1. Diskrete Massenänderung

Transkript

1 Betrachtet wird ein Körper K, der einen Teil seiner Masse abstößt: Anfangsmasse des Körpers: Geschwindigkeit des Körpers vor dem Abstoß: v 0 Geschwindigkeit des Körpers nach dem Abstoß: v 1 Abgestoßene Masse: Δm Geschwindigkeit der abgestoßenen Masse relativ zum Körper nach dem Abstoß: w Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

2 Die Ausstoßgeschwindigkeit w ist die Geschwindigkeit relativ zum Körper K, mit der die abgestoßene Masse Δm den abstoßenden Körper verlässt. Zum Zeitpunkt des Verlassens hat der Körper K die Geschwindigkeit v 1. Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

3 Vor Abstoßung: Nach Abstoßung: v 1 + w w v 1 Δm v 1 v 0 -Δm Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

4 Bekannt sind, v 0, Δm und w. Gesucht ist v 1. Die gesuchte Geschwindigkeit v 1 kann aus dem Impulserhaltungssatz ermittelt werden. Dazu werden beide Massen zusammen als ein System betrachtet. Auf dieses System wirken keine äußeren Kräfte. Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

5 Impuls vor dem Abstoßen: Impuls nach dem Abstoßen: p 0 = v 0 p 1 = m v 1 m v 1 w Da keine äußeren Kräfte wirken, ist der Impuls vor dem Abstoßen gleich dem Impuls nach dem Abstoßen: Daraus: v 0 = m v 1 m v 1 w v 0 = v 1 m w v 1 =v 0 m w Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

6 Geschwindigkeitsänderung: v=v 1 v 0 = m w Die Geschwindigkeitsänderung ist proportional zur ausgestoßenen Masse und zur Ausstoßgeschwindigkeit. Sie ist entgegengesetzt zur Ausstoßgeschwindigkeit gerichtet. Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

7 Beispiel: Ein Schwimmer springt aus einem Boot ins Wasser. Gegeben: Masse des Bootes m B und Masse des Schwimmers Absprunggeschwindigkeit w w m B Gesucht: Geschwindigkeit v B des v B x Bootes nach dem Absprung Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

8 Es wird angenommen, dass das Boot reibungsfrei im Wasser gleitet. Mit = m B, m= und v 0 =0 folgt für v B =v 1 : Zahlenbeispiel: =70 kg m B =420 kg w= 14 km/h v B = w m B v B = 70 kg 14 km/h=2km/h 490kg Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

9 Kräftebilanz, wenn der Schwimmer mit der konstanten Beschleunigung a S anläuft: Der Schwimmer hat beim Absprung die Absolutgeschwindigkeit v S =w v B. Anlauf mit konstanter Beschleunigung: v S =a S t t= v S a S = w v B a S F F m B Impulssatz für Schwimmer: a S = F Impulssatz für Boot: x m B a B =F = a S Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

10 Geschwindigkeit des Bootes bei Absprung: v B =a B t= m B a S w v B a S v B 1 m S m = B m B w v B = m B 1 m B w= m B w Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

11 Betrachtet wird ein Körper K, der eine Masse einfängt: Anfangsmasse des Körpers: Geschwindigkeit vor dem Einfangen: v 0 Geschwindigkeit nach dem Einfangen: v 1 Eingefangene Masse: Δm Geschwindigkeit der eingefangenen Masse relativ zum Körper vor dem Einfangen: w Impulserhaltungssatz: Daraus: v 0 m v 0 w = m v 1 v 1 =v 0 m m w Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik

12 Zusammenfassung: Ausstoßen Masse vor Ausstoßen Δm ausgestoßene Masse v 0, v 1 Geschwindigkeit der ausstoßenden Masse vor und nach Ausstoßen w Geschwindigkeit der ausgestoßenen Masse relativ zu v 1 Einfangen Masse vor Einfangen eingefangene Masse Geschwindigkeit der einfangenden Masse vor und nach Einfangen Geschwindigkeit der eingefangenen Masse relativ zu v 0 v 1 =v 0 m w v m 1 =v 0 m 0 m w Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik