Univ.-Prof. Dr. Goulnara ARZHANTSEVA
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- Dieter Franke
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1 Diskrete Mathematik Univ.-Prof. Dr. Goulnara ARZHANTSEVA SS 2018 c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 1 / 43
2 Organisatorisches Vorlesung Di 09:45-11:15 Hörsaal ECTS (2.00 SWS) c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 2 / 43
3 Organisatorisches Vorlesung Di 09:45-11:15 Hörsaal ECTS (2.00 SWS) gagt/dm2018/index.html c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 2 / 43
4 Organisatorisches Vorlesung Di 09:45-11:15 Hörsaal ECTS (2.00 SWS) gagt/dm2018/index.html Schriftliche Prüfung Dauer 90 Minuten: (1) (2) _ (3) _ (4) _ Anmeldung über U:SPACE bis spätestens 3 Tage vor dem jeweiligen Termin! Musterprüfung ist über die Web-Seite. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 2 / 43
5 Organisatorisches Vorlesung Di 09:45-11:15 Hörsaal ECTS (2.00 SWS) gagt/dm2018/index.html Schriftliche Prüfung Dauer 90 Minuten: (1) (2) _ (3) _ (4) _ Anmeldung über U:SPACE bis spätestens 3 Tage vor dem jeweiligen Termin! Musterprüfung ist über die Web-Seite. Für die Prüfung müssen Sie den gesamten Kurs kennen (Definitionen, Beispiele, technische Konstruktionen, Sätze, Beweise, Motivationen, Kontexte usw.). c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 2 / 43
6 Organisatorisches Vorlesung Di 09:45-11:15 Hörsaal ECTS (2.00 SWS) gagt/dm2018/index.html Schriftliche Prüfung Dauer 90 Minuten: (1) (2) _ (3) _ (4) _ Anmeldung über U:SPACE bis spätestens 3 Tage vor dem jeweiligen Termin! Musterprüfung ist über die Web-Seite. Die Prüfungsproblemen nicht mit den in der Vorlesung oder in den begleitenden Übungen gerechneten Beispielen ident sein oder diesen ähneln, sondern können durchaus "neu" sein. Taschenrechner werden nicht zugelaßen. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 2 / 43
7 Organisatorisches Vorlesung Di 09:45-11:15 Hörsaal ECTS (2.00 SWS) gagt/dm2018/index.html Schriftliche Prüfung Dauer 90 Minuten: (1) (2) _ (3) _ (4) _ Anmeldung über U:SPACE bis spätestens 3 Tage vor dem jeweiligen Termin! Musterprüfung ist über die Web-Seite. Eine genaue Präsentation der Antworten und Lösungen während der schriftlichen Prüfung ist erforderlich. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 2 / 43
8 Organisatorisches Übungen Mi :45-17:30 Hörsaal 13 Fr :15-12:00 SR 10 Fr :15-13:00 SR 10 Di :00-14:45 SR 9 c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 3 / 43
9 Organisatorisches Übungen Mi :45-17:30 Hörsaal 13 Fr :15-12:00 SR 10 Fr :15-13:00 SR 10 Di :00-14:45 SR 9 gagt/dm2018/index.html c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 3 / 43
10 Organisatorisches Übungen Mi :45-17:30 Hörsaal 13 Fr :15-12:00 SR 10 Fr :15-13:00 SR 10 Di :00-14:45 SR 9 gagt/dm2018/index.html Zwei positiv beurteilte Tafelpräsentationen und 60% angekreuzte Beispiele ergeben eine positive Note. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 3 / 43
11 Organisatorisches Übungen Mi :45-17:30 Hörsaal 13 Fr :15-12:00 SR 10 Fr :15-13:00 SR 10 Di :00-14:45 SR 9 gagt/dm2018/index.html Die Note wird bestimmt durch die Anzahl der vorbereiteten Beispiele sowie die Anzahl und Qualität der Tafelmeldungen und sonstigen Beiträge. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 3 / 43
12 Überblick: Vorlesung Einführung in die Grundbegriffe der Diskreten Mathematik 1 Einfache und abzählende Kombinatorik: Stichproben, Permutationen, Partitionen 2 Erzeugende Funktionen, Lösen von Rekursionen 3 Das Prinzip der Inklusion und Exklusion, Suchen und Sortieren 4 Graphen und Netzwerke c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 4 / 43
13 Überblick: Vorlesung Literatur Christian Krattenthaler and Markus Fulmek, Skriptum "Diskrete Mathematik", SS2017. Martin Aigner, "Diskrete Mathematik", Vieweg, Peter Cameron, "Combinatorics", Cambridge Unviersity Press, Ziel = Besser berechnen und modellieren Der professionelle Umgang mit abstrakten, diskreten Strukturen. Dazu gehört die Fähigkeit, konkrete Problemstellungen mit solchen Strukturen zu modellieren und scharfsinnige Schlussfolgerungen aus gegebenen Informationen zu ziehen. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 5 / 43
14 Um gut zu lernen: Vorlesung + Übungen + Christian Krattenthaler and Markus Fulmek, Skriptum "Diskrete Mathematik", SS2017. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 6 / 43
15 Was ist Diskrete Mathematik? Die Diskrete Mathematik beschäftigt sich mit endlichen oder abzählbaren unendlichen Strukturen diskrete = nicht zusammenhängend diskrete kontinuierlich = stetig c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 7 / 43
16 Was ist Diskrete Mathematik? Diskrete Mathematik beschäftigt sich nicht mit Differentialrechnung, Integralrechnung, Differentialgleichungen, Integralgleichungen, Kurven, Flächen, kontinuierlichen Bewegungen und Prozessen,... c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
17 Was ist Diskrete Mathematik? Diskrete Mathematik beschäftigt sich nicht mit Differentialrechnung, Integralrechnung, Differentialgleichungen, Integralgleichungen, Kurven, Flächen, kontinuierlichen Bewegungen und Prozessen,... Hauptefrage I: Wieviele? c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
18 Wieviele? Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? [_] [_] [_] [_] [_] [_] c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
19 Wieviele? Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? 45 Möglichkeiten [_] [_] [_] [_] [_] [_] Also insgesamt: 45 c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
20 Wieviele? Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? [11] [_] [_] [_] [_] [_] 44 Möglichkeiten Also insgesamt: c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
21 Wieviele? Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? [11] [31] [_] [_] [_] [_] 43 Möglichkeiten Also insgesamt: c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
22 Wieviele? Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? [11] [31] [45] [_] [_] [_] 42 Möglichkeiten Also insgesamt: c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
23 Wieviele? Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? [11] [31] [45] [1] [_] [_] 41 Möglichkeiten Also insgesamt: c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
24 Wieviele? Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? [11] [31] [45] [1] [4] [_] 40 Möglichkeiten Also insgesamt: c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
25 Wieviele? Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? [11] [31] [45] [1] [4] [36] Also insgesamt: c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
26 Wieviele? Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? [31] [45] [11] [1] [4] [36] Also insgesamt: = c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 8 / 43
27 Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? Also insgesamt: = Die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Tipp zu landen, ist also = c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 9 / 43
28 Beispiel 1: Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45? Also insgesamt: = Die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Tipp zu landen, ist also = Die Wahrscheinlichkeit, das nicht zu tun, ist = c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 9 / 43
29 Beispiel 1: Wieviele Teilnehmer? Wieviele Teilnehmer an einer Ziehung braucht es, dass wenigstens einer (mit 50% Wahrscheinlichkeit) den richtigen Tipp errät? Die Wahrscheinlichkeit, das nicht zu tun, ist = c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 10 / 43
30 Beispiel 1: Wieviele Teilnehmer? Wieviele Teilnehmer an einer Ziehung braucht es, dass wenigstens einer (mit 50% Wahrscheinlichkeit) den richtigen Tipp errät? Die Wahrscheinlichkeit, das nicht zu tun, ist = Mehr als 5.5 Millionen! = c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 10 / 43
31 Beispiel 1: Wieviele Teilnehmer? Wieviele Teilnehmer an einer Ziehung braucht es, dass wenigstens einer (mit 50% Wahrscheinlichkeit) den richtigen Tipp errät? Die Wahrscheinlichkeit, das nicht zu tun, ist = Mehr als 5.5 Millionen! Testfrage = EuroMillions (5 aus 50, 2 Sternzahlen aus 12) oder Lotto (6 aus 45, 1 Zusatzzahl aus 45) oder Swisslotto (6 aus 42, 1 Glückszahl aus 6)? c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 10 / 43
32 Diskrete Mathematik! Wir lernen Diskrete Mathematik. Wir speilen nicht Lottos! c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 11 / 43
33 Regel von der doppelten Abzhlung Definition: Relation Eine Relation ist eine Teilmenge des cartesischen Produkts. Grundregel: Regel von der doppelten Abzahlung Seien zwei endliche Mengen S, T gegeben, und sei eine Relation zwischen S und T. Für jedes s S bezeichne r (s) die Anzahl der Elemente t T, für die s t gilt; und ebenso bezeichne r (t) für jedes t T die Anzahl der Elemente s S, für die s t gilt. Dann gilt (natürlich): r (s) = r (t). t T s S c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 12 / 43
34 Regel von der doppelten Abzhlung in Beispiel 1 Sei S = { alle 6 elementigen Teilmengen von [45]}, sei T = { alle geordneten 6 Tupeln von [45]}. Wir betrachten die Relation : s t, wenn s und t dieselben Zahlen (abgesehen von der Ordnung) enthalten; für s S und t T. Zu jeder 6 elementigen Teilmenge gibt es 720 Arten, sie zu einem geordneten 6 Tupel zu machen, dann r (s) 720 = für alle Teilmengen s S Jedes 6 Tupel bestimmt durch Vergessen der Ordnung eine eindeutige 6 elementige Teilmenge, dann r (t) 1. Daher haben wir hier S 720 = T 1 = = c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 13 / 43
35 Diskrete Mathematik: Anwendungen Netzwerktheorie Datenverarbeitung Kodierungstheorie Kombinatorischen Optimierung Statistische Physik Kryptographie Spieltheorie Ablaufplanung Transport- und Reihenfolgeproblemen (etwa in Logistik oder Produktionsplanung) Chemie, Genetik, Linguistik und sogar in der Archäologie Ingenieurwissenschaften etc.... c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 14 / 43
36 Wozu hat die Diskrete Mathematik ein? Hauptefrage II: Wie man modelliert? c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 15 / 43
37 Wie man modelliert? Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Gibt es einen Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt und schlussendlich zum Ausgangspunkt zurückkehrt? Stadtkarte von Königsberg (Merian Erben, 1652) mit dem Fluss Pregel c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 15 / 43
38 Wie man modelliert? Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Gibt es einen Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt und schlussendlich zum Ausgangspunkt zurückkehrt? Stadtkarte von Königsberg (Wikimedia commons: Bogdan Giuşcă) c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 15 / 43
39 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Das Ziel ist, die Aufgabe damit einfach und präzise beschreiben zu können. Schematisch (Encyclopaedia Britannica/UIG/Getty Images) c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 15 / 43
40 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Setzen wir in jedes der vier Landstücke einen dicken Punkt, und verbinden wir Punkte, falls die entsprechenden Landstücke durch Brücken verbunden sind. Abstrakt c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 16 / 43
41 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Setzen wir in jedes der vier Landstücke einen dicken Punkt, und verbinden wir Punkte, falls die entsprechenden Landstücke durch Brücken verbunden sind. Abstrakt c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 16 / 43
42 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Gibt es einen Weg, entlang der strichlierten Linien, die jede strichlierte Linie genau einmal passiert? Abstrakt c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 16 / 43
43 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Leonhard Eulers ( ) Beobachtung (1736): Immer wenn wir im Punkt über eine Linie ankommen, sollte es möglich sein, den Punkt wieder über eine andere Linie zu verlassen. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 17 / 43
44 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Leonhard Eulers ( ) Beobachtung (1736): Immer wenn wir im Punkt über eine Linie ankommen, sollte es möglich sein, den Punkt wieder über eine andere Linie zu verlassen = Jeder Punkt muss mit einer geraden Anzahl von strichlierten Linien verbunden sein! c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 17 / 43
45 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Leonhard Eulers ( ) Beobachtung (1736): Sogar jeder Punkten ist mit einer ungeraden Anzahl von strichlierten Linien verbunden. Es kann also so einen Spaziergang nicht geben! c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 17 / 43
46 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Leonhard Eulers Satz (1736): In einer zusammenhängenden Figur, die aus dicken Punkten und strichlierten Linien besteht, welche dicke Punkte verbinden, gibt es genau dann einen geschlossenen Weg, der jede Linie genau einmal passiert, wenn jeder dicke Punkt mit einer geraden Anzahl von strichlierten Linien verbunden ist. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 18 / 43
47 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Leonhard Eulers Satz (1736): In einer zusammenhängenden Figur, die aus dicken Punkten und strichlierten Linien besteht, welche dicke Punkte verbinden, gibt es genau dann einen geschlossenen Weg, der jede Linie genau einmal passiert, wenn jeder dicke Punkt mit einer geraden Anzahl von strichlierten Linien verbunden ist. In Mathematik (wie wir in Graphentheorie sehen werden): Ein zusammenhängender Graph enthält genau dann einen Eulerkreis (bzw. Eulerweg), wenn er genau null (bzw. zwei) Knoten mit ungeradem Grad enthält. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 18 / 43
48 Beispiel 2: Die Brücken von Königsberg Leonhard Eulers Satz (1736): In einer zusammenhängenden Figur, die aus dicken Punkten und strichlierten Linien besteht, welche dicke Punkte verbinden, gibt es genau dann einen geschlossenen Weg, der jede Linie genau einmal passiert, wenn jeder dicke Punkt mit einer geraden Anzahl von strichlierten Linien verbunden ist. In Mathematik (wie wir in Graphentheorie sehen werden): Ein zusammenhängender Graph enthält genau dann einen Eulerkreis (bzw. Eulerweg), wenn er genau null (bzw. zwei) Knoten mit ungeradem Grad enthält. Testfrage 2 Was ist mit nicht geschlossenen Weg (nicht notwendig zum Ausgangspunkt zurückkehrt)? c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 18 / 43
49 Graphen Definition: Graph G = G (V, E) = (V (G), E (G)) = (V, E) Ein Graph G besteht aus einer (endlichen) Menge V von Knoten (Vertices) und einer Teilmenge E ( V 2) von Kanten (Edges). Notation: ( V 2) := {A V : A = 2} 2 elementigen Teilmengen von V. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 19 / 43
50 Graphen Definition: Graph G = G (V, E) = (V (G), E (G)) = (V, E) Ein Graph G besteht aus einer (endlichen) Menge V von Knoten (Vertices) und einer Teilmenge E ( V 2) von Kanten (Edges). Notation: ( V 2) := {A V : A = 2} 2 elementigen Teilmengen von V. In Beispiel 2: Knoten=dicken Punkten und Kanten=strichlierten Linien, V = 4, E = 7. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 19 / 43
51 Graphen Definition: Wanderung Eine Wanderung der Länge n in G, die von einem Knoten p V (G) zu einem Knoten q V (G) führt, ist eine Folge von Knoten (p = v 0, v 1,..., v n = q), sodaß {v i, v i+1 } E (G) für i = 0, 1,..., n 1. Wir sagen: Die Wanderung enthält die Kanten {v i, v i+1 }. Wir schreiben p q. Im Spezialfall p = q sprechen wir von einer geschlossenen Wanderung. Klarerweise definiert eine Relation auf V (G); es ist leicht zu sehen, daß es sich um eine Äquivalenzrelation (siehe unten) handelt. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 20 / 43
52 Graphen Definition: Eulerweg (bzw. Eulerkreis) Eine Wanderung (bzw. geschlossene Wanderung) in einem Graphen G, die jede Kante aus E (G) genau einmal enthält, heißt Eulerweg (bzw. Eulerkreis). Definition: Zusammenhängend Graph Ein Graph G heißt zusammenhängend, wenn je zwei Knoten von G durch eine Wanderung verbunden sind. Definition: Grad Der Grad deg (v) eines Knoten v V in einem Graphen ist die Anzahl der Kanten, die den Knoten v mit anderen Knoten verbinden. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 21 / 43
53 Satz von Euler Satz: Satz von Euler Ein zusammenhängender Graph G besitzt genau dann ein Eulerkreis, wenn deg (v) gerade ist für alle v V (G). Beweis: ( ) Eulers Beobachtung: Man geht in jeden Knoten genauso oft hinein wie man aus ihm hinausgeht. ( ) Annahme: zusammenhängender Graph, alle Knoten haben geraden Grad. Zu zeigen: Existenz eines Eulerkreises. Beweis durch Induktion über E. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 22 / 43
54 Satz von Euler Basis: E = 0. Dann V = {v} und die Folge (p = q = v 0 = v n = v) ist eine Eulerkreis. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 23 / 43
55 Satz von Euler Basis: E = 0. Dann V = {v} und die Folge (p = q = v 0 = v n = v) ist eine Eulerkreis. Schritt: E > 0. Ausgehend von einen beliebigen Knoten v, wähle eine maximale Wanderung W von Kanten, der jede Kante höchstens einmal besucht. W endet wieder in v (sonst gibt es immer eine unbesuchte Kante, mit der die Wanderung verlängert werden kann). c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 23 / 43
56 Satz von Euler Basis: E = 0. Dann V = {v} und die Folge (p = q = v 0 = v n = v) ist eine Eulerkreis. Schritt: E > 0. Ausgehend von einen beliebigen Knoten v, wähle eine maximale Wanderung W von Kanten, der jede Kante höchstens einmal besucht. W endet wieder in v (sonst gibt es immer eine unbesuchte Kante, mit der die Wanderung verlängert werden kann). Entferne von E alle Kanten von W. Die Knoten des entstehenden Graphen G = (V, E ) haben immer noch geraden Grad (man geht in jeden Knoten genauso oft hinein wie man aus ihm hinausgeht). c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 23 / 43
57 Satz von Euler Basis: E = 0. Dann V = {v} und die Folge (p = q = v 0 = v n = v) ist eine Eulerkreis. Schritt: E > 0. Ausgehend von einen beliebigen Knoten v, wähle eine maximale Wanderung W von Kanten, der jede Kante höchstens einmal besucht. W endet wieder in v (sonst gibt es immer eine unbesuchte Kante, mit der die Wanderung verlängert werden kann). Entferne von E alle Kanten von W. Die Knoten des entstehenden Graphen G = (V, E ) haben immer noch geraden Grad (man geht in jeden Knoten genauso oft hinein wie man aus ihm hinausgeht). Aus der Induktionsannahme folgt: jede zusammenhängende Komponente von G hat eine Eulerkreis. Wir bilden eine Eulerkreis von G wie folgt: wenn W zum ersten Mal eine Komponente besucht, dann fügen wir W eine Eulerkreis der Komponente hinzu. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 23 / 43
58 Überblick: Vorlesung Einführung in die Grundbegriffe der Diskreten Mathematik 1 Einfache und abzählende Kombinatorik: Stichproben, Permutationen, Partitionen Beispiel 1 2 Erzeugende Funktionen, Lösen von Rekursionen Beispiel 3 3 Das Prinzip der Inklusion und Exklusion, Suchen und Sortieren 4 Graphen und Netzwerke Beispiel 2 c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 24 / 43
59 Beispiel 3: Erzeugende Funktion von 2 [n] Wit beginen mit Definitionen und Notationen. Definition: Binomialkoeffizient ( n) k ) bezeichne die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer ( n k n-elementigen Menge [n] := {1, 2,..., n} ist die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis n Notation: Potenzmenge von [n] 2 [n] bezeichne die Familie aller Teilmengen von [n] c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 25 / 43
60 Erzeugende Funktion (englisch: generating function) Definition: Gewichtsfunktion ω auf 2 [n] Jeder Teilmenge A 2 [n] ordnen wir das Gewicht ω(a) := x A zu (d.h., eine k-elementige Teilmenge erhält das Gewicht x k ) Definition: Erzeugende Funktion GF von 2 [n] (in bezug auf das Gewicht ω) GF(2 [n] ) := ω(a) A 2 [n] Es ist klar, daß GF(2 [n] ) ein Polynom in x vom Grad n ist. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 26 / 43
61 Erzeugende Funktion (englisch: generating function) ( Für den Koeffizienten von x k in GF 2 [n]) führen wir die Bezeichnung c n,k ein, sodaß wir also (definitionsgemäß) schreiben können: GF ( 2 [n]) = n c n,k x k. Kombinatorische Überlegung: Jede Teilmenge von [n] enthält entweder das Element n nicht dann kann man sie als Teilmenge A 2 [n 1] auffassen, oder sie enthält das Element n dann kann man sie auffassen als Vereinigung einer Teilmenge B 2 [n 1] mit dem Singleton (einelementige Teilmenge) {n}. Natürlich gilt im letzteren Fall ω (B {n}) = x ω (B), sodaß wir also folgende Rekursion für die erzeugenden Funktionen erhalten: GF ( 2 [n]) = GF ( 2 [n 1]) + x GF k=0 ( 2 [n 1]) = (1 + x) GF ( 2 [n 1]). c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 27 / 43
62 Beispiel 3: Erzeugende Funktion von 2 [3] (aus Skriptum) GF ( 2 [2]) : GF ( 2 [2]) : GF ( 2 [3]) : GF ( 2 [2]) x: 1 {1} x 1 {1} x {3} = {3} 1 x {1} {3} = {1, 3} x x {2} x {2} x {2} {3} = {2, 3} x x {1, 2} x 2 {1, 2} x 2 {1, 2} {3} = {1, 2, 3} x 2 x = (1 + x) 2 = (1 + x) 2 = (1 + x) 2 x = (1 + x) 3 c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 28 / 43
63 Erzeugende Funktion GF von 2 [n] Noch einmal: GF ( 2 [n]) = GF ( 2 [n 1]) ( + x GF 2 [n 1]) ( = (1 + x) GF 2 [n 1]). ( Zusammen mit der offensichtlichen Anfangsbedingung GF 2 [0]) = 1 (die Potenzmenge der leeren Menge hat als einziges Element die leere Menge selbst, und ω ( ) = x = x 0 = 1) erhalten wir also: Gleichzeitig, GF GF ( 2 [n]) = (1 + x) n (1) ( 2 [n]) = n k=0 c n,k x k. Was ist der Koeffizient c n,k? c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 29 / 43
64 Erzeugende Funktion GF von 2 [n] Die Koeffizienten eines Polynoms p (x) = n k=0 c k x k kann man bekanntlich durch Differenzieren und Auswerten bei 0 ermitteln, genauer gesagt: c k = 1 d k k! dx k p (x), x=0 wobei k! (gesprochen: k Faktorielle oder k Fakultät) gleich dem Produkt 1 2 k ist. Angewandt auf die Polynome GF ( 2 [n]) bedeutet dies gemäß (1): c n,k = n (n 1) (n k + 1) k! (1 + x) n k x=0 = }{{} 1 n! k!(n k)! c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 30 / 43
65 Erzeugende Funktion GF von 2 [n] Dann, GF(2 [n] ) = A 2 [n] x A = n k=0 ( ) n x k = (1 + x) n = k n k=0 n! k!(n k)! x k erhalten wir also die (wohlbekannte) Formel für die sogenannten Binomialkoeffizienten: ( ) n n! = k k! (n k)! bzw. die wohlbekannte Entwicklung (1 + x) n = n k=0 ( ) n x k. (2) k Kombinatorische Überlegung Partition c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 31 / 43
66 Partitionen: Definition Partition Sei S eine Menge. Unter einer Partition π von S in m Blöcke S i verstehen wir eine Familie π = {S 1,..., S m } von Teilmengen von S mit den Eigenschaften S i i, S i S j = i j, m S i = S. i=1 Für die disjunkte Vereinigung von Mengen führen wir die Notation ein: A B meint A B, wobei A B =. Die letzten zwei der obigen Eigenschaften können wir damit auch so schreiben: S = i [m] S i. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 32 / 43
67 Partition: Beispiele Partition Die ganzen Zahlen Z in die Restklassen mod m Für [5]: {{1, 2}, {3, 4}, {5}} oder {{1, 2, 3, 4}, {5}} Keine Partition Die ganzen Zahlen Z in die Restklassen mod m und. Für [5]: {{1, 2}, {3, 4}} oder {{1, 2, 3, 4}, {4, 5}} c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 33 / 43
68 Partition: Summenregel Grundregel: Summenregel Sei S eine Menge, und S 1,..., S m eine Partition von S in m Blöcke. Dann gilt (natürlich): m S = S i. i=1 c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 34 / 43
69 Partition Äquivalenzrelation Definition: Äquivalenzrelation Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. 1) Sei eine Äquivalenzrelation auf S. Dann gibt es eine zugehörige Partition π von S: π 2) Umgekehrt, sei π eine Partition von S. Dann gibt es eine zugehörige Äquivalenzrelation π auf S: π π Satz: Partitionen und Aquivalenzrelationen sind eigentlich gleichwertig Wir haben π π = π und π =. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 35 / 43
70 Partition Äquivalenzrelation 1) Sei S eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf S. Wir definieren eine zugehörige Partition π von S: mit π = {S x x S} S x := {y S y S und y x} für x S beliebig. 2) Umgekehrt, sei π eine Partition von S. Wir definieren eine zugehörige Äquivalenzrelation π auf S: x π y x, y liegen in derselben Teilmenge von π. Satz: Partitionen und Aquivalenzrelationen sind eigentlich gleichwertig Wir haben π π = π und π =. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 36 / 43
71 Binomischer Lehrsatz Satz: Binomischer Lehrsatz Es gilt, x, y R, n N: (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k. (3) k Beweis: Wenn wir das Produkt (x + y) n = (x + y) (x + y) (x + y) }{{} n Faktoren (x+y) formal ausmultiplizieren wollten, dann müßten wir aus jedem der n Faktoren immer entweder x oder y auswählen. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 37 / 43
72 Binomischer Lehrsatz Es gibt ( n k) Möglichkeiten, k Faktoren (x + y) aus (x + y) n auszuwählen. Eine solche Auswahl ist zum Beispiel: (x + y) n = (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) }{{}}{{} k Faktoren (x+y) (n k) Faktoren (x+y) Für jede Auswahl erhalten wir nach Ausmultiplizieren von (x + y) k je einmal als höchste Potenz von x genau x k. Es gibt ( n k) solche Auswahlmöglichkeiten, also tritt die Potenz x k insgesamt ( n k) -mal auf. Jeder Faktor (x + y) k korrespondiert zu einem Faktor (x + y) n k. Im letzteren ist die höchste Potenz y genau y n k. Demnach tritt der Faktor x k y n k insgesamt ( n k) auf. Daraus ergibt sich der Binomische Lehrsatz. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 38 / 43
73 Binomischer Lehrsatz: Alternativbeweis Wenn wir das Produkt (x + y) n = (x + y) (x + y) (x + y) }{{} n Faktoren (x+y) formal ausmultiplizieren wollten, dann müßten wir aus jedem der n Faktoren immer entweder x oder y auswählen. Auswahl Binärzahl mit n Bits (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) 1 }{{}}{{}}.{{.. 1} 0 } {{ 0 } k Faktoren (x+y) (n k) Faktoren (x+y) k -mal (n k) -mal Wenn wir aus dem j ten Faktor x auswählen, setzen wir das j te Bit auf 1; wenn wir aus dem j ten Faktor y auswählen, setzen wir das j te Bit auf 0. Diese Codierung ist eine Bijektion zwischen den Binärzahlen mit n Bits und den beim Ausmultiplizieren auftretenden Monomen. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 39 / 43
74 Binomischer Lehrsatz: Alternativbeweis Der Koeffizient von x k y n k = die Anzahl der n stelligen Binärzahlen, die genau k Einser enthalten. {k elementige Teilmenge von [n]} Bijektion {n stellige Binärzahl mit k Einser} Definition: Charakteristische Funktion Sei S eine endliche Menge und T S eine Teilmenge von S. Die charakteristische Funktion χ T : S {0, 1} der Teilmenge T ist dann wie folgt definiert: { 1 falls i T, χ T (i) = 0 falls i T. Wir deuten die n stellige Binärzahl als charakteristische Funktion χ A : [n] {0, 1} einer gewissen Teilmenge A [n]. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 40 / 43
75 Binomischer Lehrsatz: Alternativbeweis Der Koeffizient von x k y n k = die Anzahl der n stelligen Binärzahlen, die genau k Einser enthalten = die Anzahl der k elementigen Teilmengen von [n] = ( n k) Wir implizit folgende Bijektionsregel benutzt: Grundregel: Bijektionsregel Wenn es zwischen zwei Mengen S und T eine Bijektion gibt, dann gilt (natürlich) S = T. c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 41 / 43
76 Mächtigkeit der Potenzmenge Korollar Sei S eine endliche Menge mit S = n für ein n N. Dann gilt für die Mächtigkeit der Potenzmenge 2 S 2 S = 2 n. Beweis: Wir beschreiben jede Teilmenge von [n] durch ihre charakteristische Funktion, interpretieren diese als n stellige Binärzahl. {Teilmenge von [n]} Bijektion {n stellige Binärzahl } = {0, 1} n {0, 1} n = 2 n c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 42 / 43
77 Produktregel Grundregel: Produktregel Für das cartesische Produkt der Mengen S 1,..., S m gilt (natürlich) m S 1 S 2 S m = S i. i=1 c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 01: Einleitung 43 / 43
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