4.2 Rückführung der Ausgangsgrößen der Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells

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1 Universität Stuttgart Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielo Ansatz: 4. Rückführung der Ausgangsgrößen der Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells 4.. Prinzip Aus RRG: y ( n n) () vgl. hierzu Gl. () aus 4. Nach ÜS: y CCC3 Cn 3 n (n) (n ) y a a a a () identisch mit Gl. () aus 4. Verhält sich identisch ie ein Regelsystem gemäß 4., sofern gilt: (n ) C C C C (3) 3 3 n n 3 n Nach Aussage in.:,,..., sind linear unabhängige n Linearkombinationen von (n),,,, n Ausgangsgrößen der n Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells,,..., n reell n freie Parameter Gl. (3) ist in jedem Fall eindeutig lösbar! Zu jedem beliebigen Parametersatz C bis C n gemäß 4. eistiert genau ein Parametersatz bis n gemäß 4., der zu einem identischen Verhalten dieser beiden Regelsysteme führt. Satz: Über die Wahl der n+ freien Parameter,,..., n können s/s (der Übertragungsbeiert der Führung im Beharrungszustand) soie die n Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Systems (elche den Einschingvorgang nach einer beendeten Anregung des Systems bestimmen) theoretisch völlig frei geählt erden. Blatt Blatt

2 4.. Beispiele Beispiel : Drehzahlregelung für eine gleichstromstellergespeiste, fremderregte Gleichstrommaschine a) Physikalisches Modell der ÜS nach.3., Beispiel Danach: N /s ptan pt A pt an Separiert und umgeformt: s pt pt pt N A an an Weiter umgeformt: s s N N pt an pt an T A! =!! = T = qt (4) Im Folgenden sei: mw 0 (d.h. MW MW0 const. ) Wurzeln p und p des Nennerpolynoms: b) Regelsystem, qt T j 4q T -T p j 4q q T Bemerkungen zu T und q später Blatt 3 Blatt 4

3 Eine Betrachtung von Gleichung (4) liefert sofort: (üblichereise = ) (5a) Beispiel : Scheberegelung für eine elektromagnetisch aufgehängte Eisenkugel a) Physikalisches Modell der ÜS nach.3., Beispiel +s (5a) T = T = T +s an N an N + (5b) T T s (5a) qt = = T Ts an A N an A N + (5c) Auflösen der Gln. (5a) bis (5c) nach, und : Aus (5c): = T T s an A N qt ; (6a) aus (5b): b) Regelsystem (6a) = T = T T T T sn T qt (6b) an an A an und aus (5a): qt = = T T s an A N. (6c) soie T und q (und damit die Wurzeln der CGL) frei ählbar, legen, und über die Gln. (6a) bis (6c) fest. Blatt 5 Blatt 6

4 Danach: pt p T i i pt m pt0 Separiert und umgeformt: lässt sich schreiben als: mit pt q p T q p T (7) i 3 i3pit0 Tmp T03p T0Tm i i 3 (8a) eiter umgeformt: i it0 T p m i 3 i 3!! T T0 3 3 TT 0 m +p p i 3 i 3!! 3 qt qt 3 T (8a) qt it0 Tm i 3 it0 Tm i 0 3 (8a) T0 3 T i 3 i (8b) (8c) qt 3 3 T0Tm i 3 (8a) T0Tm i (8d) Blatt 7 Blatt 8

5 Aus (8d) TT 0 m 3 i q3t (9a) aus (8c) qt i qt i 3 T 0 T0 (9b) aus (8b) T i Tm T i 0 T T m (9c) T T 0 i 0 und aus (8a): i (3 ) i ( 3 ) (9d) i soie T, q und q 3 (und damit die Wurzeln der CGL) frei ählbar, legen, 3, und über die Gln. (9a) bis (9d) fest. Blatt 9 Blatt 0

6 zu 4.3.3: Relationen der oeffizienten des Nennerpolynoms a) ITAE-Bedingung Integral of Time multiplied Absolute value of Error (lediglich als Beispiel für viele Möglichkeiten zeitgeichteter Vorschriften) 0 t d (t)dt Minimum Re gel differenz n q q3 q4 q5 q , ,3786 0, ,4664 0,067 0, ,4758 0,7 0,00 0, ,4775 0,395 0,07 0,0034 0,0003 D. Graham/R.C. Lathorp: The Synthesis of Optimum Transient Response; A.I.E.E. Transaction Nov. 53/Part II, S. 73 ff. b) Butterorth-Tiefpass Wurzeln auf Halbkreis (Radius von der Ordnungszahl abhängig) und Strahlen, elche den Einheitskreis in gleiche Teile zerlegen soie spiegelbildlich zur reellen Achse liegen. n q q3 q4 q5 q , ,5000 0, ,5000 0,464 0, ,5000 0,545 0,095 0, ,5000 0,585 0,0335 0,0045 0,0003 E. Graham/E. Eisenmann: Filter Design Tables and Graphs; Ne York: Wiley & Sons Inc. c) Bessel-Tiefpass (etrem geringes Überschingen) n q q3 q4 q5 q , ,4000 0, ,486 0,095 0, ,4444 0, 0,059 0, ,4545 0, 0,00 0,000 0,000 F.F. uo: Netork Anaysis and Synthesis, d) Standard-Übertragungsfunktion (SÜF) nd Edition; Ne York: Wiley & Sons Inc., 966, S. 386 n q q3 q4 q5 q , ,5000 0, ,5000 0,50 0, ,5000 0,50 0,056 0, ,5000 0,50 0,056 0,000 0,00003 D. Ernst/D. Ströle: Industrie-Elektronik; Berlin: Springer, 973, S. 64 ff. e) Tiefpass mit kritischer Dämpfung (kein Überschingen) Alle Wurzeln haben denselben (negativ reellen) Wert. n q q3 q4 q5 q , ,3333 0, ,3750 0,065 0, ,4000 0,0800 0,0080 0, ,467 0,096 0,06 0, ,0000 U. Tietze/Ch. Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik; Berlin: Springer, 978, S. 66 ff. Blatt Blatt

7 f) Vergleich der Regelsysteme nach Übergangsfunktion und Beanspruchung des Stellgliedes ITAE: kräftige Beanspruchung des Stellgliedes relativ kurze Ausregelzeit nicht unerhebliches Überschingen Butterorth: geringe Beanspruchung des Stellgliedes bei hohen Ordnungszahlen kräftiges Überschingen Bessel: kräftige Beanspruchung des Stellgliedes vernachlässigbar kleines Überschingen SÜF: geringe Beanspruchung des Stellgliedes bescheidenes Überschingen krit. Dämpfung: sehr kräftige Beanspruchung des Stellgliedes kein Überschingen günstigste Einstellung abhängig von: persönlicher Beurteilung Sollertschankungen (Größe und Verlauf) Störgrößen (Größe, Verlauf, Angriffspunkt) spezieller Anendungsfall Blatt 3 Blatt 4

8 zu 4.3.4: Zeitmaßstab a) Grober Schätzert aus bekannter Höhe von Sollertsprüngen soie bekannter Stellreserve bei bekanntem Arbeitspunkt. Bei einem Regelsystem nach 4. bleiben bei einem Sprung von um die Signale aller Rückführungsschleifen im ersten sprung Augenblick unverändert. Normierte ennlinie des LV (beispielhaft): Dabei ist y = bezogene Abeichung vom Beharrungsert am Eingang y LV = bezogene Abeichung vom Beharrungsert am Ausgang Stellgröße y beaufschlagt das Leistungsstellglied; dies ist in der modernen Technik meist ein praktisch verzögerungsfreier elektronischer Leistungsverstärker stetiger oder quasistetiger Art (SR, GSS, o.ä.). Arbeitspunkt (beispielhaft): Stellreserve in y: y R Blatt 5 Blatt 6

9 Positiver Sprung in um ird vom Längsverstärker um sprung verstärkt und so am Eingang des LV irksam: Beispiel: Gleichstromstellergespeiste, fremderregte Gleichstrommaschine mit Drehzahlregelung y t0 sprung y yr ylv ylvma Grenze des Stellbereichs erreicht. Grenze des Stellbereichs ird nicht überschritten, enn y y R bz. sprung yr oder y R. sprung Bsp.: sprung 0,05 yr 0,4 (vgl. Skizze) 0,4 8 0,05 dazu... n ermitteln Anschließend selbes für etas größere und ggfs. etas kleinere Werte von iederholen. Einstelltabelle für den Inbetriebnahmeingenieur Anhaltsert für : geünscht sei y z.b. 0,4 R sprung 8 0,05 Blatt 7 Blatt 8

10 Damit nach Gl. (5a) bis (6c) aus 4. mit SÜF q 0,5 b) Grober Schätzert aus der Polverteilung der Übertragungsstrecke 7 nach (6c): 8 8 nach (5c): q T 0,5 T T T s T T s 8 A an N A an N Prais: Regelsystem kann i. Allg. nicht sehr viel schneller gemacht erden, als dies dem Übertragungsverhalten der zu regelnden Strecke entspricht. hieraus: T T T s A an N Damit nach (6b): T qt Ts A N sn0,5 TaN TAT an TaN 4 TAsN s TaN 4 N D.h. die "dominierenden" Eigenfrequenzen des Regelsystems dürfen nicht sehr viel größere Beträge aufeisen als jene Frequenzen, elche Pole der (offenen) Übertragungsstrecke kennzeichnen; Ausnahme: reine Integrierer Anschließend Einstelltabelle über Variation von T oder liefert jeeils Tripel,, elche und die SÜF-Bedingungen erfüllen. Blatt 9 Blatt 0

11 . Beispiel (vgl. 4.) Darstellung in der kompleen p-ebene: Physikalisches Modell Frequenzgang der offenen ÜS u p s T pst T N an N an A Pole bei: p = I,II j TA sntant A T A > 0 für große Maschinen < 0 für kleine Maschinen Die dominierenden Eigenfrequenzen des Regelsystems sollten eta im schraffierten Bereich liegen. SÜF mit W : pt p T Typische Werte s N =0,03 T an=s p = 6,7 j I,II s T A =0,03s (dominierende) Eigenfrequenzen: p j, geählt: T = 0,05 s (mutig, ziemlich klein) T p 0 j, s Blatt Blatt

12 Damit nach 4. mit SÜF q 0,5. Beispiel (vgl. 4.) Physikalisches Modell nach (6a) sntat an,44 T nach (6b) T 0,5 T 0,004 T T T an A an Frequenzgang der offenen ÜS: nach (6c) 0,3 u pt p T i m 0 Pole bei: p I, Tm p II, T0 p III T 0 T typ. Werte: T 0 m 0,08 s ; 0, s p,5 s I, p 5 II,III s Blatt 3 Blatt 4

13 Darstellung in der kompleen p-ebene: Damit nach 4. mit q SÜF = 0,5 und 3 SÜF q = 0,5: (9a) T T = 0,5 T i 0 m 3 (9b) 3 i 0,5 T 0,5 T 3 = T 3 m T T 0 m 0,5 T (9c) 3 0,5 T = T T 0 T0 Die dominierenden Eigenfrequenzen des Regelsystems sollten eta im schraffierten Bereich liegen. (9d) 0,5 T = T 0 SÜF mit = pt p T p T (dominierende) Eigenfrequenzen: p= T,3 T geählt: T = 0,5 s p = 3,3, p = 6,7 j,6 s,3 s, p = j 3 Blatt 5 Blatt 6

14 zu 4.4: Behandlung von Übertragungsstrecken mit einem von eins verschiedenen Zählerpolynom Regelsystem mit Rückführung der Ausgangsgrößen des physikalischen Modells. Bisher: Beschränkung auf ÜS, deren FG ein Zählerpolynom aufeisen. In 4.4: Ereiterung der dabei geonnenen Ergebnisse auf ÜS, deren FG ein Zählerpolynom aufeisen. Gegeben: ÜS mit Eingangsgröße y und Ausgangsgröße =, obei gilt: (n) a (t) a (t) a (t) a (t) n 3 m (m) b y(t) b y(t) b y (t) () bz.: m 3 m n 3 n b b p b p b p y a a p a p a p, (a) mit m < n (b) Dabei gemäß Gl. () aus.: i. Allg.: b, ein Sonderfall: b 0. (3a) (3b) Auch hier gilt: Die n Ausgangsgrößen des physikalischen Modells sind ein vollständiger Satz von Zustandsgrößen gemäß Definition (siehe 3.): Ein Satz von Zustandsvariablen einer ÜS ist ein Satz von enngrößen, deren Momentanerte zu einem Zeitpunkt t t 0 das Verhalten der ÜS für t > t 0 ohne eitere Beeinflussungen ( y 0 und zv 0 für t > t 0 ) eindeutig festlegen. Blatt 7 Blatt 8

15 Achtung! Satz aus 3.: "Ein vollständiger Satz von Zustandsgrößen ist ein Satz von n linear unabhängigen Linearkombinationen der Ausgangsgröße einer ÜS und deren n- Ableitungen nach der Zeit." Gilt nur für ÜS mit Zählerpolynom ihres FG! Im Folgenden: Verallgemeinerung dieses Satzes auf ÜS mit einem Zählerpolynom ihres FG. Blatt 9 Blatt 30

16 Ein Auslegungskonzept Die Parameter und bis n sollen so geählt erden, dass m Nullstellen des Nennerpolynoms des Führungs-FG mit den m Nullstellen des Zählerpolynoms zusammenfallen. Daher : (0) T T T m b b p b 3 p bm p n n p q p q n p Zählerpolynom m m b b p... b p aus Gl. (0) kann stets als Produkt aus Teilpolynomen der Form ( pt i) oder (pt i), reelle Nullstellen soie i i i (D pt p T ), konj. kompl. Nullstellen geschrieben erden.! T T T * * *(n-m) * * n-m p q * * p q * n-m p * Resultierender Führungsfrequenzgang Im Nennerpolynom können angesichts der Freiheit bei der Wahl der Parameter, T, q,... qn stets dieselben Teilpolynome der Form ( pt i) oder (pt i), reelle Polstellen soie i i i (D pt p T ), konj. kompl. Polstellen abgespalten erden. = pt q p T +... q p T * * * * * n-m *(n-m) n-m () Blatt 3 Blatt 3

17 Ordnung des resultierenden Führungs-FG: nm Bestimmung der Einstellparameter, C,..., Cn bz.,,..., n des RRG: Parameterbilanz: Parameter Gesamtzahl freier Parameter:,... n n Festlegung von m Nullstellen des Nennerpolynoms auf jene des Zählerpolynoms: b... bm m. Allgemeiner Fall: b * * * * Festlegung der Eigenschaftsparameter, T, q,..., qn m durch Vorgabe des geünschten Führungs-FG. Diese legen zusammen mit den Parametern b,..., bm des Zählerpolynoms der Übertragungsstrecke die Eigenschaftsparameter, T, q,..., q n des Frequenzgangs c / fest. Berechnung der Einstellparameter des RRG gemäß Gln. (8) und (0) aus 4. Übertragungsbeiert der Führung im Beharrungszustand: *. Ein Sonderfall: b 0 Auslegungskriterium für den allgemeinen Fall (b ) ist auch anendbar auf den Sonderfall b 0. Relationen der oeffizienten des verbleibenden Nennerpolynoms: q *, q 3 *... qn * m nm Zählerpolynom eist in diesem Sonderfall eine (mindestens einfache) Nullstelle bei p 0 auf. resultierender Zeitmaßstab: T* Gesamtzahl: n Nennerpolynom des Führungs-FG [Gl.(0)] hat Nullstelle gleicher Ordnung bei p 0 aufzueisen. Berechnung der Einstellparameter des RRG erfolgt ie im allgemeinen Fall (b ) Blatt 33 Blatt 34

18 Achtung! Nennernullstelle im Führungs-FG gemäß Gl. (0) lässt eine solche auch im Führungs-FG c gemäß Gl.(9) entstehen. Stationärer Gleichanteil in der Führungsgröße hier also unzulässig, da sonst dieser stationäre Gleichanteil beirkt, dass. c Darf nicht sein, da c Linearkombination der (energiekennzeichnenden) Ausgangsgrößen des physikalischen Modells. Diese müssen stets endlich bleiben. Analyse und Synthese von Regelsystemen mit Zählerpolynom des FG ihrer Übertragungsstrecke lassen sich sehr leicht auf Regelsysteme mit einem Zählerpolynom des FG ihrer Übertragungsstrecke ereitern. Deshalb im Folgenden: Wieder ausschließlich Betrachtung von ÜS mit Zählerpolynom ihres FG (ÜS ohne Vorärtskopplungen, ohne Parallel- und ohne reisschaltungen). Blatt 35