Material M.1.1 Was ist Modellieren? Warum Modellieren? Aufgabe 2: Herzschlag Aus gesundheitlichen Gründen sollte man bei körperlichen Anstrengungen -

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1 Material M.1.1 Was ist Modellieren? Warum Modellieren? Aufgabe 1: Unterschriften sammeln gegen ein neues Gesetz Erst vor kurzem, am 25. April 2006, hat die spanische Opposition dem Kongress Unterschriften gegen ein neues Gesetz vorgelegt, das von der Regierung unterstützt wurde. Alle Zeitungen in Spanien veröffentlichten Fotos der großen Kisten und der 10 Kleinlastwagen, die für den Transport der Unterschriften zum Kongress nötig waren. Glaubst du, es steckte eine politische Absicht hinter diesem Aufgebot oder waren all diese Kisten wirklich notwendig, um die Unterschriften zu befördern? Zurück zur Folie 23 Modellieren Lessons 8 MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.1 Seite 1

2 Material M.1.1 Was ist Modellieren? Warum Modellieren? Aufgabe 2: Herzschlag Aus gesundheitlichen Gründen sollte man bei körperlichen Anstrengungen - zum Beispiel beim Sport - vermeiden, eine bestimmte Herzfrequenz zu überschreiten. Jahrelang wurde der Zusammenhang zwischen der für eine Person empfohlenen maximalen Herzfrequenz und dem Alter der Person durch die folgende Formel beschrieben: Empfohlene maximale Herzfrequenz = 220 Alter Jüngste Untersuchungen haben gezeigt, dass diese Formel etwas verändert werden muss. Die neue Formel lautet nun folgendermaßen: Empfohlene maximale Herzfrequenz = 208 (0,7 x Alter) In einem Zeitungsartikel wurde behauptet: Wenn die neue Formel anstelle der alten verwendet wird, verringert sich die Anzahl der empfohlenen maximalen Herzschläge pro Minute für jüngere Leute leicht, während sich die Anzahl der empfohlenen maximalen Herzschläge pro Minute für ältere Menschen leicht erhöht. Ab welchem Alter erhöht sich die empfohlene maximale Herzfrequenz, wenn man die neue Formel anwendet? Veranschauliche deinen Lösungsweg. siehe Zurück zur Folie 23 Modellieren Lessons 9 MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.1 Seite 2

3 Material M.1.1 Was ist Modellieren? Warum Modellieren? Aufgabe 3: Musikfestival Das Glastonbury Festival of Contemporary Performing Arts ist das größte Open-Air-Musik-und-Künstler- Festival der Welt war die Nutzungsfläche über 900 Morgen (3,6 km²) groß und es gab mehr als 385 Live-Auftritte. Viele Festivalbesucher bringen ihr Zelt mit, um auf dem Festivalgelände zu übernachten. Bild: Veröffentlicht bei Wikimedia Commons, Dank an Logan1138 Die Organisatoren müssen die Anzahl der Eintrittskarten und die Anzahl der Zelte begrenzen, um für alle Teilnehmer die nötige Sicherheit garantieren zu können. Was würdest du ihnen raten? Zurück zur Folie 23 Modellieren Lessons 10 MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.1 Seite 3

4 Material M.1.1 Was ist Modellieren? Warum Modellieren? Aufgabe 4: Erdgas Die weltweiten Erdgasreserven wurden 1993 auf ungefähr 141,8 Billionen Kubikmeter geschätzt. Seitdem betrug die Fördermenge durchschnittlich 2,5 Billionen Kubikmeter pro Jahr. Berechne modellhaft unter verschiedenen Annahmen, wann die Erdgasreserven aufgebraucht sein werden. Erkläre und begründe dein gesamtes Vorgehen ausführlich. Bild: Veröffentlicht bei Wikimedia Commons, Dank an Stan Shebs Aufgabe: 2007 Cornelsen Verlag Scriptor Mathematisches Modellieren Zurück zur Folie 23 Modellieren Lessons 11 MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.1 Seite 4

5 Material M.1.1 Was ist Modellieren? Warum Modellieren? Aufgabe 5: Ostereier Danielle hat 23 Eier gefunden. Sie lächelt über das ganze Gesicht, da sie neun Eier mehr gefunden hat als Chris. Jennie lächelte sogar noch mehr. Sie hat genau so viele Eier gefunden wie Chris und Danielle zusammen. Wie viele Eier hat Jennie gefunden? Zurück zur Folie 23 Modellieren Lessons 12 MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.1 Seite 5

6 Material M.1.1 Was ist Modellieren? Warum Modellieren? Aufgabe 6: Nachbarn Was glaubst du, wie viele Leute in diesem Wohnblock wohnen? Klingeln im Eingangsbereich: Bilder: Cornelsen Verlag Scriptor Mathematikunterricht weiterentwickeln Zurück zur Folie 23 Modellieren Lessons 13 MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.1 Seite 6

7 Material M.1.2 AUFGABE Sachkontext Mathematische Kenntnisse Lösungen Schüleraktivität MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.2 Seite 1

8 Material M.1.3 Leitfaden zur Reflexion Zum Kontext der Aufgabe: Ist sie realistisch? Ist sie authentisch? Oder gibt sie mehr oder weniger einen verzerrten Ausschnitt der Realität wieder, der nur didaktisch aufbereitet wurde? Ist sie für Schüler interessant? Ist sie für ihr Leben relevant (alltägliches oder berufliches Leben, Leben als mündiger Bürger)? Zu den nötigen mathematischen Kenntnissen: Gibt es einen eindeutig bestimmen Lösungsweg? Wird das Anwenden verschiedener mathematischer Kenntnisse gefördert (die sogar aus verschiedenen mathematischen Bereichen stammen)? Zu den erwarteten Lösungen: Wie viele Lösungen werden erwartet? Wie sieht die erwartete Lösung aus? Handelt es sich um eine Zahl, Maße, ein Schaubild, einen algebraischen Term, eine Tabelle? Inwieweit besteht ein Zusammenhang zwischen der Lösung und dem Ausgangsproblem? Ist das Ausgangsproblem für die Rechnung bedeutsam? Zur Schüleraktivität: Wird vom Schüler erwartet, einen bestimmten Lösungsweg zu verfolgen, der als optimal angesehen wird? Oder soll der Schüler die Situation untersuchen, verschiedene Arbeitsweisen ausprobieren, neue Fragen suchen, seine Lösung interpretieren und validieren? MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.3 Seite 1

9 Material M.1.4 Sachkontext Mathematische Kenntnisse Lösungen Schüleraktivität Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.5 Seite 1

10 Material M.1.5 In diesem Material finden Sie einige Vorschläge dazu, wie man die Aufgaben in diesem Untermodul angehen kann. Aufgabe 1: Unterschriften sammeln gegen ein neues Gesetz Das ungefähre Volumen der Blätter mit den Unterschriften muss berechnet werden. Annahmen zur Anzahl der Unterschriften pro Blatt müssen gemacht werden und auch dazu, ob auf beiden Seiten unterschrieben wurden oder nur auf einer Seite. Zum Beispiel: 10 Unterschriften pro Blatt auf nur einer Seite bedeutet = Blätter. Welches Volumen hat diese Anzahl von Blättern? Die typische Kiste, in die Blätter Papier passen, kann hierfür verwendet werden (ungefähre Maßangaben): 31 cm x 23 cm x 25 cm = cm 3 = 0,025 m 3 Das heißt, dass = 160 Kisten gebraucht werden, die ungefähr 160 0,025 = 4 m 3 einnehmen. Schließlich muss man noch die Ladekapazität eines Kleinlastwagens kennen. Diese Information kann auf der Webseite einer Transportervermietung recherchiert werden. Infolgedessen reicht ein einziger Kleinlastwagen, um alle Unterschriften zum Kongress zu transportieren. Da auch die Anzahl der Unterschriften pro Blatt Papier niedrig geschätzt wurde, scheinen 10 Kleinlastwagen nicht notwendig gewesen zu sein. Aufgabe 2: Herzschlag Zwei Funktionen sind gegeben, die das Verhältnis zwischen dem Alter, x, und der empfohlenen maximalen Herzfrequenz (EMHF) beschreiben: EMHF alt ( x) = 220 x vs. EMHF neu ( x) = 208 0, 7x Gesucht ist das Alter, ab dem die neue Formel eine höhere empfohlene maximale Herzfrequenz angibt. MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.5 Seite 1

11 Material M.1.5 Eine algebraische Lösung wäre: Alter x / EMHF ( x) EMHF ( x) neu > alt Alter x / 208 0,7x > 220 x Alter x / 0,3x > 12 Alter 12 x / x > x > 40 0,3 Ab einem Alter von 40 Jahren empfiehlt die neue Formel eine höhere maximale Herzfrequenz als die alte Formel. Alternativ kann auch ein numerischer Ansatz gewählt werden. Die von den beiden Formeln jeweils empfohlene maximale Herzfrequenz kann mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms berechnet werden. In der Tabelle kann man erkennen, dass im Alter von 40 Jahren die empfohlene maximale Herzfrequenz bei beiden Formeln gleich ist. Ab einem Alter von 40 Jahren gibt die neue Formel also eine höhere Frequenz an als die alte Formel. Aufgabe 3: Musikfestival A L T E R E M H F n e u E M H F a l t , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.5 Seite 2

12 Material M.1.5 Dies ist eine sehr offene Aufgabe. Es müssen erst viele Annahmen gemacht werden, um die Aufgabe für die Bearbeitung zu vereinfachen. Eine mögliche Vereinfachung wäre es, das Gebiet des Festivals in unterschiedliche Nutzungsbereiche einzuteilen: ein Bereich für die allgemeine Ausstattung (Eingang, Bühnen, LKWs, medizinische Versorgung, Open-Air-Bars, Sicherheitsdienst, WCs, etc.), ein Bereich, wo sich die Besucher aufhalten, um die Konzerte anzuhören, ein Bereich, in dem die Zelte aufgebaut werden, sonstige Bereiche: Wege, Bäume, etc. Jedem Bereich muss ein prozentualer Anteil zugewiesen werden. Es kann zum Beispiel angenommen werden, dass 50% der gesamten Fläche für die Zuschauerbereiche und die Zelte sowie die anderen 50% für die allgemeine Ausstattung, Wege, Bäume etc. verwendet werden. Das heißt, dass m² den Besuchern zur Verfügung stehen. Nachdem diese ersten Annahmen gemacht wurden, benötigt man nun noch Angaben zu der Fläche für die Zelte und zu der Fläche vor den Bühnen. Es kann zum Beispiel 1 m² pro Besucher veranschlagt werden, wenngleich die Sicherheitsbestimmungen eventuell eine größere Fläche vorgeben. Auch die Fläche für ein Zelt muss berechnet werden (auf den Webseiten der Zelthersteller ist zu lesen, dass ein 2-Mann-Zelt zwischen 5 und 6 m² einnehmen kann; jedoch muss auch die Fläche zwischen den einzelnen Zelten berücksichtigt werden. Es ist also vermutlich sinnvoll, 10 m² pro Zelt zu veranschlagen). Schließlich muss eventuell auch angenommen werden, dass alle Festivalbesucher zelten werden (selbst wenn dies unwahrscheinlich ist, sollten die Organisatoren auch auf diesen Fall vorbereitet sein). Mit diesen Näherungswerten und Vereinfachungen der Situation, kann man nun eine hypothetische Anzahl an Eintrittskarten angenommen (zum Beispiel die Stückzahl der in 2005 verkauften Karten, also Eintrittskarten) und die benötigte Fläche berechnet werden. Für die Konzerte: m Für die Zelte: o 1 Person pro Zelt: o 2 Personen pro Zelt: m = m m 2 MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.5 Seite 3

13 Material M.1.5 Dieses Ergebnis bedeutet nun also, dass entweder unsere Annahmen überarbeitet werden müssen, um diese Schätzung zu bestätigen oder dass die Anzahl der verkauften Eintrittskarten erhöht werden muss. Aufgabe 4: Erdgas Um diese Aufgabe lösen zu können, müssen erst Annahmen über den Gasverbrauch gemacht werden. Der einfachste Lösungsansatz wäre anzunehmen, dass der Verbrauch über einen langen Zeitraum konstant ist. Es können aber auch für verschiedene Zeiträume unterschiedliche Verbrauchsraten in Betracht gezogen werden. Für den ersten Fall können verschiedene Vorgehensweisen gewählt werden. Je nach mathematischem Kenntnisstand kann eine arithmetische Simulation (entweder mit oder ohne Tabellenkalkulationsprogramm) oder ein arithmetischer Lösungsansatz verwendet werden. Für beide Fälle sind graphische Darstellungen nützlich, um den Gasverbrauch auf längere Sicht vergleichen zu können. Ein Modellierer mit entsprechenden mathematischen Kenntnissen kann Parameter verwenden, um den Gasverbrauch zu kontrollieren und je nach Ergebnis des Modells zu verändern. Beispiele: Gleicher Verbrauch pro Jahr (2,5 Billionen Kubikmeter): o Arithmetisches Modell: 141,8 2,5 = 56,72 D.h. es gibt noch genug Gas für die nächsten 56 Jahre werden die Erdgasreserven aufgebraucht sein (wenn bis dahin keine neuen Reserven gefunden werden). o Algebraisches Modell: x gibt die Jahre seit 1993 an und G(x) das jeweils restliche Gas, das noch in den Reserven sind. Dann ist: G( x) = 141,8 2, 5x. 141,8 Die Reserven sind aufgebraucht wenn G( x) = 0 x = = 56, 72. 2,5 Dann sind, in 57 Jahren nach 1993, die Erdgasreserven aufgebraucht (wenn bis dahin keine neuen Reserven gefunden werden). Steigender Verbrauch pro Jahr 1 (+10%): o Arithmetisches Model (mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms): 1 Die Berechnung beginnt mit 2007; es wird ein durchschnittlicher jährlicher Gasverbrauch von 1993 bis 2006 von 2,5 Billionen Kubikmeter angenommen. Das heißt, am Ende des Jahres 2006 es gibt noch 109,3 Billionen Kubikmeter. MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.5 Seite 4

14 Material M Consumption 2,5 2,75 3,025 3,3275 3, , ,4289 4, , , ,48436 Reserv es 109,3 106,55 103, ,198 96, ,511 88, , , , ,4721 (consumption - Verbrauch, reserves - Reserven) o Algebraisches Modell: x steht für die Jahre, die seit 2006 vergangen sind und G(x) für das restliche Gas in den Reserven. Dann gilt: x+ 1 1,1 1 G ( x) = 109,3 2,5 1,1 1 o Graphisches Modell: 120 Increasing (+10% ) consumption 100 Billions of cubic metres Years Gas consumption Gas reserves (increasing consumption - steigender Verbrauch, billions of cubic meters - Billionen Kubikmeter, years - Jahre, gas consumption - Erdgasverbrauch, gas reserves - Erdgasreserven) Aufgabe 5: Ostereier Danielle hat 23 Eier gefunden. Sie hat 9 Eier mehr als Chris. Chris hat 23 9 = 14 Eier. Jennie hat so viele Eier wie Chris und Danielle zusammen gefunden. Also hat Jennie = 37 Eier gefunden. Aufgabe 6: Nachbarn Die einzige Information zu dieser Aufgabe ist die Angabe, dass dieses Gebäude 8 Stockwerke hat. Für alles Weitere müssen Annahmen gemacht werde, um die Situation zu vereinfachen und zu strukturieren. Das Ziel, ein Intervall zu finden, in MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.5 Seite 5

15 Material M.1.5 dem die Anzahl der Personen in diesem Wohnblock liegen kann, ist vielleicht besser als eine einzige Lösung zu suchen. Auf dem Bild ist zu sehen, dass der Grundriss des Wohnblocks regelmäßiges Vieleck ist. Man könnte annehmen, dass es auf jedem Stockwerk 4 Wohnungen gibt. Das heißt also insgesamt 32 Wohnungen. Nun wäre es sehr hilfreich, mehr Informationen dazu zu haben, wo sich dieser Wohnblock befindet. Er könnte zum Beispiel in einem Gebiet stehen, in dem die Wohnungen für gewöhnlich voll belegt sind oder aber in einem Gebiet, in dem es viele leerstehende Wohnungen gibt. Vielleicht ist auch die soziale Zusammensetzung des Gebietes wichtig, zum Beispiel ob es dort viele junge oder alte Leute gibt, junge Familien, Einwanderer, etc. Weitere Informationen zur sozialen Struktur, wie beispielsweise die wahrscheinliche Größe einer Familie oder der Prozentsatz an alleinstehenden Menschen, können auch sehr nützlich sein und im Internet recherchiert werden. Die niedrigste Schätzung wäre 0. Die höchste ist schwierig, aber es ist ungewöhnlich, dass mehr als 6-8 Personen in einer Wohnung leben (eine Großfamilie), das heißt, man kommt zu einer Anzahl zwischen 192 und 256 Personen. Für einer realistische Schätzung müssen Alleinstehende (1 Person), junge Familien (ohne Kinder) oder ältere Familien (die Söhne und / oder Töchter wohnen nicht mehr bei den Eltern) (2 Personen) und durchschnittlich große Familien (4-6 Personen) berücksichtig werden. Angenommen in der Hälfte der Wohnungen wohnen durchschnittlich große Familien, in einem Viertel Ehepaare bzw. 2-Personen-Haushalte und in einem Viertel Alleinstehende, dann kommt man auf eine Anzahl von 88 bis 120 Personen. Mit den Variablen f für eine durchschnittlich große Familie (4 Personen), a für einen Alleinstehenden und z für ein Ehepaar ausgedrückt, kann die Gesamtzahl der Personen, die in dem Haus wohnen, durch den folgenden algebraischen Ausdruck beschrieben werden: G( f, a, z) = 4 f + a + 2z, wobei f + a +z = 32 gilt. MODELLIEREN Was ist Modellieren? Material M.1.5 Seite 6