Siebformel von Sylvester

Transkript

1 Siebformel von Sylvester ) A B = A + B A B A B ) A B C = A + B + C A B A C B C + A B C A B C ) A B C D = A + B + C + D A B A C A D B C B D C D + A B C + A B D + A C D + B C D A B C D A B C D 4) A A A... A n = A + A + A A n A A A A... A A A A 4... (i < j) + A A A + A A A 4 + A A A (i < j < k) A A A A (i < j < k < l) ( ) n A A A... A n

2 Siebformel von Sylvester, Idee ) A B = A + B A B A B A + B Die Zahlen in der Grafik geben an, wie oft eine Element mit A + B gezählt wird. A B führt zum korrekten Ergebnis:

3 Siebformel von Sylvester, Inklusion und Exklusion ) A B C = A + B + C A B A C B C + A B C A B C A + B + C Die Zahlen in der Grafik geben an, wie oft eine Element mit A + B + C gezählt wird. A B A C B C führt zu einem zu kleinen Ergebnis: Die Korrektur erfolgt mit + A B C.

4 Siebformel von Sylvester, Ein- und Ausschluss ) A B C D = A + B + C + D A B A C A D B C B D C D + A B C + A B D + A C D + B C D A B C D A B C D A + B + C + D 4 Die Zahlen in der Grafik geben an, wie oft eine Element mit A + B + C + D gezählt wird. A B A C A D B C B D C D führt zu einem zu kleinen Ergebnis, + A B C + A B D + A C D + B C D zu einem zu großen. Die abschließende Korrektur ist offensichtlich. 4

5 Siebformel Schreibweisen A A A... A n = A + A + A A n A A A A... A A A A 4... (i < j) + A A A + A A A 4 + A A A (i < j < k) A A A A (i < j < k < l) ( ) n A A A... A n n n A k = A k i<j k= k= A i A j + i<j<k A i A j A k +...+( ) n A A A... A n Mit der Abkürzung für die Summation über alle r-elementigen Teilmengen {i,...,i r } von {,...,n} S r := A i... A ir i <...<i r n gilt: n n A k = ( ) r S r k= r= 5

6 Beweis der Siebformel n n A j = ( ) r S r mit S r := A i... A ir j= r= i <...<i r n Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über n. Hierzu schauen wir uns den Übergang von n = auf n = an. A B = A + B A B z.z. A B C = A + B + C A B A C B C + A B C A B C = (A B) C = A B + C (A B) C }{{} (A C) (B C) Wird nun erneut die Voraussetzung (n = ) auf den ersten und letzten Term der rechten Seite angewandt, so ist die Formel für n = zu erkennen. Der Induktionsschluss von n auf n+ erfolgt ähnlich. Der Anfang ist naheliegend, A n+ wird abgespalten. n A j = ( A j ) A n+ n+ j= j= j= n n = A j + A n+ + ( A j ) A n+ j= }{{} n (A j A n+ ) j= Die Induktionsvoraussetzung kann auf den ersten und letzten Term der rechten Seite angewandt werden. A j = n+ j= n n ( ) r S r + A n+ + ( ) m Sm r= m= mit S m := i <...<i m n A i... A im A n+ Wir ordnen um und fassen zusammen: n+ j= A j = S + A n+ }{{} Summand für r= + n ( ) r (S r +Sr ) +( ) n Sn r= Der letzte Term fehlt in der Summe. Mit S r +Sr = A i... A ir ( r n) folgt die Behauptung. i <...<i r n+ In S r werden die Teilmengen ohne A n+ berücksichtigt, in Sm die mit A n+. 6

7 Siebformel Stochastik Mit der Siebformel können auch Wahrscheinlichkeiten berechnet werden: n n P( A j )= ( ) r S r mit S r := P(A i... A ir ) j= r= i <...<i r n Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich, wenn für jedes r die Summanden in S r gleich sind, die Wahrscheinlichkeiten der Durchschnitte A i... A ir also nur von der Anzahl r, nicht aber von der speziellen Wahl der Ereignisse abhängen. Die Siebformel nimmt dann die folgende Form an: P( n A j )= j= n ( ) r r= ( ) n P(A A... A r ) r 7

8 Siebformel Beweis mit Indikatorfunktionen Sei A ein Ereignis (Teilmenge) in Ω. Die Funktion auf Ω, die jedem Element von A den Wert und jedem Element von A den Wert zuordnet, heißt Indikator von A und wird mit A bezeichnet. Für den Erwartungswert gilt: E( A ) = P(A)+ P(A) = P(A) Weiteres: ) A = A ) A A... A n = A A... An ) A A... A n = ( A )( A )... ( An ) Erläuterung zu ): Liegt ω in mindestens einer der Mengen A i, z.b. ω A, dann ist ( A ) = und die rechte Seite ist. Liegt ω in keiner der Mengen A i, dann sind alle Klammern gleich und die rechte Seite ist. Insbesondere gilt: A B = ( A )( B ) Wir lösen die Klammern auf und beachten ): A B = A + B A B Die Erwartungswerte beider Seiten müssen übereinstimmen: P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) Ebenso beweist man: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C) Lösen wir in ) die Klammern auf, so ergibt sich: n A A... A n = Ai Ai A j + Ai A j A k... i= i<j i<j<k ( ) n+ A A... A n Wir bilden wieder die Erwartungswerte und erhalten die Siebformel: n P(A A... A n ) = P(A i ) P(A i A j )+ P(A i A j A k )... i= i<j ( ) n+ P(A A... A n ) i<j<k 8

9 Anzahl der Elemente, die in keiner Teilmenge enthalten sind A A A = A + A + A A A A A A A + A A A Seien A, B und C Teilmengen von M, dann gilt: A A A = A A A = M \(A A A ) = M A A A = M A A A + A A + A A + A A A A A mögliche Interpretation: Auf der Menge M sind drei Eigenschaften E i definiert, so dass für jedes Element feststeht, ob es die Eigenschaft hat oder nicht. Die Mengen A i kennzeichnen die Eigenschaften, es soll gelten: A i = {m M m hat die Eigenschaft E i } Genau die Elemente der Menge A A A erfüllen dann keine einzige Eigenschaft. allgemein: n n A j = M A k + j= i<j k= A i A j i<j<k A i A j A k +...+( ) n A A A... A n n n A j = M + ( ) r S r mit S r := A i... A ir j= r= i <...<i r n A B C 9

10 Anzahl E() der Elemente, die in genau einer Teilmenge enthalten sind, bzw. genau eine Eigenschaft erfüllen E() = A + B + C ( A B + A C + B C ) + A B C Die Zahlen in der Grafik geben an, wie oft eine Element mit A + B + C gezählt wird. ( A B + A C + B C )führt zu einem zu kleinen Ergebnis: Die Korrektur erfolgt mit + A B C.

11 Anzahl E() der Elemente, die in genau zwei Teilmengen enthalten sind, bzw. genau zwei der Eigenschaften erfüllen E() = A B + A C + A D + B C + B D + C D ( A B C + A B D + A C D + B C D ) +6 A B C D A B 6 C D Die Zahlen in der Grafik geben an, wie oft eine Element mit A B + A C + A D + B C + B D + C D gezählt wird (Tipp Strichliste). 6 ( A B C + A B D + A C D + B C D ) führt zur linken Grafik, +6 A B C D zur rechten Grafik.

12 Anzahl E(m) der Elemente, die in genau (d. h. maximal) m Teilmengen enthalten sind, oder genau m der Eigenschaften erfüllen ( ) ( ) ( ) m+ m+ n E(m) = W(m) W(m+)+ W(m+)...+( ) n m W(n) m m m Für eine Menge A haben wir n Teilmengen A, A,..., A n gegeben, bzw. alternativ n Eigenschaften. W(r) := i <...<i r n A i... A ir W(r) ist die Anzahl der Elemente, die in (mindestens) r Teilmengen enthalten sind, bzw. die (mindestens) r Eigenschaften erfüllen. Beweis Sei a A und sei a in maximal t Teilmengen A i,...,a it, t, enthalten, d.h. a A i... A it. Für t < m wird a auf keiner Seite mitgezählt. Wenn a in genau t = m Teilmengen enthalten ist, wird es auf jeder Seite genau einmal mitgezählt. ( ) ( ) t t Wenn jedoch t > m ist, wird es in W(m) -fach mitgezählt, in W(m+) -fach usw, m m+ insgesamt auf der rechten Seite also ( ) t m ( m+ m )( ) t m+ ( m+ + m )( t m+ ) ( )( ) t t...( ) t m m t -fach. Nach einigen Umformungen ist zu erkennen, dass dieser Term Null ist. Mit (überprüfe dies) ( )( ) k t = m k ( t m )( t m t k ), m k t, kann zunächst ( ) t m ausgeklammert werden.

13 ( ) ( ) t m [ t m t m ( ) ( ) ( ) t m t m t m +...+( ) t m t (m+) t (m+) t t ] Um zu sehen, dass die eckige Klammer Null ergibt, wird das Folgende (n = t m) benötigt: (a+b) n = ( ) n a n + ( ) n a n b+...+ ( ) n b n n Mit a =, b = folgt: ( ) n ( ) ( ) n n +...+( ) n = n n = = n = = n = = Der vorige Satz von der Inklusion und Exklusion kann noch ein wenig verallgemeinert werden. Hierzu betrachten wir eine Funktion w auf A. Statt die Elemente der jeweiligen Mengen zu zählen, werden die zugehörigen Funktionswerte der Elemente addiert. Im Beweis ändern sich die Schreibweisen geringfügig.

14 Siebformel einfacher Beweis 4 A A A... A n = A + A + A A n A A A A... A A A A 4... (i < j) + A A A + A A A 4 + A A A (i < j < k) A A A A (i < j < k < l) ( ) n+ A A A... A n Angenommen, a A komme nur in genau einer Teilmenge A i vor, dann wird a auch nur in der.zeile genau -mal gezählt. Nehmen wir nun an, a komme in genau zwei Teilmengen vor, z.b. a A A. Dann wird es in der.zeile -mal gezählt, in der.zeile -mal abgezogen. In allen weiteren Zeilen kommt es nicht mehr vor. Dieses Element wird also ebenfalls genau -mal gezählt. Und nun der allgemeine Fall: a sei in genau k Teilmengen A i,...,a ik, k, enthalten, d.h. a A i... A ik. Dann wird es ( ) k (.Zeile) ( ) k (.Zeile) + ( ) ( ) k k (.Zeile)...( ) k+ (k. Zeile) -fach gezählt. k Dieser Term ist gleich. Das ist mit (siehe vorige Seite): ( ) n zu erkennen. ( ) ( ) n n +...+( ) n = n 4