Beispiele zum Tutorium Numerisches Rechnen und Lineare Algebra WS 6/7 Zur positiven Beurteilung der LV ist es notwendig, dass aus jedem der 9 Abschnitte (Lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Vektorräume, Lineare Abbildungen, Unitäre Räume, Eigenwerte und Eigenvektoren, Numerische Behandlung von Gleichungssystemen, Numerische Bestimmung von Eigenwerten, Interpolation und Polynomapproximation) mindestens % der folgenden Beispiele korrekt gelöst dem Leiter der LV bis zum.. 7 vorgelegt werden. Die gerechneten Beispiele sind mit einem Deckblatt, das folgende Angaben enthält, abzugeben: Name, Vorname Matrikelnummer Nummern der gerechneten Beispiele Arbeiten mit unvollständigem Deckblatt werden nicht beurteilt!
Lineare Gleichungssysteme. Man löse die folgenden linearen Gleichungssysteme x + x x = 9 x y + z = a) x x + x = b) x + y + z = 5 4x x + x = 4 x + y + 7z = c) e) g) x x x = x + x + x = x + 4x + 6x = r + s = 4r + s = 7 r + 5s = f) w + x + y + z = w x y + z = x + y = w + x + z = d) w + x y + 4z = w x + z = w 4x + y z = x + x x + 4x 4 = x 6x + x x 4 = x x + 4x 8x 4 = h) a + b + c + d = 4 a + b + c + 4d = a + b + 6c + d = a + 4b + c + d = 5. Gegeben ist das Gleichungssystem A x = b mit A =, b = a (a) Man untersuche, für welches a R das Gleichungssystem lösbar bzw. eindeutig lösbar ist. (b) Im Fall der Lösbarkeit bestimme man die Lösung in Abhängigkeit von a.. Im folgenden bestimme man A und berechne damit die Lösung der drei Systeme Ax = b, Ax = b und Ax = b ( ) ( ) ( ) ( ) A =, b 6 =, b 5 =, b = 4. Für welche a R ist die Matrix A = regulär? Man berechne in diesem Fall A. a a a
Determinanten 5. Man berechne die folgenden Determinanten a) 7 4 5 b) 5 4 5 5 4 c) 5 8 5 4 7 5 8 6. Von folgenden Matrizen berechne man die Determinate a) 4 b) 4 c) 5 5 5 5 d) 4 e) 5 4 6 4 7. Man bestimme die Determinante folgender Matrizen (a, b, c R ): a b + c a) a b c b) b c + a a b c c a + b Vektorräume 8. Man untersuche, ob die angegebenen Vektoren linear unabhängig sind. 4 a),, b),,, 4 c),,,
9. Bilden die folgenden Vektoren eine Basis des R bzw. des R 4? a),, b), 5, c). Man untersuche, für welche α R die Vektoren p (t) = + t t, p (t) = + 4t + t, p (t) = + t + α t P eine Basis des P bilden.. Zu den folgenden zwei Vektoren des R gebe man einen dritten Vektor an, so dass diese drei Vektoren eine Basis des R bilden. a), b), c), 4 Lineare Abbildungen. Sei F : M( ) M( ) eine lineare Abbildung mit ( ) ( ) a b b F = c d b Man führe für die nachstehend angegebenen Matrizen folgendes Programm durch: (i) Welche der folgenden Matrizen ist ein Element von Kern(F ). (ii) Welche der folgenden Matrizen ist ein Element von Bild(F ). (iii) Man beschreibe Kern(F ) und Bild(F ) jeweils durch die Angabe einer Basis. a) ( ) b) ( ) 4 ( ) c) d) ( ) 4. Bezeichne S( ) die Menge der symmetrischen Matrizen und sei ( ) a b F : S( ) R, F = b b c eine lineare Abbildung. 4
(i) Welche Zahl liegt in Bild(F )? a) b) c) / (ii) Welche ( der folgenden ) ( Matrizen ) ( liegt in ) Kern(F )? 4 a) b) c) 4 5 (iii) Man beschreibe Kern(F ) und Bild(F ) jeweils durch die Angabe einer Basis. 4. Sei F : P R eine lineare Abbildung definiert durch ( ) a c F (a + bt + ct ) = a + b + c (i) Welches der folgenden Polynome liegt in Kern(F )? a) + t b) t + t c) t + t (ii) Welcher der folgenden Vektoren liegt in Bild(F )? ( ) ( ) ( ) a) b) c) (iii) Man berschreibe Kern(F ) und Bild(F ) jeweils durch die Angabe einer Basis. 5. Sei F : P P die lineare Abbildung definiert durch F (p(t)) = t p (t) p(t). (i) Welches der folgenden Polynome liegt in Kern(F )? a) + t, b) c) + t, d) + t + t (ii) Welches der Polynome aus Teil (i) liegt in Bild(F )? (iii) Man bestimme die darstellende Matrix M K K (F ), wobei K = {, t, t } die kanonische Basis des P ist. (iv) Man beschreibe Kern(F ) und Bild(F ) jeweils durch die Angabe einer Basis. 6. Gegeben ist die lineare Abbildung F : R R a a a + a a F a := a + a + a a a a + a a (a) Man ermittle M K K (F ), wobei K = {e, e, e } die kanonische Basis des R ist. (b) Man entscheide, ob F injektiv bzw. surjektiv ist. (c) Man bestimme Kern(F ) durch die Angabe einer Basis. 5
(d) Man untersuche, ob der Vektor w = im Bild von F liegt. ( ) ( ) x 7. Die Matrix A = ordnet jedem Vektor x = einen weiteren Vektor x ( ) x x = x gemäß x = A x zu. Auf welche Vektoren werden ( ) ( ) die Basisvektoren b =, b = abgebildet? Worauf wird die Gerade x = kx + d abgebildet? Hinweis: Man( berechne) das Bild eines beliebigen Vektors x, der auf der Geraden x liegt, z.b. x =, x kx + d R. 8. Welche geometrische Bedeutung haben die Koordinatentransformationen y = A x mit ( ) ( ) / / (a) A =, (b) / /? / / / / Hinweis: Man ermittle zunächst die Bilder der kanonischen Basisvektoren und dann das Bild eines beliebigen Vektors. 9. A, B und C stellen die kanonischen Basen des R bzw. des R dar. Man verifiziere die Relation MC A(G F ) = M C B(G) M B A (F ) für die folgenden Abbildungen. ( ) ( ) x x a) F (x) = x, G(x) = x + x x ( ) x x x b) F (x) =, G(x) = x x + x x x. Man stelle die Vektoren der Basis A = {(,, ), (,, ), (,, )} bezüglich der Basis B = {(,, ), (,, ), (,, )} dar (d.h. als Linearkombination der genannten Basisvektoren) und bestimme die Transformationsmatrix der Koordinatentransformation B A. 5 Unitäre Räume. Für v = ( x x ), w = ( y y ) R seien die Skalarprodukte (S) v, w = x y + x y 6
und vorgelegt. a) Für v = (S) v, w = 4x y x y x y + 7x y ( ) und w = ( ) berechne man 4 v, w, v, d(v, w) unter Verwendung der beiden Skalarprodukte. b) Man bestimme in beiden Fällen einen Vektor u R, u, so daß u orthogonal zu v ist.. Im P sei das Skalarprodukt für p(t) = a + a t + a t und q(t) = b + b t + b t wie folgt definiert p(t), q(t) = a b + a b + a b a) Für p(t) = t + t, q(t) = t berechne man p(t), q(t), p(t), d(p(t), q(t)) b) Man bestimme einen Vektor (= Polynom), der orthogonal zu p(t) ist.. Im C [, π] sei das Skalarprodukt f, g = π f(t) g(t) dt definiert. Für f(t) = sin t, g(t) = sin t + cos t berechne man f, g, bestimme einen Vektor h C [, π], h, der othogonal zu f ist. f, d(f, g) und 4. Mit Hilfe des Orthonormierungsverfahrens von Gram-Schmidt bestimme man eine orthonormale Basis für den von den angeführten Vektoren aufgespannten Vektorraum. a) a = c) a = ( ) ( ), a = b) a =, a =, a = 4, a =, a = 5 7
6 Eigenwerte und Eigenvektoren 5. Man berechne die Eigenwerte, die Eigenvektoren, eine Basis jedes Eigenraumes und die algebraische und die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts. 4 a) A = b) A = c) A = 6. Man untersuche, ob die folgenden Matrizen othogonal sind und berechne gegebenenfalls die Inverse / / 6 / 5 a) b) 5 / / 6 / / / / 4 5 / 6 / c) / / / / / / 7. Man diagonalisiere die folgenden symmetrischen Matrizen durch eine orthogonale Matrix Q, d.h. man bestimme Q so, dass gilt Q AQ = D, wobei D eine Diagonalmatrix bezeichnet. 5 a) A = b) A = 4 c) A = 4 7 Numerische Behandlung von Gleichungssystemen 8. Man ermittle die Cholesky Zerlegung der folgenden Matrizen 4 4 a) 6 b) 6 4 9. Ein Beispiel aus den Aufgaben 94a), 94b) oder 94c) der Übungsbeispiele, das nicht als Hausübung gerechnet wurde.. Ein Beispiel aus den Aufgaben 95a), 95b) oder 95c) der Übungsbeispiele, das nicht als Hausübung gerechnet wurde.. Ein Beispiel aus den Aufgaben 98a), 98b) oder 98c) der Übungsbeispiele, das nicht als Hausübung gerechnet wurde. 8
8 Numerische Bestimmung von Eigenwerten. Ein Beispiel aus den Aufgaben a), b) oder c) der Übungsbeispiele, das nicht als Hausübung gerechnet wurde.. Ein Beispiel aus den Aufgaben 6a), 6b), 6c) oder 6d) der Übungsbeispiele, das nicht als Hausübung gerechnet wurde. 9 Interpolation und Polynomapproximation 4. Man ermittle die Koeffizienten des Lagrange schen Interpolationspolynoms P (x) = a + a x + a x für die folgenden Punkte x 4 5 y 4 5. Man berechne die Koeffizienten a k des Lagrange-Interpolationspolynoms P (x) = n k= a k x k für die Punkte x i y i Man überlege zunächst, wie groß n N gewählt werden muß. 6. Man ermittle die kubische Spline Interpolierende S(x) für die folgenden Punkte 7. Man untersuche, ob die Funktion ( x 5 + 4 ) 5 x x y 4 für x S(x) = + (x ) + 5 5 (x ) (x ) für x 4 + 8 8 (x ) 5 5 (x ) + 6 5 (x ) für x eine kubische Spline Interpolierende ist. 9