktor vor der Zehnerpotenz eine a) möglichst kleine natürliche Zahl ist. b) rationale Zahl zwischen und 0 ist. Berechne mit dem Taschenrechner. a) 0, ,0008 b) 0,07 c) ( ) d) 0,0007 : e) ( 0,) f), 0,08 g), 08 +, 09 h) 0,0 i) 7 7 Zwischen welchen benachbarten natürlichen Zahlen liegt die Wurzel? Begründe deine Antwort. Rechne im Kopf. a) 0 b) 8 c) _ 6 d) 88 e) _ f) _ 60 0 _ 77 _ 70 _ 0 60 _ _ 68 _ 0

30 Vermischte Aufgaben ohimi 9 Der Wert eines Steins ergibt sich als Produkt der beiden darunter liegenden Steine Berechne die Kubikwurzeln. Runde auf zwei Dezimalen. _ a), b) c) 760 d) 0, e) 0,0 f) 7 _ 7 g) h) i) 0 j) 8 k) l) 6 Finde eine natürliche Zahl, deren Quadratwurzel (Kubikwurzel) möglichst nahe an a) 0 b) c) 00 d) 00 liegt, aber nicht gleich dieser Zahl ist. Bestimme jeweils die Abweichung. Peter sagt: Es gibt Quadrat- und Kubikwurzeln, die a) größer als der Radikand sind. b) kleiner als der Radikand sind. Finde jeweils ein Beispiel für die Behauptung. Fülle die Lücken richtig aus. a) = 0 b) 7 = c) _ = d), = 0 e) _ 0 = 0 f) = g) _ 6 : = h) _ = 0 i) _ 69 : = Übertrage die Multiplikationsmauern in dein Heft und vervollständige sie. a) 6 b) Alle Variablen stehen für positive rationale Zahlen. Überprüfe, ob die Zahl rational oder irrational ist. a) 7 b) 9 c) 96 d) _ e) _, f) 0 g) _ 00 h) 8 i) 7 j) _ 00 k) _, l) Berechne ohne Taschenrechner. a) 6 b) c) _ d) e) f) 0 _ 00 g) 0 _,6 h) 80 Forme die Wurzeln wie im Beispiel um. Beispiel: 0 = _ = = a) 8 b) c) _ d) _ 70 e) 6 f) _ Ziehe teilweise die Wurzel wie in Aufgabe. a) b) _ 0 c) 9 x d) _ 7 99 e) 88xy f) _ a + a g) h) 6ab7c9 7 abc

31 Ordne wertgleiche Terme einander zu. Ein Term bleibt übrig ( ) _ _ 6 Finde den Fehler und korrigiere die Rechnung. a) b) c) d) = 9 = 7 a + b = a + b = a + b (a + b) = a b 7 99 = _ 7 _ 9 = 0 = Vereinfache so weit wie möglich. a) ( a x ) x b) ( a x m ) an c) ( x n m ) n d) ( b a x nx m ) _ e) nx n x f) (, x 0, ) 8 g) x x h) y : y i) x 7 x 7 9 x j) a : a k) ( b b ) : b l) a a 8 Eine Raumfähre umkreist mehrmals die Erde mit einer Geschwindigkeit von,8 0 km/h und legt dabei 7, 06 km zurück. a) Berechne die Flugzeit der Raumfähre in h (d). b) Welche Strecke legt die Raumfähre auf ihrer Umlaufbahn in Tagen (0 Tagen, 0 Tagen) zurück? Runde geeignet. c) Wie lange würde eine Raumfähre mit der Geschwindigkeit zum Mars benötigen, der im Schnitt 7, 07 km von der Erde entfernt ist? Beurteile das Ergebnis. Entscheide, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe. a) 6 ist diejenige rationale Zahl, die quadriert 6 ergibt. b) 8 kann +9 oder 9 sein. c) _ ist größer als 6. d) Wenn a größer wird, wird auch a größer. e) Die Gleichung x = 7 hat die Lösung x = und x = +. f) Es gilt: x x = x g) Die Gleichung x = 6 hat die Lösung x = und x =. h) Wenn a kleiner wird, wird auch a kleiner. 0 a) Erkläre mithilfe der Darstellung, dass b) Überprüfe die Aussage aus a) an mindestens einem weiteren Beispiel _ 9 + _ = _

32 Themenseite Das Heronverfahren nach klassischer Art Schon seit Jahrtausenden nutzt man Näherungsverfahren, wenn man Wurzeln nicht exakt angeben kann. Eines davon ist nach Heron von Alexandria benannt, der vor 000 Jahren in Ägypten lebte. Beispiel: Bestimme einen Näherungswert für 0. Idee 0 cm² cm,9 cm a alt = cm b alt = cm cm + cm a neu = =, cm 0 cm² b neu =,9 cm, cm Start: cm cm 0 cm² Ziel: 0 cm² _ 0 cm _ 0 cm Ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 0 cm wird schrittweise in ein flächengleiches Quadrat umgewandelt. Das Verfahren hat den Vorteil, dass man für jede Quadratwurzel n ein solches Ausgangsrechteck finden kann. Im einfachsten Fall hat es die Maße cm n cm. Im Beispiel starten wir mit a = cm und b = cm. Ablauf Wandle das bestehende Rechteck jeweils in ein flächengleiches Rechteck um, indem du als eine neue Seitenlänge das arithmetische Mittel aus den beiden alten Seitenlängen verwendest. Die zweite Seiten länge ergibt sich dann, indem du den Flächeninhalt durch diese erste neue Seitenlänge teilst. cm, cm 0 cm², cm, cm,9 cm, cm a alt =, cm b alt =,9 cm, cm +,9 cm a neu = _ =, cm b neu = 0 cm², cm, cm Dieses Vorgehen kann bis zu jeder beliebigen Genauigkeit fortgesetzt werden. Man erkennt in diesem Beispiel, dass bereits nach wenigen Schritten die Seitenlängen dicht beieinander liegen. a) Bestimme einen Näherungswert für die Wurzel mit dem Heronverfahren auf zwei Dezimalen genau. 6 0 b) Welche Rolle spielen die Startwerte beim Heronverfahren? Überprüfe am Beispiel 0. Das Heronverfahren mit dem Computer Beim Heronverfahren werden stets dieselben Rechenschritte durchlaufen, um n zu bestimmen. neue Länge: a neu = _ a alt + b alt neue Breite: b neu = a n neu n steht dabei für den Flächeninhalt des Quadrats bzw. für die zu berechnende Wurzel. Die Rechenschritte kann man gut durch ein Tabellenprogramm durchführen lassen. a) Beschreibe den Aufbau und die Einträge des Tabellenblatts. b) Übertrage das Tabellenblatt und berechne damit 0 ( 99 ) auf vier Dezimalen genau.

33 Näherungsverfahren Intervallhalbierung Intervallhalbierung ist ein Näherungsverfahren. Es wird beim systematischen Probieren oftmals angewendet. Beispiel: Bestimme einen Näherungswert für 0. Idee Das Quadrat von 0 ist 0. Man sucht jetzt einen unteren Wert, der quadriert kleiner als 0 ist, und einen oberen, der quadriert größer als 0 ist. Anschließend bestimmt man zwischen diesen beiden Werten einen neuen Wert und überprüft, ob man damit den unteren oder oberen Wert ersetzen kann. Ablauf Bei der Intervallhalbierung bestimmt man das arithmetische Mittel aus unterem und oberem Wert. Dann wird überprüft, ob das Quadrat des Mittelwerts größer oder kleiner als 0 ist. Je nachdem ersetzt man im nächsten Schritt den oberen oder unteren Wert durch den Mittelwert. unterer Wert oberer Wert Mittelwert, denn + =, = > 0, denn = < 0,0, denn,0 = < 0,7, denn,7 7,6 < 0,, denn, 9,8 < 0, denn, =,, > 0,0 denn,0 =,, > 0,00, denn,00 =,, > 0, =, > 0 oberen Wert ersetzen _,0 +, =,7,7 7,6 < 0 unteren Wert ersetzen,7 +,0 =,, 9,8 < 0 unteren Wert ersetzen _, +,00 =,,,0 > 0 oberen Wert ersetzen a) Bei jedem Schritt betrachtet man eine Dezimale mehr. Erkläre die Aussage anhand des Beispiels. b) Führe das Intervallhalbierungsverfahren für ( 8, _ 00 ) durch. c) Erkläre den Begriff Intervallhalbierung. d) Führe das Verfahren mit einem Tabellen kalkulationsprogramm durch. Präsentiere dein Ergebnis. Alles Näherung Beim systematischen Probieren ist uns das Hintereinandereinsetzen als geschicktes Vorgehen bekannt. Nutze dieses Verfahren. Beispiel: Bestimme einen Näherungswert für 0. Idee Man sucht eine natürliche Zahl als Startwert, deren Quadrat gerade kleiner als 0 ist. Dann erhöht man schrittweise um 0,. Ablauf Sobald das Quadrat des Wertes erstmals größer als 0 ist, wird der letzte kleinere Wert genommen und die nächste Dezimale schrittweise erhöht. a) Beschreibe den Aufbau des Tabellenblattes. b) Bestimme mit diesem Verfahren einen Näherungswert für (, _ 00 ) auf vier Dezimalen genau. c) Beschreibe den Ablauf, wenn man einen Startwert wählt, dessen Quadrat gerade größer als 0 ist.

34 Das kann ich! Überprüfe deine Fähigkeiten und Kompetenzen. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten findest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. Das kann ich wirklich gut! Das kann ich fast! Das muss ich noch üben! Schreibe als Potenz und berechne. a) b) ( ) ( ) c) d), (,) Vergleiche. Setze <, > oder =. a) b) ( ) c) ( ) 9 Vereinfache den Term und berechne. a) b) 6 c) : d) 6 : e) f) ( ) ( ) g) 8 : 0, h), : ( ) i) ( ) : ( 9 ) j) () k) (0,8 ) l) ( )0 d) ( ) e) f) Schreibe als Quotient und berechne. a) ; ; ; 9 b) ( ) ; ( ) 6 ; ( ) ; c) 0, ; 0, ; 0, d) ( ) ; ( ) ; ( ) Schreibe als Quotient. a) a b) b c) c 6 d) d e) (xy) f) xy g) z a h) ( x ) Vereinfache so weit wie möglich. a) x x b) y y c) ( z) ( z) d) a : a e) b b f) ( c) ( c) 0 <, > oder =? a) b), 07 0, 08 c), d) 7, Das Rechteck mit den Seitenlängen a und b und das Quadrat mit der Seitenlänge c haben den gleichen Flächeninhalt. Vervollständige die Tabelle. Runde auf zwei Dezimalen. A in cm a in cm b in cm c in cm 6, Vereinfache so weit wie möglich und berechne dann. a) ( ) b) ( ) 9 c) ( ) ( ) d), e) ( 7 ) 7 6 ) (,) f) ( 0 0,7 Zeichne jeweils ein Rechteck und ein flächengleiches Quadrat in dein Heft. a) 6 cm b) 0 cm c) 0 cm 7 8 Schreibe ohne Klammer. a) (a) b) (,b) c) ( c ) d) ( 6d) e) ( e 6 ) f) ( 0,f ) Schreibe als Zehnerpotenz. a) 000; _ 000 ; ; b) ; ; ; ; Berechne im Kopf. a) b) 8 c) 7 d) 6 e) 7 f) 8 0 g) _ h) _ i) _ j) _ 9 _ 7 8 6

35 Vereinfache, falls möglich. a) : 8 b) 7 : c) : d),, +, Setze Ziffern so in die Lücken ein, dass die Rechnungen stimmen. Findest du mehrere Möglichkeiten? a) = 0 b) 9 = _ 96 c) 0 = d) _ : = 6 e) _ 08 = 9 f) 7, = Welche Zahlen sind irrational, welche rational? a) ; 6 ; 8 ; _ 00 ; _ 0 ; _ 00 ; _ 000 b) 0; ; 0 ; ; ; ; 9 ; 9 ; 7 Vereinfache so weit wie möglich. a) ( x ) 6 b) x y c) x x d)( r x ) r e) ( y 6 n ) n z 6 m f) ( 6a b ) : ( a ) g) ( a b ) : ( a b ) h) ( a a ) i) mn mn j) a a a Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. Aufgaben für Lernpartner A B C D E F Potenziert man eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten, dann ist das Ergebnis immer positiv. Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten multipliziert und die Basis beibehält. Wird eine Potenz potenziert, dann werden die Exponenten multipliziert. =, also sind Basis und Exponent bei einer Potenz stets vertauschbar. ( ) =, weil der Exponent gerade ist. Wenn bei einer Potenz der Exponent gerade ist, ist der Wert der Potenz stets positiv. H I J K L M N O Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 0. Ein Rechteck mit den Seitenlängen cm und cm kann in ein flächengleiches Quadrat mit der Seitenlänge cm umgewandelt werden. _ = Zwei Quadratwurzeln, die multipliziert werden, lassen sich zu einer Quadratwurzel zusammenfassen = 7 Jede irrationale Zahl lässt sich als Bruch darstellen. 6 ist eine irrationale Zahl. Jede Quadratwurzel ist eine irrationale Zahl. G Der Exponent bewirkt bei einer Potenz, dass sich das Vorzeichen des Potenzwertes umkehrt. P Jede Quadratwurzel liegt zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen. Ich kann Aufgaben Hilfe die Potenzschreibweise verwenden.,,,, A, D, E, F S. 8, 9 Zahlen als Zehnerpotenzen schreiben und lesen. 8, 0, H S. 0 die Potenzgesetze anwenden., 6, 7, 9, 7, B, C, G S., Wurzeln bestimmen.,, I, J S. 6, 8 irrationale und rationale Zahlen unterscheiden. 6, M, N, O, P S. 0 mit reellen Zahlen rechnen und Terme mit Wurzeln vereinfachen.,,, 7, K, L S., 7 7

36 Auf einen Blick Seite 8 Potenzen Die Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt aus lauter gleichen rationalen Zahlen oder Variablen. gleiche Faktoren Potenz Wert = = Exponent Basis Seite Seite 6 Seite 0 Seite Potenzgesetze Potenzgesetze für a, b Q; m, n Z: a m a n = a m + n a m : a n = a m n (a 0) a m b m = (a b) m a m : b m = (a : b) m (b 0) (a m ) n = a m n Beachte: a n = a (a 0) n Wurzeln Die Umkehrung des Potenzierens bezeichnet man als Wurzelziehen (Radizieren). Besondere Wurzeln sind Quadratwurzeln, die quadriert den Wert unter der Wurzel (Radikand) ergeben sowie Kubikwurzeln, deren dritte Potenz den Radikand ergeben. Reelle Zahlen Eine Zahl nennt man irrational, wenn man sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann. Die zugehörige Dezimalzahl hat unendlich viele Dezimalen, die jedoch nicht systematisch angeordnet sind. Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen R. Rechnen mit reellen Zahlen Multiplikation von Wurzeln a b = _ a b für a, b > 0 Division von Wurzeln a b = a für a, b > 0 b Bei der Addition und Subtraktion lassen sich zwei Wurzeln nicht zu einer Wurzel zusammenfassen. Für rationale Exponenten gilt: a m n = (a m ) n = n a m mit a R + 0 ; m Z ; m N ( ) ( ) = ( ) + = ( ) ( ) : ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) : = ( : ) = ( ) [( )] = ( ) = ( ) Beachte: a = a ; a0 = für a Q, a 0 00 ist nicht erlaubt. a _ 79 = 9 Die Kubikwurzel aus 79 ist 9. =,6 6 9 = 6 9 _ 9 Potenzieren Wurzelziehen 6 = 9 6 a n 0 0 = 0 0 = = = = 8