2) Gesetze von Faraday und Coulomb

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1 Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) 1.Definition und Beispiele 1) Linearer ungedämpfter Federpendel mx + cx = xt () =Auslenkung zum Zeitpunkt t m =Masse, c=federkonstante ) Gesetze von Faraday und Coulomb 0 dil dv L = v, C L C = i dt dt i=strom, v=spannung C Seite 1

2 3) Radioaktiver Zerfall dn dt = λn nt () = Teilchenanzahl zum Zeitpunkt t λ =radioaktive Zerfallskonstante Definition DGL n-ter Ordnung Eine Gleichung zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen heißt gewöhnliche DGL. Die Ordnung n der DGL ist die Ordnung der höchsten Ableitung: ( n) F( x, y, y, y,..., y ) = 0, implizite DGL ( n) ( n 1) y = f( x, y, y,..., y ), explizite DGL Eine Lösung yxder ( ) DGL ist eine Funktion y( x ), die diese Gleichung erfüllt. Seite

3 Beispiele 1) DGL: y y = 0 x Lösung: y = Ce, C ) DGL: x+ x = 0 Lösung x = C1 cost+ C sin t; C1, C Definition a) Die Menge aller Lösungen bildet die allgemeine Lösung einer DGL. b) Eine Lösung, die zusätzliche Bedingungen erfüllt, heißt partikuläre Lösung. c) DGL und eine Bedingung = Anfangswertproblem (AWP) DGL und mehrere Bedingungen = Randwertproblem (RWP). Seite 3

4 Satz Die allgemeine Lösung einer DGL n-ter Ordnung ist eine Kurvenschar mit n Parametern. Umgekehrt besitzt eine solche Schar eine zugehörige DGL n-ter Ordnung. Übung 1 Finden Sie die partikuläre Lösung der DGL a) aus Bsp 1 mit der Eigenschaft y (0) =. b) aus Bsp mit x(0) = 1, x ( π ) = 1. Übung Finden Sie die zu der Kurvenschar y = p x gehörige DGL. Seite 4

5 . Differentialgleichungen 1. Ordnung.1. Geometrische Eigenschaften A) Das Richtungsfeld der DGL y = f( x, y) Die DGL gibt in jedem Punkt P0( x0, y 0) die Steigung m0 = y ( x0) = f( x0, y0) der Tangente an die Lösungskurve durch P 0. Definition a) Linienelement in P 0 = Ein kleiner Tangentenabschnitt an die Lösungskurve durch P 0. b) Richtungsfeld der DGL=die Menge aller Linienelemente. Seite 5

6 Beispiel y = y Übung Skizzieren Sie das Richtungsfeld und die Lösungsschar der DGLs: a) xy y = 0; b) yy + x = 0. Bemerkung: Der geometrische Verlauf der Lösungskurven läst sich im Richtungsfeld überblicken. Seite 6

7 Satz (Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Durch jeden regulären Punkt P 0 verläuft genau eine Lösungskurve der DGL. Folgesatz Lösungskurven einer DGL können sich in regulären Punkten nicht schneiden. Bemerkung in singulären Punkten in denen f( x, y ) vom Typ 0 / 0 ist, müssen die Aussagen der o.a. Sätze nicht stimmen B) Die Numerische Lösung von Differentialgleichungen Aus der geometrischen Beschreibung des Richtungsfeldes kann man eine einfache Methode zur näherungsweisen Berechnung der Lösung des Anfangswertproblems (AWP) y = f( x, y), y ( x0) = y0 herleiten. Seite 7

8 Bild: Das Richtungsfeld und die Lösung 1 des AWP y = y, y(0) =. 3 Das Euler-Polygonzugverfahren: Der Startpunkt ist P0( x0, y 0). Es wird eine Schrittweite h > 0 festgelegt. Die Folge von Punkten Pn( xn, y n) des Euler Polygonzuges wird iterativ berechnet: Seite 8

9 x = x + h, n+ 1 n y = y + f( x, y ) h n+ 1 n n n n = 0, 1,, 3, Beispiel: 1 y = y, y(0) = 3 1 f( xn, yn) = yn, x0 = 0, y0 = /3. Wir wählen die Schrittweite h = 1. Seite 9

10 x = x + h = x + 1 n+ 1 n n 1 3 y = y + f( x, y ) h = y + y 1= y n+ 1 n n n n n n Die 1. Iteration x = x + 1= 0+ 1= y1 = y0 = = 1 3 Die. Iteration 3 3 x = x1+ 1=, y = y1 = Die 3. Iteration 3 9 x3 = x + 1= 3, y3 = y =. 4 Seite 10

11 Die Darstellung des Polygonzuges: Seite 11

12 Wir wählen nun die Schrittweite h = 1/. Die Darstellung des Polygonzuges: Seite 1

13 Die Berechnung x = x + h = x + 1/ n+ 1 n n y = y + f( x, y ) h = y + y = y 4 n+ 1 n n n n n n Die 1. Iteration x y = x + 1/ = 0+ 1/ = 1/ = y = = Die. Iteration x = x1+ 1/3 = 1, y = = Die 3. Iteration x3 = x + 1/ = 3/, y 3 = = Seite 13

14 Bemerkungen: 1) Bei Verkleinerung der Schrittweite wird der Näherungsfehler ggf. auch kleiner und der Polygonzug nähert sich der exakten Lösung: Seite 14

15 ) Andere Verfahren: Euler Verfahren mit Steuerung der Schrittweite Implizites Euler Verfahren Runge Kutta Verfahren B) Orthogonaltrajektorien (OT) Definition Zwei Kurvenscharen S1, S sind orthogonal, wenn ihre Kurven sich jeweils unter einem rechten Winkel schneiden. Ist S 1 gegeben, so erhält man S so: Seite 15

16 1) Wir ordnen S 1 ihre DGL zu. ) Wir führen die Substitution 1 y y durch. 3) Wir lösen die neue DGL. Ihre allgemeine Lösung ist S. Beispiel Gegeben ist S 1 durch die Gleichung y = C x, C. Gesucht sind die OT. Lösung 1) ) y xy y = C = 0 xy y = 0. x x 1 xy y = 0 x y = 0 y Seite 16

17 3) 1 dy x y = 0 yy + x= 0 y + x= 0 y dx xdx + ydy = 0 x + y = R. Ergebnis: Die Orthogonalschar der Ursprungsgeraden ist die Schar der Ursprungskreise... Einfach integrierbare Typen Die separierbare DGL Beispiel 1) x y = y Das Lösungsverfahren formales Rechnen mit Differentialen Seite 17

18 dy dy dx x y = y x = y = dx y x ln y = ln x + C y = e ln x + c ln x C C = e e = x e y = x C, C > 0 y = C x, C R Bemerkung Die Konstanten werden qualitativ behandelt, d.h. Umformungen wie C e = C,lnC = C usw. sind möglich und erwünscht um die Lösung der DGL möglichst einfach darzustellen. Seite 18

19 (1) Die allgemeine separierbare DGL y = f( x) h( y) * Tafel(aufschrieb): implizite Lösung Beispiel ) y = y Übung! Ergebnis yx ( ) = Ce x, C R Beispiel 3) y y + x= 0 * Tafel: Lösung Ergebnis x + y = C, implizite Lösung. Skizzen der Lösungsscharen 1-3! Seite 19

20 () Der Typ y = f( ax+ by+ c) Ansatz Substitution u = ax+ by+ c Beispiel y = ( x+ y 1) * Tafel: Lösung Ergebnis yx ( ) = tan( x+ C) x+ 1, C R. (3) ÄhnlichkeitsDGL: y y = f x Ansatz Beispiel Substitution u xy y x = 0 = y x Seite 0

21 * Tafel: Lösung Ergebnis yx ( ) = x ln x + C xc, R. Hausaufgabe 1) Aufgaben BzM 6 ) y + xy = x; 3) xy + x + y = y. Ergebnisse y = Ce x + 1; y 1 = C x C..3. Die lineare DGL 1. Ordnung Die Normalform: f ( x) y + g( x) y = rx ( ) Die Lösung: Seite 1

22 1) Die Lösung der homogenen DGL f( x) y + g( x) y = 0 als separierbare DGL. ) Die Lösung der inhomogenen DGL f( x) y + g( x) y = r( x) durch Variation der Konstanten. Beispiel xy y = ln x Lösung: 1) Die homogene DGL dy dy dx x = y = ln y = ln x + C dx y x y = C x, C. h Seite

23 ) Die Variation der Konstanten xc ( ( x) x+ Cx ( )) Cx ( ) x= lnx C ( x) x + C( x) x C( x) x= lnx C ( x) x = ln x C ( x) = ln x/ x ln x ln x+ 1 Cx ( ) = dx= x x y = C( x) x= lnx 1. p 3) Die allgemeine Lösung y = y + y = C x ln x 1 h p Übung xy + y = x + 3x + Seite 3

24 Die lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Beispiel Befindet sich ein Körper mit der Anfangstemperatur T 0 in einem Medium * mit konstanter Temperatur T, so ist seine Temperaturänderung proportional zur Temperaturdifferenz, d.h. es gilt: dt kt ( T*), T(0) T0 T = = Gesucht ist die Temperatur Tt () des Körpers zum Zeitpunkt t. Lösung: dt T T * = k dt ln T T = kt+ C * * kt * T T = Ce T() t = T + Ce kt Seite 4

25 * * 0 0 T(0) = T + C = T C = T T * * 0 Tt () = T + ( T T) e kt. Übungen BzM 6, Bsp.10 b, c Seite Einfache Typen von DGL. Ordnung. 1) Typ y = f( x, y ) Ansatz: Substitution u = y Beispiel: xy y = ln x ) Typ y = f( y) Ansatz: Multiplikation mit dem integrierenden Faktor y. Beispiel: 3 y y = 0, y(0) = y (0) = 1 Seite 5

26 Lösung: 3 3 y y = 0 yy = 4y y ( ) 4 y = y + C ; y(0) = y (0) = 1 C = ( ) 4 dy y = y y =+ y = dx y 1 1 = x+ C y = ; y(0) = 1 y x+ C = C 1 y C = = x 1. Seite 6

27 3. Lineare DGLs höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 3.1. Allgemeine Sätze und Bezeichnungen Definitionen 1) Linearer Differentialoperator n-ter Ordnung ( n) ( n 1) n[ ] n n L y = a y + a y + + a y + a y ( k) ( k) a = a ( x), y = y ( x), k = 0,1,..., n k k ) Lineare DGL n-ter Ordnung Ln [ y ] = 0 homogene DGL (H-DGL) Ln [ y ] = r ( x ) inhomogene DGL mit Störfunktion rx ( ) Seite 7

28 Sätze 1) Sind y1( x), y( x ) Lösungen der H-DGL Ln [ y ] = 0, so ist auch die Linearkombination C1 y1( x) + C y( x); C1, C R ebenfalls eine Lösung. ) Die allgemeine Lösung der H-DGL ist y ( x) = C y ( x) + C y ( x) C ( x) y ( x) h 1 1 n n wobei C1, C,..., Cn R und y1( x), y( x),..., yn( x ) ein Fundamentalsystem von Lösungen der H-DGL bilden. Seite 8

29 3) Definition: y1( x), y( x),..., yn( x ) bilden ein Fundamentalsystem wenn y1( x) y( x)... yn( x) y 1( x) y ( x)... y n( x) ( n) ( n) y 1 ( x) y ( x)... y ( n) n ( x) 0, x R 4) Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL L [ y] = r( x) ist yx ( ) = y ( x) + y( x) p wobei yh( x ) die Lösung der homogenen und yp( x ) eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist. n h Seite 9

30 3.. Die lineare DGL mit konstanten Koeffizienten ( n) ( n 1) n[ ] n n ( k) ( k) k R, = ( ), = 0,1,..., L y = a y + a y + + a y + a y a y y x k n I) Die Lösung der homogenen DGL Ln [ y ] = 0 Ansatz yx ( ) = e λ x, λ C Damit wird die DGL zurückgeführt auf die Lösung der charakteristischen Gleichung n n 1 n λ n λ n 1 λ 1 λ 0 P ( ) = a + a a + a = 0 Seite 30

31 Beispiel y 7y + 6y = 0 Ansatz yx ( ) = e λ x, λ C wobei λ eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist: 3 λ λ λ λ λ 7 + 6= 0 1= 1, =, 3 = 3 Die Lösungen y 1 3 1( x) = e x, y( x) = e x, y3( x) = e x bilden ein Fundamentalsystem der DGL und somit ist die allgemeine Lösung y ( ) x x 3x h x = C1 e + C e + C3 e Seite 31

32 Die homogene DGL. Ordnung L [ y] = a y + a1 y + a0 y = 0 P ( λ) = a λ + a1 λ+ a0= 0 Fallunterscheidung für die char. Gleichung λ λ λ λ (1) 1, R, 1 λ λ λ λ () 1, R, 1= (3) λ1, λ C Seite 3

33 Fallunterscheidung für die DGL λ λ λ λ (1) 1, R, 1 λ1 x λ x yh = C1 e + C e λ λ λ λ λ () 1, R, 1= = y x x h = C1 e λ + C x e λ (3) λ1, λ C λ1, = a± j b y ax 1 cos( ) ax h = C e bx + C e sin( bx) Seite 33

34 Das asymptotische Verhalten der homogenen Lösung (a) Wenn Reλ 1, < 0 dann gilt lim yh( x) = 0 d.h. die Lösung y h x nähert sich asymptotisch dem Gleichgewicht y = 0. Falls λ ist y h eine gedämpfte harmonische Schwingung. (b) Wenn Reλ 1, = 0 dann existiert lim y ( x) x h nicht und die Lösung y h ist eine harmonische Schwingung. (c) Wenn Reλ 1 > 0 oder Reλ > 0 dann existiert lim y ( x) nicht und die x Lösung y h ist unbeschränkt. h Seite 34

35 Übungen 1) y 7y = 0 ) 3) y y y 0 + = y 4y + 5y = 0 4) x+ x + ax= 0, a R. 5) x+ δx + ω x= 0; δ > 0, ω R Homogene DGLs höherer Ordnung Beispiele 1) y 6y + y + 36y = 0 ) λ1= λ = λ3 = 1; λ4 = λ5 = 1 Gesucht ist die DGL und ihre Lösung. Seite 35

36 Lösungsschema L [ y] = 0 y ( λ, x) P n n ( λ) = 0 λ C h II) Die Lösung der inhomogene DGLs mit konstanten Koeffizienten Die Methode des Störansatzes Das Prinzip: Die Lösung hat die gleiche Bauart wie die Störfunktion Beispiel 1 x y + y = e Seite 36

37 Lösung Ansatz y = A e, A x x y = A e y = A e Einsetzen in die DGL: x x x x y + y = e A e + A e = e x x A e = e A= 1/ 1 x yp = e x Beispiel y + y = e x x Lösung Ansatz y = A e, A x y = A e y = A e Einsetzen in die DGL: x x x x x y + y = e A e A e = e 0 = e x. Es ergibt sich somit ein Widerspruch. Seite 37

38 Beispiel 1 ist typisch für den sogenannten Normalfall, Beispiel für den Resonanzfall Resonanz tritt auf, wenn eine Fundamentallösung der homogenen DGL ein Baustein der Störfunktion ist. Folgenden Resonanzfälle sind möglich: 1) λ = 0 und rx ( ) besitzt als Baustein ein Polynom. ) λ und rx ( ) besitzt als Baustein die x Funktion e λ. 3) λ = a ± j b und rx ( ) besitzt als ax ax Baustein e cosbx oder e sin bx. Die Ansätze für eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL sind in den folgenden zwei Tabellen für typische Störfunktionen aufgeführt. Seite 38

39 Tabelle 1 ( Normalfall ) Störfunktion r( x ) Ansatz y p n a0 + a1 x anx A0 + Ax An x kx ae kx Ae n acos mx asin mx acos mx+ bsin mx Acos mx + Bsin mx ae ae kx kx kx cos mx sin mx e ( acosmx+ bsin mx) kx e ( Acosmx+ Bsin mx) Seite 39

40 Tabelle ( Resonanzfall ) Störfunktion r( x ) Ansatz y p n a0 + a1 x anx l n x ( A0 + Ax An x ) kx ae l kx xae acos mx asin mx acos mx+ bsin mx l x ( Acosmx+ Bsin mx ) ae ae kx kx kx cos mx sin mx e ( acosmx+ bsin mx) l kx x e ( Acosmx+ Bsin mx ) l ist die Vielfachkeit der Lösung λ der charakteristischen Gleichung, welche die Resonanz provoziert. Seite 40

41 Beispiele zur Methode des Störansatzes a) y + y + 4y + 4 y = r( x) a1) rx ( ) = x; a) rx ( ) = cosx a3) rx ( ) = 3cos x ; a4) rx ( ) = e x b) x y y = xe + x Ansatz (Resonanzfall+Normalfall) x y = x( Ax+ B) e + Cx+ D p Ergebnis: 1 ( 1) x yp = x x+ e x 4 c) x x = t e t Ansatz(Resonanzfall): ( ) x = t At+ B e p t Ergebnis: 1 xp = t t 1 e t Seite 41

42 Komplexer Ansatz für die partikuläre Lösung Anwendungsbereich: kx rx ( ) = e ( acosmx+ asin mx) oder äquivalent kx 1 rx ( ) = e cos( mx+ ϕ). Vorgehensweise: komplexe Erweiterung Beispiel 1 Lösung: y + y + y = cos x y + y + y = cos x jx z + z + z = e, y = Re( z) Ansatz: z = Ae, z = Aje, z = Aj e p jx jx jx Einsetzen: Ae (1 + j+ j ) = e Aje = e jx jx jx jx Seite 4

43 Aj = 1 A= 1/ j = j zp = je z = j(cos x+ jsin x) = sin x jcos x p y = Re( z ) = sin x. p p jx Beispiel kx y + ky + y = e sin x, k 0 Lösung: kx y + ky + y = e cos( x π / ) kx j( x π /) z + k z + z = e e Ansatz: ϕ ϕ z = Ae e = Ae e p kx j( x ) j ( j k) x jϕ ( j k) x z = Ae ( j k) e, jϕ ( ) z = Ae ( j k) e j k x Einsetzen und durch kx e dividieren: Seite 43

44 π j jϕ [( k + j) + k( k + j) + 1] Ae = e Nach Berechnung der eckigen Klammer: jϕ jπ / jϕ jπ jπ / k Ae = e k Ae e = e Beträge und Winkel gleichsetzen: Ak = 1, ϕ + π = π / 1 1 kx A=, ϕ = 3 π / z p = e e k k 3π j( x ) 1 kx 3π yp = Re( zp) = e cos( x ). k Übung (Resonanzfall) x+ x+ x + x= cost Seite 44

45 4. Die Schwingungsdifferentialgleichung (S-DGL) 4.1. Definition und Beispiele Definition (DIN 1311): ax + bx + cx = r(); t a, c > 0, b 0 Beispiele (BzM 6, Seite 57) Feder Masse Schwinger, elektrischer Reihenschwingkreis. 4.. Freie Schwingungen ax bx cx + + = 0 Seite 45

46 Die charakteristische Gleichung: b b c aλ + bλ+ c= 0 λ1, = ± a 4a a Hergeleitete Größen: b c δ δ =, ω0 =, ωd = ω0 δ, D = a a ω Dämpfung, Frequenz der ungedämpften beziehungsweise gedämpften Schwingung, Dämpfungsgrad. 0 Die DGL und die Lösungen λ 1,: 0 1, 0 x+ δ x + ω x= 0; λ = δ ± δ ω Seite 46

47 Fallunterscheidung nach δ, ω 0 1) Ungedämpfte Schwingung δ = 0: λ =± jω x() t = C cosω t+ C sinω t 1, Die Lösung ist eine harmonische Schwingung. ) Schwache Dämpfung 0 < δ < ω0 λ = δ ± jω 1, δ t d xt () = e ( Ccosω t+ C sin ω t) 1 d Die Lösung ist eine gedämpfte harmonische Schwingung. d Seite 47

48 λ 3) Grenzfall δ = ω0 δ t 1, = δ = 1 + xt () e ( C Ct) Die Lösung ist aperiodisch. 4) Starke Dämpfung δ > ω0 1, 0 λ = δ ± δ ω < λt 1 λ t xt () = Ce 1 + Ce Die Lösung ist aperiodisch. 0 Die geometrische Veranschaulichung der Lösungen A) Skizzen B) MatLab Simulation Seite 48

49 (1) δ = 0 () 0 < δ < ω0 Seite 49

50 (3) δ = ω0 (4) δ > ω0 Seite 50

51 4.3. Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Erregung Die S-DGL ist 0 0 x+ δ x + ω x= ω A cos( ω t) wobei AEcos( ω Et) die harmonische Erregung darstellt (z.b. eine Feder oder Wechselstrom, s. BzM 6, Seite 60). Die Lösung hat die allgemeine Bauart: xt () = x () t + x () t. h p Die homogene Lösung wurde unter vorgestellt. Eine partikuläre Lösung hat die Darstellung (komplexer Ansatz): x () t = A cos( ω t ϕ). p p E E E Seite 51

52 Die Berechnung der partikulären Lösung erfolgt nach der Methode des komplexen Ansatzes. Für die qualitative Untersuchung der Abhängigkeit von Amplitude und Phase der partikulären Lösung von den Parametern δ, ω0, A E, ω E sind die folgenden Größen wichtig: Ap u = ωe δ, D, V ω = ω = A, genannt 0 0 dimensionslose Frequenz, Dämpfungsgrad und Verstärkungsfaktor. Berechnungsformeln für Verstärkungsfaktor und Phase 1 Du VuD (, ) =, tanϕ = (1 u ) + 4D u 1 u E Seite 5

53 Die Abhängigkeit von A p und ϕ von ω E bei festen Werten von δ, ω 0, AE wird Amplituden- bzw Phasenfrequenzgang genannt. Der Amplitudenfrequenzgang VuD (, ) = 1 (1 u ) + 4D u 5 Der Amplitudenfrequenzgang D=0 Verstärkungsfaktor 3.5 D= D= D=0.5*sqrt() D= u Seite 53

54 Der Phasenfrequenzgang Du tanϕ = 1 u 4 Der Phasenfrequenzgang 3.5 D=0 3.5 D=0. D=0.4 D=0.5*sqrt() Phase 1.5 D= u Zur Kurvendiskussion siehe auch Brücken zur Mathematik Band 6, Seiten Seite 54

55 Die allgemeine Lösung x= x + x Die Fallunterscheidung nach δ, ω0, ω E: h (5) δ = 0, ωe < ω0 p (6) δ = 0, ωe > ω0 Seite 55

56 (7) δ = 0, ωe = ω0 (8) δ > 0, ωe < ω0 Seite 56

57 (9) δ > 0, ωe > ω0 (10) δ > 0, ωe = ω0 Seite 57

58 Die Fallunterscheidung nach den drei Parametern δ, ω0, ω E kann am besten in Verbindung mit dem Amplituden- und Phasenfrequenzgang überblickt werden. Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass sich bei positiver Dämpfung nach einer gewissen Einschwingphase die Erregerschwingung durchsetzt. Seite 58

59 5. Systeme von Differentialgleichungen 5.1. Das Eliminationsverfahren Beispiel x 1 = x1 x (1) x = x1+ x () Lösung 1) Elimination einer Variablen () x1 = x + x x 1 = x + x (1) x 1 = ( x + x) x = x + 3x x + x = x + 3x x 4x + 3x = 0 ) Lösung der DGL. Ordnung in x. 3) Berechnung von x 1 = x + x. Seite 59

60 5.. Die Normalform einer DGL Beispiel 1 x x+ 3x x= cost Substitution: x 1 = x, x = x, x 3 = x x = x 3x + x + cost DGL Herleitung des Systems: x= x1 x = x 1 = x x = x = x3 x = x1 3x + x3+ cost In Matrix Form: x = A x+ r() t x x1 0 x = x cost x 3 x 3 Seite 60

61 Übung S-DGL als System 0 0 x+ δ x + ω x= ω A cos( ω t) E E 5.3. Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten x = A x Satz Das System x = A x kann im Falle oder -einfacher Eigenwerte von A, -symmetrischer Matrizen A auf ein Eigenwertproblem zurückgeführt werden. Seite 61

62 Lösungsansatz: c1 λt x = e = c e c λt Einsetzen in x = A x : λt λt λc e = Ac e Ac = λc Somit wird das System auf die Berechnung der Eigenwerte λ und der Eigenvektoren c der Matrix A zurückgeführt. Daraus entstehen dann Fundamentallösungen der Bauart x = c e λt. Diese bilden ein Fundamentalsystem unter den Voraussetzungen des o.a. Satzes. Beispiel 1 x 1 = x1 x 1 x = A x, A= x = x1+ x 1 Seite 6

63 Lösung 1) Berechnung der Eigenwerte Ansatz: λ 1 det( A λe) = 0 = 0 1 λ ( λ) 1= 0 λ = 1, λ = 3 1 ) Berechnung der Eigenvektoren Ein Eigenvektor zum Eigenwert λ = λ1 : Ansatz: 1 1 c1 0 ( A λ1e) c = 0 = 1 1 c 0 c c = (unterbestimmtes LGS!) 1 0 Seite 63

64 Eine Lösung des LGS ist c 1 = c = 1 und 1 1 ein Eigenvektor c = 1. Für λ = 3 ergibt sich analog c = 1. 3) Die Lösung des Systems ist 1 λ t λ t 1 1 x C c e 1 C c e ; C, C 1 = + 1 t 1 x = C1 e + C e 1 1 3t t 3t t 3t 1 1, 1 x = C e + C e x = C e C e. Beispiel x 1 = x1 x 1 x = A x, A= x = x1 x 1 Seite 64

65 Lösung 1) Berechnung der Eigenwerte λ 1 det( A λe) = 0 = 0 1 λ ( λ) + 1= 0 λ = ± j 1, ) Berechnung der Eigenvektoren Ein Eigenvektor zu λ = λ1 = j : Ansatz: j 1 c1 0 ( A λ1e) c = 0 1 j = c 0 jc c = (unterbestimmtes LGS!) 1 0 Seite 65

66 Eine Lösung des LGS ist c 1 = 1, c = j und 1 1 ein Eigenvektor c = j. 3) Die Lösung des Systems Eine komplexe Fundamentallösung ist: 1 λ t 1 ( jt ) 1 t jt = = = = j j z c e 1 e e e 1 cost jsint (cost jsin t) e e j = sin t + jcost t t cost sin t = e j e sin t + cost t t. Ein (reelles) Fundamentalsystem ist {Re z( t), Im z( t )} und somit ist die Lösung des Systems: Seite 66

67 cost sin t x = C e C e sin t + cost t t t x = ( C cost C sin t) e, x = ( C sint+ C cos t) e t 5.4. Die Stabilität homogener Systeme Definition Das System x = A x heißt 1) asymptotisch stabil, wenn seine Lösung die folgende Eigenschaft hat: lim xt ( ) = 0 t ) stabil, wenn seine Lösung beschränkt ist. 3) unstabil, wenn seine Lösung unbeschränkt ist. Seite 67

68 Satz λ k seien die Eigenwerte der Systemmatrix A. Das System ist: 1) asymptotisch stabil Re( λ k ) < 0 für alle Eigenwerte λ k. ) Unstabil, wenn Re( λ k ) > 0 für einen oder mehrere Eigenwerte. 3) Für Re( λ k ) = 0 ist das System grenzstabil. Beispiele Beispiel 1=unstabil Beispiel =asymptotisch stabil 5.5. Lineare inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten x = A x+ r() t können mit ähnlichen Verfahren wie inhomogene Gleichungen gelöst werden. Seite 68