Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 208. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden, Ebenen Geometrie 2 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene. Vektoren, Definitionen und Beispiele Im zwei- oder dreidimensionalen Raum betrachten wir ein beliebiges Punktepaar (A, E), wobei A den Anfangspunkt und E den Endpunkt bezeichnet, und bezeichnen dieses Paar als Pfeil. Eine Menge von parallelen Pfeilen mit gleicher Orientierung und gleicher Länge bezeichnet man als Vektor, Kurzbezeichnung a mit Länge bzw. Betrag a. Zwei Vektoren heißen parallel ( a b), wenn alle zugehörigen Pfeile parallel sind.
Geometrie 3 Vektoroperationen Addition: c = a+ b (Parallelogrammregel) Beispiel: Rechenregeln und wichtige Eigenschaften: a+ b = b+ a ( a+ b)+ c = a+( b+ c) a+ 0 = a a+( a) = 0 Geometrie 4 Multiplikation mit einer Zahl λ R: c = λ a c a, Länge von c ist gleich der Länge von a multipliziert mit dem Faktor λ, a = a Beispiel: Rechenregeln (λ,µ R): λ (µ a) = (λ µ) a (λ+µ) a = λ a+µ a λ ( a+ b) = λ a+λ b Definition: Man nennt drei Vektoren a, b, c linear abhängig, wenn reelle Zahlen α,β,γ mit (α,β,γ) (0,0,0) existieren, so dass α a+β b+γ c = 0.
Geometrie 5 Folgerungen: Geometrie 6.2 Vektorrechnung der Ebene unter Verwendung eines Koordinatensystems Vorgabe eines Nullpunktes O und von zwei linear unabhängigen Vektoren e, e 2 (Basisvektoren) mit Länge. Die zwei Vektoren sollen außerdem senkrecht aufeinander stehen. Abbildung 0 2 3 4 5 y 0 2 3 x
Geometrie 7 Dann kann jeder beliebige Vektor x eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden: x = x e +x 2 e 2 und zu seiner Beschreibung genügen die Koordinaten x,x 2 x = x x 2 Jeder Punkt P(x, y) des (kartesischen) Koordinatensystems ist Endpunkt eines Vektors x, dem Ortsvektor von P mit Bezeichnung: OP Länge (Betrag) des Vektors = Abstand des Punktes P vom Nullpunkt Vektoraddition: x = OP = x 2 +y 2 Geometrie 8 Multiplikation mit einem Skalar: Abstand von zwei Punkten P(x,y ) und S(x 2,y 2 ): PS = OS OP = (x2 x ) 2 +(y 2 y ) 2 Wir betrachten die Menge aller Ortsvektoren gleicher Länge r: x 2 +y 2 = r 2 EinKreis istdiemengeallerpunkte, fürdiederabstandvomnullpunkt konstant = r ist. Beispiel: x 2 +y 2 = 4
Geometrie 9.3 Verschiebung des Koordinatensystems x = x+u y = y +v bzw. x = x u y = y v Beispiel: Kreis x 2 +y 2 = r 2 und Verschiebung des Koordinatensystems (x u) 2 +(y v) 2 = r 2 Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt M(u,v) und Radius r im x,y -Koordinatensystem. Geometrie 0.4 Geraden in der Ebene Parameterdarstellung Sei P ein Punkt auf einer Gerade g mit Ortsvektor r = OP und a ein zu g paralleler Vektor ( a g). Dann lautet eine Parameterdarstellung der Geraden r = r +t a (t R), wobei r = x y den Ortsvektor zu einem Punkt P(x,y) auf der Geraden, a den Richtungsvektor, t den Parameter bezeichnet. r = OP +t P P 2 (t R) ist eine Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte P,P 2.
Geometrie Beispiel Parameterdarstellung durch P (,2), P 2 (2,3): r(t) = x y = 2 +t, t R Eine parameterfreie Darstellung der Geraden durch P (x,y ), P 2 (x 2,y 2 ) lautet: y y = y 2 y x 2 x (x x ) = y = a x+b, wobei a den Anstieg, b den Achsenabschnitt bezeichnet. Geometrie 2 Beispiel für Umwandlung in eine parameterfreie Darstellung: x y = 2 +t, t R
Geometrie 3 2 Vektorrechnung des Raumes unter Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems 2. Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt Vorgabe eines Nullpunktes und von drei linear unabhängigen Vektoren e, e 2, e 3 (Basisvektoren) mit Länge. Die drei Vektoren sollen außerdem senkrecht aufeinander stehen und ein Rechtssystem bilden. Geometrie 4 Abbildung 2 3 2 0 2 3 4 x z 0 y
Geometrie 5 Dann kann jeder beliebige Vektor x eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden x = x e +x 2 e 2 +x 3 e 3 und zu seiner Beschreibung genügen die Koordinaten x,x 2,x 3 R x = Jeder Punkt P(x, y, z) des (kartesischen) Koordinatensystems ist Endpunkt eines Vektors x, dem Ortsvektor von P mit Bezeichnung: OP Länge (Betrag) des Vektors = Abstand des Punktes P vom Nullpunkt Vektoraddition: x x 2 x 3 x = OP = x 2 +y 2 +z 2 Geometrie 6 Skalarprodukt: a b := a b cos ( a, b) a a b b = a 2 b 2 = a b +a 2 b 2 +a 3 b 3 a 3 b 3 Rechenregeln: a b = b a, a a = a 2 a ( b+ c) = a b+ a c a b = a b = 0 Anwendung: Beispiel:
Geometrie 7 Geometrie 8 Vektorprodukt: c := a b mit c a und c b a, b, c bilden ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel) und c = a b sin ( a, b) a a 2 b b 2 = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b a b 3 a 3 b 3 a b 2 a 2 b Beispiel: Rechenregeln: a b = b a a ( b+ c) = a b+ a c a b = a b = a b, (β b) b = 0
Geometrie 9 Anwendung: Flächeninhalt eines Dreiecks Geometrie 20 Spatprodukt: [ a b c] := ( a b) c Bild: Rechenregeln: [ a b c] = a b c cos ( a b, c) [ a b c] = [ b a c] a, b, c linear abhängig = [ a b c] = 0 Anwendung: Volumenberechnung
Geometrie 2 2.2 Geraden und Ebenen Gerade Sei P ein Punkt auf einer Gerade g mit Ortsvektor r = OP und a g. Dann lautet eine Parameterdarstellung der Geraden r = r(t) = r +t a (t R), x wobei r = y Ortsvektor zu einem Punkt P(x,y,z) z auf der Geraden, a Richtungsvektor, t Parameter. r = OP +t P P 2 (t R) ist Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte P,P 2. Geometrie 22 Beispiele:. P (,2,3) a = 2 0 3 2. P (,2,3) P 2 (2,3,0) 3. P (,2,0) a = 2 0
Geometrie 23 Spezialfall: Geraden in der Ebene (z = 0) Sei n ein Normalenvektor zum Richtungsvektor a (d.h. n a = 0). Geradengleichung (vgl..4): Beispiel 3.: 0 = ( r r ) n, 0 = (x x )n +(y y )n 2 0 = n x+n 2 y d, wobei d = n x +n 2 x 2, bzw. y = n n 2 x+ d n 2 (n 2 0). Geometrie 24 Ebene: Sei P ein Punkt auf einer Ebene E mit Ortsvektor r = OP und a, b linear unabhängige, die Ebene aufspannende Vektoren. Dann lautet eine Parameterdarstellung der Ebene r(s,t) = r +t a+s b (s,t R), x wobei r(s,t) = y Ortsvektor von Punkt P(x,y,z) auf der Ebene, z s, t Parameter.
Geometrie 25 0 2 3 4 n P r P 3 P2 Parameterdarstellung der Ebene durch die Punkte P,P 2,P 3 : x r(s,t) = y = OP +t P P 2 +s P P 3 (s,t R) z Geometrie 26 Beispiel: P (,2,3),P 2 (2,3,0),P 3 (, 2,). 2 r(s,t) = 2 +t +s 4 3 3 2, (s,t R) Parameterfreie Darstellung einer Ebene: Sei n Normalenvektor der Ebene mit n = a b. Man erhält r n = OP n+t a n+s b n bzw. 0 = ( r OP ) n = (x x ) n +(y y ) n 2 +(z z ) n 3 als parameterfreie Darstellung der Ebene, d.h. eine Gleichung der Form: A x+b y+c z = D im Beispiel: A =,B =,C =,D =
Geometrie 27 Mit n n = n 2 +n 2 2 +n2 3 n n 2 n 3 Normalenvektor der Länge erhält man als Spezialfall die sog. Hessesche Normalform der Ebene: 0 = ( r OP ) n n = (x x ) n n +(y y ) n2 n +(z z ) n3 n a Mit der Bezeichnung: n n = b folgt ax+by +cz = d 0, c wobei d 0 = x a+y b+z c der (orientierte) kürzeste Abstand der Ebene vom Nullpunkt ist. Im Beispiel: Geometrie 28
Geometrie 29 3 Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden, Ebenen Abstand des Punktes P(x,y,z) von einer Ebene: d = ( OP OP ) n n Beispiel: r(s,t) = 2 3 +t 3 +s 2 4 2, (s,t R) und P(,,2): Geometrie 30 Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden Zwei Geraden g,g 2 können - parallel sein, - einen Schnittpunkt besitzen oder - windschief sein. Skizze:
Geometrie 3 Beispiele:. r (t) = 2 +t 0, r 2(s) = 5 6 2 +s 3 0 3, (s,t R) 2. r (t) = 7 2 4 +t 3 0 4, r 2(s) = 3 +s 2 5 3, (s,t R) Geometrie 32 3. r (t) = 3 5 +t 2 2, r 2(s) = 2 6 4 +s 4 3, (s,t R)
Geometrie 33 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen Zwei Ebenen E,E 2 können - parallel sein - eine Schnittgerade besitzen oder - identisch sein. Beispiele:. ǫ : 3x+2z = 0, ǫ 2 : 3x+2z = 4 2. ǫ : 3x+2y z = 3, ǫ 2 : 3x+2y z + = 0 3. ǫ : 3x+2z = 4, ǫ 2 : 6x+4z = 8