FERIENKURS ZUM PROPÄDEUTIKUM NUMERIK -

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1 FERIENKURS ZUM PROPÄDEUTIKUM NUMERIK - LÖSUNGEN MATTHIAS VESTNER. Grundlagen Aufgae.. Bezeichne z 0 zw. z die kleinste Maschinenzahl einfacher Genauigkeit, die noch größer ist als 0 zw.. Gee für die folgenden Mengen jeweils z 0, z sowie das größte und das kleinste Element ± an: a M 0,4, 3,3 M 2,24, 26,27 2 Was passiert, wenn wir auch unnormalisierte Zahlen zulassen? 3 Gesucht sind jeweils zwei Zahlen x 0, y aus oigen Mengen, so dass x y 0 Für allgemeines M,t,emin,e max gilt: z 0 t emin emin zw. im unnormalisierten Fall: z t 0 t emin emin t z + t maxm,t,emin,e max \ t emax t minm,t,emin,e max \ t emax t 2 siehe oen 3 Es muss gelten: fl x y 0, also x y < z0 2. Wähle also zum Beispiel x z 0, y 3 Aufgae.2. Berechne jeweils die asolute und die relative Kondition folgender Proleme fx x y für festes y R 2 fq x, daei ezeichne x die größere Nullstelle des Polanoms x 2 2x+q 3 fp x, daei ezeichne x die größere Nullstelle des Polanoms x 2 px+ Für welche Werte von p und q ist sind diese Proleme schlecht konditioniert? 4 Bestimme die Nullstelle einer stetig differenzieraren Funktion f. Stimmt das Ergenis mit der Intuition üerein? κ as x f x, κ rel x x y. Für x y ist dieses Prolem also schlecht konditioniert Auslöschung, siehe Skript. 2 Es gilt: fq + q und damit für die Kondition: κ as q f q 2 q zw. für q δq: κ rel q /2 δq + δq/ δq δq 2 δq + δq }{{} δq 0

2 2 MATTHIAS VESTNER Für q ist das Prolem also schlecht konditioniert. 3 Es gilt: fp p 2 + p 2 4 und damit für die Kondition: κ asp f p 2 + p. Somit ist das Prolem für p ±2 schlecht konditioniert. In diesen Fällen handelt es sich ei dem Polynom wie schon in der 4p 2 6 vorherigen Teilaufgae um ein Binom, die Nullstelle tritt also doppelt auf. 4 Intuitiv ist klar: je steiler f die x-achse schneidet, desto esser ist das Prolem konditioniert. Tatsächlich gilt: κ as f 0 f x Aufgae.3. Zur Lösung des Prolems y fa,, c a + + c stehen die folgenden Algorthmen zur Verfügung: f a,, c a c f 2 a,, c a c Welche Auswirkungen haen Rundungsfehler auf das Ergenis? Welchen der Algorithmen sollte man im Fall t 8 nutzen. Üerprüfe deine Vermutung! a c Wir erhalten ei Gleitpunktrechnung statt y einen Näherungswert ỹ fla c, für den gilt: z a fla + a + + ε ỹ z c z + c + ε 2 a + + ε + c + ε 2 a + + c + a+ a++c ε + ε 2 + ε 2 Für den relativen Fehler ε y : ỹ y y gilt daher: ε y a + a + + c ε + ε 2 + ε 2 oder ei Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung: ε y a + a + + c ε + ε 2 + Oε 2 a+ a++c Die Verstärkungsfaktoren zw. geen an, wie stark sich die Rundungsfehler a+ ε, ε 2 im relativen Fehler ε y des REsultats auswirken. Der kritische Faktor ist a++c : Je nachdem o a + oder + c kleiner ist, ist es günstiger numerisch stailer die Summe a + + c nach der Formel a + + c zw. a + + c zu ilden. Es gilt: a + a + + c + c a + + c , 97

3 FERIENKURS ZUM PROPÄDEUTIKUM NUMERIK - LÖSUNGEN 3 Man sollte also den zweiten Algorithmus verwenden. Die Üerprüfung ergit: a + + c 0, a c 0, , , a c 0, , , Aufgae.4. Zeige, dass eine rückwärtsstaile Implementierung der Sutraktion ist. Schreie fx, y x y zw. fx, y x y. Es gilt: fx, y flx fly x + ε y + ε 2 + ε 3 x + ε + ε 3 y + ε 2 + ε 3 x + ε 4 y + ε 5 für ε 4,5 2ε + Oε 2 Mit x x + ε 4 zw. ỹ y + ε 5 erhalten wir also fx, y f x, ỹ und x x ε4 ỹ y Oε. ε 5 2. Lineare Gleichungssysteme Aufgae 2.. Sei A eine 3 3-Matrix. Schreie folgende Operationen als Matrix- Matrix-Produkte: verdopple Spalte haliere Zeile 3 addiere Zeile 2 auf Zeile 3 vertausche die Spalten und A A A A Aufgae 2.2. Bescheie mit Worten, wie die Multiplikation von B mit A die Matrix A verändert B 0 0 von links B 0 6vonrechts B 0 von rechts

4 4 MATTHIAS VESTNER Spaltenoperationen entsprechen Multiplikationen von rechts, Zeilenoperationen Multiplikationen von links. Sutrahiere Zeile 2 von allen anderen Zeilen Üerschreie Spalte 3 mit Spalte 2 Lösche Spalte. Aufgae 2.3. Zeige, dass die nichtsingulären zw. unipotenten unteren Dreiecksmatrizen jeweils eine Untergruppe der invertieraren m m-matrizen ilden! Induktion Wir zeigen per Induktion üer die Dimension m, dass die nicht-singulären zw. unipotenten unteren Dreiecksmatrizen unter Multiplikation und Invertierung ageschlossen sind. Induktionsanfang m : Die nichtsingulären zw. unipotenten unteren Dreiecksmatrizen ilden die multiplikativen Gruppen R\0 zw.. Induktionsschritt m m: L 0 K 0 Es seien L u T und K λ v T nichtsinguläre unipotente κ untere Dreiecksmatrizen der Dimension m. L nichtsinguläre unipotente untere Dreiecksmatrix sämtliche Diagonalelemente 0 L nichtsinguläre unipotente Dreiecksmatrix der Dimension m und λ 0 λ Die Induktionsvoraussetzung liefert: L K ist eine nichtsinguläre unipotente untere Dreiecksmatrix, also auch L K L K 0 u T K + λv T λ κ Die Induktionsvoraussetzung liefert: L ist eine nichtsinguläre unipotente untere Dreiecksmatrix. Setzt man den Ansatz L L 0 w T in die Beziehung L L I ein, so wird diese durch w T ut L λ gelöst. Also ist auch L eine nichtsinguläre zw. unipotente untere Dreiecksmatrix. Aufgae 2.4. Bringe die Matrix A durch geeignete Multiplikation mit unteren Dreiecksmatrizen auf oere Dreiecksgestalt! λ

5 FERIENKURS ZUM PROPÄDEUTIKUM NUMERIK - LÖSUNGEN 5 Aufgae 2.5. Zeige: Besitzt eine Matrix A R m m eine Zerlegung A L R, so sind L und R eindeutig. Hinweis: Auch die oeren Dreieckmatrizen ilden eine Gruppe. Seien A L R L 2 R 2 zwei solche LR-Zerlegungen. Multiplikation von links mit L 2 und von rechts mit R liefert die Identität L 2 L R 2 R einer unippotenten unteren Dreiecksmatrix mit einer oeren Dreiecksmatrix. Da die Einheitematrix die einzige Matrix mimt dieser Eigenschaft ist, gilt L L 2 und R R 2. 0 Aufgae 2.6. Zeige, dass die Matrix keine LR-Zerlegung esitzt! 0 0 r r Der Ansatz 2 r l 0 r 3 r l r 2 r 2 l + r 3 liefert zunächst r 0 und somit einen Widerspruch, da 0 r l. Aufgae 2.7. SPD-Matrizen lassen sich folgendermaßen zerlegen: A LL T Cholesky- Zerlegung. Entwickle einen Algorithmus zur Bestimmung von L. Hinweis: Werte die Gleichung elementweise aus. Elementweises Auswerten von A LL T liefert: Auf der Diagonale: a kk l 2 k + + l2 k,k + l2 kk Unter der Diagonale: a ik l i l k + + l i,k l k,k + l ik l kk Aus dieser Beoachtung resultiert der folgende Algorithmus: for k:n Lk,ksqrtAk,k-Lk,:k-*Lk,:k- ; for ik+:n Li,kAi,k-Li,:k-*Lk,:k- ; end end 3. Lineare Ausgleichsproleme 4. Nichtlineare Gleichungssysteme 5. Polynominterpolation 6. Schnelle Fourier-Transformation