Algebra (Studiengang I+K)

Formeln und Notizen Algebra (Studiengang I+K) Florian Franzmann 7. April 2009, 23:50 Uhr Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegende Definitionen 2 1.1 Morphismen................................... 3 1.1.1 Homomorphismus........................... 3 1.1.2 Isomorphismus............................. 3 1.2 Gruppen und Halbgruppen.......................... 3 1.2.1 Halbgruppe............................... 3 1.2.2 Gruppe................................. 3 1.2.3 Untergruppe.............................. 3 1.2.3.1 Definition........................... 3 1.2.3.2 Satz von Lagrange...................... 3 1.2.4 Zyklische Gruppe............................ 4 1.2.5 Symmetrische Gruppe......................... 4 1.2.6 Ordnung einer Gruppe......................... 4 1.2.6.1 Definition........................... 4 siflfran@hawo.stw.uni-erlangen.de 1

1 Grundlegende Definitionen 1.2.6.2 Ordnung einer Gruppe Z = G H............. 4 1.2.6.3 Ordnung eines Elements einer Gruppe........... 4 1.2.7 Exponent einer Gruppe........................ 4 1.3 Ringe und Körper............................... 4 1.3.1 Ring................................... 4 1.3.1.1 Nullteiler........................... 5 1.3.1.2 Ideal............................. 5 1.3.2 Körper (Galois-Felder)......................... 5 1.3.2.1 Primitives Element..................... 5 1.3.2.2 Erweiterungskörper..................... 5 1.4 Größter gemeinsamer Teiler.......................... 5 2 Polynome 5 2.1 Grad eines Polynoms.............................. 6 2.2 Irreduzibilität.................................. 6 2.3 Minimalpolynom................................ 6 2.4 Diskreter Logarithmus............................. 6 2.5 Zechscher Logarithmus............................. 6 3 Sätze (altes Skript) 6 3.1 Einleitung.................................... 6 3.2 Zyklische Gruppen............................... 6 3.3 Ringe und Körper............................... 8 3.4 Polynome.................................... 8 3.5 Teilbarkeit in Polynomringen......................... 9 3.6 Mehr Körper.................................. 10 3.7 Endliche Körper................................ 10 3.8 Die Eindeutigkeit und Existenz von endlichen Körpern........... 10 4 Sätze (neues Skript) 11 4.1 Der Ring der ganzen Zahlen.......................... 11 4.2 Der Polynomring................................ 12 4.3 Die Teilbarkeit................................. 13 4.4 Nullstellen von Polynomen........................... 14 4.5 Zyklische Gruppen............................... 15 4.6 Das Rechnen im endlichen Körper...................... 16 4.7 Erweiterungskörper............................... 17 4.8 Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper................ 17 4.9 Irreduzible Polynome.............................. 17 1 Grundlegende Definitionen Z n := {0; 1;... ; n 1} (1) 2

1 Grundlegende Definitionen MinU = { 0 falls U = {0} kleinste Zahl in U 1 sonst (2) 1.1 Morphismen 1.1.1 Homomorphismus Eine Abbildung ϕ heißt Homomorphismus, falls gilt ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) (3) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) (4) 1.1.2 Isomorphismus Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. 1.2 Gruppen und Halbgruppen 1.2.1 Halbgruppe Eine Menge G und eine binäre Operation, für die folgende Axiome erfüllt sind: 1. Abgeschlossenheit, d. h. a G b G a b G. 2. Assoziativität, d. h. a (b c) = (a b) c. 1.2.2 Gruppe Gelten zusätzlich folgende Axiome, so heißt (G, ) Gruppe: 1. Neutrales Element, d. h. e G : a e = e a = a. 2. Inverses Element, d. h. a G a 1 G : a a 1 = a 1 a = e. Gilt zusätzlich a b = b a (Kommutativität), so heißt (G, ) Abelsche Gruppe. 1.2.3 Untergruppe 1.2.3.1 Definition Sei U G und (G, ) eine Gruppe. Falls für (U, ) die Gruppenaxiome gelten, heißt (U, ) Untergruppe von (G, ). G = x U = x m Untergruppe von G (5) j n ist die von j in Z n erzeugte Untergruppe. 1.2.3.2 Satz von Lagrange Die Kardinalität jeder Untergruppe U einer endlichen Gruppe (M, ) teilt die Kardinalität dieser Gruppe oder x n erzeugt eine Untergruppe von E n, wenn x Teiler von n ist. 3

1 Grundlegende Definitionen 1.2.4 Zyklische Gruppe Gibt es in G ein Element a, so daß man jedes andere Element als Potenz a n schreiben kann, so heißt G Zyklische Gruppe und a erzeugendes Element. 1.2.5 Symmetrische Gruppe Die symmetrische Gruppe S n besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen. Gruppenoperation ist die Verkettung der Permutationen. S n besitzt n! Elemente. Für n > 2 ist S n nicht kommutativ. 1.2.6 Ordnung einer Gruppe 1.2.6.1 Definition Als Ordnung o(g) = g bezeichnet man die Zahl der Elemente einer Gruppe. 1.2.6.2 Ordnung einer Gruppe Z = G H Multiplikation der höchsten Ordnungen erzeugt die Ordnung. 1.2.6.3 Ordnung eines Elements einer Gruppe Die Ordnung eines Elements a ist die kleinste Zahl n N für die a n = e gilt. 1.2.7 Exponent einer Gruppe In einer zyklischen Gruppe gilt: e(g) = o(x) = G. 1.3 Ringe und Körper 1.3.1 Ring e(g) = MinŨ 1 (6) Ũ = e(g) (7) Eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + und heißt Ring, wenn gilt 1. Bezüglich + ist R abelsche Gruppe mit neutralem Element 0. 2. Bezüglich ist R Halbgruppe. 3. Es gilt a (b + c) = a b + a c (Distributivität). (R, + ) heißt kommutativer Ring, falls a b = b a gilt. Falls R \ {0} abgeschlossen ist, heißt R nullteilerfrei. Dann gilt a b = a c a 0 b = c (Kürzregel). 4

2 Polynome 1.3.1.1 Nullteiler Existiert zu a 0 ein b R mit a b = 0, so heißt a Nullteiler. Ein Ring heißt nullteilerfrei, wenn a, b R a b R. Ein Ring Z n ist nullteilerfrei, wenn n Primzahl ist. 1.3.1.2 Ideal Eine additive Untergruppe U einer Gruppe G heißt Ideal, falls sie bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist. 1.3.2 Körper (Galois-Felder) Ist (R, ) zusätzliche eine Abelsche Gruppe mit neutralem Element 1, so heißt (R, +, ) Körper. Ein Körper mit q n verschiedenen Elementen wird GF(q n ) geschrieben. q ist immer Primzahl. Ist F = Z n und N = P (X), so enthält F N genau F gradn = q n Elemente. Ein Ring Z p ist genau dann ein Körper, wenn p Primzahl ist. 1.3.2.1 Primitives Element Ein primitives Element eines Körpers ist multiplikativer Erzeuger dieses Körpers. Eigenschaften eines Erzeugers: a q 1 = a pm 1 = 1 (8) a i 1 (für 1 i q 2) (9) Ist a Erzeuger der zyklischen Gruppe G, so auch m, falls 0 < m < G und m, G teilerfremd. 1.3.2.2 Erweiterungskörper Ein Körper, der neben den ursprünglichen Elementen noch weitere Elemente enthält, wobei die Körpereigenschaften erhalten bleiben. Er kann nicht durch Restklassen beschrieben werden = Irreduzible Polynome (siehe Abschnitt 2.2). 1.4 Größter gemeinsamer Teiler 2 Polynome k + n = {ik + jn : i, j Z} (10) = g (11) = ggt(k, n) (12) F n [X] bezeichnet die Menge aller Polynome vom grad n 1. 5

3 Sätze (altes Skript) 2.1 Grad eines Polynoms grada = n, falls n a i X i und a n 0 (13) i=0 grada = 1, falls a i = 0 i {0; 1;... ; n} (14) grad(λa) = grada, wenn λ 0 (15) grad(a + B) max {grada, gradb} ; grad(a + B) = max {grada; gradb}, falls grada = gradb (16) grad(ab) = grada + gradb, falls A 0 B 0 (17) 2.2 Irreduzibilität Besitzt ein Polynom keine Nullstelle in F, so ist es irreduzibel. 2.3 Minimalpolynom Das eindeutig bestimmte irreduzible Polynom p(x) mit 1 als Koeffizienten der höchsten Potenz heißt Minimalpolynom über für v. Sei v ein Polynom. Berechne alle Potenzen von v in P[X] (d. h. bis zum höchsten Exponent von N). Finde linear abhängige v. Bilde v i und ersetze v durch X. 2.4 Diskreter Logarithmus In einem Körper F q existiert genau eine Zahl i v {0; 1;... ; q 1}, so daß mit v F und b Erzeuger von F. 2.5 Zechscher Logarithmus v = b iv (18) b L(j) := 1 + b j j {0;... ; q 2} (19) L(j) := falls 1 + b j = 0 (20) Für v, w F gilt v + w = b iv (1 + b ρ q 1(i w i v) ) (21) 3 Sätze (altes Skript) 3.1 Einleitung 3.2 Zyklische Gruppen 3.2.1 E n ist die Menge aller komplexen Zahlen z = cos ϕ + j sin ϕ, so daß nϕ ein Vielfaches von 2π ist. 6

3 Sätze (altes Skript) 3.2.2 Sei z E n. Dann liegen auch alle Potenzen z k, k Z in E n und zu jeder Potenz z k existiert eine Zahl r {0; 1;... ; n 1} mit z k = z r. 3.2.3 (Satz) E n := { 1; z 0 z0 2;... ; } zn 1 0. Insbesondere ist En = n. Es sei x := { x i i Z } die Menge aller Potenzen von x. Eine nichtleere Untermenge U von G heißt Untergruppe von G, wenn U bezüglich der in G erklärten Verknüpfung eine Gruppe ist. Es genügt zu fordern: 3.2.4 x ist Untergruppe von G. Sei MinU := min(u N), MinU := 0 falls U = {0}. x U y U xy U (22) x U x 1 U (23) 3.2.5 (Satz) Sei U Untergruppe von Z und m := MinU. Dann ist U = m. 3.2.6 1. ρ(i) = i i Z n 2. ρ(i) = 0 i n 3. ρ(i + j) = ρ(ρ(i) + ρ(j)) 4. ρ(ij) = ρ(ρ(i)ρ(j)) Sei + := ρ(i + j). 3.2.7 Bezüglich + ist Z n eine Gruppe. Sie ist zyklisch und 1 Z n ist Erzeuger. Sei Û := { i Z x i U } 3.2.8 (Satz) Sei U Untergruppe der zyklischen Gruppe G = x und sei m := MinÛ. Dann ist U = x m. Insbesondere ist auch U zyklisch. Sei o(x) = n = MinŨ x n = 1. 1 die Ordnung von x. Sie ist die kleinste Zahl n aus N mit 3.2.9 (Satz) Sei n := o(x). Dann gilt: 1. x i = 1 i n. 2. x = n und 1, x, x 2,..., x n 1 sind die Elemente von x. 3. Für i, j, k Z gilt: x i x j = x k k = ρ n (i + j) 3.2.10 (Satz) Sei U Untergruppe {0} der Gruppe Z n und m U die kleinste Zahl in U. Dann ist U = m n und m Teiler von n. Ist k := n m, so ist U = k und U = {im i Z k }. 7

3 Sätze (altes Skript) 3.2.11 (Satz) Sei 0 j Z n und U := j n die von j erzeugte Untergruppe von Z n. Ist m := ggt(j,n), so ist U = m n und U = n m. 3.2.12 Sei g := ggt(k,n). Dann existieren i, j Z mit g = ik + jn g = k + n. Sei e(g) = MinŨ 1 der Exponent von G und Ũ = { i Z : x i = 1 x G }. 3.2.13 Für i N gilt: 3.2.14 Für i N gilt Sei G n := {x G : x n = 1} i e(g) x i = 1 x G i o(x) x G (24) i e(g) x i = 1 x G i o(x) x G (25) 3.2.15 (Satz) Für die endliche, abelsche Gruppe gelte n N ist G n n. Dann ist G eine zyklische Gruppe. 3.2.16 (Lemma) Die Zahl e(g) sei eine Potenz p n, n N, p Primzahl. Dann existiert ein y G mit o(y) = e(g). 3.2.17 (Korollar) Es gelte n N ist G n nund sei G wie in 3.2.16. Dann ist G = y, also G zyklisch. 3.2.18 (Satz) Seien k, n N teilerfremde Zahlen und e(g) = kn. Sind G k und G n zyklische Gruppen, so ist auch G eine zyklische Gruppe. 3.3 Ringe und Körper 3.3.1 Bezüglich der Verknüpfung + und ist Z n ein kommutativer Ring. 3.3.2 (Lemma) Der Ring Z n ist genau dann nullteilerfrei, wenn n eine Primzahl ist. 3.3.3 (Satz) Der Ring Z n ist genau dann ein Körper, wenn n Primzahl ist. 3.4 Polynome 3.4.1 (Division mit Rest) Zu jedem Polynom A F[X] existieren in eindeutiger Weise Polynome P, R F[X] mit 3.4.2 1. ρa = 0 A N 2. ρa = A A F n [X] A = P N + R, gradr < n (26) 8

3 Sätze (altes Skript) 3. ρ ist eine lineare Abbildung, d. h. es gilt mit λ, µ F 4. ρ(ab) = ρ((ρa)(ρb)) ρ(λa + µb) = λ(ρa) + µ(ρb) (27) 3.4.3 (Satz) Sei A F[X] und λ F eine Nullstelle von A, d. h. A(λ) = 0. Dann existiert ein P F[X] mit A = (X λ)p. 3.4.4 (Korollar) Seien λ 1,..., λ m verschiedene Nullstellen von A. Dann existiert ein P F[X] mit A = (X λ 1 ) (X λ m )P. Insbesondere ist m grada. Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. 3.4.5 (Satz) Sei G eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe F. Dann ist G eine zyklische Gruppe. 3.5 Teilbarkeit in Polynomringen Sei U {0} Unterraum von F[X] und m := min {grada : 0 A U} 3.5.1 In U existiert genau ein normiertes Polynom N mit gradn = m. U heißt Ideal in F[X] genau dann, wenn A, B U λa + µb U (28) und gelten. A U, P F[X] P A U (29) 3.5.2 (Satz) Sei U Ideal in F[X] und sei N := MinU. Dann ist U = N. 3.5.3 1. A + N und A N sind Ideale {0} von F[X]. 2. Sei G := Min( A + N ). Dann ist G = A + N ; insbesondere existieren P, Q mit G = P A + QN. 3. Sei K := Min( A N ). Dann ist K = A N. 3.5.4 Sei ggt(a,n) = 1 und seien A, N normiert. Dann ist kgv(a,n) = AN. 3.5.5 (Satz) Sei N irreduzibel und sei N Teiler eines Produktes AB, 0 A, B F[X]. Dann ist N Teiler von A oder Teiler von B. 3.5.6 Ist R = 0, so ist ggt(b,c) = ggt(c,r). Ist R = 0 und C normiert, so ist ggt(b,c) = C. 9

3 Sätze (altes Skript) 3.6 Mehr Körper 3.6.1 Genau dann ist der Ring F N nullteilerfrei, wenn N ein irreduzibles Polynom ist. 3.6.2 (Satz) Der Ring F N ist genau dann ein Körper, wenn das Polynom N irreduzibel ist. 3.6.3 (Korrolar) Sei p N Primzahl und F := Z p. Dann ist F N ein endlicher Körper, nämlich F N = p n. 3.6.4 Sei N F[X], ngradn und n {2; 3}. Besitzt N keine Nullstelle in F, so ist N irreduzibel. 3.6.5 Sei p = 2. Die irreduziblen Polynome aus F[X] vom Grad 3 sind wie folgt: X, X + 1, X 2 + X + 1, X 3 + X + 1, X 3 + X 2 + 1 (30) 3.7 Endliche Körper 3.7.1 (Satz) Die multiplikative Gruppe F von F = F q ist eine zyklische Gruppe der Ordnung q 1. 3.7.2 v w = b iv +i w. Dies gilt auch für v = 0 bzw. w = 0, wenn man +i v = setzt. Sei b L(j) = 1 + b j, j {0;... ; q 2} 3.7.3 i v+w = i v +L(ρ(i w i v )) 3.7.4 (v + w) p = v p + w p 3.7.5 1. v pn = v v F. 2. Ist b ein primitives Element von F, so ist b pi b, wenn i < n. 3.8 Die Eindeutigkeit und Existenz von endlichen Körpern 3.8.1 Sei M := MinU. Dann ist U = M ; überdies ist 1 gradm n 3.8.2 (Kriterium) Sei A P[X] ein normiertes Polynom 0 mit A(v) = 0. Genau dann gilt A = M v, wenn A ein irreduzibles Polynom ist. 3.8.3 Sei v = X. Dann ist M v = N. 3.8.4 (Lemma) Sei 0 v F. Hat das Minimalpolynom von v den Grad n, so ist der Körper F = P N isomorph zum Körper P M. 3.8.5 In F[X] hat man die Zerlegung Q = v F (X v). 10

4 Sätze (neues Skript) 3.8.6 Ist N P[X] ein irreduzibles Polynom vom Grad n. Dann sind die Körper P N und P M zueinander isomorph. 3.8.7 (Satz) Seien N, M zwei irreduzible Polynome vom Grad n. Dann sind die Körper P N und P M zueinander isomorph. Sei E die Menge aller endlichen Körper E, welche den Körper P = Z p enthalten. Ein E E heißt Zerfällungskörper von Q = X q 1 P[X], wenn Q in E in Linearfaktoren zerfällt, d. h. es existieren (nicht notwendig verschiedene) v 1,..., v q E mit Q = i (X v i). 3.8.8 (Satz) Es existiert ein Zerfällungskörper von Q. 3.8.9 F = {v E : v q = v} ist ein Zerfällungskörper von Q. 3.8.10 (Satz) Zu jeder Primzahlpotenz q = p n existiert ein endlicher Körper mit q Elementen. Dieser enthält P. 3.8.11 (Satz) Ist F ein Körper mit q = p n Elementen, so existiert ein irreduzibles Polynom vom Grad n, so daß F isomorph zum Körper F N ist. 4 Sätze (neues Skript) 4.1 Der Ring der ganzen Zahlen 4.1.1 In einem nullteilerfreien Ring kann gekürzt werden, d. h. es gilt: a b = a c a 0 b = c (31) 4.1.2 Die Menge Z der ganzen Zahlen bildet bezüglich Addition und Multiplikation einen nullteilerfreien Ring. 4.1.3 Zu a Z existieren eindeutig bestimmte Zahlen i Z und r Z n, so daß 4.1.4 1. ρ n (a) = a a Z n 2. ρ n (a) = 0 a n 3. ρ n (a) = ρ n (b) a b n 4. ρ n (a + b) = ρ n (ρ n (a) + ρ n (b)) 5. ρ n (a b) = ρ n (ρ n (a) ρ n (b)) a = i n + r (32) MinU := min(u N) (33) 4.1.5 (Satz) Sei U Untergruppe von Z(+) und n := MinU. Dann ist U = n 11

4 Sätze (neues Skript) 4.1.6 Sei n > 1. Bezüglich der Addition und Multiplikation modulo n ist Z n ein Ring mit Nullelement 0 Z n und Einselement 1 Z n. 4.1.7 Die Restabbildung ρ n ist ein Homomorphismus des Rings Z auf den Ring Z n, d. h. es gilt: Insbesondere gilt im Ring Z n ρ n (a + b) = ρ n (a) + n ρ n (b) (34) ρ n (a b) = ρ n (a) n ρ n (b) (35) ρ n ( a) = ρ n (a) ρ n (a b) = ρ n (a) ρ n (b) (36) 4.1.8 Der Ring Z ist genau dann nullteilerfrei, wenn n eine Primzahl ist. 4.1.9 (Satz) Genau dann ist der Ring Z n ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. 4.2 Der Polynomring Sei F = Z n und F [X] die Menge aller Polynome über F. 4.2.1 Bezüglich der in F [X] erklärten Addition und Multiplikation ist F [X] ein nullteilerfreier Ring. Bezüglich der Addition und skalaren Multiplikation ist F [X] ein F- Vektorraum. Sei F n die Menge aller Polynome vom Grad n 1 und κ die Abbildung, die jedem Polynom A F n [X] seine Koeffizienten zuordnet. 4.2.2 Die Koeffizientenabbildung κ ist ein Isomorphismus des Vektorraums F n [X] auf den Vektorraum F n 4.2.3 (P, R) div(a, N) { R = A; P = 0; lambda = Leitkoeffizient von N; n = grad N; while(grad R >= n) { m = grad R; mu = Leitkoeffizient von R; R = R - mu/lambda X^(m - n) N; P = P + mu/lambda X^(m - n); } return (P, R); } Sind R, P wie am Ende, so ist gradr < n und A = P N + R. 12

4 Sätze (neues Skript) 4.2.4 (Division mit Rest) Sei N F [Z], n := gradn 1. Zu A F [X] existieren eindeutig bestimmte Polynome P, R F [X] mit 4.2.5 ρ N (A) = A A F n [X] ρ N (A) = ρ N (B) A B N A = P N + R gradr < n (37) ρ N (λa + µb) = λρ N (A) + µρ N (B), d. h. ρ N ist eine lineare Abbildung. ρ N (A B) = ρ N (ρ N (A) ρ N (B)) 4.2.6 1. Mit der Addition A + N B und der Multiplikation A N B ist die Menge F n [X] ein Ring. Wir bezeichnen ihn mit F N. 2. Die Restabbildung ρ N ist ein Homomorphismus des Rings F [X] auf den Ring F N. 4.2.7 Der Körper F ist ein Unterring von F N. F N ist bezüglich der Addition und der Multiplikation A λa der Vektorraum F n [X]. 4.2.8 F N = q n, falls F = q und gradn = n. 4.2.9 Ist der Ring F N nullteilerfrei, so ist er ein Körper. 4.3 Die Teilbarkeit 4.3.1 Sei U {0} Unterraum von F [X]. Dann existiert in U genau ein normiertes minimales Polynom MinU. Im Fall U = {0} sei MinU := 0 gesetzt. Sei R Ring. Eine Teilmenge U von R heißt Ideal, wenn gilt 1. U ist Untergruppe von R(+). 2. u U r R r u U 4.3.2 Ist U Ideal im Ring F [X], so ist U Unterraum des Vektorraums F [X]. 4.3.3 (Satz) Sei U Ideal in F [X] und M := MinU. Dann ist U = M. 4.3.4 (Satz) Sei G := Min( A + B ). Dann gilt: 1. G = ggt(a,b) 2. G = A + B 3. Es existieren P, Q F [X] mit G = P A + QB 4.3.5 (Satz) Sei K := Min( A B ). Dann gilt: 13

4 Sätze (neues Skript) 1. K = kgv(a,b) 2. K = A B 3. Es existieren P, Q F [X] mit K = P A = QB. 4.3.6 Seien A und B zueinander teilerfremd. Dann ist (bis auf Normierung) A B = kgv(a,b) (38) Sei P(A) die Menge der normierten irreduziblen Teiler von A. 4.3.7 (Satz) Im Ring F [X] gilt P(A B) = P(A) P(A) (39) 4.3.8 Genau dann ist der Ring F N nullteilerfrei, wenn N ein irreduzibles Polynom ist. 4.3.9 (Satz) Genau dann ist der Ring F N Körper, wenn N ein irreduzibles Polynom ist. 4.3.10 Seien A, N zueinander teilerfremde Polynome. Dann gilt 1. Es existieren P, Q F [X] mit 1 = P A + QN. 2. Sei grada < gradn 1 und B := ρ N (P ). Dann ist A N B = 1, B ist also im Ring F N invers zu A. Sei A = P B + R. 4.3.11 Im Fall R 0 ist ggt(a,b) = ggt(b,r) und im Fall R = 0 ist ggt(a,b) = B (bis auf Normierung). 4.4 Nullstellen von Polynomen 4.4.1 (Satz) Sei A F [X] und λ F Nullstelle von A, d. h. A(λ) = 0. Dann existiert ein P F [X] mit A = (X λ)p. 4.4.2 (Korollar) Seien λ 1,..., λ m verschiedene Nullstellen von A. Dann existiert ein P F [X] mit A = (X λ 1 ) (X λ m ) P. 4.4.3 Ein Polynom vom Grad n, n 0 hat höchstens n Nullstellen. 4.4.4 Sei N F [X], n = gradn und n {2; 3}. Besitzt N keine Nullstelle in F, so ist N irreduzibel. 4.4.5 Sei F = Z 2. Die irreduziblen Polynome vom aus F [X] vom Grad 3 sind X,X + 1,X 2 + X + 1,X 3 + X + 1,X 3 + X 2 + 1 (40) 14

4 Sätze (neues Skript) Sei A die Ableitung von A. 4.4.6 Es gilt die Produktregel (A B) = A B + A B (41) 4.4.7 (Lemma) Sei A 0 aus F [X] und λ Nullstelle von A. Folgende Aussagen sind äquivalent: 1. λ ist einfache Nullstelle von A. 2. A (λ) 0. 4.5 Zyklische Gruppen 4.5.1 i, j Z gilt: a i+j = a i a j und (a i ) j = a i j (42) 4.5.2 Seien U 1, U 2 Untergruppen von G. Dann ist der Durchschnitt Untergruppe von G. 4.5.3 a ist Untergruppe von G. 4.5.4 (Satz) Sei n = o(a). Dann gilt: 1. a i = 1 i n 2. a i = a ρn(i), i Z U 1 U 2 = {a : a U 1 a } (43) 3. a = { 1; a; a 2 ;... ; a n 1}. Dabei sind die Potenzen von a verschieden. Insbesondere ist n = a die Ordnung der Untergruppe a. 4. Für i, j Z n gilt a i a j = a i+nj 4.5.5 Sei G eine endliche zyklische Gruppe und a primitives Element von G. Dann ist o(a) = G. Ist n := o(a), so ist G isomorph zu der Gruppe Z n (+) 4.5.6 (Satz) Sei G = a eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Die Untergruppen U von G sind ebenfalls zyklische Gruppen und haben die Form U = a m, dabei ist m Teiler von n. Ist k = n m, so ist U = k und k Teiler von n. 4.5.7 Sei G = a eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Sei 0 m Z und g := ggt(m,n). Dann gilt 1. o(a m ) = o(a g ) = n g 2. a m = a g ist eine Untergruppe der Ordnung n g. 15

4 Sätze (neues Skript) 4.5.8 Sei G = a eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Genau dann ist eine Potenz a m (m Z \ {0}) primitives Element von G, wenn die Zahlen n und m teilerfremd sind. 4.5.9 In einer zyklischen Gruppe von Primzahlordnung ist jedes Element 1 primitives Element. 4.5.10 1. G(m) ist Untergruppe von G. 2. Es existiert ein m N mit G = G(m) G(m) := {a G : a m = 1} (44) 4.5.11 (Satz) Seien m 1, m 2 N teilerfremde Zahlen, so daß Sei G 1 := G(m 1 ) und G 2 := G(m 2 ). Dann gilt 1. G = G 1 G 2 G = G(m 1 m 2 ) (45) 2. Ist a = a 1 a 2 mit a 1 G 1 und a 2 G 2, so ist o(a) = o(a 1 ) o(a 2 ) 4.5.12 G = G 1 G 2 G r. Ist a = a 1 a 2 a r mit a i G i, so ist o(a) = o(a 1 ) o(a 2 ) o(a r ) (46) 4.5.13 (Satz) Sei z G ein Element von maximaler Ordnung in G und m := o(z). Dann gilt a m = 1 a G. 4.5.14 (Satz) Sei F Körper und G eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe F. Dann ist F eine zyklische Gruppe. 4.6 Das Rechnen im endlichen Körper Sei q N Primzahl, F := Z q, N F [X] normiertes, irreduzibles Polynom und E := F N. 4.6.1 a + b = (a 0 + q b 0,..., a n 1 + q b n 1 ) (47) 4.6.2 (Satz) Die multiplikative Gruppe E ist eine zyklische Gruppe der Ordnung m = q n 1. 4.6.3 Sei z primitives Element von E. Dann gilt: 1. E = { z i : i Z m } 2. z i z j = z i+mj für j, i Z m 3. Ein Element a = z i von E ist genau dann primitiv, wenn die Zahlen i, m Z zueinander teilerfremd sind. 16

Literatur 4. Ist m Primzahl, so ist jedes Element 0, 1 von E primitiv. Sei a = z i. Man nennt i = ld z (a) den diskreten Logarithmus von a zur Basis z. Es gilt per Definition ld z (0) =. 4.6.4 ld z (ab) = ld z (a) + m ld z (b) a, b E Sei L z (a) := ld z (1 + a) der Zechsche Logarithmus. 4.6.5 4.6.6 (Satz) 4.6.7 Eine Basis v 0,..., v n heißt Normalbasis, wenn gilt ld z (a + b) = ld z (a) + m L z (ba 1 ) (48) (a + b) q = a q + b q für a, b E (49) a qn = a a E a q = a a F (50) v q 0 = v 1 (51) v q 1 = v 2 (52). (53) v q n 2 = v n 1 (54) v q n 1 = v 0 (55) 4.6.8 Ist a = (a 0,..., a n 1 ) bezüglich einer Normalbasis, so ist eine zyklische Vertauschung. Sei M k die Strukturmatrix (Multiplikationstabelle) 4.7 Erweiterungskörper a q = (a n 1, a 0,..., a n 2 ) (56) 4.8 Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper 4.9 Irreduzible Polynome Literatur [1] Konstantin Adolfowitsch Semendjajew, Ilja Nikolajewitsch B.: Taschenbuch der Mathematik. Thun und Frankfurt am Main : Verlag Harri Deutsch, 2001. ISBN 3 8171 2005 2 [2] Kurzweil, Hans: Algebra. Erlangen : Vorlesungsskript zur gleichnamigen Veranstaltung, 2005 17

Index A abelsche Gruppe, 8 E Erzeuger, 5, 7 Exponent, siehe Gruppe G Galois-Feld, 5 ggt, 5, 8, 9 Gruppe, 3, 7 Exponent einer, 4 multiplikativ, 9 Ordnung einer, 4 symmetrische, 4 zyklisch, 9, 10 zyklische, 4 H Halbgruppe, 3 I Ideal, 5, 9 irreduziebel, 9 K Krper endlich, 10 kgv, 9 Körper, 5, 9 endlich, 10, 11 Eindeutigkeit, 10 Existenz, 10 Erweiterung, 5 isomorph, 10, 11 Zerfällungskörper, 11 L Lagrange Satz von, 3 Linearfaktoren, 11 Logarithmus diskreter, 6 zechscher, 6 M Min, 3 Minimalpolynom, 6 Minimum, 7 Morphismus Homo-, 3 Iso-, 3 N normiert, 9 Nullteiler, 5 P Polynom, 8 Grad, 9 Grad eines, 6 Ideal, 9 irreduzibles, 6 irreduziebel, 10, 11 Minimal-, 6 Minimalpolynom, 10 normiert, 9, 10 Ring Teilbarkeit, 9 primitives Element, 10 Primitives Element, 5 Primzahlpotenz, 11 R Ring, 4 Körper, 8, 10 kommutativ, 8 nullteilerfrei, 8, 10 18

T Teiler, 9 U Untergruppe, 3, 7 Z zyklisch, 7 zyklische Gruppe, 8 Index 19