Versuch B4 Elektronenbeugung

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1 Versuch B4 Elektronenbeugung Praktikum für Fortgeschrittene am Dritten Physikalischen Institut der Universität Göttingen 28. Mai 2008 Praktikant Johannes Dörr physik.johannesdoerr.de Durchführung am zusammen mit Oliver Schönborn Betreuer Burkhard Roos

2 Unterschrift des Praktikanten: Johannes Dörr - Göttingen, den

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Theorie Röntgenbeugung und Braggsches Gesetz Beugung von Elektronen Kristallgitter und Millersche Indizes Reziprokes Gitter und Laue-Bedinung Struktur- und Atomformfaktor bcc-struktur fcc-struktur Elektronenmikroskop Aufbau und Funktionsweise des TEM Betriebsarten Bestimmung von Netzebenenabständen Methode der Quotienten, Winkel zwischen Netzebenen Beugungsbilder Durchführung 16 4 Auswertung Beugungskonstante des Mikroskops Gitterkonstante von Aluminium Elektronenwellenlänge Korngröße des Aluminiumpräparats Orientierung des Aluminiumpräparats Diskussion 26

4 4 2 THEORIE 1 Einleitung Im Rahmen dieses Versuchs wird die Funktionsweise eines Elektronenmikroskops zur Aufnahme von Oberflächenabbildungen und Beugungsbildern erläutert. Dabei wird auf die nötige Theorie der Elektronenbeugung an Kristallen ausführlich eingegangen. 2 Theorie 2.1 Röntgenbeugung und Braggsches Gesetz Röntgenstrahlung, die auf einen Kristall trifft, wird an seinen verschiedenen Gitterebenen gebrochen: von jedem Gitterpunkt geht eine Elementarwelle aus, die auf einem in weiterer Entfernung angebrachtem Schirm mit den übrigen Elementarwellen interferiert. Somit beobachtet man nur an bestimmten Punkten des Schirms Maxima der Strahlung, während sie sich an anderen auslöscht. Statt Punkten auf dem Schirm kann man besser die Beugungswinkel θ an dem Kristall betrachten. Die Beugung der Strahlung gehorcht dann dem Braggschen Brechungsgesetz: nλ = 2d sin θ, wobei n N +. (2.1) Abbildung 2.1: Braggsches Gesetz Beugungsreflexe sind demnach immer dort zu beobachten, wo der Gangunterschied der Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist. Dieser ergibt sich aus der Abstand d der betrachteten Netzebenen und dem Sinus des Winkels θ. Dabei ist zu beachten, dass bei optischer Beugung traditionell der Winkel zum Einfallslot betrachtet wird, während man bei der Röntgenbeugung den Winkel zur Brechungsebene angibt. Im letzten Fall ergibt sich der gesamte Ablenkungswinkel zu 2θ, da der einfallende Strahl ja ebenfalls den Winkel θ mit der Ebene bildet. 2.2 Beugung von Elektronen Analog zu den zwei Betrachtungsweisen von elektromagnetischer Strahlung zum einen als Licht und zum anderen als Teilchen kann man auch bei Materie ein Verhalten beobachten,

5 2.3 Kristallgitter und Millersche Indizes 5 das sich nur erklären lässt, wenn man ihr eine Wellennatur zuschreibt. Nach de Broglie besitzt jedes Teilchen eine Wellenlänge, die sich aus seinem Impuls p und der Plankschen Konstante h ergibt: λ = h p. Tatsächlich lassen sich beispielsweise bei Elektronen Beugungserscheinungen beobachten, die sich mit denselben Gesetzen wie bei der Röntgenbeugung, insbesondere der Braggbedingung, beschreiben lassen. Werden die Elektronen (Masse m e ) mit der Spannung U 0 beschleunigt (auf die Geschwindigkeit v), haben sie (mit der Elementarladung e) die Energie eu 0, woraus für ihre Wellenlänge folgt: λ = h m e v = h 2 2em e U 0. Trotz aller Parallelen sind sich Röntgenstrahlung und Elektronen keinesfalls zum Verwechseln ähnlich. Auf Grund der wesentlich kleineren Wellenlänge von Elektronen werden diese wesentlich schwächer, nämlich nur um wenige Grad, gebrochen, während bei Röntgenstrahlung Winkel bis 180 auftreten. Ebenso können Röntgenstrahlen bis zu 100µm tief in Materie eintreten, während die Eindringtiefe von Elektronen 1µm nicht übersteigt. Bei der Brechnung selbst welchselwirken die Elektronen mit dem Kernpotential, währen die Röntgenstrahlung an den Hüllenelektronen gestreut wird. Ebenfalls sehr wichtig ist die Tatsache, dass Elektronen eine Masse besitzten. Deshalb fällt bei hohen Geschwindigkeiten der relativistische Effekt ins Gewicht, der sich wie folgt berücksichtigen lässt: λ = h 2 2em e U 0 (1 + eu 0 2m ec 2 ). 2.3 Kristallgitter und Millersche Indizes Charakteristisch für einen Kristall ist seine Periodizität. Bei der Beschreibung von Streuvorgängen ist es nicht zweckmäßig, einzelne Punkte des Kristallgitters zu betrachten. Stattdessen nimmt man den Kristall oft als unendlich ausgedehnt an und beschreibt seinen Aufbau durch drei Gittervektoren (Basisvektoren). Durch Linearkombination dieser Vektoren lässt sich jeder Gitterpunkt des Kristalls erreichen. Das Volumen, das von den Basisvektoren eingeschlossen wird, nennt man Einheitszelle. Letztere nennt man primitiv, wenn sie von allen möglichen Formationen diejenige ist, die das kleinste Volumen einschließt. In diesem Fall nennt man das zugehörige Raumgitter Bravaisgitter. Hieran sieht man schon, dass die Beschreibung eines Gitters keinesfalls eindeutig ist, was im Folgenden noch deutlicher wird. Im einfachsten Fall eines Kristalls kann dieser durch ein Bravaisgitter beschrieben werden, an dessen Raumpunkten jeweils ein einzelnes Atom sitzt. Besteht der Kristall hingegen

6 6 2 THEORIE aus mehreren Atomsorten, so sitzten an jedem Raumpunkt mehrere Atome. Die Vektoren, die den Ort dieser Atome angeben, bilden die sogenannte Basis. Sie sind jedoch nicht zu verwechseln mit den oben eingeführten Basisvektoren des Gitters. Auch bei Kristallen einer Atomsorte kann man eine Beschreibung wählen, die eine kompliziertere Basis verwendet als diejenige, bei der diese nur aus einem einzelnen Atom besteht. Bei der Beugung an einem Kristall spielen die Gitternetzebenen eine wichtige Rolle. Um ihre Lage im Kristall zu kennzeichnen, verwendet man üblicherweise die Millerschen Indizes, die ein Zahlentripel (hkl) darstellen. Die zugehörige Ebene schneidet die Gittervektoren a 1, a 2 und a 3 in den Punkten a 1 h, a 2 k und a 3 l. Die Indizes sind also die inversen Längen, in denen die Gittervektoren von der Ebene geschnitten werden, wobei alle drei mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden, sodass sie jeweils eine ganze Zahl darstellen. Diese Indizierung gibt somit nur Aufschluss über die Orientierung der Ebene, jedoch nicht über ihre genaue Position vielmehr existieren zu einem Tripel unendlich viele, parallele Ebenen. Gehen die Millerschen Indizes zweier Ebenen durch Multiplikation eines Faktors auseinander hervor wie beispielsweise (100) und (200), so handelt es sich um parallele Ebenen. Liegt die Ebene parallel zu einem Gittervektor, so ist der zugehörige Index entsprechend 0, denn die Ebene schneidet den Vektor im Unendlichen. Negative Indizes kennzeichnet man durch einen Querstrich, zum Beispiel ( 100). 2.4 Reziprokes Gitter und Laue-Bedinung In Kapitel 2.1 wurde beschrieben, wie sich mit Hilfe von Gleichung (2.1) die Orte der Maxima berechnen lassen. In der Praxis ist ein anderes Verfahren gebräuchlich. Dieses verwendet das zum Kristallgitter gehörende reziproke Gitter, dessen Gittervektoren sich wie folgt berechnen: b1 = 2π ā2 ā 3 ā 1 ā 2 ā 3 b2 = 2π ā3 ā 1 ā 1 ā 2 ā 3 b3 = 2π ā1 ā 2 ā 1 ā 2 ā 3. Dabei sind a 1, a 2 und a 3 wie oben die Vektoren des realen Gitters. Der jeweilige Nenner entspricht dem Volumen der Einheitszelle des realen Gitters. Der Zähler hat die Einheit einer Fläche, woraus sich m 1, also eine inverse Länge, als Einheit für die Vektoren des reziproken Gitters ergibt. Aus dem Kreuzprodukt der zwei Gittervektoren im Zähler ist auch ersichtlich, dass der entsprechende reziproke Gittervektor senkrecht auf diesen steht: bi a j = 2πδ ij. (2.2)

7 2.4 Reziprokes Gitter und Laue-Bedinung 7 Trifft nun eine ebene Welle, beschrieben durch den Wellenvektor k, auf den Kristall, so gilt für einen möglichen Beugungsreflex k die Laue-Bedingung: k k = G. Die Differenz aus einfallendem und ausfallendem Wellenvektor muss also ein Vektor des reziproken Gitters sein. Dieser setzt sich aus den Basisvektoren b 1, b 2 und b 3 zusammen: G = g 1 b1 + g 2 b2 + g 3 b3. Die Koordinaten g 1, g 2 und g 3 dieses Vektors stimmen bis auf einen Faktor α N + mit den Millerschen Indizes der Ebene überein, die der Netzebene entspricht, an der diese Beugung stattfindet. Der Vektor selbst steht senkrecht auf der Ebene. Sein Betrag ist der Kehrwert des zugehörigen Netzebenenabstands d der Ebenenschar (g 1 g 2 g 3 ): G = d 1 (g 1 g 2 g 3 ) = α d 1 (hkl). (2.3) Das Auffinden der Lösungen für k gestaltet sich recht einfach mit Hilfe der Ewaldschen Konstruktion. In das reziproke Gitter zeichnet man den einfallenden Wellenvektor so ein, dass er auf einem Gitterpunkt endet (siehe Abbildung 2.2). Dann konstruiert man einen Kreis (in drei Dimensionen eine Kugel), der den Vektor als Radius hat. Jeder Berührpunkt dieses Kreises mit einem reziproken Gitterpunkt kennzeichnet eine Lösung der Laue-Bedingung. Abbildung 2.2: Ewaldkugel im rezproken Gitter (hier nur zweidimensional) Sie erfüllt natürlich auch wieder die Braggbedingung (2.1), hier für die erste Beugungsordnung n = 1: 2 sin θ = λαd 1 (hkl) = λd 1 (g 1 g 2 g 3 ). Da besonders schnelle Elektronen, die bei der High Energy Electron Diffraction (HEED) betrachtet werden, eine sehr kleine Wellenlänge aufweisen, ist ihr Wellenvektor k = 2π λ sehr lang. Dies hat zur Folge, dass die Ewaldkugel im Bereich kleiner Streuwinkel durch ihre Tangentialebene angenähert werden kann (siehe Abbildung 2.3). Das Beugungsbild

8 8 2 THEORIE Abbildung 2.3: Ewaldkugel bei kleinen Streuwinkeln entspricht dann näherungsweise einem Schnitt durch das reziproke Gitter senkrecht zur Einfallsrichtung. Da die Eindringtiefe von Elektronen wie eingangs besprochen nur sehr gering ist, hat man es in der Praxis nicht annähernd mit unendlich ausgedehnten Gittern zu tun, sondern mit besonders dünn gefertigten Proben. Man beobachtet dort auch an Stellen eine merkliche Intensität, an denen die Laue-Bedinung gar nicht exakt erfüllt ist. Im Falle der dünnen Folie entarten die reziproken Gitterpunkte zu Stäben, die senkrecht auf der Folienebene stehen (siehe Abbildung 2.4). Für einen Beugungsreflex genügt es, dass die Ewaldkugel so einen Stab schneidet. Abbildung 2.4: Ewaldkugel und Gitterstäbe bei sehr dünner Probe. Dies hat zum einen zur Folge, dass ein größeres Beugungsbild sichtbar ist und nicht nur einzelne Beugungspunkte. Zum anderen ist die Bestimmung der Ausrichtung der betrachteten Netzebene nur bis zu einer Genauigkeit von etwa ±5 möglich ist bei einer geringfügigen Veränderung der Orientierung des Kristalls ist keine Änderung des Beugungsbildes zu erkennen.

9 2.5 Struktur- und Atomformfaktor Struktur- und Atomformfaktor Die Laue-Bedingung ist eine notwendige Bedinung für einen Beugungsreflex. Eine Aussage über die Intensität der Reflexes liefert sie jedoch nicht. Bisher wurde nur die Brechung an dem Bravais-Gitter betrachtet. Die Intensität hängt aber von dem genauen Aufbau der Einheitszelle ab. Um dies zu berücksichtigen sind zwei neue Größen notwenig. Der Strukturfaktor beschreibt die Streuung, die durch die Atomanordnung in der Einheitszelle (EZ) hervorgerufen wird. Er ist mit G = k k definiert als: S( G) = ρ( r) e ig r dv, EZ wobei ρ( r) die Elektronenkonzentration am Ort r angibt. Die Amplitude des Beugungsreflexes (Streuamplitude) ergbt sich dann zu: A( G) = NS( G), wenn N die Anzahl der Einheitszellen in dem Kristall ist. Für die Intensität I gilt letztlich I A 2. In der Praxis muss der Strukturfaktor durch Summation der Atome in der Einheitszelle bestimmt werden, wobei r j den Ort des j-ten Atoms im Koordinatensystem der Einheitszelle angibt: S( G) = j f j e i G r j. (2.4) Der hier auftauchende Atomformfaktor f j gibt die Streukraft eines einzelnen Atoms an, von denen es in einer Basis nicht nur mehrere sondern auch verschiedenartige geben kann. In ihn geht sowohl die Ladungsverteilung als auch der Streuwinkel, ausgedrückt durch G, ein: f j ( G) = ρ j ( r) e ig r dv. V Hier soll ρ j ( r) ausdrücken, dass die Integration über das Atomvolumen V nur die Ladungsverteilung des einen Atoms (genauer gesagt des j-ten Atoms) beschreibt. Die Streukraft der Basis ergibt sich dann aus deren Atomformfaktoren der in ihr enthaltenen Atome über Gleichung (2.4). Wir können nun mit (2.2) und r = (x, y, z) für das Skalarprodukt im Exponenten des Strukturfaktors schreiben: womit wir G r = (g 1 b1 + g 2 b2 + g 3 b3 ) (x j a 1 + y j a 2 + z j a 3 ) = 2π(g 1 x j + g 2 y j + g 3 z j ), S( G) = j f j e 2πi(g 1 x j +g 2 y j +g 3 z j ) (2.5) erhalten. Wir können nun in (2.5) die Millerschen Indizes einsetzten und den Strukturfaktor berechnen.

10 10 2 THEORIE Abbildung 2.5: bcc- und fcc-struktur bcc-struktur Eine bcc-struktur (body centered cubic) erhalten wir durch eine kubische Raumstruktur mit zwei (gleichen) Atomen in der Basis (siehe Abbildung 2.5, links). Die zwei Vektoren der Basis sind in dem Fall r 1 = (0, 0, 0) und r 2 = ( 1, 1, ), also gilt x1 = y 1 = z 1 = 0 und x 2 = y 2 = z 2 = 1. Der Stukturfaktor ergibt sich dann mit f 2 1 = f 2 =: f zu: S ((g 1, g 2, g 3 )) = f (1 + e πi(g 1+g 2 +g 3 ) ). Ist die Summe der g j eine ungerade Zahl, der Exponent abgesehen von i also ein ungerades Vielfache von π, so ergibt der Exponentialterm 1, wie man mit der Eulerschen Formel leicht nachprüft. Dann ist der Stukturfaktor aber gerade 0, es kann also an solchen Ebenen keine Reflektion stattfinden. Bei gerader Summe ist der Exponentialterm 1, der Strukturfaktor folglich 2f. Es kann also ein Beugungsreflex abhängig vom Atomformfaktor f beobachtet werden fcc-struktur Dieselben Überlegungen stellen wir bei einer fcc-struktur (face centered cubic) an (siehe Abbildung ( 2.5, rechts). Die Vektoren der Basis seien definiert als r 1 = (0, 0, 0), r 2 = 1, 1, 0), r = ( 0, 1, ) und r4 = ( 1, 0, 1 2 2). Der Strukturfaktor ergibt sich damit zu: S ((g 1, g 2, g 3 )) = f (1 + e πi(g 1+g 2 ) + e πi(g 2+g 3 ) + e πi(g 1+g 3 ) ). Um einen Beugungsreflex beobachten zu können, müssen entweder alle g j gerade oder alle ungerade sein dann ist der Strukturfaktor 4f. In jedem anderen Fall ergibt er sich hingegen zu 0. An den vorangegangenen Fällen der bcc- bzw. fcc-struktur ist deutlich geworden, dass sich Beugungsreflexe auch dann auslöschen können, wenn die Laue-Bedinung erfüllt ist, es sich bei letzterer also nur um eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung handelt.

11 2.6 Elektronenmikroskop Elektronenmikroskop Die Tatsache, dass Elektronen auch ein Wellenverhalten aufweisen und ihre Wellenlänge im Vergleich zu der von (sichtbarem) Licht sehr klein ist, ermöglicht die Elektronenmikroskopie. Im Folgenden wird auf die Funktionsweise eines Elektronenmikroskops eingegangen sowie auf die vielen Parallelen zu optischen Mikroskopen hingewiesen. Man klassifiziert Elektronenmikroskope nach zwei verschiedenen Kriterien: Bei der Ruhefeldmikroskopie wird ein Objektbereich mit einem breiten Elektronenstrahl bestrahlt, während bei einem Rasterelektronenmikroskop mit einem feinen Elektronenstrahl das Objekt zeilenweise abgetastet wird. Die zweite Einteilung bezieht sich auf die Geometrie der Anordnung: In Transmissionselektronenmikroskopen wird die Probe von den Elektronen durchdrungen und dann detektiert. Dies setzt sehr dünne Proben voraus. Eine andere Anordnung betrachtet hingegen die an der auf Grund der kleinen Beugungswinkel sehr schräg ausgerichteten Kristalloberfläche gebeugten Elektronen. In dem Versuch wird ein Ruhefeld-Transmissionselektronenmikroskop (TEM) verwendet. Auf die anderen angesprochenen Arten wird hier nicht weiter eingegangen Aufbau und Funktionsweise des TEM Elektronenwellen können mit Hilfe einer magnetischen Elektronenlinse gebrochen werden. Dies geschiet analog zur optischen Brechung von Licht, weshalb man den Vorgang auch als Elektronenoptik bezeichnet. Der Effekt der Brechung erfolgt in diesem Fall durch die Ablenkung von Ladungen im Magnetfeld, weshalb sich die Linsen aus Spulen zusammensetzten, die ein achsensymmetrisches Feld erzeugen. Verglichen mit optischen Linsen sind sie jedoch sehr unpräzise auf Grund des ansonsten sehr guten Auflösungsvermögens verursacht durch die kleine Wellenlänge lohnt sich ihre Verwendung bzw. die gesamte Elektronenmikroskopie dennoch. Im Elektronenmikroskop werden die aus einer Elektronenquelle austretenden Elektronen mit Hilfe einer Spannung beschleunigt. Die Beschleunigungsspannung ist ein wichtiges Merkmal des Mikroskops. Das in diesem Versuch verwendete Mikroskop ermöglicht eine maximale Beschleunigungspannung von 120kV. Der Strahl wird von einem Wehneltzyliner gebündelt. Eine so genannte Kondensorlinse manipuliert anschließend den Strahl so, dass er nahezu parallel auf das Objekt auftrifft. Hinter dem Objekt folgt die Objektivlinse und anschließend die abbildende Linse (Projektiv). In der Praxis verwendet man oft drei- oder mehrstufige Systeme mit weiteren Linsen zwischen Objektiv und Projektiv, um das Bild des Objektivs weiter zu vergrößern. Dieses kann schließlich über einen Leuchtschirm beobachtet oder mit Hilfe von Fotoplatten abfotografiert werden.

12 12 2 THEORIE Abbildung 2.6: Strahlengang im dreistufigen Elektronenmikroskop; links: Abbildungsmodus; rechts: Beugungsmodus Betriebsarten Da es sich bei den Linsen um Spulen handelt, kann deren Brennweite stufenlos durch Variation der Spulenspannung geregelt werden. Aus diesem Grund kann mit demselben Gerät sowohl das Beugungsbild als auch eine Abbildung der Oberfläche aufgenommen werden. Im ersteren Fall (siehe Abbildung 2.6, links) ist die erste Linse hinter dem Objektiv auf deren Bildebene fokussiert. Dort treffen sich alle Strahlen, die vom selben Ort im Objekt ausgetreten sind. Wird jedoch die Beugungsebene fokussiert (siehe Abbildung 2.6, rechts), in der die Strahlen zusammenlaufen, die das Objekt im selben Winkel (dafür aber von unterschiedlichen Orten) verlassen haben, so erhält man ein Beugungsbild. Der Beugungsmodus wird verwendet, um Informationen über die Struktur des Kristalls zu gewinnen. Im Abbildungsmodus sieht man hingegen das Objekt selbst und kann beispielsweise Korngrößen von Polykristallen bestimmen, was im Rahmen dieses Versuchs auch durchgeführt wird. Hierfür kann es hilfreich sein, den Konstrast des Bildes durch die Hellfeld- bzw. Dunkelfeldmethode zu erhöhen. Bei Ersterer werden im Strahlengang in der Brennebene des Objektivs die stark abgelenkten Elektronen herausgefiltert, sodass nur die unwesentlich abgelenkten das Bild erzeugen. Umgekehrt kann man auch die wenig abgelenkten Elektronen herausfiltern. Die Namensgebung der Methoden resultiert auf der Helligkeit der Aufnahmen, die hierbei entstehen. Da bei der Dunkelfeldmethode nur die abgelenkten Elektronen aufgenommen werden und es von diesen generell im Vergleich zu denen im Primärstrahl nur wenige gibt, ist das Bild entsprechend dunkel. Die Hellfeldme-

13 2.7 Bestimmung von Netzebenenabständen 13 thode lässt hingegen gerade den Primärstrahl passieren, was zu einem hellen Bild führt. 2.7 Bestimmung von Netzebenenabständen Bei den bisherigen theoretischen Betrachtungen der Brechung wurden die Beugungswinkel betrachtet. Dies ist sinnvoll, da man sich damit unabhängig von der Entfernung eines etwaigen Schirms macht, auf dem die Beugungsreflexe sichtbar werden. Um die mit einem Elektronenmikroskop gemachten Aufnahmen auswerten zu können, muss jedoch genau diese Entfernung, die sich natürlich bei verschiedenen Geräten unterscheidet, Berücksichtigung finden. Abbildung 2.7: Strahlengang im Elektronenmikroskop mit der Entfernung L des Leuchtschirms und dem Beugungswinkel θ. Das Braggsche Gesetz (2.1) lässt sich umformen: λ = 2d (hkl) sin θ 2d (hkl) θ d (hkl) R. L Dabei ist R die Entfernung eines Beugungsreflexes vom Primärstrahl und L die Entfernung des Objekts vom Schirm. Die an dieser Stelle angewendete Näherung rechtfertigt sich durch kleine Beugungswinkel θ, sodass gilt: R = tan 2θ sin 2θ 2θ. L Wir erhalten weiter die folgende Relation für ein kubisches Gitter: R = λl h2 + k = λl 2 + l 2, (2.6) d (hkl) a wobei a die Gitterkonstante des betrachteten Kristalls ist. Eine weitere Konstante eines Elektronenmikroskops ist neben dem Schirmabstand auch die Wellenlänge der Elektronen, da diese (zumindest während einer Messung) mit einer feststehenden Spannung beschleunigt werden. Aus diesem Grund fasst man den in (2.6) auftretenden Faktor λl zu einer einzigen Konstante, der Beugungskonstante des Mikroskops zusammen. Diese muss durch eine Eichmessung bestimmt werden, wobei ein Kristall verwendet wird, dessen Gitterkonstante sehr genau bekannt ist.

14 14 2 THEORIE 2.8 Methode der Quotienten, Winkel zwischen Netzebenen Laut (2.6) sind alle Werte für R proportional zur Wurzel der Indizesquadratsumme der reflektierenden Netzebene. Die Konstante hängt vom Mikroskop ab setzten wir jedoch zwei Beugungsreflexe ins Verhältnis: R 1 R 2 = h k l 2 1 h k l 2 2, so fällt diese Konstante heraus, genauso wie der Maßstab von R. Nun gibt es für die verschiedenen Gitterarten Tabellierungen (Abbildung 2.8 für das fcc-gitter), mit denen anhand von zwei beobachteten Beugungsreflexen auf die beiden beteiligten Gitternetzebenen zurückgeschlossen werden kann. Diese Zuordnung ist jedoch nicht eindeutig, offenbar gibt es mehrere hkl-paare, deren Reflexe denselben Quotienten bilden. Außerdem gibt die Tabelle nur den Typus {hkl} der jeweiligen Ebene an, jedoch keine Angabe, bei der die Reihenfolge der Indizes sowie deren Vorzeichen bereits korrekt sein müssen. Aus diesem Grund ist es nötig, den Winkel zwischen den Gitterebenen zu betrachten. Dieser ergibt sich aus: cos α = h 1 h 2 + k 1 k 2 + l 1 l 2 (h k l 2 1)(h k l 2 2). (2.7) Nach Kapitel 2.4 stehen die Vektoren des reziproken Gitters senkrecht auf den Reflektionsebenen. Die Winkel, die in den Beugungsbildern beobachtet werden, entsprechen also genau denen, die die zugehörigen Ebenen einschließen. Die aus der Tabelle entnommenen hkl-werte müssen also zunächst mit (2.7) dahingehend überprüft werden, ob der resultierende Winkel mit dem beobachteten übereinstimmt. Auf diese Weise kann ein ganzes Beugungsbild indiziert werden, was in der Auswertung dieses Versuchs (siehe Kapitel 4.5) bei einer Aluminiumprobe durchgeführt wird. Dabei werden innerhalb des Beugungsbildes zwei Basisvektoren ausgehend vom Primärstrahl gewählt, die definitionsgemäß linear unabhängig sein müssen. Von diesen werden dann die Längen bestimmt und ins Verhältnis gesetzt. Dieser Quotient wird in der Tabelle in Abbildung 2.8 nachgeschlagen. Mit Hilfe des gemessenen Winkels, den die Basisvektoren einschließen, sowie (2.7) wird durch etwas Probieren ein passendes hkl-paar ausgewählt. Anschließend wird der Vektor, der sich aus der Addition der beiden Basisvektoren ergibt, in der Länge ausgemessen und mit einem Basisvektor ins Verhältnis gesetzt. Ebenso wird der Winkel bestimmt, den beide Vektoren einschließen. Wieder wird anhand der Tabelle ein hkl-paar gesucht, wobei der hkl-wert für den verwendeten Basisvektor aus dem vorigen Schritt schon feststeht. Insgesamt liegen hiernach also drei hkl-werte vor, wobei sich der zuletzt bestimmte nun aus der Addition der anderen beiden ergeben muss. Anhand dieser Additionsregel können dann auch alle weiteren Beugungspunkte beschriftet werden.

15 2.8 Methode der Quotienten, Winkel zwischen Netzebenen 15 Abbildung 2.8: Quotienten der Netzebenenabstände für fcc-gitter. Abbildung 2.9: Schema der Beugungsbilder von Ein- und Polykristallen.

16 16 3 DURCHFÜHRUNG 2.9 Beugungsbilder Grundsätzlich betrachtet man bei der Elektronenmikroskopie zwei verschiedene Probenarten: Bei einkristallinen Proben handelt es sich um einen einzigen regelmäßigen Kristall. Das Beugungsbild ist dann ein Punktdiagramm, wovon in den vorigen Teilen ausgegangen worden ist. Polykristalline Proben hingegen setzten sich sozusagen aus mehreren Kristallen zusammen, die man in diesem Fall als Korn (oder auch Kristallit) bezeichnet. Die Körner unterscheiden sich alle lediglich in ihrer Orientierung, die Gitterkonstante ist jedoch dieselbe, schließlich handelt es sich um denselben Stoff. Im Beugungsbild resultieren hieraus Ringe, da durch die zufällige Ausrichtung der Körner in alle Richtungen kreissymmetrisch zum Einfallsstrahl reflektiert wird. Ein in der Intensität konstanter Beugungsring kann somit nur bei Proben beobachtet werden, bei denen die Korngrößen sehr klein und ihre Richtungen gut verteilt sind. In der Praxis beobachtet man daher immer etwas körnige Ringe. Die Beugungsbilder von polykristallinen Proben werden Debye-Scherrer-Diagramme genannt. 3 Durchführung 1. Mit Hilfe einer Eichmessung mit Thalliumchlorid, das eine Cäsiumchloridstruktur (bcc) aufweist (Gitterkonstante a = ± nm), wird die Beugungskonstante λ L des Mikroskops bestimmt. 2. Anschließend wird ein Debye-Scherrer-Diagramm einer polykristallinen Probe aufgenommen. Aluminium kristallisiert in einer fcc-struktur. Diese Aufnahme dient später der Bestimmung der Gitterkonstante des Aluminiums. 3. Einige weitere Debye-Scherrer-Diagramme werden für die Bestimmung der Elektronenwellenlänge aufgenommen. Die Diagramme (einer, wie in Punkt 2., polykristallinen Probe) werden bei unterschiedlichen Beschleunigungsspannungen aufgenommen (120, 100, 80, 60 und 40 kv). Hieraus errechnet man später die Elektronenwellenlänge. 4. Um die Korngrößen des Aluminiumpräparats abzuschätzen, werden Hell- und Dunkelfeldaufnahmen gemacht. 5. Nun wird das Beugungsbild einer einkristallinen Aluminiumprobe aufgenommen. Es soll hier nicht nur die Ausrichtung dieser Probe bestimmt, sondern auch die Reflexe im Beugungsbild indiziert und die zum Elektronenstrahl parallele kristallographische Richtung bestimmt werden. Dabei soll nach Konvention die Richtung entgegengesetzt zur Ausbreitungsrichtung der Elektronen angegeben werden. 6. Da sämtliche Aufnahmen für die Auswertung relevant sind, werden diese zusammen mit dem Assistenten in der Dunkelkammer entwickelt.

17 17 4 Auswertung 4.1 Beugungskonstante des Mikroskops Zur Bestimmung der Beugungskonstante des Mikroskops wird mit einem polykristallinen Thalliumchlorid-Präparat eine Eichmessung mit 120kV als Beschleunigungsspannung durchgeführt. Das dabei beobachtete Debye-Scherrer-Diagramm ist in Abbildung dargestellt. Thalliumchlorid weist eine Cäsiumchloridstruktur auf. Diese entspricht einem bcc-gitter, bei dem das raumzentrierte Atom (Th + ) von acht Chlorionen (Cl ) umgeben ist. Laut Abschnitt dürften auf Grund der bcc-struktur nur Reflexe an Gitterebenen mit gerader Summe der Miller-Indizes sichtbar sein. Da es sich bei Thalliumchlorid aber offenbar um eine zweiatomige Basis handelt, löschen sich diese Reflexe nicht komplett aus - es sind also doch alle Reflexe sichtbar. Sie alle unterscheiden sich jedoch trotzdem deutlich in ihrer Intensität, weshalb ihre Ausmessung an einigen Stellen etwas schwierig war. Die Ringe in Abbildung sind mit den zugehörigen Millerschen Indizes gekennzeichnet: Der Ringradius ist (bei konstanter Wellenlänge) umgekehrt proportional zum Ebenenabstand d (hkl), wie man aus der Braggbedingung (2.1) erkennt. Der Ebenenabstand a ergibt sich laut (2.6) zu d (hkl) = h. Der Nenner h 2 + k 2 + l 2 wächst also proportional zum Ringradius. Durch Einsetzten 2 verschiedener Miller-Indizes h, k, l N 0 und 2 +k 2 +l anschließender aufsteigener Sortierung erhalten wir ihre Zuordnung zu den beobachteten Ringen. Die gescannten Bilder haben den Maßstab 1cm = 120px. Mit Hilfe von Adobe Photoshop wurden die Ringradien bestimmt und anschließend in Meter umgerechnet. Bei dieser Ausmessung gehen wir von einem Fehler von ±3px = ±0.25mm. Um die Beugungskonstante zu bestimmen, tragen wir nun den Ringradius R in Abhängigkeit von h 2 + k 2 + l 2 auf (Abbildung 4.1.2) und erhalten damit nach (2.6) als Steigung λl a Th = Durch Multiplizieren mit der Gitterkonstante a Th = (1)nm erhalten wir: (λl) 120keV = ± m Gitterkonstante von Aluminium Nach der im vorigen Teil durchgeführten Eichmessung zur Bestimmung der Beugungskonstante können wir nun die Gitterkonstante von anderen Proben bestimmen, in unserem Fall von Aluminium. Da die Beugungskonstante für 120kV ermittelt wurde, muss die Beschleunigungsspannung bei dieser Messung unverändert bleiben. Dasselbe gilt für die Kameralänge L, was auf Grund der Auswechslung des Präparats eigentlich nicht gegeben ist. Auf Grund der großen Kameralänge von ca. 60cm bis 70cm und den dazu vergleichsweise sehr kleinen Probenabmessungen ist dies jedoch vernachlässigbar. Die Untersuchung der polykristallinen Aluminiumprobe liefert wieder ein Debye-Scherrer-Diagramm (Abbildung 4.2.1). Da es sich beim Aluminiumkristall um eine reine fcc-struktur handelt, erwarten wir

18 18 4 AUSWERTUNG Abbildung 4.1.1: Eichmessung Debye-Scherrer-Ringe des Thalliumchlorids mit Kennzeichnung der Millerschen Indizes der Brechungsebene. 0,0 2 5 y (x )= 0, (3 ) x 0, ,0 1 5 R a d iu s R in m 0, , , ,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 (h ^ 2 + k ^ 2 + l^ 2 ) 1 /2 Abbildung 4.1.2: Lineare Regression zur Ermittlung der Beugungskonstante anhand der Steigung des Graphen.

19 4.3 Elektronenwellenlänge 19 nach Abschnitt nur Beugungsringe verursacht durch Gitterebenen mit Miller-Indizes, die entweder alle gerade oder alle ungerade sind. Abbildung 4.2.1: Debye-Scherrer-Ringe bei 120keV des Aluminiums mit Kennzeichnung der Millerschen Indizes der Brechungsebene. Das Bild wurde zweimal mit verschiedenen Belichtungszeiten aufgenommen. Zur Bestimmung der Gitterkonstante tragen wir wieder den Ringradius R in Abhängigkeit von h 2 + k 2 + l 2 auf (Abbildung 4.2.2) und erhalten damit nach (2.6) als Steigung = Durch Dividieren durch die Beugungskonstante (λl) 120keV erhalten wir: λl a Al a Al = ± m als Gitterkonstante von Aluminium. Verglichen mit dem Literaturwert aus [1] von ā Al = m ergibt sich eine Abweichung von 16%. 4.3 Elektronenwellenlänge Im Folgenden werden wir die Wellenlängen der Elektronen für verschiedene Beschleunigungsspannungen bestimmen und mit den theoretischen Werten vergleichen, wobei letztere sowohl relativistisch als auch klassisch berechnet werden.

20 20 4 AUSWERTUNG 0,0 4 0 y (x )= 0, (2 ) x 0,0 3 5 R in g ra d iu s R in m 0, , , , , (h ^ 2 + k ^ 2 + l^ 2 ) 1 /2 Abbildung 4.2.2: Lineare Regression zur Ermittlung der Gitterkonstante von Aluminium anhand der Steigung des Graphen. Für die Bestimmung aus den Messdaten werden wieder die Debye-Scherrer-Ringe der Aluminiumprobe bei unterschiedlichen Spannungen ausgemessen. Mit Kenntnis von der Gitterkonstante a Al und der Kameralänge L ergibt sich analog zum Vorgehen in den vorigen Abschnitten aus der Regressionsgeraden der Auftragung vom Ringradius R in Abhängigkeit von h 2 + k 2 + l 2 die Wellenlänge λ. Leider ist laut Versuchsanleitung keine korrekte Kameralänge L des verwendeten Mikroskops bekannt. Aus diesem Grund werden wir statt der Wellenlänge die Beugungskonstante λl der verschiedenen Spannungen ins Verhältnis mit (λl) 120keV setzten, die sozusagen unserer Normierungsbeugungskonstante darstellt. Der konstante Wert von L kürzt sich dabei heraus. Analog tragen wir nicht direkt die theoretisch berechneten Werte λ rel. und λ klass. sondern den Quotient λ rel. / λ rel.,120kev bzw. λ klass. / λ klass.,120kev auf. Damit lässt sich dann trotz Unkenntnis über L abschätzen, ab wann eine relativistische Behandlung der Elektronen sinnvoll ist. Die Abbildungen bis zeigen die Debye-Scherrer-Diagramme von Aluminium bei den Beschleunigungsspannungen 100kV, 80kV, 60kV und 40kV. Ebenfalls in Betrachtung gezogen wird die 120kV-Messung aus Abschnitt 4.1. Abbildung zeigt die Regressionsgeraden, deren jeweilige Steigung wieder λl a Al entspricht. In Abbildung sind die Wellenlängen für verschiedene Beschleunigungsspannungen aufgetragen, wobei die Werte wie eingangs beschrieben auf die Wellenlänge bei 120kV normiert wurden. Wie zu erwarten war, nähert sich die Kurve der gemessenen Werte bei höheren Spannungen, also höheren Geschwindigkeiten, immer näher an die relativistische Kurve an. Leider schwanken die Werte etwas, sodass wir nicht zuverlässig angeben können, ab wann eine klassische Betrachtung noch akzeptabel ist.

21 4.3 Elektronenwellenlänge 21 Abbildung 4.3.1: Debye-Scherrer-Ringe bei 100keV des Aluminiums mit Kennzeichnung der Millerschen Indizes. Abbildung 4.3.2: Debye-Scherrer-Ringe bei 80keV des Aluminiums mit Kennzeichnung der Millerschen Indizes. Abbildung 4.3.3: Debye-Scherrer-Ringe bei 60keV des Aluminiums mit Kennzeichnung der Millerschen Indizes. Abbildung 4.3.4: Debye-Scherrer-Ringe bei 40keV des Aluminiums mit Kennzeichnung der Millerschen Indizes.

22 22 4 AUSWERTUNG R in g ra d iu s R in m 0, , , , , , k e V y k e V (x )= 0, (1 ) x 8 0 k e V y 8 0 k e V (x )= 0, (1 ) x 6 0 k e V y 6 0 k e V (x )= 0, (2 ) x 4 0 k e V y 4 0 k e V (x )= 0, (2 ) x 0, , , ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 (h ^ 2 + k ^ 2 + l^ 2 ) 1 /2 Abbildung 4.3.5: Lineare Regressionen zur Ermittlung der Elektronenwellenlänge bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen anhand der Steigung der Graphen. 1,9 1,8 1,7 M e s s u n g k la s s is c h e B e re c h n u n g re la tiv is tis c h e B e re c h n u n g 1,6 1,5 λ/λ k V 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0, B e s c h le u n ig u n g s s p a n n u n g in k V Abbildung 4.3.6: Wellenlängen aus Messung, klassischer und relativistischer Berechnung. Die Werte sind mit der Wellenlänge bei 120kV normiert.

23 4.4 Korngröße des Aluminiumpräparats Korngröße des Aluminiumpräparats Es wurden von der Aluminiumprobe sowohl eine Hellfeld- als auch eine Dunkelfeldabbildung aufgenommen, die in Abbildung dargestellt sind. Dabei wurde eine fache Vergrößerung des Mikroskops eingestellt. Durch Ausmessen der hervortretenden Bereiche in den Aufnahmen kann auf die durchschnittliche Korngröße der Probe geschlossen werden. Als Mittelwert erhalten wir dafür einen Wert von 50nm ± 4nm. (a) Hellfeld (b) Dunkelfeld Abbildung 4.4.1: Hellfeld- und Dunkelfeldabbildung von Aluminium zur Bestimmung der Korngrößen. Da es sich bei allen Aufnahmen um Negative handelt, sind heller und dunkler Farbeindruck vertauscht. 4.5 Orientierung des Aluminiumpräparats In diesem Auswertungsteil wird die Orientierung der Aluminiumprobe anhand des Beugungsbildes bestimmt. Insgesamt wurden hierfür drei verschiedene (willkürliche) Probeneinstellungen vorgenommen und fotografiert. Diese werden im Folgenden nacheinander behandelt. 1. Es werden zunächst im Beugungsbild zwei Basisvektoren gewählt (siehe Abbildung 4.5.1) und deren Längen gemessen. Wir ermitteln hierfür R 1 = 1.625cm und R 2 = 1.15cm. Den Quotient R 1 R 2 = schlagen wir in der Tabelle aus Abbildung 2.8 nach. Für die in Frage kommenden Miller-Indizes überprüfen wir mittels (2.7), ob der hiermit berechnete Winkel dem gemessenen Winkel α = 45 entspricht. Dies ist für die Netzebenen (220) und (200) der Fall. Für die Summe der Basisvektoren R 3 = R 1 + R 2 messen wir R 3 = 2.575cm, woraus sich der Quotient R 3 R = ergibt. 1 In der Tabelle finden wir diesen Wert bei der Ebene (420) (zusammen mit (220)).

24 24 4 AUSWERTUNG Der gemessene Winkel von α = 19 passt gut zum berechneten Wert von Nun suchen wir den Vektor, der senkrecht auf den Basisvektoren steht und aus der Zeichenebene herauszeigt (also der Einfallrichtung der Elektronen entgegengesetzt). Hier für erhalten wir [001], es liegt also eine [001]-Orientierung vor. 2. Im zweiten Fall (Abbildung 4.5.2) ergeben sich die Längen der gewählten Basisvektoren zu R 1 = 1.625cm und R 2 = 1cm. Der Quotient R 1 R = führt zum Netzebenenpaar (220) und (111). Der hierfür berechnete Winkel α = stimmt sehr 2 gut mit dem gemessenen Wert von 35.3 überein. Wir erhalten weiter R 3 = 2.5cm und den Quotient R 3 R = Hierfür finden wir die Ebene (331) mit dem Winkel 1 13 (berechnet: ). Es liegt eine [ 110]-Orientierung vor. 3. Aus der dritten Aufnahme (Abbildung 4.5.3) ermitteln wir die Längen der Basisvektoren zu R 1 = 2.5cm und R 2 = 1.9cm. Aus dem Quotient R 1 R = schließen 2 wir auf die Ebenen (3 11) und (331), bestätigt dadurch, dass der berechnete Winkel α = 62 im Vergleich zum gemessenen Wert von 61.0 in unserem abgeschätzten Fehlerbereich von ±1 liegt. Wir erhalten weiter R 3 = 3.8cm und den Quotient R 3 R 1 = Hierfür finden wir die Ebene (622) mit dem Winkel 26.6 (berechnet: ). Es liegt eine [ 103]-Orientierung vor. Abbildung 4.5.1: Zufällig ausgerichtete Aluminiumprobe (Ausrichtung 1) mit Indizierung.

25 4.5 Orientierung des Aluminiumpräparats 25 Abbildung 4.5.2: Zufällig ausgerichtete Aluminiumprobe (Ausrichtung 2) mit Indizierung. Abbildung 4.5.3: Zufällig ausgerichtete Aluminiumprobe (Ausrichtung 3) mit Indizierung.

26 26 LITERATUR 5 Diskussion Mit den Ergebnissen der Auswertung sind wir leider nicht voll und ganz zufrieden. Beispielsweise weist die bestimmte Gitterkonstante von Aluminium eine Abweichung von 16% auf. Dies überrascht, da wir von der Genauigkeit bei der Ausmessung der Beugungsringe per Computer recht überzeugt waren. Die Bestimmung der Elektronenwellenlänge und die geforderte anschließende Diskussion über das zu verwendende Modell (klassisch oder relativistisch) war leider nicht so aufschlussreich, wie erhofft. Hier schwanken die Messwerte zwischen klassischer und relativistischer Kurve, sodass keine eindeutige Tendenz ins Auge fällt. Wenigstens zeigte die Auftragung der theoretischen Werte die natürlich von Anfang an erwartete Abweichung zwischen klassischer und theoretischer Berechnung. Die im Skript empfohlene Auftragung der normierten Größen kann aber auch irritieren, da die Kurven für hohe Spannungen zusammenlaufen, dies jedoch selbstverständlich nicht bedeutet, dass beide Modelle für hohe Spannungen ineinander übergehen (das Umgekehrte ist der Fall). Die Bestimmung der Korngrößen verlief problemlos, ist schließlich auch nicht sonderlich anspruchsvoll. Die Indizierung der Beugungsreflexe erfordert etwas Geduld, hier hilft es, eine Excel-Tabelle zu erstellen, in die die verschiedenen Miller-Indizes eingegeben werden können und die dann die zugehörigen Winkel ausgibt. Literatur [1] Ch. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik, 14. Auflage, Oldenbourg Verlag, München (2006) [2] H. Bethge, J. Heydenreich: Elektronenmikroskopie in der Festkörperphysik, Springer- Verlag, Berlin Heidelberg New York (1982) [3] Otto Brümmer: Handbuch Festkörperanalyse mit Elektronen, Ionen und Röntgenstrahlung, Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig (1980) [4] Manfred von Heimendahl: Einführung in die Elektronenmikroskopie, Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig (1970)