Variationen Permutationen Kombinationen Mit diesen Rechenregeln lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermitteln, und erleichtert die mühsame Zählarbeit von Anzahl der Günstigen bzw. Möglichen.. Variationsregel (Anzahl der Variationen) Wenn jedes von k sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen bei jedem Versuch auftreten kann, ergeben sich bei n Versuchen k n verschiedene Ereignisabfolgen. Beispiel : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel bei 5 Würfen 5 Mal die Sechs zu würfeln? Gedankengang: Die einzelnen Ereignisse (, 2, 3, 4, 5 und 6) sind einander ausschließend und gleich wahrscheinlich. Ergebnis: Anwenden der. Variationsregel: Es gibt k n = 6 5 = 7776 mögliche Variationen. Das eine günstige Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 00029 7776 = auf. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,029%. Anmerkung: Analog erhält man das Ergebnis durch folgenden Rechengang: 5 = 0, 00029 6 (Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse) Beispiel 2: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Fragebogen mit dichotomen (zweikategoriellem) Antwortformat und 0 Fragen die Antwortfolge zu erhalten? Ja Ja Ja Nein Ja Nein Nein Ja Nein Ja Gedankengang: Die zwei möglichen Ergeinisse Ja Nein sind einander ausschließend und treten (theoretisch) mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Ergebnis: Anwenden der. Variationsregel: Es gibt k n = 2 0 = 024 mögliche Variationen. Das eine günstige Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 000977 024 = auf. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,0977%.
Anmerkung: Analoger Rechenvorgang: 2 0 = 0, 000977 Anmerkung: Natürlich treten auch alle anderen 2 0 = 024 möglichen Antwortmuster mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. 2. Variationsregel (Anzahl der Variationen) Werden n voneinander unabhängige (ev. verschiedene) Zufallsexperimente durchgeführt und besteht das. Zufallsexperiment aus k möglichen (Elementar)-Ereignissen und das 2. Zufallsexperiment aus k 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen... n. Zufallsexperiment aus k n möglichen (Elementar)-Ereignissen dann sind k... k2 kn die möglichen verschiedenen Ereignisvariationen. Beispiel : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einer Münze Zahl mit einem Würfel Zwei und aus 32 Karten die Herz As zu ziehen? Gedankengang: 3 voneinander unabhängige Zufallsexperimente. Zufallsexperiment (Münze) besteht aus k = 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen 2. Zufallsexperiment (Würfel) besteht aus k 2 = 6 möglichen (Elementar)-Ereignissen 3. Zufallsexperiment (Karten) besteht aus k 2 = 32 möglichen (Elementar)-Ereignissen Aus k k2 k3 = 2 6 32 = 384 resultieren die möglichen verschiedenen Ereignisabläufe. Ergebnis: Das eine günstige Ereignis ( Zahl und Zwei und Herz As ) kann unter 384 möglichen Ereignissen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also = 0, 0026 bzw. 0,26% 384 Anmerkung: Analog erhält man das Ergebnis durch folgenden Rechengang: = 0, 0026 2 6 32 (Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse) Beispiel 2: Eine Maus läuft durch ein Labyrinth mit insgesamt 4 Weggabelungen. Es gibt nur einen richtigen Weg bis ans Ziel. Bei der ersten Weggabelung gibt es 2 bei der zweiten 4 bei der dritten 2 und bei der vierten 3 mögliche Wege. Gedankengang:. Zufallsexperiment (. Weggabelung) besteht aus k = 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen 2. Zufallsexperiment (2. Weggabelung) besteht aus k 2 = 4 möglichen (Elementar)-Ereignissen 3. Zufallsexperiment (3. Weggabelung) besteht aus k 2 = 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen 4. Zufallsexperiment (4. Weggabelung) besteht aus k 2 = 3 möglichen (Elementar)-Ereignissen
Aus k k 2 k3 k4 = 2423 = 48resultieren die möglichen verschiedenen Ereignisabläufe. Ergebnis: Das eine günstige Ereignis (richtiger Weg bei allen 4 Weggabelungen bis ans Ziel) kann unter 2 4 2 3 = 48 möglichen Ereignissen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also = 0, 0208 bzw. 2,08%. 48 Anmerkung: das gleiche Ergebnis erhält man mittels Entscheidungsbaum bzw. Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse. Da unabhängige Ereignisse folgt: = = 0, 0208 2 4 2 3 48. Permutationsregel (Anzahl der Reihenfolgen) ohne Wiederholung / Zurücklegen n verschiedene Objekte können in n! = n( n )( n 2)...2 ( n Fakultät ) verschiedenen Reihenfolgen angeordnet werden. Beispiel : Aus einer Urne sollen 5 Kugeln hintereinander entnommen werden. Die Kugeln haben Nummern von bis 5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass die Kugeln exakt nach der Reihenfolge ihres Zahlenwertes gezogen werden, beginnend mit der Eins? Gedankengang: Ziehen ohne Zurücklegen bei 5 einander ausschließenden Zufallsexperimenten:. Zufallsexperiment (. Ziehung) aus 5 möglichen Kugeln 2. Zufallsexperiment (2. Ziehung) aus 4 möglichen Kugeln 3. Zufallsexperiment (3. Ziehung) aus 3 möglichen Kugeln 4. Zufallsexperiment (4. Ziehung) aus 2 möglichen Kugeln 5. Zufallsexperiment (5. Ziehung) aus möglichen Kugel
Die Anzahl der Möglichkeiten bei 5 Kugeln ist demnach 5 4 3 2 = nn ( )( n 2) 2 = n! = 20 Ergebnis: Das eine günstige Ereignis (Ziehung der einen richtigen Reihenfolge) kann unter 20 möglichen Reihenfolgen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also 0, 00833 20 = bzw. 0,833%. 2. Permutationsregel mit Wiederholung / Zurücklegen bzw.. Kombinationsregel (Anzahl der Kombinationen) Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig aus und lässt man hierbei die n n! Reihenfolge außer acht, ergeben sich für k Objekte k = mögliche k!( n k)! Kombinationen / Reihenfolgen. Beispiel : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einen Lotto-Sechser zu erzielen? Gedankengang: k = 6 richtige Zahlen aus n = 45 möglichen Zahlen, wobei die Reihenfolge nicht relevant ist. 45 45! Ergebnis: = = 845060 sind die möglichen Kombinationen von 6 aus 45 6 6!(45 6)! Zahlen mit beliebiger Reihenfolge. Das eine günstige Ereignis (Ziehung der 6 richtigen Zahlen) kann unter 845060 möglichen Kombinationen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also 0, 00000023 845060 = bzw. 0,000023%. Beispiel 2: Wie viele verschiedene Mannschaften zu je 5 SpielerInnen lassen sich aus n = 23 SchülerInnen aufstellen? Gedankengang: k = 5 SpielerInnen aus n = 23 möglichen Personen, wobei die Reihenfolge nicht relevant ist. 23 23! Ergebnis: = = 33649 sind die möglichen Kombinationen von 5 aus 23 5 5!(23 5)! Personen mit beliebiger Reihenfolge.
Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zuteilung ist also 0, 0000297 33649 = bzw. 0,00297%. 2. Kombinationsregel Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig - mit einer bestimmten n! Reihenfolge - aus, ergeben sich für k Objekte mögliche Kombinationen der ( n k)! Objekte k. Im Gegensatz zur ersten Kombinationsregel wird hier die Reihenfolge berücksichtigt! Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit aus 32 Karten der Reihe nach Herz As Herz König Herz Dame und Herz Bube zu ziehen? Gedankengang: Die Reihenfolge spielt eine Rolle und aus n = 32 möglichen Karten werden k = 4 günstige gezogen. Ergebnis: 32! (32 4)! = 863040 mögliche Kombinationen stehen zur Verfügung. Das eine günstige Ereignis (Ziehung der 4 Karten in richtiger Reihenfolge) kann unter 863040 möglichen Kombinationen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also 0, 000006 863040 = bzw. 0,0006%. 3. Kombinationsregel Sollen n Objekte in k Gruppen der größe n, n 2,...n k, eingeteilt werden n! (wobei n + n 2 +... + n k = n), ergeben sich mögliche Kombinationen. n! n!... n! 2 k Beispiel: Ein Hotel hat für 0 Personen zwei 3-Bett-Zimmer und ein 4-Bett-Zimmer. Wie viele verschiedene Raumzuweisungen sind bei den 0 Personen möglich? Gedankengang: 0 Personen sollen in Zimmer mit n = 3, Zimmer 2 mit n = 3 und Zimmer 3 mit n = 4 Betten eingeteilt werden.
0! Ergebnis: Die möglichen Kombinationen ergeben sich durch 3! 3! 4! = 4200 Es sind 4200 verschiedene Raumzuweisungen möglich, wobei die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Raumzuweisung = 0, 000238 bzw. 0,0238% beträgt. 4200