Experimentalphysik 2

Ferienkurs Experimentalphysik 2 Sommer 2014 Vorlesung 2 Thema: Elektrischer Strom und Magnetostatik I Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

Inhaltsverzeichnis 2 Elektrischer Strom 3 2.1 Strom als Ladungstransport............................ 3 2.2 Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz................. 3 2.3 Elektrische Arbeit und Leistung......................... 4 2.4 Netzwerke und Kirchhoffsche Regeln...................... 5 3 Magnetostatik I 7 3.1 Permanentmagnete................................ 7 3.2 Magnetfelder stationärer Ströme......................... 7 3.3 Kräfte auf bewegte Leiter............................. 10 Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

2 Elektrischer Strom 2.1 Strom als Ladungstransport Elektrischer Strom Transport elektrischer Ladung durch ein elektrisch leitendes Medium oder auch im Vakuum. Die Stromstärke ist wie folgt definiert: I = dq dt (1) mit der Einheit [I] = 1 A. Die Stromdichte j ist der Strom pro Flächeneinheit ([ j] = 1 A m 2 ). Der Gesamtstrom durch eine Fläche A ist dann: I = j da (2) A Wird der Strom durch Ladungen q, der Dichte n und der Geschwindigkeit v getragen ergibt sich: j = n q v = ϱ el v (3) Betrachtet wird nun der Gesamtstrom, welcher durch eine geschlossene Fläche A fließt. Dieser muss der gleich der zeitlichen Abnahme der von der Oberfläche eingeschlossenen Ladung sein: I = j d A = dq = d ρ el dv (4) dt dt Mit dem Gaußschen Satz j d A = j dv folgt die Kontinuitätsgleichung: j = dϱ dt (5) Sie besagt, dass Ladungen weder erzeugt noch vernichtet werden können. 2.2 Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz Driftgeschwindigkeit: In einem Leiter stoßen Ladungsträger auf ihrem Weg oft mit Atomen bzw. Molekülen zusammen. Sie werden also nicht nur durch das elektrischen Feld beschleunigt sondern werden auch nach einer mittleren Streuzeit τ gestreut. Dadurch driften die Elektronen mit einer konstanten Geschwindigkeit: Der Driftgeschwindigkeit hierbei ist µ die Beweglichkeit. v D = τ q m E = µ E (6) Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

Das Ohmsche Gesetz Für die Stromdichte (3) ergibt sich mit (6): j = n q v D = n q2 τ E (7) } {{ m } =σ el Mit σ el der elektrischen Leitfähigkeit, ergibt sich das Ohmsche Gesetz: j = σ el E (8) Weiterhin definiert man den Kehrwert der elektrischen Leitfähigkeit als spezifischer Wiederstand: ϱ s = 1/σ el. Für einen homogenen Leiter mit dem Querschnitt A und der Länge L erhält man mit I = j d A und U = E dl = E L das Ohmsche Gesetz in integraler Form: I = σ el A L U = U R (9) L R = σ L A ist der elektrische Widerstand des Leiters ([R] = 1 Ω). Der Kehrwert des elektrischen Widerstands G = 1/R ist der Leitwert mit der Einheit [G] = 1 S. Temperaturabhängigkeit: Der spezifische Widerstand ist temperaturabhängig und näherungsweise durch folgende Gleichung beschreiben: ϱ s (T) ϱ(t 0 ) (1 + α(t T 0 ) ) (10) α ist der Temperaturkoeffizient. 2.3 Elektrische Arbeit und Leistung Bringt man die Ladung q von einem Ort mit dem Potential φ 1 zu einem Punkt mit dem Potential φ 2, so wird Arbeit verrichtet: W = q (φ 1 φ 2 ) = q U (11) Für die elektrische Leistung ergibt sich damit: P = dw dt = U dq dt = U I (12) Die Einheit der Leistung ist: [P] = 1 V A = 1 W. Die während einer Zeit t verrichtete Arbeit ([W] = 1 W s = 1 J) ist: W = t2 t 1 = U I dt (13) In einem Ohmschen Widerstand R wird diese Arbeit in Wärme umgewandelt: Joulesche Gesetz. Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

2.4 Netzwerke und Kirchhoffsche Regeln 1. Kirchhoffsche Regel: Verzweigen sich mehrere Leiter in einem Punkt, so muss die Summe der einlaufenden Ströme gleich der Summe der auslaufenden Ströme sein: I k = 0 k Bemerkung: Diese Regel folgt aus der Kontinuitätsgleichung, da im Knotenpunkt weder Ladung erzeugt noch vernichtet wird. Daher muss der gesamte Strom durch eine geschlossene Fläche um den Knotenpunkt null sein. 2. Kirchhoffsche Regel: In jedem geschlossen Stromkreis ist sie Summe aller Verbraucherspannungen gleich der Generatorspannung: U k = 0 k Reihenschaltung: R 1 + R 2 Mit der 2. Kirchhoffschen Regel: Allgemein gilt: U = U 1 + U 2 = I R 1 + I R 2 R ges = U I = R 1 + R 2 (14) Bei der Reihenschaltung von Widerständen addieren sich die Einzelwiderstände! Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

Parallelschaltung: + R 1 R 2 Mit der 1. Kirchhoffschen Regel: Allgemein gilt: I = I 1 + I 2 = U R 1 + U R 2 1 R ges = I U = 1 R 1 + 1 R 2 (15) Bei der Parallelschaltung von Widerständen addieren sich die Reziprokwerte der Widerstände! Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

3 Magnetostatik I 3.1 Permanentmagnete Abbildung 1: Feldlinienbild eines Stabmagneten. Magneten haben einen Nord- und einen Südpol Gleichnamige Pole stoßen sich ab und ungleichnamige ziehen sich an Es gibt keinen isolierten Pole Die magnetischen Feldlinien sind immer geschlossen (Sie verlaufen innerhalb des Magneten weiter vom Südpol zum Nordpol, wo sie austreten und zum Südpol zurück). 3.2 Magnetfelder stationärer Ströme Magnetischer Kraftfluss und magnetische Spannung: Analog zum elektrischen Kraftfluss Φ el wird der magnetische Kraftfluss Φ m definiert: Φ m = B d A (16) B ist die magnetische Feldstärke mit der Einheit [B] = 1 V s m 2 = 1 T. Alle Magnetlinien sind geschlossen der gesamte magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche A muss null sein 1 : B d A G.S. = B dv = 0 (17) Hieraus folgt: B = 0 (18) Diese Gleichung ist die mathematische Formulierung der physikalischen Tatsachen, dass es keine magnetischen Monopole gibt: Quellen und Senken des magnetischen Feldes kommen immer zusammen vor. 1 Es treten genau so viele Feldlinien ein wie aus. Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

Im elektrischen Feld ergab das Linienintegral auf einem geschlossenen Weg null ( E d s = 0). Für das magnetische Feld ergibt es jedoch nicht null. Experimentell ergibt sich das Amperesche Gesetz: B d s = µ 0 I (19) wenn der Integrationsweg eine vom Strom durchflossene Fläche umschließt. Hierbei ist µ 0 = 4π 10 7 V s A 1 m 1 die magnetische Induktionskonstante. Mit dem Stokesschen Satz und I = j d A lässt sich das Amperesche Gesetz wie folgt umschreiben: µ 0 j d A = B d s = B d A (20) Hieraus ergibt sich: B = µ 0 j (21) (Vgl. elektrostatische Felder: E = 0) Mit dem Ampereschen Gesetz und dem magnetischen Kraftfluss lassen sich die Magnetfelder spezieller Stromverteilungen leicht berechnen ( Übung). Maxwellgleichungen für stationäre E-/ B-Felder: E = ϱ ɛ E = 0 B = 0 B = µ 0 j (22) Das Vektorpotential: In der Elektrostatik ist das Potential wegen E = 0 definiert als E = φ. Da in der Magnetostatik B 0 ist Andere Definition. Wegen B = 0 kann als Potential eine vektorielle Größe A( r) gewählt werden. Diese wird durch folgende Relation bestimmt: B = A (23) A( r) ist das Vektorpotential des Magnetfeldes B( r). Dadurch wird die Bedingung B = ( A ) = 0 (24) erfüllt. Durch die Definitionsgleichung (23 ) ist das Vektorpotential A( r) jedoch nicht völlig festgelegt, denn für A = A + f wird wegen A = }{{} A + ( f ) = B (25) } {{ } = B =0 (23) ebenfalls erfüllt. Deshalb wird eine Zusatzbedingung (Eichbedingung) eingeführt. Im Falle stationärer Felder wird in der Regel die Coulombeichung verwendet: A = 0 (26) Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

Das Biot-Savart-Gesetz: Bestimmung des Vektorpotentials A( r) aus einer gegeben Stromverteilung j( r). Durch Lösen dieser Gleichung ergibt sich: Mit B = A folgt für das magnetische Feld 2 : B = ( A ) = ( A ) A = µ } {{ } 0 j (27) =0 C.E. A( r) = µ 0 j( r ) 4π r r dv (28) B( r) = µ 0 4π j( r ) r r dv (29) Durch Ausführen der Differentiation folgt: B( r) = µ 0 4π j( r ) r r r r 3 dv (30) Für einen dünnen Draht ergibt sich mit dv = d A d s und j d A d s = I d s das Biot-Savart- Gesetz: B( r) = µ ( 0I r r ) 4π r r d s (31) 3 Magnetfeld einer Kreisförmigen Leiterschleife: R d s r xy-ebene Die Stromschleife liegt nur in der xy-ebene Das Magnetfeld hat nur eine z- Komponente: B( r) = B(z) Weiterhin gilt: r = R und r = z r r = z 2 + R 2 (32) Außerdem: ( r r ) = R cos φ R sin φ z und d s = R sin φ R cos φ 0 dφ (33) 2 Reihenfolge von Differentiation und Integration kann vertauscht werden Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

Eingesetzt in das Biot-Savart-Gesetz mit ( r r ) d s = 2π B( r) = µ 0I 4π 1 ( z2 + R 2) 3/2 0 Rz cos φ Rz sin φ R 2 Rz cos φ Rz sin φ R 2 : dφ = µ 0I 2 R 2 ( z2 + R 2) 3/2 êz (34) 3.3 Kräfte auf bewegte Leiter Die Kraft F die auf eine Ladung q wirkt, welche sich mit einer Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld bewegt, wird Lorentzkraft genannt: F = q ( v B ) (35) Liegt zusätzliche noch ein elektrisches Feld E vor, so beträgt die Kraft: F = q ( E + v B ) (36) Bewegung im Magnetfeld: e werden beschleunigt Beim Eintritt der e senkrecht zum Magnetfeld werden die e von der Lorentzkraft auf eine Kreisbahn abgelenkt: F z = mv2 r Für die Zyklotronfrequenz ergibt sich: = F L = evb r = mv eb = 1 2mU B e ω = 2π T = 2πv 2πr = v r = eb m (37) (38) Technische Universität München 10 Fakultät für Physik

Der Hall-Effekt: Abbildung 2: Illustration des Hall-Effekts. Lorentzkraft bewirkt eine Ablenkung der Ladungsträger eines Leiters senkrecht zum Magnetfeld und zur Stromrichtung Die Ablenkung führt zu einer Ladungstrennung Dadurch wird ein elektrisches Feld E H erzeugt Die Ladungstrennung dauert so lange, bis das sich aufbauende elektrische Feld eine der Lorentzkraft entgegengerichtete gleich große elektrische Kraft bewirkt: Mit dem Strom I = j A = d b n q v ergibt sich: F L = n q v B = n q E H = F C (39) E H = v B = Somit ergibt sich für die Hall-Spannung: U H = E H d = Hieraus ergibt sich der Hall-Widerstand: I n q b d B (40) I n q b B (41) R H = B n q b (42) Dies macht es z.b. möglich Magnetfelder mit Hall-Sonden sehr genau zu bestimmen Technische Universität München 11 Fakultät für Physik