K7 PhysikalischesGrundpraktikum

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1 K7 PhysikalischesGrundpraktikum Abteilung Kernphysik Statistik und statistischer Fehler 1 Lernziele Im Versuch K7 setzen Sie sich insbesondere mit der Statistik von radioaktiven Zerfallsprozessen auseinander. Statistische Betrachtungen von Messreihen spielen nicht nur in der Kernphysik, sondern auch in vielen anderen nicht nur physikalischen Prozessen eine entscheidende Rolle in der Aus- und Bewertung, u. a. im Hinblick auf die Qualität des Resultats. Des Weiteren erlernen bzw. vertiefen Sie Kenntnisse in der computergestützten Bearbeitung, Darstellung und Auswertung von experimentell ermittelten Messdaten, der gerade bei komplexen Experimenten eine immer größere Bedeutung zukommt. 2 Vorbereitung Machen Sie sich, aufbauend auf detaillierten Kenntnissen der Betrachtung von Messunsicherheiten, die Sie in den vorausgegangenen Versuchen erwerben konnten, mit den Grundbegriffen der Statistik, wie Wahrscheinlichkeit, Mittelwert, Standardabweichung und den in der Auswertung häufig verwendeten Verteilungen, wie Binomial-, Poisson- und Normalverteilung vertraut. Sie sollten auch wissen, wie die Qualität von Messdaten bewertet werden kann, und wie sich quantitativ die Übereinstimmung experimenteller Daten mit einer theoretischen Vorhersage überprüfen lässt, z. B. mit einemχ 2 -Test. Arbeiten Sie vor dem Versuch bitte unbedingt das Skript zur Einführung in die Messdatenanalyse für das physikalische Grundpraktikum durch. Fragen zur Durchführung der Messung, zur Messtechnik sowie zum Strahlenschutz sollten Sie selbstverständlich auch beantworten können. 3 Literatur zusammengefasst als Literaturmappe in der physikalischen Lehrbuchsammlung hinterlegt Schaum, Statistik Riezler - Kopitzki, Kernphysikalisches Grundpraktikum Knoll, Radiation detection and measurement außerdem: das Skript Einführung in die Messdatenanalyse für das physikalische Grundpraktikum, verfügbar auf den Webseiten des Grundpraktikums J. Lehn, H. Wegmann, Einführung in die Statistik, 5. Auflage, Teubner, Wiesbaden, 2006 K7 Seite1von

2 4 Grundlagen Bei vielen Messungen (Zeitreihenanalyse, Niveaudichteanalyse angeregter Kerne, Abstandsverteilungen in der Chaosforschung, Verhaltensforschung, Börsenkurse,... ) werden sowohl bei einmaliger als auch bei mehrmaliger Ausführung eines Experimentes unter exakt gleichen Versuchsbedingungen statistische Schwankungen auftreten. Dabei wird die unendliche Gesamtheit aller möglichen Beobachtungsergebnisse, die durch Wiederholung eines Zufallsexperimentes unter gleichen Bedingungen gewonnen wird, Grundgesamtheit genannt. Das Ziel der analytischen Statistik ist nun, aus einer gegebenen Stichprobe von n Beobachtungsergebnissen auf die Grundgesamtheit zu schließen. Dazu ist es notwendig, für die Grundverteilung anzunehmen, dass sie durch eine theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben wird. Auf Grund dieser Annahme wird dann versucht, aus den experimentellen Messgrößen auf die Eigenschaften der Grundgesamtheit zu schließen. Machen Sie sich zunächst die Zusammenhänge und Unterschiede der Begriffe Ereignis, Einzelmessung (auch Messung, Messergebnis, Ergebnis) und Messreihe klar, ein grundlegendes Verständnis ist absolut notwendig. Beim radioaktiven Zerfall und bei der Untergrundstrahlung handelt es sich jeweils um rein statistische Prozesse. Die daraus resultierenden Schwankungen stellen einen unvermeidbaren Fehler bei allen kernphysikalischen Messungen dar. Der Begriff statistischer Fehler soll in diesem Versuch genauer untersucht werden. Bei statistischen Abläufen ist die Verteilungsfunktion P(x) bekannt, sie basiert auf der Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten eines einzelnen Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeit P B (x), dass bei n voneinander unabhängigen Versuchen ein Ereignis x-mal eintritt, beträgt n! P B (x)= (n x)!x! px (1 p) n x. (1) Dieses ist die so genannte Bernoulli-Verteilung, oder auch Binomial-Verteilung. Als Einzelmessung gilt in diesem Versuch die Beobachtung von Materie mit n unabhängigen Atomkernen über eine fest gewählte Zeitdauer t. Jedes Ereignis besteht im Nachweis eines radioaktiven Zerfalls, d. h. im Ansprechen des Zählrohrs. Das Messergebnis ist die Anzahl x i der innerhalb t registrierten Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, dass Strahlung aus einem bestimmten Atomkern innerhalb t ein Ereignis verursacht, wird mit p bezeichnet. Mathematisch bedeutet das p= x /n, doch dies ist verbunden mit unendlich vielen Einzelmessungen. Bereits 1µg Materie enthält ca. n=10 15 Atomkerne. Für solch große n ist die Auswertung von (1) praktisch nicht durchführbar (probieren Sie es mal für n = 25), daher müssen Näherungsformeln gefunden werden, in denen n nicht mehr auftritt. Für Wahrscheinlichkeiten p 1kann in der Regel x n angenommen werden. Damit vereinfacht sich (1) unter Berücksichtigung von µ = p n zur Poisson-Verteilung: P P (x)= µx x! e µ (2) Für x 10 ist (2) zweckmäßig. Statistische Ereignisse können mit (1) mathematisch exakt und durch die Poisson-Verteilung (2) für große n näherungsweise beschrieben werden. Diese Verteilungen sind dabei auf 1 normiert: x P(x)=1. Wird hingegen x als kontinuierliche Variable angenommen und ist der Mittelwert µ 1, geht die Poisson-Verteilung, die eine Wahrscheinlichkeit angibt, in die Gauß- oder Normalverteilung mitσ 2 =µ und damit in eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung über: f G (x)= 1 (x µ) 2 σ 2π e 2σ 2, (3) aus der sich die Wahrscheinlichkeit einen Messwert x im Intervall(a, b) zu finden, als Integral ergibt: P(a< x<b)= b a f G (x) dx. (4) K7 Seite2von

3 4.1 Test statistischer Verteilungen Für die Bewertung der Qualität von Messdaten wird häufig derχ 2 -Test genutzt, bei dem die Messwerte x i in Intervalle, so genannte Klassen, eingeteilt und mit der zu erwartenden Häufigkeit gemäß z.b. (2) oder (3) für jede Klasse verglichen wird. Die Größeχ 2 e wird dabei berechnet aus k χ 2 e = (s j e j ) 2 j=1 e j (5) mit der berechneten bzw. erwarteten Häufigkeit pro Klasse s j bzw. e j und der Anzahl der Klassen k. Für einen Wert vonχ 2 = 0 stimmen theoretisch erwartete Messwerte mit den tatsächlich gemessenen exakt überein. Dies ist in der Realität aber nicht der Fall. Je größer die Diskrepanz zwischen den gemessenen und den erwarteten Werten ist, desto größer ist auchχ 2. Dabei sollte die Zahl der Messwerte pro Klasse größer sein als 5 und die Zahl der Klassen auf nicht mehr als 20 begrenzt werden. Die Zahl der Freiheitsgradeν= k m 1 der Verteilung gilt unter der Annahme, dass m Parameter der theoretischen Verteilung aus den Messdaten abgeschätzt werden. Für die Normalverteilung sind das z.b. die Parameter x undσ, also m=2, für die Poisson-Verteilung ist m=1. Die p-quantile derχ 2 -Verteilung sind im Anhang tabelliert. Die dort angegebenen Zahlenχ 2 p besagen, dass man bei vielfacher Wiederholung einer Messreihe und entsprechender Ermittelung vonχ 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von p zu Werten kommt, e die nicht größer sind alsχ 2 p. Sollte für eine gegebene Zahl von Freiheitsgraden diese Wahrscheinlichkeit höher sein als 95%, ist die Übereinstimmung von Messdaten und theoretisch erwarteten Werten sehr schlecht. Sollte sie kleiner sein als 5%, ist die Übereinstimmung unerwartet gut, was auf manipulierte Daten schließen ließe. In beiden Fällen würde die Hypothese, dass die experimentelle Verteilung nur zufällig von der theoretischen abweicht, verworfen. 4.2 Intervallverteilung Aus der Poisson - Verteilung lässt sich die statistische Verteilung der zeitlichen Abstände von Einzelereignissen herleiten (Intervallverteilung). Ist a der Mittelwert der Zahl der Ereignisse pro Zeiteinheit und t die Messzeit, so gilt x= a t. In einem kurzen Zeitintervall dt, für das gilt: a t 1, ist P 1 (dt)= a dt die Wahrscheinlichkeit, im Zeitraum dt ein Ereignis zu registrieren. Wird das Zeitintervall dt immer kleiner, so wird die Wahrscheinlichkeit, zwei oder mehr Ereignisse innerhalb des Intervalls zu zählen, vernachlässigbar klein: P 1 (dt) P 2 (dt) P 3 (dt)... Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen t und t+ dt gerade das s-te Ereignis stattfindet, lässt sich nun bestimmen: dp s = P s 1 (t) P 1 (dt)= (a t)s 1 (s 1)! e a t a dt (6) Für das so genannte einfache Intervall mit s=1 ergibt sich daraus eine Exponentialfunktion: dp s dt = a e a t (7) Sie nennt die zeitliche Wahrscheinlichkeitsdichte für das Eintreten des nächsten Ereignisses, wenn das vorangegangene Ereignis schon die Zeit t zurück liegt, und ist auf 1 normiert. 5 Versuchsaufbau 60 Co oder 137 Cs-Präparat, GM-Fensterzählrohr mit HV-Versorgung, Interface, PC. Hinweis: Sollte der Wunsch bestehen, mit den Messdaten zu Hause weiter zu experimentieren, können diese auf einen mitzubringenden USB-Stick (bitte virenfrei!) kopiert werden. K7 Seite3von

4 6 Aufgaben 1. (Hausaufgabe) Leiten Sie die Binomial - Verteilung und aus dieser die Poisson - Verteilung ab. 2. Machen Sie sich mit dem Umgang mit der Software Cassy Lab und MS Excel vertraut, eine Kurzeinführung in das Programm Cassy Lab finden Sie am Versuchsaufbau. 3. Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung für niedrige Zählraten an Hand der Umgebungsstrahlung. Nehmen Sie dazu das Geiger-Müller-Zählrohr aus der Bleiabschirmung (Vorsicht: zerbrechlich!) und wählen Sie im Programm Cassy Lab unter Einstellung und Anklicken des Sensor-Symbols die Torzeit so, dass im Mittel etwa 5 10 Ereignisse in diesem Intervall nachgewiesen werden. Bestimmen Sie etwa 100 Messwerte, in dem Sie im Fenster Messparameter unter x-anzahl einen entsprechenden Wert einstellen. Die Intervallzeit sollte gleich der Torzeit sein. a) Kopieren Sie die Daten in die Tabellenkalkulation MS Excel (Anklicken der Tabelle im Programm Cassy Lab mit der rechten Maustaste liefert ein Menü, in dem der Punkt Kopieren angewählt werden kann, anschließend können die Daten über STRG-V im Programm MS Excel in ein Tabellenblatt eingefügt werden) und ermitteln Sie den laufenden arithmetischen Mittelwert x n (mitteln Sie für den n-ten Messpunkt über die Messwerte 1... n) sowie das entsprechende Fehlerband x ±σ n / n. Stellen Sie Messwerte, den Mittelwert sowie das Fehlerintervall grafisch dar. Die benötigten mathematischen Funktionen finden Sie im Menü Einfügen/Funktion. b) Ermitteln Sie die Spannweite, die Varianz, die Standardabweichung, den Standardfehler des arithmetischen Mittelwertes sowie den Median der Verteilung. Bestimmen Sie den Modalwert und die Schiefe der Verteilung, ist sie links- oder rechtsschief? c) Stellen Sie die Messreihe als Häufigkeitsverteilung dar und legen Sie die Klassengröße fest. Die für die Darstellung notwendige Funktion finden Sie unter Extras/Analyse-Funktionen. Die Klasseneinteilung ist dazu in einem vertikalen Zeilenarray anzugeben. d) Vergleichen Sie die experimentell bestimmten Häufigkeiten mit theoretisch zu erwartenden unter der Hypothese einer Poisson- bzw. einer Gaussverteilung und stellen Sie beides als kontinuierliche Funktion im Diagramm zu 3 c) dar. e) Bestimmen Sie mit Hilfe desχ 2 -Tests die Übereinstimmung der gemessenen Häufigkeiten mit den in 3 d) ermittelten theoretischen Werten. Welche der beiden theoretischen Verteilungen nähert das experimentelle Ergebnis besser? Können Sie eine der beiden Hypothesen hochsignifikant, das heißt mit einem Konfidenzintervall von 3σ verwerfen? Von den folgenden Aufgaben sollten Sie mindestens eine bearbeiten: 4. Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung für hohe Zählraten. Gestellt wird dazu ein 60 Co- oder ein 137 Cs-Präparat. Variieren Sie den Abstand Zählrohr-Präparat so, dass Sie etwa Ereignisse pro Zählintervall sehen. Nehmen Sie etwa 250 Messwerte auf und führen Sie die Auswertung analog der Aufgabe 3 durch. 5. Überprüfen Sie die Annahme vonσ= x. Verwenden Sie dazu das Präparat und variieren Sie den Abstand Zählrohr-Präparat so, dass Sie etwa Ereignisse pro Zählintervall sehen. Wieviel Prozent aller Messwerte liegen im Intervall x ±σ, x ±2σ, x ±3σ? Bestimmen Sie dann die mittlere Zählrate, d. h. die Zahl der Ereignisse pro Sekunde, der gemessenen Verteilung abzüglich der Untergrundstrahlung aus Aufgabe 3. Führen Sie wie üblich eine Betrachtung der Messunsicherheiten durch und geben Sie die Genauigkeit des Mittelwertes bei Wiederholungsmessungen an. Wie lautet die allgemeine Formel der Fehlerrechnung für n 1 Ereignisse in der Zeit t 1 und eines Untergrundes mit n 0 Ereignissen in der Zeit t Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung der Zeitintervalle zwischen zwei Ereignissen unter Verwendung des 60 Co-Präparats. K7 Seite4von

5 a) Nehmen Sie zunächst die Zeit zwischen gemessenen Ereignissen auf (einfache Intervalle), nutzen Sie dazu die Messgröße 1/N im Programm Cassy Lab. Dabei ist N die Zahl der Ereignisse in einem Zeitintervall, z. B. der Torzeit. Kopieren Sie die Daten ins Programm MS Excel und erstellen Sie eine Häufigkeitsverteilung für diese Intervalle. b) Erstellen Sie eine Häufigkeitsverteilung für zwei - oder dreifache Intervalle. c) Erstellen Sie eine Häufigkeitsverteilung für vielfache Intervalle(s [10, 100]). d) Was bedeutet die Entwicklung von a) zu c) für Messungen und Messinstrumente im Allgemeinen? 7 Wertevonχ 2 p Angegeben sind die p-quantileχ 2 p derχ2 -Verteilung fürν Freiheitsgrade. Es gilt dabei: χ 2 p p= P(χ 2 χ 2 p )= 0 f χ 2(z,ν) dz. ν p= 0.99 p= p= 0.95 p= 0.90 p= 0.80 p= 0.70 p= 0.50 p= 0.30 p= 0.20 p= 0.10 p= Werte vonχ 2 p entnommen aus Schaum s Outline Statistics. 8 Wichtiges zur Bedienung von MS Excel Ein Zellbereich wird in den Formeln z.b. mit C15:D21 gekennzeichnet, dabei ist C15 die Startzelle (Spalte C, Zelle 15), D21 die Endzelle. Beim Kopieren ändert sich der Zellbezug, d.h. steht z.b. die Formel A4=A1+A2 in Zelle A4 und wird diese Formel in die Zelle B5 kopiert, ergibt sich daraus B5=B2+B3. Durch Voranstellen eines $ kann getrennt für Zeile und Spalte diese festgehalten werden. Im obigen Beispiel würde A4=$A1+A$2 in B5=$A2+B$2 konvertiert. K7 Seite5von

6 8.1 Klassifizierung von Daten Zunächst ist eine Liste mit Klassengrenzen zu erstellen. Diese können entweder einzeln eingegeben oder mittels einer arithmetischen Reihe erzeugt werden. Anschließend muss über den Menüpunkt Extras/Analyse-Funktionen der Punkt Histogramm aufgerufen werden. Der zu analysierende Datenbereich, der Bereich mit den Einträgen der Klassengrenzen und der Ausgabebereich (linke obere Ecke der zu erstellenden Tabelle, sinnvoller Weise auf der gleichen Tabellenseite) sind nun anzugeben. Für eine gleichzeitige grafische Ausgabe ist der Punkt Diagrammdarstellung anzuwählen. Erzeugt wird ein Diagramm, bei dem die obere Klassengrenze und nicht die Klassenmitten zusammen mit den absoluten Häufigkeiten angegeben sind. 8.2 Erstellen einer arithmetischen Reihe Eine arithmetische Reihe, die ausgehend von zwei Startwerten, z. B. den Klassengrenzen 15 und 20, diese mit den Werten 20, 25,... fortsetzt, kann folgendermaßen erzeugt werden: Der Bereich beider Zellen wird markiert, Anklicken mit der Maus erzeugt in der unteren rechten Ecke ein +, mit dem man bei gedrückter linker Maustaste den Bereich entsprechend nach unten erweitern kann, die Folgewerte der arithmetischen Reihe werden dann automatisch erzeugt. 8.3 GrafischeDarstellung Zur Erzeugung einer grafischen Darstellung ist zunächst der Datenbereich zu markieren, dabei geht MS Excel davon aus, dass die äußerste linke Spalte die x-werte enthält. Anschließend wird der Menüpunkt Einfügen/Diagramm ausgewählt und das Diagramm anhand verschiedener Abfragen gestaltet. 8.4 Zur Auswertung benötigte Formeln des Programms MS Excel Spannweite: MIN(Zahl1; Zahl2;... ) MAX(Zahl1; Zahl2;... ) Median: MEDIAN(Zahl1; Zahl2;... ) Modalwert: MODALWERT (Zahl1; Zahl2;... ) Mittelwert: MITTELWERT(Zahl1; Zahl2;... ) Standardabweichung: STABW(Zahl1; Zahl2;... ) Varianz: VARIANZ(Zahl1; Zahl2;... ) Normalverteilung: NORMVERT(Zahl; Mittelwert; Standardabweichung; kumuliert) Zahl steht dabei für die Klasse, für die die Häufigkeit zu berechnen ist; kumuliert ist wahr, wenn die kumulierte Normalverteilung von 0 bis zur angegebenen Klasse berechnet werden soll, ansonsten falsch. Poisson-Verteilung: POISSON(Zahl; Mittelwert; kumuliert) Häufigkeit: HÄUFIGKEIT(Datenbereich; Klassenbereich) K7 Seite6von