Algorithmen II. Peter Sanders, Christian Schulz, Simon Gog. Übungen: Michael Axtmann. Institut für Theoretische Informatik, Algorithmik II.

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1 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar 2017 Algorithmen II Peter Sanders, Christian Schulz, Simon Gog Übungen: Michael Axtmann Institut für Theoretische Informatik, Algorithmik II Web:

2 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Anwendungen von DFS

3 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Tiefensuchschema für G =(V, E) unmark all nodes; init foreach s V do if s is not marked then mark s root(s) DFS(s, s) // make s a root and grow // a new DFS-tree rooted at it. Procedure DFS(u,v : NodeId) // Explore v coming from u. foreach (v,w) E do if w is marked then traversenontreeedge(v,w) else traversetreeedge(v, w) mark w DFS(v, w) backtrack(u,v) // return from v along the incoming edge

4 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar DFS Nummerierung init: root(s): traversetreeedge(v,w): dfspos=1 : 1..n dfsnum[s]:= dfspos++ dfsnum[w]:= dfspos++ u v dfsnum[u]<dfsnum[v]. Beobachtung: Knoten auf dem Rekursionsstapel sind bzgl., sortiert

5 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Fertigstellungszeit init: backtrack(u,v): finishingtime=1 : 1..n finishtime[v]:= finishingtime++

6 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Starke Zusammenhangskomponenten Betrachte die Relation mit u v falls Pfad u,...,v und Pfad v,...,u. Beobachtung: ist Äquivalenzrelation Übung Die Äquivalenzklassen von bezeichnet man als starke Zusammenhangskomponenten. e a d c h f b g i e a c,d, f,g,h b i

7 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Starke Zusammenhangskomponenten Abstrakter Algorithmus G c := (V, /0=E c ) foreach edge e E do invariant SCCs of G c are known E c := E c {e}

8 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Schrumpfgraph G s c =(V s,e s c) Knoten: SCCs von G c. Kanten:(C,D) Ec s (c,d) E c : c C d D e a d c h f b g i e a c,d, f,g,h b i Beobachtung: Der Schrumpfgraph ist azyklisch

9 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Auswirkungen einer neuen Kante e auf G c, G s c SCC-intern: Nichts ändert sich zwischen zwei SCCs: Kein Kreis: Neue Kante in G s c Kreisschluss: SCCs auf Kreis kollabieren. e a d c h f b g i e a c,d, f,g,h b i

10 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Konkreter: SCCs mittels DFS [Cheriyan/Mehlhorn 96, Gabow 2000] V c = markierte Knoten E c = bisher explorierte Kanten Aktive Knoten: markiert aber nicht finished. SCCs von G c : nicht erreicht: Unmarkierte Knoten offen: enthält aktive Knoten abgeschlossen: alle Knoten finished component[w] gibt Repräsentanten einer SCC an. Knoten von offenen (abgeschl.) Komponenten heißen offen (abgeschl.)

11 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Invarianten von G c 1. Kanten von abgeschlossenen Knoten gehen zu abgeschlossenen Knoten 2. Offene Komponenten S 1,...,S k bilden Pfad in G s c. 3. Repräsentanten partitionieren die offenen Komponenten bzgl. ihrer dfsnum. S 1 S 2 S k r 1 r 2 r k current node open nodes ordered by dfsnum

12 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Lemma: Abgeschlossene SCCs von G c sind SCCs von G Betrachte abgeschlossenen Knoten v und beliebigen Knoten w in der SCC von v bzgl. G. z.z.: w ist abgeschlossen und v C w in der gleichen SCC von G c wie v. Betrachte Kreis C durch v, w. Inv. 1: Knoten von C sind abgeschlossen. Abgeschl. Knoten sind finished. Kanten aus finished Knoten wurden exploriert. Also sind alle Kanten von C in G c.

13 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Repräsentation offener Komponenten Zwei Stapel aufsteigend sortiert nach dfsnum oreps: Repräsentanten offener Komponenten onodes: Alle offenen Knoten S 1 S 2 S k r 1 r 2 r k current node open nodes ordered by dfsnum

14 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar init component : NodeArray of NodeId oreps= : Stack of NodeId onodes= : Stack of NodeId // SCC representatives // representatives of open SCCs // all nodes in open SCCs Alle Invarianten erfüllt. (Weder offene noch geschlossene Knoten)

15 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar root(s) oreps.push(s) onodes.push(s) // new open // component {s} ist die einzige offene Komponente. Alle Invarianten bleiben gültig

16 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar traversetreeedge(v, w) oreps.push(w) onodes.push(w) // new open // component {w} ist neue offene Komponente. dfsnum(w) > alle anderen. Alle Invarianten bleiben gültig

17 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar traversenontreeedge(v, w) if w onodes then while w oreps.top do oreps.pop w onodes wis abgeschlossen Lemma( ) Kante uninteressant w onodes: kollabiere offene SCCs auf Kreis S i S k r i w r k v current node

18 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar backtrack(u, v) if v=oreps.top then oreps.pop repeat // close // component w:= onodes.pop component[w]:= v until w=v S i S k r i r k current node z.z. Invarianten bleiben erhalten...

19 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar backtrack(u, v) if v=oreps.top then oreps.pop repeat w:= onodes.pop component[w]:= v until w=v // close // component Inv. 1: Kanten von abgeschlossenen Knoten gehen zu abgeschlossenen Knoten. S i S k r i nein r k u OK OK current node nein

20 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar backtrack(u, v) if v=oreps.top then oreps.pop repeat w:= onodes.pop component[w]:= v until w=v // close // component Inv. 2: Offene Komponenten S 1,...,S k bilden Pfad in G s c OK. (S k wird ggf. entfernt) S i S k r i r k current node

21 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar backtrack(u, v) if v=oreps.top then oreps.pop repeat w:= onodes.pop component[w]:= v until w=v // close // component Inv. 3: Repräsentanten partitionieren die offenen Komponenten bzgl. ihrer dfsnum. OK. (S k wird ggf. entfernt) S i S k r i r k current node

22 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Beispiel a b c d e f g h i j k root(a) traverse(a,b) traverse(b,c) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge traversed edge closed SCC open SCC

23 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k root(a) traverse(a,b) traverse(b,c) traverse(c,a) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge traversed edge closed SCC open SCC

24 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k backtrack(b,c) backtrack(a,b) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge traversed edge closed SCC open SCC

25 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k backtrack(a,a) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge traversed edge closed SCC open SCC

26 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k root(d) traverse(d,e) traverse(e,f) traverse(f,g) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge closed SCC traversed edge open SCC

27 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k backtrack(f,g) backtrack(e,f) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge closed SCC traversed edge open SCC

28 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k traverse(e,g) traverse(e,h) traverse(h,i) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge closed SCC traversed edge open SCC

29 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k traverse(i,e) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge traversed edge closed SCC open SCC

30 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k traverse(i,j) traverse(j,c) traverse(j,k) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge traversed edge closed SCC open SCC

31 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k traverse(k,d) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge traversed edge closed SCC open SCC

32 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k backtrack(j,k) backtrack(i,j) backtrack(h,i) backtrack(e,h) backtrack(d,e) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge traversed edge closed SCC open SCC

33 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar a b c d e f g h i j k backtrack(d,d) unmarked marked finished nonrepresentative node representative node nontraversed edge traversed edge closed SCC open SCC

34 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Zusammenfassung: SCC Berechnung Einfache Instantiierung des DFS-Musters Nichttrivialer Korrektheitsbeweis Laufzeit O(m+n): (Jeweils max. n push/pop Operationen) Ein einziger Durchlauf

35 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Zusatz zusammenhängende Komponenten (ungerichtet) Bei entfernen eines Knotens bleibt die Komponente zusammenhängend. (Partitionierung der Kanten) Geht in Zeit O(m+n) mit Algorithmus ähnlich zu SCC-Algorithmus

36 Schulz, Gog, Sanders: Algorithmen II Januar Zusatz 3-35 Mehr DFS-basierte Linearzeitalgorithmen 3-zusammenhängende Komponenten Planaritätstest Einbettung planarer Graphen