Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Aufgabe 3 (5 Punkte) Seite 9 a) (3 Punkte) Berechnen Sie die inverse Laplacetransformierte u(t) der Funktion U(8) = 8+ 8 2 (8 2 + 28 + ). u(s) := L -.,. 5+.5.s~ ~-t: - -t t
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 b) (4 Punkte) Ein PT Tt-System wird durch die ifferenzialgleichung Seite 2 beschrieben. Geben Sie das Ein-/Ausgangsverhalten des Systems in Form einer Übertragungsfunktion an. Bestimmen Sie, abhängig von den Parametern K, Tl, T, T und T t, die Eckfrequenzen unter Berücksichtigung der Bedingungen T < 4T und T > JTTr' TT Skizzieren Sie qualitativ das sich ergebene Bodediagramm und kennzeichnen Sie die Steigungen sowie die Eckfrequenzen des approximierten Verlaufes. 6(6) == k (is -rto T: sz.. ) ~S(f+T,~) - 7!:./7i:" - 4Tc Tl. ' 2 'r ; >, Ti < '-t Ti) =) T;t -l.f~ rl:, <. ~ S(),O~ ker?j..(j'e:-kerrfjleke )lultl5j.et::. (CmJ{J ~ek C8Y?iu~Q &c 2erOS) Wk freq U f! t; (wt-o{l fte9(jenc~) -, -r;
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 2 J _
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 22 c) (2 Punkte) Ein (Tbertragungselement mit PT-Verhalten werde mit einem Übertragungselement mit P Verhalten als Regler in Mitkopplung (positive Rückführung) geschaltet. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises Go (s). Gi ~,k ("..L) P; 7i-s G PT: :. ~ Go = k, kl. J~ + 7s lttjs (7T '$)( + t;),... 7j~ d) (3 Punkte) Ein Regelungssystem mit Gegenkopplung (negative Rückführung) soll untersucht werden. Es besteht aus einem stabilen PT 2 -System mit einem konjugiert-konplexen Polpaar sowie einem Regler mit PT-Verhalten. Begründen Sie an Hand der qualitativ gezeichneten Wurzelortskurve des Systems, dass das System für große Reglerverstärkungen instabil wird.,~ G _ k. ('Ti $ t ).PT:. T;:s (;S t,) ~ - _.L 2 R>le(pole&): S =) --2."'"., )Julls/(J,~ r. (WO).,;)- ~ PT;-SUSvn : POlpQOi ft,f~ (pair of poles) ~ ) kot:; ;.s;- ~ff RG(Jetkff.ß jf)$tab/l (WOk vejlqlaf-c,n rief ~M s-h-etlbelo-ulej
~/-?_-::-_~? ---_--------" Root Locus Root Loc:us 2.------...,.--------.----~---.,...------...,.--------,.---...---...--...---r-~-----,.---...---"'T"""':<.---, 5 ~ : i 's, j 5 5 2...---...------'-------'----...---...------ -25 2-5 - 5 Real Axis -2-4 -6-8 _L...--...L...--...-----'------'------L--L...--...L...--...-:a... 4 2 - -8 8-4 -2 Real Axis RootLoc:us 3......--..-----r--...--...,...--...-----.---,_---, 2 Root Locus 2.------...,. ----.----~---.,... --_r_--..., 5 Root Loc:us 5.-------r-----.-----.---...,...----r--.-------r-----.-----, - -2 _3...-...J...-----l--...-----L--...L...-----L..--...----- -7-6 -5-4 3 2 - Real Axis -5 - -5 _2L...---...------'-------'----...--_...- --- -25-2 5 - -5 Real Axis -5 5...-_...--_-'-_---'-_---.._----....-_...--_...-_--- -4-2 -8 6-4 2 RealAxis RootLoc:us 4 -~-...,. --..--._- r----,... -,..._-_r_--, 3 Root Locus 2... ---,----,...-- r---.------...,. --..., Root Loc:us 5.--------.,---- r----._----..., 5-3 5 -... ~... -5-4...-_-'-_---'-_----'-_----' L...-_...-_...-_...J -8-7 -6-5 -4 3 2 - RealAxis -5-3... Root Loc:us...----r------r--._-~--... -...----.---...,.2 L...-...- ---'- ----'- L..-...-...J 25 ~2-5 5 _5...-------l-------L----...L..------- -5-5 RealAxls 2 Root Locus Root Loc:us.-----...----.-----.--...,...--.,--.,...-----...---..--... 5r----.-----..--~---,_--..,..,----, -2 2-7 -6 5-4 -3-2 RealAxls 4-5 6 - -8 _...--...--...-----l...----l----l-_.l...-_...-_...l..._...3l 6-4 -2-8 6-4 -2 RealAxis -5 L...-...- ---l... ----'-.l...-...l..j""--_--j -2-5 - Root Locus Root Loc:us 5r---.------,.----.,----r--.-~-.-...,...---.----, ---------....(3------...: -2 5-4 -6 r-- ~---. -8 '--_--'-_---J'--_...-_----....-_----L...-...----l 4-2 - -8-6 4-2 RealAxis ----------------------------------------------------------------- - -5...----J...----l---J---l_----._----._----'-_---L_---.._-L_--J -6 4-2 - -8-6 -4 2 RüTJl.xis
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 23 e) (3 Punkte) Ein Regelungssystem in Gegenkopplung (negative Rückführung) bestehend aus einem stabilen PT 2 -System mit einem konjugiert-komplexen Polpaar sowie einem Regler mit T-Verhalten soll untersucht werden. Begründen Sie an Hand der qualitativ gezeichneten Wurzelortskurve des Systems welches Stabilitätsverhalten (instabil, grenzstabil, asymptotisch stabil) das geregelte System für sehr große Reglerverstärkungen aufweist. m, ~ ~ pr;. -S~o~ : PoLpaQ, (po. jr- of po/es ) G = k)s T., J;s-tl Pole (poles): }luu6~/m (~): pr. {J, (f)en~ k -) ~ wtäml-t N OK OYV m -,4-~ ~b arenu-sl;;qb/l
Lehrstuhl Steuerung, Regelung und Systemdynanik Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 24 Aufgabe 4 (2 Punkte) Für einen Elektromotor soll eine Regelung für die Position <p des Rotors entworfen werden. ie Winkelgeschwindigkeit w(t) == <'p(t) des Rotors kann in Abhängigkeit der anliegenden Klemmenspannung u(t) näherungsweise durch T2 w(t) dt dt+t w(t) dt+w(t) = ku(t) dt+ k2 u(t) dt dt angegeben werden. ie Positionsregelung soll mit Hilfe eines Reglers mit dem Übertragungsverhalten ~ u(t) dt = kr <p(t) realisiert werden. er Regler wird in Gegenkopplung (egative Rückführung) zum Elektromotor verschaltet. a) (6 Punkte) Klassifizieren Sie das Übertragungsverhalten Gs(s) = ~i:? und GR(s) = ~i:~ von Strecke und Regler. Geben Sie die Übertragungsfunktion Go (s) des offenen Regelkreises an und klassifizieren Sie das resultierende Übertragungsverhalten..., PT~ ;. r..t -t V; y t 7f = Kot U "t' k":l. Ju. -=t> i lk :=. k{< <p =t;) -- G (S);:; <P~) - fk 2 t k, S ---... t«(s) 4 7i " ~s + s ~~) G~ (5): <PCs) ------ = kk 7 s Go(S) - (k 7 $ f <2.) Ti- k~ 5~ t Ti s -t 7,
Regelungstechnik - 86 2. Februar' 2 Seite 25 b) (2 Punkte) Geben Sie die Übertragungsfunktion G(s) für das Gesamtsystem (Elektromotor mit Positionsregelung in Gegenkopplung (negative Rückführung)) an und klassifizieren Sie das Übertragungsverhaten. ;. k~ (k f S + (~ 2 _ G(5).:: s2. t (; rl< r., k~) s + (Tz l' kz 7 k~) =l> PT L
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 26 c) (6 Punkte) rei Systeme werden jeweils mit einem P-Regler in Gegenkopplung (negative Rückführung) geschaltet. Für die Übertragungsfunktionen der offenen Regelkreise wurden folgende Pole und Nullstellen bestimmt: System : Nullstellen: 8 = -3 + i; 82 = -3 - i; 83 = 2 Polstellen: 8 = - + i; 82=--i; 83 =, System 2: Nullstellen: 8 = -2 + 2i; 82 = -2-2i Polstellen: 8 = + i; 82 = - i; 83 = -,; 84 =- System 3: Nullstellen: 8 = -2; 82 = - Polstellen: 8 = 2 + i; 82 = 2 - i Begründen Sie an Hand von qualitativ gezeichneten Wurzelortskurven, welches dieser Systeme im Hinblick auf Stabilität und ämpfungsmaximierung zu bevorzugen ist und stellen Sie für das entsprechende System die Übertragungsfunktion G(8) auf.. t 5ysJtm kann stp,bjt 9&t' l,.)ecj.ut., (S/,s!-tm G(s) = lan be. stab/l"~, ) s2 t 3.s t2. s2 -Lt~ S
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 d) (6 Punkte) Eine Regelstrecke GS(8) mit dem dynamischen Übertragungsverhalten Seite 27 G (8) - 4+ S - 82 + 38 + 2 soll mit einem Regler mit der gegebenen Übertragungsfunktion 4 GR(8) =- 28 + durch negative Rückführung geregelt werden. Bestimmen Sie für das resultierende offene System die Übertragungsfunktion und geben Sie die zugehörigen Null- und Polstellen sowie qualitativ das Bodediagramm und die dazugehörige Ortskurve an. Bestimmen Sie im Bodediagramm grafisch den Phasen- und Amplitudenrand für das gegebene System. G(S) :;: l.t + lbs 2s~.,. t-s 3 + 7~t 2 S - -.J...5 = S == - LoS'" - ~=-2. 5 -,,) ) ~ Z. J:3 8nde diaqffjff,'tm) : s
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Aufgabe 5 (25 Punkte) Ein Hydraulikmotor wird mit einer Verstärkereinheit in Reihe geschaltet (siehe Abb. 5.). Seite 29 u, ~_e_rs_t_är_k_er --Y-l---l~~ Hydraulikmotor r----y-2---~.. Abbildung 5.: System as Verhalten des Hydraulikmotors kann näherungsweise durch G (8) - H - 282 + 48 + 2 beschrieben werden. as Übertragungsverhalten des Verstärkers kann durch s beschrieben werden. Gv(s) = + 28 8 2 + 28 + a) (9 Punkte) Geben Sie für das resultierende Gesamtsystem die Zustandsraumdarstelll.Jng sowie die Eigenwerte und mindestens zwei Eigenvektoren an., X.. N -, i lf } ~(~ :;::; - -~ -(, -4 ~ ~.. %.' X, ~tq) t J-, [S" OJ ~ ~=c,hor, pol~. ; l( At~ + '" ~3t b'a/ T lfl.,.,) == ~=O t ':.,.,.. - - ~ :;~ - ;(,s ~ \
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 ~:=O o :::>.-=:: 4 = o t r ~ b ~ Seite 3 ~ :. -( 2. - - - - - - - \)2. :: ;-;) 'l.= -7 -: - ' b 3 ~ z.
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 3 Für die folgenden Betrachtungen wird eine vereinfachte Beschreibung der gegebenen Regelstrecke + _ G( ) TS 8 == 8 3 + 48 2 + T 8 + 2 angenommen. Zur Regelung der Regelstrecke soll nun ein Regler in Gegenkopplung (negative Rückführung) mit dem Übertragungsverhalten GR(8) == K R(8 + 2) verwendet werden. b) (4 Punkte) Geben Sie für KR ==,2 und Tl == 3 die Hurwitz-Matrix für das geschlossene System an. Z S 2 t (4 t ~) S.,. M. Ge. (5):= 7i "Ti: 6'-t 'iss + 562. + (6 r.2 ).5 t.q.'f ~ ::, 6+.2 ~ H= ~ ~ S- i ~ 6-t~ i 5'.2lL Ti:
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 33 d) (8 Punkte) er in b) beschriebene offene Regelkreis soll durch einen zusätzlichen P-Regler mit der Reglerverstärkung KRegler in negativer Rückkopplung geregelt werden. Für die Systemparameter gilt Tl == 5, T ==, und KR ==,. Zeichnen Sie für das resultierende System die Wurzelortskurve und bestimnen Sie i) für welchen Wertebereich für KRegler die Stabilität des geschlossenen Kreises garantiert werden kann und ii) für welchen Wertebereich für KRegler der geschlossene Kreis die maximale Systemdämpfung besitzt. s2t3~ t2 6(6) = - S" t ~ 6 3 t SoS'). t '2 s So, = - SO,:: - l 5, :: s = - Stt :' - -J Z;3 ),-r WOK (txjl;-- Loc.uS) t) t{~je,r > ( K(J)V)tro ier >) ü) "'t: VeJ~3U7'JSPV.Y q = - O.s (breakawaj fjyj'n:) KeB'ff (-O.S) ::. ~ =) KreßJ.er ~ ' O(l.J)Vr/yo[kJ) (~(Jmtro[leJ ) :
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 32 Nehmen Sie für das Übertragungsverhalten des geschlossenen Kreises im Folgenden die vereinfachte allgemeine Übertragungsfunktion an. G s _ los + ( ) - S4 + 4s 3 + 5s 2 + Tl S + c) (4 Punkte) Geben Sie an, für welche Werte für Tl der geschlossene Kreis stabil ist. (Hinweis: 9 < J84 < ) Q~ C, - H-4 a Ql. Cf 4t O qj a, q!f Ql qo ~ > Jf, > Htl > l.o-~ > =) ; < W }-l-3) > : -fii( < ; < tlf'i +') :::pt3 J ~ stab'-l J ~n (st:able ftjr)
Lehrstuhl Steuerug, Regelung und Systemdynamik Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 34 Aufgabe 6 (2 Punkte) Gegeben sei das folgende Blockschaltbild eines Gleichstromantriebes mit den Parametern K == 5, Tl ==,5 sowie K 2 == 2, T 2 ==,2 und T == 2, die im Folgenden zu verwenden sind. F s r----------------------------------l M : K, Tl K 2, T 2 L : W(s) ----+--.--.. ----------------------------------~ Y(s) ---. Abbildung 6.: Blockschaltbild eines Gleichstromantriebes a) (3 Punkte) Geben Sie das Übertragungsverhalten der Regelstrecke Fs(s) an (M L == ) und berechnen Sie die Pol- und Nullstellen. ------ ~S F;= ) ( +, OOSS ) (, 25.s keine CV}f7e) Pole (po/es)" S,.: - 2J7 ) Sl-=- SO J s..!::.
UNVERSTÄT USBURG-ESSEN Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 b) (3 Punkte) Seite 35. o -.' -.2' j m -.3' -.4'...,.. '.. ",.., -.5' ~~,,:., -.6',,'.,.,,'...,',..,',. ".",.,..,...,'... ".,.,..,,.,',...",..., -.7' -.8'... :- < : :... - -.8 -.6 -.4 -.2 o Re Abbildung 6.2: Ortskurve des offenen Systems Als Regler FR für das System in a) wird ein Element mit P-Übertragungsverhalten mit KR == 4 eingesetzt. Bestimmen Sie grafisch (durch Eizeichnen) aus der in Abb. 6.2 gegebenen Ortskurve des offenen Systems die Amplitudenreserve AR, die Phasenreserve epr sowie die Schnittfrequenz Ws. Geben Sie die jeweilig zugehörigen Werte an. ~ c}k '" 3 =J> Ae~ l,s ---- ~ ~' Jt( ~-c SO
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 36 c) (4 Punkte) Zeichnen Sie qualitativ das Bodediagramm des in a) bis b) gegebenen Systems und kennzeichnen Sie hierin die Amplitudenreserve AR und die Phasenreserve <PR sowie die Schnittfrequenz Ws. Geben Sie zusätzlich die Steigungen des Amplitudenganges entsprechend der Abschnitte an. -7J) dßbelt -/fo Q ~... \,
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 37 d) (5 Punkte) ie Strecke Fs aus a) soll nun mit einem Element mit PT Übertragungsverhalten mit T ==,2 sowie T ==, und K in Gegenkopplung (negative Rückführung) geregelt werden. Geben Sie die Übertragungsfunktionen für den Regler sowie für den offen Regelkreis an. Skizzieren Sie Clualitativ die Wurzelortskurve für das Gesamtsystem und zeichnen Sie K krit ein. P.7j : ~=J< +75 $. k!-to.c'2.s ", l+ts t,5 J~
Regelungstechnik - 86 2. Februar 2 Seite 38 e) (5 Punkte) Nehmen Sie für das Übertragungsverhalten des offenen Kreises im Folgenden die vereinfachte allgemeine Übertragungsfunktion Fo(s) = lok ( +,58)( +,8),28 an und bestimmen Sie K krit mit Hilfe der Hurwitz-Matrix. F; f = ~ tu? H", = :3 J2 e2. 'er k' le,s',> 2- le r k :=t> le.- K \ H-~.) > ~:...> \ l-~ :> \ e =tt k' > o <: k ~ 2~