Kapitel 2 Die vertikale Struktur der Atmosphäre

Transkript

1 Kapitel 2 Die vertikale Struktur der Atmosphäre Dieses Kapitel befasst sich unter einer gewissen Einschränkung der sehr allgemeinen Kapitelüberschrift mit den hydrostatischen und thermodynamischen Aspekten des Vertikalaufbaus der Atmosphäre. Im Einzelnen werden folgende Punkte besprochen: die Druckabnahme mit der Höhe und die damit zusammenhängenden Fragen; die thermodynamischen Gesetzmäßigkeiten der Temperaturabnahme mit der Höhe; der Temperaturverlauf in der realen Atmosphäre; die Stabilität oder Labilität einer Schichtung mit vorgegebenem Temperaturprofil gegenüber Störungen. 2.1 Die Druckabnahme mit der Höhe Bei der geläufigen Ableitung der sogenannten barometrischen Höhenformel, die den Luftdruck p als Funktion der Höhe z beschreibt, wird in einer vertikalen Säule die Druckänderung dp betrachtet, die durch die Schwere eines Säulenelementes mit Einheitsquerschnitt und mit der infinitesimalen Höhe dz verursacht wird. Aus der Skizze in Abb. 2.1 liest man für eine solche Säule unmittelbar die Beziehung dp = ρ g dz 2.1) ab. Wegen der Zustandsgleichung der idealen Gase, die für ein Mol gerade p V = R T lautet, und da die Dichte ρ sich als Quotient aus der Molmasse M und dem Molvolumen V schreiben lässt, gilt womit sich für die Druckänderung mit der Höhe sofort ρ = M V = M p R T, 2.2) Springer-Verlag GmbH Deutschland W. Roedel and T. Wagner, Physik unserer Umwelt: Die Atmosphäre,

2 68 2 Die vertikale Struktur der Atmosphäre Abb. 2.1 Zur Ableitung der barometrischen Höhenformel; g ist die Schwerebeschleunigung dp = p M g dz 2.3) R T ergibt. Dabei bedeuten T die absolute Temperatur und R = 8,315 Ws/K mol die universelle Gaskonstante. Die übliche Integration unter Vernachlässigung der Höhenabhängigkeit der Temperatur liefert, mit p als Bodendruck, die bekannte Formel p=p exp M g ) R T z. 2.4) Dividiert man Zähler und Nenner im Exponenten durch die Loschmidt-Zahl L = 6, mol 1, so erhält man die äquivalente Formel p=p exp m g ) k T z, 2.5) mit m als der Masse des einzelnen Moleküls und mit k = 1, Ws/K als der Boltzmann-Konstanten. Um den Höhenverlauf des Druckes in Übereinstimmung mit der realen Atmosphäre richtig zu berechnen, ist für M bzw. für m die mittlere Molmasse der Luft 28,97 g/mol für trockene Luft) bzw. die mittlere Masse eines Luftmoleküls einzusetzen; auf die damit verbundene Problematik werden wir weiter unten eingehen, ebenso auf die im Falle feuchter Luft erforderlichen Modifikationen. Die korrekte Integration der Höhenformel unter Berücksichtigung der Höhenabhängigkeit der Temperatur liefert dp p = M g dz 2.6) R Tz) z dp p = M g R z dz Tz ) 2.7)

3 2.1 Die Druckabnahme mit der Höhe 69 oder, mit ) 1 T = 1 z z dz Tz als dem sogenannten harmonischen Mittel von T, ) ln pz)/p ) = M g R ) 1 z 2.8) T und schließlich p=p exp M g R ) ) 1 z. 2.9) T In der Praxis ist der Unterschied zwischen dem harmonischen Mittel der aktuellen atmosphärischen Temperaturen und dem Kehrwert des geläufigeren arithmetischen Mittels nicht allzu groß; für viele Rechnungen reicht es aus, Letzteres in die oben angeschriebene einfache Höhenformel Gl. 2.4) einzusetzen. In jedem Fall dies wollen wir hier schon festhalten nimmt der Druck umso schneller mit der Höhe ab, je tiefer die jeweiligen Temperaturen sind; im Kap. 3 und Kap. 4 wird gezeigt werden, dass dieser Sachverhalt grundlegende Konsequenzen für die atmosphärische Dynamik und die daraus folgende atmosphärische Zirkulation hat. Der Faktor M g)/r T) = m g)/k T) im Exponenten der barometrischen Höhenformel ist offensichtlich das Inverse einer Länge; diese Länge ist die sogenannte Skalenhöhe engl. scale height) der Atmosphäre. Mit z =R T)/M g) = k T)/m g) als Skalenhöhe können wir die barometrische Höhenformel also auch in der Form p=p exp z/z ) 2.1) schreiben. Für die Atmosphäre als Ganzes ist z 8km ein guter Überschlagswert; dem entspricht eine Halbwertshöhe für den Luftdruck vonetwa5,5km. Die primäre Bedeutung von z ist die einer e-wert-höhe. Es ist aber noch eine weitere Interpretation möglich, nämlich die als Höhe der sogenannten homogenen Atmosphäre. Hierzu denken wir uns die gesamte Atmosphäre in eine Schicht mit gleichmäßiger Dichte gepackt. Es soll die Dichte überall gleich der Dichte ρ am Boden sein. Wir fragen dann nach der Mächtigkeit bzw. Höhe dieser Schicht. Hierzu berechnen wir mithilfe der barometrischen Höhenformel die Gesamtmasse M der Atmosphäre pro Flächeneinheit. Wir erhalten

4 7 2 Die vertikale Struktur der Atmosphäre M ρz) dz = ρ exp z/z ) dz = ρ z, 2.11) d. h. z ist gerade die Höhe der homogenen Atmosphäre mit der Dichte ρ. Die Höhe der so eingeführten homogenen Atmosphäre beträgt also rund 8 km. Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, dass der Begriff der Skalenhöhe nicht nur auf die Atmosphäre als Ganzes angewendet wird, sondern auch auf einzelne Bestandteile, vor allem auch auf Spurenstoffe, deren Konzentration mit der Höhe meist viel rascher abnimmt als mit einer e-wert-höhe von 8 km und deren Abnahme mit der Höhe auch nicht unbedingt einem Exponentialgesetz folgen muss. Für die ganz allgemeine Definition einer Skalenhöhe greift man auf die eben angegebene Beziehung Gesamtmenge/Fläche = cz) dz = c z 2.12) zurück jetzt statt mit der Luftdichte ρz) bzw. ρ mit der Konzentration cz) bzw. c der betrachteten Komponente geschrieben und definiert die Skalenhöhe z über die Beziehung z = 1 c cz) dz. 2.13) Jetzt wollen wir noch auf die Bedeutung des Wasserdampfs für die barometrische Schichtung zu sprechen kommen und dabei den in der Meteorologie häufig benutzten Begriff der virtuellen Temperatur einführen. Wasserdampf hat ein geringeres Molekulargewicht M = 18,1 g/mol)) als trockene Luft M = 28,97 g/mol); damit ist seine Dichte bei gegebener Temperatur geringer. Nach Gl. 2.3 nehmen deshalb Dichte und Druck von feuchter Luft mit der Höhe langsamer ab als von trockener Luft. Im Folgenden beziehen sich die Indizes L bzw. W auf trockene Luft bzw. auf reinen Wasserdampf, nicht indizierte Größen beziehen sich auf die feuchte Luft. Für die einzelnen Partialdrücke gilt damit nach Gl. 2.2) p i = ρ i M i R T mit i = W, L. 2.14) Für den Gesamtdruck der feuchten Luft erhalten wir ρw p= + ρ ) L R T 2.15) M W M L oder nach einer einfachen Umformung mit der Gesamtdichte ρ = ρ L + ρ W )

5 2.1 Die Druckabnahme mit der Höhe 71 p= ρ ρw M L ρ ML + ρ ) L R T. 2.16) M W ρ Der Quotient M L /M W hat dabei den Zahlenwert 1,68. Im Vorgriff auf Kap. 5 führen wir die spezifische Feuchte s = ρ W /ρ ein und schreiben Gl damit in der Form bzw. p= ρ M L = ρ M L s ML 1+s ) +1 s) M W )) ML M W 1 = ρ M L 1 +,68 s) R T R T R T 2.17) ρ = M L p R T 1 1 +,68 s. 2.18) Dieser Zusammenhang tritt an die Stelle der einfachen Gl. 2.2, und wir erhalten für die barometrische Höhenformel anstatt Gl. 2.3 jetzt dp = p M L g dz. 2.19) R T 1 +,68 s) Wir können den im Nenner stehenden Klammerausdruck als Modifikation des Molekulargewichtes M in Gl.2.3 ansehen, wir können ihn aber auch der Temperatur zuschlagen und über T v =T 1 +,68 s) 2.2) eine virtuelle Temperatur T v definieren und Gl in der Form dp = p ML g R T v dz 2.21) schreiben. Die so definierte virtuelle Temperatur erlaubt eine einfache Formulierung der barometrischen Höhenformel unter Berücksichtigung eines variablen Wasserdampfgehalts. Sie ist die gegenüber der aktuellen Temperatur immer etwas höhere) Temperatur, die trockene Luft annehmen müsste, um die gleiche Dichte zu besitzen wie die vorgegebene feuchte Luft. Wir kommen jetzt noch einmal auf den oben erwähnten Sachverhalt zurück, dass man die korrekte Höhenverteilung des Druckes erhält, wenn man für die Massen M bzw. m die über alle Bestandteile der Luft anteilig gemittelten Werte einsetzt. Dies ist keineswegs trivial; in gewissem Sinne wird damit die Thermodynamik außer Kraft gesetzt. Um dies zu zeigen, leiten wir die barometrische Höhenformel

6 72 2 Die vertikale Struktur der Atmosphäre Gl. 2.1) noch mithilfe der Boltzmann-Statistik ab, wobei wir zur Vereinfachung mit einer einheitlichen Temperatur rechnen wollen. Wir betrachten die Luftmoleküle in einer vertikalen Einheitssäule, die von z =, vom Boden, bis ins Unendliche reichen soll. N sei die Gesamtzahl dieser Luftmoleküle pro Einheit der Querschnittsfläche der Säule. Jedes Molekül hat im Schwerefeld die potenzielle Energie E = m g z. Im thermischen Gleichgewicht folgen die potenziellen Energien der Moleküle einer Boltzmann-Verteilung, die angibt, welcher Bruchteil dne) der Moleküle eine potenzielle Energie zwischen einem Wert E und dem zugehörigen Wert E + de hat. Danach gilt dne) = C exp E ) de. 2.22) k T Dabei ist k wieder die Boltzmann-Konstante. C ist ein Normierungsfaktor; durch Ausführen der Integration dn=n kann man C sofort zu C= N k T 2.23) bestimmen. Wir drücken E jetzt noch durch die Höhe aus, E=m g z 2.24) und de = m g dz, 2.25) und erhalten dnz) = N m g k t = N z exp exp m g k t zz ) dz. ) z dz 2.26) Da dnz)/dz gerade die Teilchenzahldichte nz) ist mit der Dimension Volumen 1 ; NE), Nz) und N haben die Dimension Fläche 1 ) und da, nach der Definition der Skalenhöhe, n =N /z die Teilchenzahldichte für z = darstellt, können wir dafür auch schreiben ) nz) = n exp zz. 2.27) Bei festgehaltener Temperatur gilt nz)/n = pz)/p ; daraus folgt sofort, dass diese aus der Boltzmann-Statistik abgeleitete barometrische Höhenformel mit der üblichen Höhenformel formal identisch ist.

7 2.2 Das vertikale Temperaturprofil der Atmosphäre 73 Gedanklich besteht jedoch ein grundlegender Unterschied: In die übliche Formel für die barometrische Höhenverteilung geht integral das Gesamtgewicht der Luftsäule ein, in die mithilfe der Boltzmann-Statistik abgeleitete Verteilung dagegen die potenzielle Energie bzw. das Gewicht des Einzelmoleküls. Im letzteren Fall hängen Skalenhöhe und Höhenverteilung unmittelbar von der Molekülmasse und damit von der Gasart ab; Gase mit unterschiedlichen Molekülmassen sollten danach unterschiedliche Höhenverteilungen aufweisen. Es müsste eine Entmischung der Bestandteile der Atmosphäre eintreten. So betragen bei C die Skalenhöhen beispielsweise für Argon: z = 598 m, für molekularen Sauerstoff: z = 748 m, für molekularen Wasserstoff: z = 1195 m. Eine solche Entmischung wird aber unterhalb etwa 8 km Höhe nicht beobachtet. Dies beweist zwingend, dass für die Mischungs- und Transportvorgänge in der Atmosphäre kollektive turbulente Prozesse verantwortlich sind und dass gegenüber diesen molekular-kinetische Prozesse ganz in den Hintergrund treten. Die molekulare Kinetik spielt erst in sehr großen Höhen, oberhalb etwa 8 km bis 11 km, eine Rolle. Dort wird dann tatsächlich die gaskinetische Entmischung beobachtet, wie sie die Boltzmann-Statistik verlangt. Dieser Sachverhalt schlägt sich auch in der Nomenklatur nieder: Die durchmischte Schicht unterhalb rund 1 km Höhe bezeichnet man als Homosphäre, die sich nach oben anschließende entmischte Schicht als Heterosphäre. Zur Illustration sei noch angegeben, dass die mittleren freien Weglängen der Luftmoleküle zwischen zwei Zusammenstößen in 1 km Höhe bei etwa 15 cm und in 2 km Höhe bei etwa 2 m liegen; im Vergleich dazu beträgt die mittlere freie Weglänge in Bodennähe etwa,6 μm. Mit zunehmender Höhe steigt somit die Wahrscheinlichkeit, dass die schnellsten Luftmoleküle vor allem die leichten Bestandteile) dem Schwerefeld der Erde entkommen können. So verliert die Erde vor allem kontinuierlich Wasserstoffatome, die aus der Photolyse von Wassermolekülen gebildet werden. 2.2 Das vertikale Temperaturprofil der Atmosphäre Die Temperatur der Luft nimmt vom Boden aus mit zunehmender Höhe annähernd linear ab, bis zu Höhen von etwa 1 bis 13 km in den höheren und gemäßigten Breiten und von etwa 18 km in den Tropen. Dabei werden in diesen Höhen Temperaturminima von etwa 5 bis 55 C in mittleren und von ca. 8 Cin den tropischen Breiten erreicht. Von dem Einflussbereich der Polarnacht einmal abgesehen, nimmt die Temperatur oberhalb dieser Minima mit wachsender Höhe wieder zu, bis in rund 5 km Höhe Temperaturen knapp unter C erreicht werden. Der Bereich abnehmender Temperatur, zwischen der Erdoberfläche und der Schicht minimaler Temperatur, heißt Troposphäre, der sich daran anschließende Bereich

8 74 2 Die vertikale Struktur der Atmosphäre zwischen dem unteren Temperaturminimum und dem oberen Temperaturmaximum wird Stratosphäre genannt. Pauschal und mit den Vergröberungen, die pauschalen Aussagen eigen sind lässt sich der Temperaturverlauf in der Troposphäre, vor allem in deren unteren und mittleren Teilen, durch den Transport fühlbarer und latenter Wärme vom Boden aus in die Höhe und durch die sukzessive Umwandlung dieser thermischen Energie in potenzielle Energie erklären. Mit zunehmender Höhe machen sich ebenfalls pauschal gesprochen immer stärker Strahlungseinflüsse bemerkbar, bis schließlich in der Stratosphäre die Temperatur fast allein durch das Strahlungsgleichgewicht festgelegt wird. Wie zu Beginn dieses Kapitels angedeutet wurde, werden wir in diesem Abschnitt zunächst die thermodynamischen Grundlagen besprechen und dabei den sogenannten adiabatischen Temperaturgradienten herleiten, der sich aus der Annahme einer Aufheizung von Luft im Kontakt mit der Erdoberfläche und nachfolgender adiabatischer Abkühlung beim Aufsteigen ergibt. Anschließend werden wir die in der realen Atmosphäre auftretenden Temperaturen und Temperaturgradienten diskutieren Der trockenadiabatische Temperaturgradient und der Begriff der potenziellen Temperatur Zur Einführung des adiabatischen Temperaturgradienten gehen wir von einer einfachen Modellannahme aus: Luft wird am Boden erwärmt; ein Luftpaket steigt auf, ohne durch Strahlung oder Wärmeleitung Energie abzugeben oder aufzunehmen. Wegen der Abnahme des Luftdrucks mit der Höhe expandiert das Luftpaket und leistet dabei Arbeit gegen den aktuellen Luftdruck; da der Vorgang adiabatisch ist, muss das Energieäquivalent zu dieser Arbeit der inneren Energie des Gases entzogen werden: Die Luft kühlt ab. Umgekehrt wird natürlich auch beim adiabatischen Absinken eines Luftpakets potenzielle Energie in innere Energie umgewandelt; das Gas wird komprimiert: Die Temperatur nimmt zu. Wir werden mit diesem Modell hier zunächst den sogenannten trockenadiabatischen Temperaturgradienten herleiten, d. h. wir werden zunächst keine Effekte berücksichtigen, die mit der Kondensation von Wasserdampf und der Freisetzung von Verdampfungswärme verbunden sind. Die Überlegungen betreffen primär einzelne Luftpakete. Da aber immer wieder derartige Luftpakete an der Erdoberfläche aufgeheizt werden und aufsteigen, sich insgesamt also eine Konvektion einstellt, wird schließlich die ganze Troposphäre asymptotisch einen Temperaturverlauf annehmen, der dem adiabatischen Gradienten entspricht. Die Durchmischungszeiten der Troposphäre liegen im Bereich von Tagen bis Wochen. Zur Berechnung des adiabatischen Temperaturgradienten gehen wir von dem I. Hauptsatz der Thermodynamik, dem Energiesatz, aus; zur Vereinfachung wollen wir uns dabei auf ein Mol Gas bzw. Luft beziehen. Der I. Hauptsatz besagt

9 2.2 Das vertikale Temperaturprofil der Atmosphäre 75 du = dq + dw = dq p dv, 2.28) wobei U die innere Energie, Q die zugeführte Wärmemenge, W die am Gas geleistete Arbeit, p den Druck und V das Volumen bedeuten. Bei einem idealen Gas ist die innere Energie von dem Volumen unabhängig und nur eine Funktion der Temperatur; mit C v als spezifischer Molwärme bei konstantem Volumen können wir diese Funktion in der Form schreiben. Zusammen ergeben beide Gleichungen du=c v dt 2.29) dq = p dv + C v dt. 2.3) Mithilfe der Zustandsgleichung eines idealen Gases für ein Mol, bzw. in differenzieller Form p V=R T 2.31) p dv + V dp = R dt, 2.32) können wir die Energiegleichung Gl. 2.3) umformen in dq = V dp+r+c v ) dt = V dp + C p dt 2.33) mit C p als spezifischer Wärme bei konstantem Druck; dabei gilt C p =C v +R). Über die Zustandsgleichung können wir mit V = R T/p wir beziehen uns auf ein Mol!) noch V eliminieren und erhalten schließlich dq= R T dp + C p dt. 2.34) p Für adiabatische Prozesse gilt nun dq = ; damit ergibt sich C p dt = R T p Mithilfe der barometrischen Höhenformel Gl. 2.3), dp. 2.35) dp p = M g dz, 2.36) R T können wir die Druckänderung noch durch die Höhenänderung ausdrücken und erhalten schließlich C p dt = M g dz. 2.37)

10 76 2 Die vertikale Struktur der Atmosphäre An dieser Form der Energiegleichung sieht man sofort, dass bei adiabatischen Prozessen die Summe aus thermischer und potenzieller Energie eine Erhaltungsgröße ist. Löst man die Gleichung noch nach dt/dz auf, so erhält man den gesuchten trockenadiabatischen Temperaturgradienten zu dt dz = M g C p. 2.38) Mit den Zahlenwerten C p = 28,97 Joule/K mol und M = 28,97 g/mol und g = 9,81 m/s 2 ergibt sich für den trockenadiabatischen Temperaturgradienten dt =, 981 K/m 1 K/1 m. 2.39) dz Eine äquivalente Schreibweise ist dt dz = g c p ; 2.4) dabei ist c p =C p /M die auf die Masseneinheit bezogene spezifische Wärme bei konstantem Druck, mit dem Zahlenwert c p = 1, Joule/K g. Zur Vereinfachung der Ausdrucksweise haben sich eigene Symbole für den aktuellen und für den trockenadiabatischen Temperaturgradienten genauer für deren negativen Werte eingebürgert: und γ = dt/dz) aktuell für den aktuellen Gradienten 2.41) Ɣ = dt/dz) adiabatisch für den adiabatischen Gradienten. 2.42) Bei adiabatischen Zustandsänderungen wasserdampfhaltiger Luft ändert sich gegenüber den bisherigen Überlegungen nichts Wesentliches, solange keine Kondensation eintritt. Lediglich die Zahlenwerte werden durch die etwas höhere spezifische Wärme des Wasserdampfs geringfügig modifiziert. Grundlegende Änderungen treten erst bei Kondensation von Wasserdampf ein; diese werden wir im Abschn besprechen. Um die Variation der Zahlenwerte bei wasserdampfhaltiger Luft ohne Kondensation!) abzuschätzen, müssen wir in dem oben angegebenen Ausdruck für den adiabatischen Temperaturgradienten, dt/dz = g/c p, die spezifische Wärme c p durch die gewichteten spezifischen Wärmen des Wasserdampfs, c p,w, und der trockenen Luft, c p,l, ersetzen. Mit der spezifischen Feuchte s als dem Verhältnis von Masse Wasserdampf zu Masse feuchter Luft, s= ρ w ρ w + ρ l 2.43)

11