Dr. A. Caspar ETH Zürich, August D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben. ( Punkte) a) Wir berechnen lim sin(x ) x 3 + 4x L Hôpital = lim x cos(x ) 3x + 8x = 4. b) Wir benutzen L Hôpital lim tan(x)(x ) = lim tan(x) x L Hôpital = lim cos(x) (x ) (x = lim ) cos(x) L Hôpital = lim L Hôpital = lim c) Das Taylorpolynom zweiter Ordnung der Funktion (im Punkt x = ) ist gegeben durch f(x) = sin(e x ) (x ) cos(x) cos(x) =. T (x) = sin() + cos() x + (cos() sin()) x. d) Wir integrieren die Gleichung y = y. Daraus folgt dass y = y + C.
Aus y() = und y () = folgt y = y. Wir integrieren: ln(y) = x + D. Mit der Anfangsbedingung y() = folgt, dass y(x) = e x. e) Das lokale Minimum ist in (, ) und das lokale Maximum in (, ). f) Wir berechnen 3 3 x 3 3x dx = g) Wir berechnen mit f = sin(xy) 3 x 3 3xdx 3 x 3 3xdx = 9. f x = y cos(xy), f xy = cos(xy) xy sin(xy), f y = x cos(xy), f yy = x sin(xy). Im Punkt (, ) ist dann: f xy (, ) =, f yy (, ) =.. (8 Punkte) a) i + 3 + i = 3 5 i e 3 i + e 4 3 i + e 6 3 i =, ( ) = i. i
b) Die Lösungen von c) lauten z z + iz i =. z =, z = i. z = ( + i ) 5 = 4 5 e 3 i. d) Die Nullstellen von z 4 + z 3 + z + z +. lauten z = e 5 i, z = e 4 5 i, z 3 = e 6 5 i, z 4 = e 8 5 i. 3. ( Punkte) a) Entscheiden Sie ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. i) falsch, denn 3 3 5 =. ii) falsch, (da die Determinante der Matrix ist). iii) richtig (da die Determinante der Matrix ist). iv) falsch (die Determinante der Koeffizientenmatrix ist gleich, daher besitzt das homogene Gleichungssystem unendlich viele Lösungen). b) Wir erhalten 3 4 3 4 4 5 5 8 8 8 7 5 3 9 3 4 3 4 5 5 8 5 5 8, 7 7 4 und somit ist Rang(A) = 4. c) Es gilt: v ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λ v ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Wir haben 6 4 A = 3. 3 3 = 4 4 6.
Daher ist v = Eigenvektor von A zum Eigenwert und somit ist v auch 3 Eigenvektor von A zum Eigenwert. d) i) In Matrix-Vektor Notation wird die Entwicklung durch das System ( ) (jn ) ( ) jn = a n beschrieben. Die Eigenwerte λ = und λ = können wir direkt ablesen. ii) Da < λ < λ <, gibt es keinen dominanten Eigenwert und die Populationen sterben aus. a n 4. ( Punkte) a) Wir leiten die erste Differentialgleichung y (x) = y (x) + 3y (x) ein Mal nach x ab und bekommen y (x) = y (x) + 3y (x). () Nun setzen wir die zweite Differentialgleichung y (x) = y (x) in () ein und erhalten y (x) = y (x) + 3y (x). Umgeformt bekommen wir die homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung y (x) y (x) 3y (x) =. b) Wir benutzen die Substitution u(x) = y x und unter Berücksichtigung, dass y = u x + u gilt, erhalten wir u x + u = u( u) u x = u, u du = x dx = ln x + c, u = ln x + c u = ln x + c. Also ist die allgemeine Lösung y(x) = x ln x +c c) i) Die homogenen Differentialgleichung y y mit c R. = cos(x) der Variablen und erhalten dy y = cos(x) ln y = ln() + c, mit c R. Dies führt zu y(x) = c R lösen wir mit Trennung dx. Somit folgt mit dem Hinweis ĉ, wobei ĉ R. Alternativ kann man die Formel für eine DGL der Form y (x) + f(x)y(x) = aus der Vorlesung benutzen, und erhält y(x) = Ce f(x)dx = Ce cos(x) dx = Ce ln( ) = da > für x ], [. C, C R,
ii) Variation der Konstanten führt auf den Ansatz y(x) = K(x). Somit gilt y (x) = K (x) K(x) cos(x) sin. () (x) Setzen wir den Ansatz y(x) = K(x) und () in die inhomogene Differentialgleichung y (x) + cos(x) y(x) = cos(x) ein, so erhalten wir K (x) cos(x) K(x) sin (x) + cos(x) sin K(x) = cos(x) (x) K (x) = cos(x) K(x) = cos(x)dx = sin (x) cos(x)dx + c = sin (x) + c, c R. Also erhalten wir y(x) = sin (x)+c = + c. iii) Um die Konstante c zu bestimmen, betrachten wir die Anfangsbedingung: y( 6 ) = sin( 6 ) + c sin( 6 ) allgemeine Lösung y(x) = = 4 + c = 3, daraus folgt c = 8. Also ist die + 8. 5. (8 Punkte) a) Der Gradient von f ist f(x, y) = ( ) 9 4 x 5 + y, + x. y Die notwendigen Bedingungen für kritische Punkte sind 9 4 x 5 + y = + x y =. Aus der zweiten Gleichung folgt x = y und eingesetzt in die erste Gleichung erhalten wir Es folgt 9 4y 5 + y = y 5y + 9 4 =. y = 9, y =.
Die kritischen Punkte liegen bei ( ) u = 3, 9 und u = (, ). Mit den zweiten Ableitungen von f f xx = 9 x, f xy = und f yy = y 3/ erhalten wir für D(x, y) = f xx (x, y)f yy (x, y) f xy (x, y) in u und u ( ) D(u ) = 3 (9/) 3/ = 9 <, D(u ) = 9 ) ( (/) 3/ = 9 = 8 >. Somit liegt in u ein Sattelpunkt vor. In u gilt f xx (u ) = 9 und somit handelt es sich um ein lokales Maximum. b) Wir berechnen das Volumen des Körpers mit Hilfe eines Dreifachintegrals in kartesischen Koordinaten 6. ( Punkte) a) V = = x x y b) Mit der Substitution dzdydx = (( x) ( x) )dx = 6. x γ (t) = (t, ) für t, γ (t) = (, t) für t, γ 3 (t) = (( t), ( t) 3 ) für t, ( x y)dydx (bei I ) x = t, dx = dt und y =, dy =, (bei I ) x =, dx = und y = t, dy = dt, (bei I 3 ) x = ( t), dx = dt und y = ( t) 3, dy = 3( t) dt, folgt I = I = I 3 = 3y dx + x dy =. γ 3y dx + x dy = dt =. γ 3( t)4 3y dx + x dy = 4 γ3 = 3 4.
c) I = γ 3y dx + x dy = I + I + I 3 = 5 4. d) Es gilt f(x, y) = 3y und g(x, y) = x, somit g Green erhalten wir dann x f y = 5. Mit dem Satz von x 3 5 dy dx = 5 x 3 dx = 5 4.