Bose-Einstein-Kondensation

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1 Bose-Einstein-Kondensation Zusammenfassung des Seminarvortrags Christian Hauswald Einleitung Im Jahr 1924 beschäftigte sich der indische Physiker Satyendra N. Bose mit der Quantenstatistik von Photonen und verwendete in seiner Arbeit Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese ein ideales Gas aus Photonen um die Planck sche Strahlungsformel herzuleiten. Albert Einstein erweiterte diese Ergebnisse ein Jahr später in seiner Arbeit Zur Quantentheorie des idealen Gases auf ein Gas identischer Atome und stieß dabei erstmals auf die Möglichkeit der Bose-Einstein-Kondensation. Demnach erwartete er, dass ab einer kritischen Temperatur T C ein makroskopischer Anteil des Atom-Ensembles in den Grundzustand übergeht und ein sog. Bose-Einstein- Kondensat bildet. Betrachtet man die für Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) gültige Bose-Einstein- Statistik, so fällt auf, dass die Besetzung des untersten Quantenzustands bei sehr kleinen Teilchenenergien, also sehr geringen Temperaturen, divergiert. Für Fermionen, also Teilchen mit halbzahligem Spin tritt dieses Phänomen nicht auf, da diese durch die Fermi- Dirac-Statistik beschrieben werden. Diese besitzt keine Singularität dieser Form, da das Pauli-Prinzip verbietet, dass zwei oder mehr, in allen Quantenzahlen identische, Teilchen das gleiche Energieniveau besetzen können. Die Bose-Einstein-Kondensation tritt also aus fundamentalen Gründen nur für Bosonen auf. Aufgrund der sehr geringen kritischen Temperaturen im Bereich von wenigen Nanokelvin war eine Realisierung des Phänomens damals aus technischen Gründen nicht möglich. Erst im Jahr 1995 konnte das erste Bose-Einstein-Kondensat von E. Cornell und C. Wieman (JILA), sowie kurze Zeit später am MIT durch W. Ketterle erzeugt werden, wofür diese mit dem Nobel-Preis für Physik 2001 belohnt wurden. 1

2 2. Vorraussetzung und Eigenschaften von Bose-Einstein-Kondensaten Betrachtet man ein Gas aus thermischen Atomen, so erhält man aus der theoretischen Herleitung folgende, kritische Phasenraumdichte als zwingende Voraussetzung für das Eintreten von Bose-Einstein-Kondensation: ρ λ 3 h th > 2, 61 mit λ th = (1) 2πmkB T Hierbei ist ρ die Dichte des Gases. Anschaulich setzt die Kondensation dann ein, wenn der mittlere Abstand der Atome im Ensemble kleiner wird als ihre thermische de Broglie- Wellenlänge λ th. Zusammengefasst treten beim Abkühlen des Ensembles folgende Vorgänge auf: (a) T >> T C : Teilchen als ideales Gas (b) T > T C : Abstand entspricht ungefähr der de Broglie-Wellenlänge (c) T < T C BEC : Beginn der (d) T 0 : Alle Teilchen im Grundzustand (theoretisch!) Abbildung 1: Vom thermischen Gas (a) bis zur Materiewelle (d) Die kritische Temperatur T C ist dabei bestimmt durch den Zusammenhang in Gleichung (1). Bei einem Bose-Einstein-Kondensat handelt es sich aufgrund seiner Größe von einigen 100 µm um ein makroskopisches Quantenobjekt, wobei sich sämtliche Atome des Systems im gleichen Quantenzustand befinden. Dies erlaubt die Beschreibung des gesamten Kondensates mit nur einer Wellenfunktion, welche Lösung der so genannten Gross-Pitaevski- Gleichung ist: i ( ) 2 t ψ(r, t) = 2 2m + V ext(r, t) + g ψ(r, t) 2 ψ(r, t) (2) 2

3 3. Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensates Rechnungen ergeben, dass die kritische Temperatur T C für das Einsetzen der Bose- Einstein-Kondensation in ultrakalten Gasen im Bereich von wenigen huntert Nanokelvin liegt. Man benötigt also sehr effiziente Kühlungsverfahren um thermische Atome auf diese sehr niedrigen Temperaturen kühlen zu können. Laserkühlung Ein erster Schritt lässt sich mit der Doppler-Laserkühlung erreichen. Dabei verwendet man rotverstimmte Laser, welche aufgrund des Dopplereffektes dafür sorgen, dass schnelle Atome abgebremst werden und langsame praktisch nicht beschleunigt. Abbildung 2: Links: Schema für ein sich bewegendes Atom (hier nach rechts) Rechts: Sechs Laserstrahlen bilden mit zwei Spulen eine MOT In der linken Abbildung erkennt man am schematischen 2-Niveau-System, dass nur der Laser, welcher entgegengesetzt der Bewegungsrichtung des Atoms verläuft, genau auf Resonanz ist. Die Doppler-Verschiebung verhindert, dass die Atome von hinten ebenfalls einen Photonenimpuls bekommen und damit beschleunigt werden. Zwei Spulen in einer Anti-Helmholtz-Konfiguration erzeugen zusätzlich ein Quadrupolfeld, welches verhindert, dass Atome aus dem Bereich der aktiven Laserkühlung herausdiffundieren. Dieses Verfahren hat jedoch aufgrund der ständigen spontane Emission der Atome eine Grenztemperatur von ca. 100µK welche nicht unterschritten werden kann. Aus diesem Grund werden die Atome in eine magnetische Falle umgelagert und dort mit Hilfe der Verdampfungskühlung weiter gekühlt. 3

4 Magnetische Falle und Evaporationskühlung Bekannterweise führt das Anlegen eines Magnetfeldes zu einer Zeeman-Aufspaltung der Hyperfein-Energieniveaus des Atoms. Bestimmte Atome haben dabei Energieniveaus, welche ihre Energie bei steigendem Magnetfeld erhöhen. Diese nennt man Schwachfeldsucher. Pumpt man ein Atom in einen solchen magnetischen Hyperfeinzustand, so werden diese Atome immer zum Minimum des magnetischen Feldes getrieben. Eine so genannte Kleeblattfalle erzeugt nun ein annähernd perfektes, drei-dimensionales, harmonisches Oszillatorpotential, in welchem die Atome im Feldminimum gespeichert und weiter gekühlt werden. Dieses Feld hat im Gegensatz zu dem Feld welches in der MOT verwendet wurde, einen entscheidenden Vorteil: Es ist auch im Zentrum von Null verschieden und hat somit kein Loch durch welches die Atome entkommen könnten. Abbildung 3: Links: Aufbau der Kleeblattfalle Rechts: Vergleiche der Potentiale in der MOT und der Kleeblattfalle Mit Hilfe einer Radiofrequenz können nun die Spins der heißesten Atome, welche sich am Rand der Falle befinden selektiv umgeklappt werden, so dass die Atome in einen magnetisch nicht gefangenen Zustand wechseln und aus der Falle herausgeschleudert werden. Dieser Vorgang ist in der folgenden Abbildung schematisch dargestellt: In diesem Beispiel ist ein Übergang von einem gebundenen, magnetischen Unterzustand m F = 2 in den nicht mehr gebundenen Zustand m F = 2 zu sehen. 4

5 Nachdem ein Atom auf die Weise die Falle verlassen hat, rethermalisieren die restlichen Atome und die Temperatur des Ensembles sinkt somit. Auf diese Weise können Temperaturen bis in Bereiche von Pikokelvin erzeugt werden, somit lässt sich mit dieser Kühlmethode die kritische Temperatur für Bose-Einstein-Kondensation erreichen. 4. Detekton eines Bose-Einstein-Kondensates In diesem Abschnitt soll beschrieben werden, wie man ein erzeugtes Bose-Einstein- Kondensat sichtbar machen und damit nachweisen kann. Die Methode welche hierbei oftmals angewendet wird verwendet Absorptionsbilder um das Kondensat abzubilden. Abbildung 4: Aufbau zur Detektion eines Bose-Einstein-Kondensates Um das Absorptionsbild aufzunehmen, wird zuerst das Fallenpotential abgeschaltet. Die Atomwolke fällt daraufhin durch die Schwerkraft nach unten und expandiert dabei entsprechend den Einzelimpulsen der Atome innerhalb der Wolke. Daraufhin wird ein resonanter Laser eingestrahlt, welcher teilweise von der Wolke absorbiert wird. Die Intensität des Laserlichts hinter der Wolke wird mit einer CCD-Kamera gemessen und gehorcht folgendem Zusammenhang: I(x, y) = I 0 (x, y) e α λ n(x,y,z)dz (3) Aus der Kenntnis der Ortsverteilung n(x, y, z) der Atome nach einer gewissen Zeit lässt sich die Impulsverteilung p(v) innerhalb der Wolke vor der Expansion berechnen. Aus dieser erhält man schließlich die Temperatur der Wolke: p(v) e mv 2 2k B T (4) 5

6 Mit diesem Verfahren entstehen Bilder wie das folgende, welches als Beweis des weltweit 1. Bose-Einstein-Kondensates gilt, das 1995 an der University of Colorado, Boulder von Cornell und Wieman erzeugt wurde. Abbildung 5: Darstellung eines Bose-Einstein-Kondensates bei den Temperaturen 400nK, 200nK und 50nK (von vorne), auf der z-achse ist die Dichte aufgetragen 5. Interferenz zweier Bose-Einstein-Kondensate Da ein Bose-Einstein-Kondensat wie bereits beschrieben, durch eine einzige Wellenfunktion charakterisiert wird, besitzen zwei räumlich von einander getrennte Kondensate eine relative Phase zueinander. Die Kondensate werden dabei getrennt indem ein Laser durch die Atomwolke geschossen wird. Nach der Trennung schaltet man wie im vorherigen Kapitel beschrieben die Fallenpotentiale ab und lässt die beiden Wolken expandieren. Dadurch kommt es zur Interferenz, welche sich durch Absorptionsbilder sichtbar machen lässt und ein Ausdruck für die relative Phase der beiden Kondensate ist. Abbildung 6: Links: Intensität zweier getrennter BEC - Rechts: Interferenzbild zweier BEC Der Abstand der Streifen im Interferenzbild ist gegeben durch λ db = ht, wobei d der md Abstand der Kondensate und t die vergangende Zeit nach Abschalten der Falle ist. 6

7 6. Vortices Als Vortices bezeichnet man allgemein quantisierte Wirbel, welche auch in Supraflüssigkeiten und Supraleitern auftreten. Die Größe welche dabei in Einheiten von h/m quantisiert ist, ist die Zirkulation κ. In einem Bose-Einstein-Kondensat zeigt sich ein Vortex als Singulariät der Dichtefunktion verursacht durch eine Nullstelle in der Wellenfunktion des Kondensats. Herstellen lässt sich ein Vortex in dem Kondensat durch einfaches Rühren mit einem Laserstrahl. Aber wieso entsteht er? Betrachtet man das Geschwindigkeitsfeld des rotierenden Kondensates erhält man : Berechnet man hieraus die Zirkulation κ = v s d r = Θ( r)d r Stokes = m m v s = m Θ( r) (5) A rot( Θ( r))da = 0 (6) Dies würde bedeuten, es wäre nicht möglich ein BEC rotieren zu lassen. Da das jedoch offensichtlich möglich sein muss, bildet sich im Kondensat eine Singularität aus, so dass der Satz von Stokes in der Rechnung nicht mehr anwendbar ist. Es folgt: κ = m Θ( r)d r = m (Θ 2 Θ 1 ) (7) Da diese Phasendifferenz immer ein ganzes Vielfaches von 2π sein muss folgt für die Zirkulation: κ = n hm (8) Diese Vortices lassen sich ebenfalls wieder durch Absorptionsbilder sichtbar machen: Sie haben eine außergewöhnlich lange Lebensdauer von bis zu einigen Sekunden und typische Durchmesser von 0, 5 µm. Vortices sind besonders interessant, da sie einen direkten Hinweis auf die Suprafluidität des Systems liefern. 7

8 A. Literatur [1] Christofer J. Foot. Atomic Physics. Oxford University Press, Reprint 2006 [2] Eric A. Cornell, Carl E. Wieman. Bose-Einstein Condensation in a dilute Gas - The first 70 Years and some recent Experiments. Nobel Lecture, Dezember 2001 [3] Wolfgang Ketterle. When Atoms behave as Waves: Bose-Einstein Condensation and the Atom Laser. Nobel Lecture, Dezember 2001 [4] Wolfgang Ketterle. Bose-Einstein-Kondensate - Eine neue Form von Quantenmaterie. Phys. Bl. 53 (1997) Nr. 7/8 [5] Klaus Sengstock, Wolfgang Ertmer und Maciej Lewenstein. Makroskopische Quantenphysik mit Bose-Einstein-Kondensaten. Phys. Bl. 57 (2001) Nr. 3 [6] József Fortágh und Claus Zimmermann. Bose-Einstein-Kondensate in magnetischen Mikrofallen. Physik Journal 2 (2003) Nr. 6 [7] M. R. Andrews, C. G. Townsend, H.-J. Miesner, D. S. Durfee, D. M. Kurn, W. Ketterle. Observation of Interference Between Two Bose Condensates. Science VOL. 275 Jan [8] Kendall B. Davis, Marc-Oliver Mewes, Michael A. Joffe, Michael R. Andrews, Wolgang Ketterle Evaporative Cooling of Sodium Atoms Phys. Rev. Letters Volume 74, Number 26 (1995) [9] Immanuel Bloch Skript zur Vorlesung Atomphysik Johannes-Gutenberg Universität Mainz (2006) 8