Extremwertaufgaen mit zwei Varialen Einleitung: Extremwertaufgaen gehören zu den Unterrichtsinhalten, die in der Oerstufe standardmäßig unterrichtet werden. Daei eschränkt man sich im allgemeinen auf Situationen, in denen eventuell nach Elimination einer Varialen durch eine Neenedingung durch Variation einer Varialen eine estimmte Größe z.b. der Materialverrauch optimiert wird. Dies liegt u.a. daran, dass Funktionen mit zwei Varialen nicht zum ülichen Unterrichtsstoff der Oerstufe gehören. Im Folgenden wird ein Vorgehen eschrieen, ei dem eine zweite Variale als Parameter einer entsprechenden Funktionenschar aufgefasst wird. Die Methode des tiefsten Tiefpunktes esteht kurz gesagt darin, den Parameter so zu wählen, dass der Tiefpunkt eine tiefste Lage hat. Die folgende Aufgae wurde in einer Klausur gestellt. Sie ist daher so formuliert, dass die Methode des tiefsten Tiefpunktes im Aufgaenteil ) auch dann eareitet werden kann, wenn die Situation im Aufgaenteil a) nicht analysiert werden konnte. Die enge Aufgaenstellung im Teil ) erklärt sich dadurch, dass die Prolematik der geschickten Wahl von Variale und Parameter im Unterricht anhand einiger Beispiele ausreichend diskutiert wurde und mit diesem Aufgaenteil nur üerprüft werden sollte, in wieweit die Schülerin oder der Schüler die Begrifflichkeiten im Zusammenhang mit dieser Methode verstanden hat. Seite 1 von 6
Aufgae c Aus den Netzen in der Skizze rechts lässt sich eine oen offene Schachtel und eine Hülle ähnlich wie ei einer Streichholz-schachtel zusammenkleen. Die grauen Flächen markieren daei Kleeflächen. Die Schachtel soll ein Volumen von 250 cm 3 haen. Wie sind a, und c zu wählen, wenn möglichst wenig Material verwendet werden soll? Hinweise: a + 0,05 a c + 0,05 a) Zeigen Sie zunächst, dass sich der Materialverrauch nach folgender Formel erechnen lässt: M 3a 5c 2ac 4c 2 0,25 ) Eliminieren Sie zunächst die Variale a durch die Neenedingung und lösen Sie das Prolem dann mit der Methode des tiefsten Tiefpunktes (c Parameter, Variale). Eine Dokumentation wird erwartet! Beareitung der Aufgae mit dem ClassPad Wegen der Volumen-Bedingung gilt 250 750 500 a M 5c 4c 2 0,25 c c ClassPad: Define f(x) = 750 500 5cx 4c 2 0,25 x c x Mithilfe der Dynamischen Grafik lässt sich veranschaulichen, dass es einen c-wert git, ei dem der Tiefpunkt eine tiefste Lage hat: Zunächst etrachten wir die Wertetaelle für 1 x 10 und stellen dann das View-Window entsprechend ein. Dazu elegen wir die Variale c mit dem Wert 3. Seite 2 von 6
Dann rufen wir die Dynamische Grafik auf, legen den Bereich und die Schrittweite des Parameters fest und modifizieren nach Anklicken von OK mithilfe von *+ den Parameter c. Die analytische Behandlung des Prolems: Wir estimmen zunächst den Tiefpunkt in Ahängigkeit von c. Zuerst wird die Variale c freigegeen, die erste und zweite Aleitung geildet, sowie Nullstelle der ersten Aleitung erechnet. Mithilfe der zweiten Aleitung wird die Art des Extremwertes geprüft. Die 2.Aleitung ist an der Stelle um eine Tiefpunktstelle. 20 5 20c 1 positiv, also handelt es sich Seite 3 von 6
Damit haen wir die x-koordinate des Tiefpunktes. Die y-koordinate findet man mit f(x). Diese y-koordinate des Tiefpunktes soll minimal werden. Naheliegend ist die Verwendung des fmin-befehls. Ein erster etwas naiver Versuch scheitert. Git man aer den Bereich ein, in dem nach dem Minimum gesucht werden soll, so liefert der ClassPad das Ergenis: Bei c = 3,68 hat der Tiefpunkt die tiefste Lage mit einer y-koordinate von 451,11. Alternativ könnte man einen entsprechenden Funktionsterm definieren und das Minimum mit grafischen Mitteln estimmen. D.h. zuerst eine Taelle anlegen, die ungefähre Position des Minimums entnehmen, das Grafikfenster entsprechend einrichten (x = 3..5, Zoom Auto) und dann mit G-Solve das Minimum estimmen. Dieses xc ist also der c-wert, ei dem der Tiefpunkt am tiefsten liegt. Damit erhalten wir die Koordinaten des tiefsten Tiefpunktes. xt ist der optimale -Wert, yt ist der optimale c-wert. Seite 4 von 6
Eine andere Möglichkeit wäre gewesen, c als Variale und als Parameter zu enutzen. Bei der Suche nach dem Tiefpunkt stößt man schnell auf eine kuische Gleichung, die vom ClassPad nicht gelöst wird. Wenn wir allerdings die eiden Möglichkeiten gleichzeitig etrachten, so fällt auf, dass wir für die eiden Unekannten c und zwei Gleichungen haen, die sie erfüllen müssen: In der Notation des ClassPad: diff(m,)=0 und diff(m,c)=0 Beareitung mit dem ClassPad Eingae des Terms für den Materialverrauch Lösung des Gleichungssystems und Alegen der Lösung in der Varialen L. Nachschauen, wie viele Lösungen der ClassPad gefunden hat. Ausgae der Lösungen Nur die erste Lösung ist sinnvoll, man wird sie also als Lösung des Prolems nehmen. Daei wurde allerdings nicht nachgeprüft, o es sich tatsächlich um ein Minimum handelt. Fasst man den Term von M als Funktionsterm einer Funktion mit den zwei Varialen und c auf, so lässt sich sein Schauild in der 3D-Grafik veranschaulichen: Seite 5 von 6
View-x etrachtet die Situation so, dass die x-achse nach vorne ragt; man erkennt, dass die momentane Änderungsrate in y-richtung an der Tiefpunktstelle Null ist. View-y etrachtet die Situation so, dass die y-achse nach vorne ragt; man erkennt, dass die momentane Änderungsrate in x-richtung an der Tiefpunktstelle Null ist. Dadurch werden die eiden Gleichungen mit den partiellen Aleitungen visualisiert. Gleichzeitig sieht man, dass es sich ei der gefundenen Lösung um ein Minimum handelt. Fortführung: 1. Wie hängt das Ergenis von dem (vorgegeenen) Volumen der Schachtel a? 2. Zerlegen Sie eine Streichholzschachtel und messen Sie die Werte für Länge, Breite und Höhe. Stimmen die Werte mit Ihren Ergenissen üerein? 3. Eine der ülichen Tetra-Packungen kann (vorsichtig!) zerlegt werden und die optimalen Werte für Länge, Breite und Höhe estimmt werden. Daraus könnte sich schließlich folgende Aufgae ergeen: Konstruieren Sie die mathematisch optimale Tetra-Packung. Geen Sie sich selst Maße für die Kleeflächen vor. /2 h l/2 l l/2 /2 Seite 6 von 6