K A N T O N S S C H U L E I M L E E W I N T E R T H U R MATURITÄTSPRÜFUNGEN 017 Klasse: g Profil: MN / M Lehrperson: Rolf Kleiner MATHEMATIK Zeit: 3 Stunden Erlaubte Hilfsmittel: Grafiktaschenrechner ohne CAS, beliebige Formelsammlung Bemerkungen: Die Prüfung enthält 10 Aufgaben mit 99 Punkten. Schreiben Sie Ihre Lösungswege klar nachvollziehbar auf. Geben Sie numerische Ergebnisse wenn möglich exakt, andernfalls sinnvoll gerundet an.
Maturitätsprüfung 017 Klasse g MN / M Mathematik Seite von = a x + 1 1. [1] Gegeben ist die Funktion f x. x a) Bestimmen Sie den Wert von a so, dass die Funktion an der Stelle x = ein lokales Extremum besitzt, und zeigen Sie mit Hilfe von Ableitungen sorgfältig, ob es sich dabei um ein lokales Minimum oder Maximum handelt. Nun sei a =, bzw. f ( x ) = x + 1 und t sei eine Tangente x an den Graphen von f an der Stelle x = 1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t. c) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f. d) Es sei A der Flächeninhalt zwischen der Kurve von f, der Tangente t und x =. (siehe Figur) Berechnen Sie den exakten Wert des Flächeninhalts A.. [8P] Die von der Kurve von y = e 1 x, den beiden Koordinatenachsen und x = b begrenzte Fläche wird um die x -Achse rotiert, wobei b > 0. a) Bestimmen Sie den exakten Wert für das Volumen des Rotationskörpers. Nun strebe b. Untersuchen und kommentieren Sie kurz anhand des gegebenen Beispiels die Behauptung: Das Volumen eines Rotationskörpers ist nur dann endlich, wenn der Körper beschränkt ist, bzw. nicht ins Unendliche reicht. = x + ( ) R (, 0) x 1 3. [5P] Gegeben ist der Graph der Funktion f x. Es sei A der Flächeninhalt des Dreiecks PQR, wobei P x 1,f x 1, Q x 1, 0 und. Dabei gilt. (siehe Figur) = 1 x 1 3 a) Zeigen Sie, dass A x 1 x1 x1 + 8. Bestimmen Sie den Wert von, für welchen der Flächeninhalt des Dreiecks PQR maximal wird. x 1 P Q R = x ln( x ) y = m x. [10P] Gegeben ist die Funktion f x und die Gerade. a) Der Graph von f schneidet die Gerade y = x (d.h. m = ) im Punkt S. Bestimmen Sie die exakten Koordinaten von S sowie den Schnittwinkel. Zeigen Sie, dass es für keinen Wert von m einen Punkt gibt, wo der Graph von f und die Gerade y = mx sich senkrecht schneiden. c) Bestimmen Sie ohne exakte Berechnung lim f x. = x + 6 5. [5P] Gegeben ist die Ableitung f ' x einer Funktion f. Es sei P ein Punkt auf der Kurve von f (nicht f ' ) im ersten Quadranten. Die Tangente an die Kurve von f im Punkt P hat die Gleichung y = x + 5. Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion f. x 0
Maturitätsprüfung 017 Klasse g MN / M Mathematik Seite 3 von = sin ( x ) 6. [8P] Die Funktion f x hat für x > 0 die Nullstellen x = k π, wobei x k = 1,, 3,,... (siehe Figur) a) Der Flächeninhalt zwischen der Kurve von f und der x-achse zwischen den Nullstellen x = k π und x = k +1 kann mit Hilfe der Parabelmethode (Simpson) und zwei Teilintervallen angenähert werden. Zeigen Sie, dass sich so als Näherungswert ergibt. 6k + 3 Es sei A der totale Flächeninhalt zwischen der Kurve von f und der x-achse für π x <. Notieren Sie als Annäherung für den Flächeninhalt A eine (unendliche) Reihe, indem Sie ein S-Zeichen benutzen und das Resultat aus Aufgabe a) verwenden. Erläutern Sie auch (ohne weitere Berechnungen), ob der totale Flächeninhalt A zwischen der Kurve von f und der x-achse endlich oder unendlich ist. π 7. [1] Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat die Spitze C 5,3,. Die Basis AB liegt in der Ebene E : x y z 19 = 0 wobei A 1, 1, 1. h c Die Höhe des Dreiecks steht senkrecht auf der Ebene E. a) Bestimmen Sie den Dreieckswinkel α. Bestimmen Sie die Koordinaten des Seitenmittelpunkts und der Ecke B. c) Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Geraden, welche durch C geht und sowohl senkrecht zur Geraden ( AC) verläuft als auch parallel zur Ebene E liegt. 8. [18P] Gegeben sind die Kugel K 1 mit Mittelpunkt M 1 3, 1, 0 und Radius 10, die Ebene E : 3x y 30 = 0 und der Punkt R 10, 0, 5. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Kugel. x 13 Zeigen Sie, dass die Gerade y die Kugel berührt und = z 1 +t 3 K 1 1 bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunkts. c) Zeigen Sie, dass der Punkt R 10, 0, 5 auf dem Schnittkreis der Ebene E mit der Kugel liegt. d) Bestimmen Sie den Radius des Schnittkreises der Ebene E mit der K 1 Kugel. K 1 K 1 M AB
Maturitätsprüfung 017 Klasse g MN / M Mathematik Seite von Es sei E T die Tangentialebene an die Kugel K 1 im Punkt R 10, 0, 5. e) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene. f) Bestimmen Sie den Winkel, unter welchem die Tangentialebene und die Ebene E sich schneiden. Die Punkte P 3, 5, und liegen auf einer zweiten Kugel, deren Mittelpunkt M sich auf der y-achse befindet. g) Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius der Kugel K. h) Zeigen Sie, dass die Kugeln K 1 und K sich berühren. Q ( 0, 1, 3) K E T E T 9. [1] Ein Spielwürfel ist so gefälscht, dass die geraden Augenzahlen, und 6 je mit doppelt so grosser Wahrscheinlichkeit erscheinen wie die ungeraden Augenzahlen 1, 3 und 5. a) Der gefälschte Würfel wird einmal geworfen. Es sei X die geworfene Augenzahl. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. Der gefälschte Würfel wird zweimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die geworfene Augensumme grösser als 10 ist. c) Bestimmen Sie mit algebraischen Methoden, wie oft man den gefälschten Würfel mindestens werfen muss, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine ungerade Zahl zu werfen, mehr als 99.99% beträgt. 10. [10P] In einer Urne befinden sich Kugeln. Davon sind x Kugeln weiss, doppelt so viele, also x Kugeln rot, und die restlichen Kugeln sind schwarz. ( x N 0 ) a) Bestimmen Sie, welche Werte für x zulässig sind. Nun werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Kugeln gleichfarbig sind, P ( x ) = 1x 336x + 3080 3080 beträgt. c) Bestimmen Sie die Anzahl weisser Kugeln (x ) so, dass die Wahrscheinlichkeit von zwei gleichfarbigen Kugeln minimal wird. d) Bestimmen Sie die Anzahl weisser Kugeln (x ) so, dass die Wahrscheinlichkeit von zwei gleichfarbigen Kugeln maximal wird. Nun werden n Kugeln mit Zurücklegen aus der Urne gezogen. ( n N) e) Es sei P die Wahrscheinlichkeit, dass drei weisse Kugeln gezogen werden. Bestimmen Sie einen Ausdruck für P in Abhängigkeit von n und x. ( n 3 ) f) Bestimmen Sie einen Ausdruck für den Erwartungswert der Anzahl gezogener schwarzer Kugeln in Abhängigkeit von n und x. Ende Prüfung
Maturitätsprüfung 017 Klasse g MN / M Mathematik Lösungen Seite 1 Maturitätsprüfung 017 Klasse g MN / M Mathematik Lösungen Bei komplizierteren Punkteverteilungen wird grundsätzlich pro groben Fehler ein Punkt abgezogen. ; f ' ( ) : Þ x = 0 a 3 8 = 0 a = 1 VZW von bei von auf + oder f ''( x ) = x + 6 3 f ' x = Þ f '' 3 x 1. a) f '( x ) = a x Þ Minimum von f bei x = für a = 1 P = 1 8 > 0 f ' 1 ; Þ Tangente: = 1 1 = f ( 1 ) = 1 + 1 1 = 3 y = x + 7 c) F ( x ) = + 1 dx = ln x 1 x x x +C auch ohne,+c d) 3 A = + 1 = = x x ( x + 7) dx ln x 1 x + x 7x 1 1 ln 1 + 8 1 ( 0 1+ 7) = ln 1 P 0.886. a) b 5P V = π e 1 x b dx = π e 1 x dx = 8π e 1 x b = 8π 1 e 1 b 0 0 limv = b lim b 8π 1 e 1 b 0 = 8π ( 1 0) = 8π Dies ist ein Beispiel eines unbeschränkten Rotationskörpers mit endlichem Volumen ( 8π < ); also ist die Behauptung falsch. 3. a) A( x 1 ) = 1 g h = 1 ( x ) x + 1 = x 3 x x + 8 = 0 Þ x 1 =, Þ für 3 x = A max x = 3 A' ( x 1 ) = 1 3x x. a) x ln x Þ Schnittwinkel = arctan (3) arctan () Þ Þ Þ = x ln( x ) = x = e S e, e f '( x ) = 1 ln( x ) + x 1 x +1= 3 m = Þ m 1 = f ' e = ln e ; ϕ = 8.13
Maturitätsprüfung 017 Klasse g MN / M Mathematik Lösungen Seite x ln x Þ Þ ; = m x x = e m m 1 = f ' e m Senkrecht: m = 1 Þ m = 1 3 Þ m +m +1= 0 m 1 m +1 Diskriminante b ac =1 < 0 Þ keine Lösung = m +1 m = m P c) lim f x = 0 x 0 5. Vergleich der Steigungen: x + 6 = Þ x = ± ; 1. Quadrant: x = 3 Þ Punkt auf Tangente bzw. Kurve: y = + 5 = 1 bzw. f f x dx + bzw. auch ohne +C = ; 3 x 3 + 6x +C = x + 6 = 1 3 8 + 6 +C = 1 C = 17 3 f Þ Þ Þ = 1 f ( x ) = 3 x 3 + 6x 17 3 5P 6. a) A = sin x dx b a x 3n y 0 +y 1 + y = π ±1 = 6 ( k + 0.5)π 5P A. Dies entspricht einer harmonischen Reihe, welche divergiert. 6k + 3 k =1 Der totale Flächeninhalt ist somit unendlich. 7. a) α = arcsin b!" #n!" ; b!" n!" Þ α = arcsin Þ b!" 13 = Þ b!" #n!" 13 = 5 5 # 1 = 18 M AB = Fusspunkt der Höhe h c = Durchstosspunkt der Normalen durch C zu E: x 5 3 n: y in E : Þ = 3 z +t 1 ( 5 + t ) ( 3 t ) ( t ) 19 = 0 t = Þ ( k +1)π kπ 6k + 3!! 6 = 10 AC! " 18 = 5. 198 3 = π oder α = arcsin h c ; ; AC AC = 79 8.1 Þ α = arcsin 1 79 = 5. M AB P h c = d ( C,Ebene ) = 36 3 = 1 5P ( 3, 1, 6 ) Þ B ( 15, 1, ) sin ( k + 0.5)π 0 + 3 ( k + 0.5)π P + 0
Maturitätsprüfung 017 Klasse g MN / M Mathematik Lösungen Seite 3 1 c) Richtung der Geraden: AC!!!"!!" 13 9 n E : = 9 5 1 1 = 36 9 x 5 1 Þ Gerade y z = 3 +t 1 8. a) Kugelgleichung K : Gemeinsame Punkte von Gerade und Kugel: Þ Þ genau eine Lösung bedeutet berühren Þ Berührpunkt c) R E : 3 10 0 30 = 0 ; R K 1: 10 3 d) ( 13 + t 3) + ( + 3t 1) + 1+t h = d ( M 1,E ) = 9 30 9 +16 ( x 3) + ( y 1) + z = 100 = 100 6t + 5t + 6 = 0 t = 1 + = 5 ; r = R 1 h = 100 5 = 75 (oder 6, 3,0 und ) Þ Kreisradius M Kreis e) n!"!!!! " 7 = M 1 R = 1 ; : R E T 7x y + 5 z 10 = 0 5!"!!!" n 1 #n 1 ( ) f) ϕ = arccos!"!!!" = arccos Þ n 5 10 = arccos 1 ϕ = 60 B ( 9, 7,0) + ( 0 1) + 5 = 100 r = M Kreis R r = 5 3 8.660 n 1 g) und : PM = QM M 0,y,0 9 + ( y 5) +16 = 0 + y 1 r = PM = QM = 5 Þ r = 5 + 9 Þ y = 5 Þ M 0,5,0 h) M 1 M = 3 + + 0 = 5 ; berühren: r 1 ± r = M 1 M : 10 ± 5 = 5? Ja! Þ Die beiden Kugeln berühren sich.
Maturitätsprüfung 017 Klasse g MN / M Mathematik Lösungen Seite 9. a) X 1 3 5 6 P 1 1 1 9 9 9 9 9 9 Þ Var X P Þ E ( X ) = 1 Þ 9 1+ 9 +... E ( X ) = 11 3 3.67 = 1 9 1 + 9 +... 11 = 17 3 9 11 9 = 6 9.89 Þ σ X = 6 3 1.6997 P ( Summe > 10) = P ( 11) +P ( 1) = 1 9 9 + 9 9 = 8 81 0.0988 = 1 3 c) P ungerade Þ > 0.9999 Þ n > P ( mind. 1x ungerade) = 1 P ( nie ungerade) = 1 3 log( 0.0001) log 3.7 Þ Man muss den Würfel mindestens 3 Mal werfen. n 10. a) Zulässige Werte: c) P ( x ) = x x 1 55 + x Þ P '( x ) = 0 x 18 x 1 55 + 3x P ( X ) = 1x 336x + 3080 3080 1 8x 336 3080 Þ d) Max. für P x am Rand : (alle Kugeln schwarz) Þ ( 55 3x ) 55 = 0 x min = 1 P ( 0) = 1 x max = 0 e) Binomialverteilung: B n, x ( 3) = = n 3 3 ( 1 x ) n 3 x f) E = n p = n 3x Notenskala und Resultate Maturitätsprüfung 017 Klasse g MN / M Mathematik Note 6 5.5 5.5 3.5 3.5 1.5 1.0 Anzahl Punkte 76 68 60 5 36 8 0 1 6 0 Anzahl SchülerInnen 0 1 5 5 1 0 0 0 Aufgabe 1 3 5 6 7 8 9 10 Total Themengebiet A A A A A A G G S S/(A) Anzahl Punkte 1 8 5 10 5 8 1 18 11 10 99 davon aus Pool 1 0 5 5 5 0 1 16 9 6 70