Kapitel 5 Netzwerkanalyse

1/19 Kapitel 5 Netzwerkanalyse 5.1 Einleitung Ein elektrisches lineares Netzwerk besteht aus elementaren Bauelementen wie lineare, passive Zweipole (z.b. ohmsche Widerstände) und ideale aktive Zweipole (ideale Strom- und Spannungsquellen). Eine grundsätzliche Aufgabe besteht darin, sämtliche Spannungen und Stromstärken der Zweipole (Elemente) eines linearen Netzwerks effektiv und effizient 1 zu berechnen. Zur systematischen Behandlung der Aufgabe, wird ein Netzwerk als Graph dargestellt (siehe Anhang). Jeder Zweipol bildet einen Zweig, jede Verknüpfung zwischen zwei oder mehreren Zweipolen einen Knoten des Netzwerks. Die Anzahl der Zweige (Elemente) eines Netzwerks wird mit z, die der Knoten mit k bezeichnet. Wenn nicht anders vermerkt, soll das Netzwerk mehrfach-zusammenhängend sein, d. h., dass es nicht durch Aufschneiden eines einzelnen Knotens in zwei getrennte Teile zerfällt. Beispiele: einfach- aber nicht mehrfach-zusammenhängend zweifach-zusammenhängend Problemformulierung Für alle z Zweige des betrachteten Netzwerks, werden die Stromstärken (Zweigströme) und die Spannungen (Zweigspannungen) gesucht. Im Allgemeinen sind die Werte der passiven Bauelemente sowie die eingeprägten Quellengrössen des Netzwerks bekannt. > Es sind somit 2 z unbekannte Grössen zu ermitteln. Lösungsprinzip Es gibt verschiedene Möglichkeiten das gestellte Problem zu lösen. Alle verwenden die kirchhoffschen Gesetze (Bilanzgesetze: Knoten- und Maschengleichungen) und die Beziehungen zwischen Spannung und Stromstärke der passiven und aktiven Zweipole (konstitutive Gesetze wie z. B.: U i = R i I i ; U j = U qj ; I j = I qj ). Wie im Anhang gezeigt wird, können k 1 linear unabhängige 2 Knotengleichungen, sowie z-k+1 linear unabhängige Maschengleichungen mit den kirchhoffschen Gesetzen aufgestellt werden. Jeder Zweipol des Netzwerks liefert ausserdem eine U-I-Beziehung. > (k 1) Knotengl. + (z k+1) Maschengl. + (z) U-I-Beziehungen = (2 z) Gleichungen Es gibt also genau so viele Gleichungen wie unbekannte Grössen: das Problem ist also lösbar. Die verschiedenen Verfahren unterscheiden sich vor allem durch die Systematik mit welcher die Gleichungen aufgestellt werden können und den rechnerischen Aufwand zur Bestimmung ihrer numerischen Lösung. Bemerkung: Ein komplizierteres lineares Netzwerk kann in mehreren Stufen berechnet werden. Dafür kann man das Netzwerk in verschiedene Zweipole zerlegen, für die man die Quellenersatzschaltungen in einer vorangehenden Analyse bestimmt. Das Gesamtnetzwerk kann dann, durch Zusammenschaltung solcher Ersatzzweipolen, vereinfacht dargestellt und berechnet werden. 1 effektiv: richtig, bzw. fehlerfrei; effizient: mit minimalem bzw. vertretbarem Aufwand 2 linear unabhängig: keine Gleichung kann aus den anderen hergeleitet werden, d. h. jede Gleichung enthält Information die in den anderen nicht enthalten ist.

5.2 Direkte Bestimmung der Zweiggrössen Elektrizitätslehre, Netzwerkanalyse 2/19 Bei dieser Analysemethode werden die z Zweigstromstärken und die z Zweigspannungen als unbekannte Grössen betrachtet. Vorgehen 1) Um die kirchhoffschen Gleichungen aufzustellen, müssen Bezugsrichtungen für sämtliche Stromstärken und Spannungen der Zweipole gewählt werden. Sinnvollerweise werden diese Bezugsrichtungen alle nach dem gleichen Bezugspfeilsystem (z. B. nach dem Verbraucherpfeilsystem) gewählt. Diese Wahl ist aber nicht zwingend. Sie gewährt durch ihre Systematik eine geringere Fehleranfälligkeit des Verfahrens. 2) Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems (2 z Gleichungen). Beispiel R 1 R 3 I U 1 U 3 U q U U 2 R 2 U 4 R 4 Figur 5.1 Beispiel: Netzwerk mit 5 Zweigen und 4 Knoten mit eingetragenen Bezugsrichtungen für die Zweigspannungen und stromstärken. Die Knoten sind durch ihre Potentiale ϕ i gekennzeichnet. Die Schaltung gemäss der Figur 5.1 besteht aus z = 5 Zweigen und k = 4 Knoten. Gegeben sind die Widerstandswerte und die Quellengrössen (hier die Quellenspannung U q ). Zu bestimmen sind 2 z = 1 unbekannte Grössen: die Zweigspannungen U i und die dazugehörenden Zweigstromstärken I i der Schaltung (i =, 1,, 4). Aufstellen des Gleichungssystems Für das Beispiel können genau 3 linear unabhängige Kotengleichungen aufgestellt werden. Dabei spielt es keine Rolle für welche Knoten die Gleichungen aufgestellt werden 3. Für die Knoten, und ergeben sich mit den willkürlich gewählten Bezugsrichtungen für die Stromstärken: I = = = Es können genau 2 linear unabhängige Maschengleichungen aufgestellt werden 4. Die einfachste Methode (bei planaren Netzwerken 5 ) besteht darin, Gleichungen für die "kleinsten" geschlossenen Pfade innerhalb der Schaltung aufzustellen. Es ergibt sich: U + U 1 + U 2 = U 2 + U 3 + U 4 = 3 Mann kann ohne weiteres zeigen, dass die vierte Knotengleichung aus den drei anderen hergeleitet werden kann, d. h. dass sie keine zusätzliche Information enthält und somit überflüssig ist. 4 Analog zu den Knotengleichungen kann gezeigt werden, dass die übrige Maschengleichung aus den zwei vorhandenen hergeleitet werden kann. 5 Netzwerke die sich zeichnen lassen, ohne dass sich Verbindungen (Zweige) überkreuzen.

3/19 Die restlichen 5 Gleichungen lauten: U 1 R 1 = U 2 R 2 = U 3 R 3 = U 4 R 4 = U = U q Bei allen Gleichungen wurden die unbekannten Grössen auf die linke, die bekannten auf die rechte Seite des Gleichheitszeichen gelegt. Das Auflösen der 1 Gleichungen nach den 1 unbekannten Grössen erfolgt an einfachsten numerisch mit einem numerischen Programm wie z. B. Matlab. Zuerst muss dafür das Gleichungssystem in Matrixform aufgestellt werden. In den ersten 2 Zeilen sind hier die Maschengleichungen, in den Zeilen 3 bis 5 die Knotengleichungen und in den Zeilen 6 bis 1 die U-I-Beziehungen dargestellt: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 R 1 1 R 2 1 R 3 1 R 4 1 U U 1 U 2 U 3 U 4 I = U q Bemerkung: Die Reihenfolge in der die Gleichungen angegeben werden, spielt keine Rolle. Das Gleichungssystem kann formal mit A x = b angegeben werden. Dabei ist A die (quadratische 6 ) Systemmatrix, x der Vektor (Spaltenvektor) der unbekannten Grössen und b der Vektor (Spaltenvektor) der sogenannten Störgrössen (siehe Anhang). Formal lässt sich die Lösung wie folgt bestimmen: x = A 1 b A 1 ist die Inverse der Matrix A. Diese kann aber nur gebildet werden, wenn A nichtsingulär ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Gleichungen voneinander linear unabhängig sind. 6 Mit gleichviel Zeilen wie Spalten.

4/19 Lösen mit Matlab % Berechnung eines Widerstandsnetzwerks (numerisches Beispiel) % % 3. Nov. 23, M. Schlup clear all, clc, format compact % Gegebene Werte % Schaltungsstruktur z=5; % Anzahl Zweige n=2*z; % Anzahl unbekannte Grössen % Widerstandswerte R1=4; % Ohm R2=2e3; % Ohm R3=1e3; % Ohm R4=5; % Ohm % eingeprägte Quellengrössen Uq=1; % Volt % Gleichungssystem, Definition der Matrizen % Systemmatrix % U U1 U2 U3 U4 I I1 I2 I3 I4 A = [ -1 1 1 % MG 1-1 1 1 % MG 2-1 -1 % KG 1 1-1 -1 % KG 2 1-1 % KG 3 1 -R1 1 -R2 1 -R3 1 -R4 1 ]; % Störvektor (als Spaltenvektor eingegeben) b=[ Uq]'; % Lösen des Gleichungssystems und Ablegen des Ergebnisses im Spaltenvektor x x=a\b; % Zweigspannungen in V Uz=x(1:z) % Zweigstromstärken in ma Iz=x(z+1:2*z)*1e3 % Zweigleistungen in mw Pz=Uz.*Iz

5/19 Beurteilung der direkten Bestimmung der Zweiggrössen Pluspunkte alle Zweiggrössen sind direkt berechenbar, auch Stromstärken in (idealen) Spannungsquelen und Spannungen über (ideale) Stromquellen keine besondere Behandlung von idealen Strom- und Spannungsquellen nötig Minuspunkte zum Aufstellen des Gleichungssystems, müssen Bezugsrichtungen für alle Zweiggrössen festgelegt werden, diese beeinflussen die Vorzeichen der Koeffizienten in der Matrix > Fehlerquelle verschiedenartige Gleichungen vermischt in einem Gleichungssystem, keine Struktur > schlechte Übersicht > keine direkten Überprüfungsmöglichkeiten es müssen z-k+1 Kreise gewählt werden, die auf linear unabhängige Maschengleichungen führen > zusätzlicher Aufwand um Baum, bzw. Sehnen festzulegen (siehe Anhang) viele Gleichungen > relativ grosser Rechenaufwand (nur von Bedeutung bei Lösen von Hand) Weitere Verfahren Neben der Analyse der Zweiggrössen gibt es Verfahren bei denen die gesuchten Grössen in zwei Stufen bestimmt werden: Das Gleichungssystem wird nur für einen Teil der Grössen aufgestellt, die anderen Grössen werden dann in einem zweiten Schritt berechnet. Somit sind auch weniger Gleichungen erforderlich. Zu dieser Kategorie gehören z. B. folgende Verfahren: Zweigstromanalyse Kreisstromanalyse Knotenspannungsanalyse Knotenpotentialanalyse Bei diesem Verfahren werden die z unbekannten Zweigstromstärken aus den Knoten- und Maschengleichungen bestimmt. Die z Zweigspannungen werden anschliessend aus den U-I-Beziehungen ermittelt. Im Netzwerk vorhandene Stromquellen müssen besonders behandelt werden, da deren Zweigstrom bekannt aber deren Zweigspannung unbekannt ist. Man kann die Zweigstromstärken eines linearen Netzwerkes aus den sogenannten Kreisstromstärken berechnen (Anwendung des Superpositionsprinzips). Da es gerade so viele Kreisstromstärken wie Maschengleichungen gibt, ist der Lösungsweg klar. Wie bei der Zweigstromanalyse müssen Stromquellen besonders behandelt werden. Als unbekannte Grössen werden hier die k 1 Spannungen der Knoten gegenüber einem Bezugsknoten verwendet. Diese Spannungen entsprechen den Potentialen der Knoten, wenn der Bezugsknoten das Potential Null aufweist. Da es gerade so viele unbekannte Grössen wie Knotengleichungen gibt, ist der Lösungsweg auch hier klar. Die Zweiggrössen können aus diesen Spannungen ermittelt werden. Spannungsquellen müssen besonders behandelt werden, da deren Zweigstromstärke unbekannt ist. Anstelle der Knotenspannungen werden hier die k Knotenpotentiale gesucht. Es wird also zusätzlich zu den k 1 Knotengleichungen noch eine Gleichung benötigt. Diese wird durch die (beliebige) Festlegung eines der Knotenpotentiale geliefert. Auch hier müssen Spannungsquellen besonders behandelt werden. Sämtliche Verfahren eignen sich auch für die Berechnung von linearen Wechselstromnetzwerken. Ein numerisches Verfahren soll in der Praxis robust sein: Die Netzwerkstruktur und die Art der Bauelemente sollen einfach definiert werden können, so, dass Flüchtigkeitsfehler (z. B. wegen der Wahl der Bezugsrichtungen) nahezu ausgeschlossen werden. Diese Forderung wird am besten durch die Knotenpotentialanalyse erfüllt. Aus didaktischen Gründen wird im Folgenden auch die Kreisstromanalyse vorgestellt.

5.3 Kreisstromanalyse Lösungsprinzip Elektrizitätslehre, Netzwerkanalyse 6/19 Wegen der Linearität des Netzwerks können alle Zweigströme aus sogenannten Kreisströmen ausgedrückt werden (Superpositionsprinzip). Mit Hilfe der Graphentheorie (siehe Anhang) können die Kreisströme wie folgt ermittelt werden: Jeder Kreisstrom fliesst genau durch eine Sehne, ansonsten in Ästen des Baums. Somit können in einer Schaltung mit k Knoten und z Zweigen genau z-k+1 Kreisströme definiert werden. Die Kreisstromstärke entspricht der Zweigstromstärke der entsprechenden Sehne. Um Vorzeichenfehler zu vermeiden, sollten die Bezugsrichtungen dieser beiden Ströme übereinstimmend gewählt werden. Letzteres ist aber nicht zwingend. Bemerkung: Da für einen gegebenen Graphen verschiedene Bäume gewählt werden können, werden möglicherweise auch die Kreisströme verschieden definiert. Die Zweigstromstärken in den Ästen lassen sich als Überlagerung der Kreisströme bestimmen. Dies ist in den folgenden Beispielen illustriert: Beispiel 1 (7 Zweige, davon 4 Äste und 3 Sehnen) I b I 6 I a I c I 5 I 7 I4 mit den Kreisströmen I a, I b und I c ergibt sich für sämtliche Zweigströme: I 5 I 6 I 7 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 1 Beispiel 2 (3 Zweige, davon1 Ast und 2 Sehnen) I a I b I c I a I b 1 1 = 1 I a I 1 b mit den Kreisströmen I a und I b ergibt sich für die Zweigströme:

7/19 Als Gleichungssystem für die Kreisstromstärken werden die k z+1 Maschengleichungen herangezogen. Ein Problem ergibt sich, falls das Netzwerk Stromquellen enthält, da die Spannung über einer (idealen) Stromquelle nicht bekannt ist und diese sich nicht durch die Kreisströme ausdrücken lässt. Zur Abhilfe sind mehrere Verfahren möglich (siehe weiter hinten im Text). Vorgehen (wenn keine Stromquellen in der Schaltung sind) 1) Wahl der Sehnen bzw. der Kreise durch Festlegung des Baums. Festlegung der Bezugsrichtungen für Kreis- und Zweigstromstärken. 2) Aufstellen der z k+1 Maschengleichungen und Auflösen nach den Kreisstromstärken (Sehnenströme). 3) Berechnen der restlichen Zweigstromstärken (Astströme). Beispiel R 1 R 3 I U q I a I b R 2 R 4 Figur 5.2 Beispiel mit eingetragenen Kreisströmen Der Zusammenhang zwischen den Zweig- und den Kreisstromstärken lautet hier wie folgt: I 1 1 = 1 1 I a 1 I b 1 Mit den gemäss Figur 5.2 gewählten Bezugsrichtungen ergeben sich folgende 2 Maschengleichungen in Funktion der Zweigstromstärken (gegebene Grössen rechts vom Gleichheitszeichen) und der Kreisstromstärken (Einfügen der Beziehung oben für die Zweigstromstärken): R 1 R 2 R 2 R 3 R 4 I = U q > 1 1 R 1 R 2 R 2 R 3 R 4 1 1 I a 1 I b = U q 1 Nach ausmultiplizieren der Matrizen bleibt: R 1 + R 2 R 2 R 2 R 2 + R 3 + R 4 I a I b = U q Die Korrektheit dieses Gleichungssystems kann einfach überprüft werden.

8/19 In allgemeingültiger Matrixform kann das Gleichungssystem wie folgt geschrieben werden: R I k = U s dabei sind R I k U s Widerstandsmatrix Vektor der gesuchten Kreisstromstärken Störvektor der eingeprägten Quellenspannungen Folgende Merkmale sind allgemeingültig und ermöglichen die direkte Aufstellung des Gleichungssystems in Matrixform: Die Widerstandsmatrix ist symmetrisch! Die Diagonalelemente sind jeweils die Summen der einzelnen Widerständen entlang der betrachteten Kreisen. In den Elementen ausserhalb der Diagonalen stehen die Summen der Widerstandswerte die zwei benachbarte Kreise teilen (gemeinsam haben). Das Vorzeichen der einzelnen Widerstände ist negativ, wenn die Kreisströme in ihnen entgegengesetzt fliessen, sonst ist es positiv. Die Vorzeichen der eingeprägten Spannungen im Störvektor sind negativ, falls die Richtung des Kreisstroms der Spannungsrichtung der Quelle entspricht, sonst sind sie positiv. Bemerkung zur Wahl der Kreisströme bei planaren Netzwerken Als Kreisströme, ist es bei planaren Netzwerken 7 naheliegend die Maschenströme 8 zu wählen, so wie in der folgenden Figur dargestellt wird: Ia Id Ib Ie Ic k = 9, z = 14, z-k+1 = 6 If Weisen dabei alle Maschen dieselbe Umlaufrichtung auf, so sind alle Elemente der Widerstandsmatrix ausserhalb der Diagonale negativ. 7 Netzwerke deren Graphen sich ohne Kreuzung zweier Zweige zeichnen lassen 8 Maschenströme sind eine besondere Art von Kreisströmen. Ein Kreis, der keinen weiteren Kreis innerhalb oder ausserhalb sich selbst enthält, wird Masche genannt. Ein planares Netzwerk weisst z k+2 Maschen auf.

9/19 Vorgehen bei Vorhandensein von Stromquellen 1. Variante: Erweiterung Die unbekannte Quellenspannung wird als zusätzliche unbekannte Grösse zu den Kreisstromstärken eingeführt. Die zusätzliche, zur Lösung des Problems benötigte Gleichung liefert dann das Gleichsetzen der eingeprägten Quellenstromstärke mit der entsprechenden Zweigstromstärke. 2. Variante: Vereinfachung Der Baum des Netzwerks wird so gewählt, dass die ideale Stromquelle mit einer Sehne zusammenfällt. Somit ist der betreffende Kreisstrom gleich dem eingeprägten Strom der Quelle und die dazugehörende Maschengleichung muss nicht aufgestellt werden. Die Anzahl Maschengleichungen z-k+1 wird dabei um die Anzahl idealer Stromquellen reduziert. Bei diesem Verfahren muss die Quellenspannung im Nachhinein ermittelt werden. 3. Variante: Umwandlung der Stromquelle Lineare Stromquellen können vorab in äquivalente Spannungsquellen umgewandelt werden. So enthält das Netzwerk nur noch Spannungsquellen. Dieses Verfahren ist allerdings nur dann möglich, wenn sich parallel zur Stromquelle auch ein Widerstand befindet. Nach der Auflösung des Gleichungssystems muss natürlich die Quellentransformation rückgängig gemacht werden. Beurteilung der Kreisstromanalyse Pluspunkte enthält nur Maschengleichungen > bessere Übersicht > systematisches Aufstellen der Gleichungen möglich weniger Gleichungen > kleinerer Rechenaufwand Minuspunkte es müssen z k+1 Maschen gewählt werden, die auf linear unabhängige Maschengleichungen führen > Wahl eines Baums Zum Aufstellen des Gleichungssystems, müssen Bezugsrichtungen für die Kreisstromstärken festgelegt (gewählt) werden > Vorzeichenfehler Zweigströme in Ästen müssen indirekt aus den Kreisströmen berechnet werden > Vorzeichenfehler > ev. numerische Probleme bei Differenzbildung von etwa gleich grossen Zweigströmen (Auslöschung!) das Behandeln von Stromquellen erfordert zusätzliche Massnahmen Schlussfolgerung Die Kreisstromanalyse eignet sich vor allem für kleine Netzwerke die "von Hand" gerechnet werden sollen, da sie in den meisten Fällen auf eine kleine Anzahl Gleichungen führt.

5.4 Knotenpotentialanalyse Lösungsidee Elektrizitätslehre, Netzwerkanalyse 1/19 Dual zur Methode der Kreisstromanalyse, können anstelle der Maschengleichungen die Knotengleichungen benutzt werden. Die gesuchten Grössen sind dabei die k unbekannten Knotenpotentiale ϕ i. Aus den Knotenpotentialen lassen sich alle weiteren für die Netzwerkberechnung benötigten Grössen berechnen: für die Spannung des k-ten Zweigs zwischen den Knoten i und j gilt: U k = U ij = ϕ i ϕ j für die entsprechende Stromstärke bei einem Widerstand mit Leitwert G k : I k = G k U k = G k (ϕ i ϕ j ) Zum Lösen des Problems werden also insgesamt k Gleichungen benötigt. Es können k Knotengleichungen aufgestellt werden, davon sind aber nur k-1 linear unabhängig. Die fehlende Beziehung liefert die "Erdung": das Bezugspotential wird willkürlich in einem der Knoten festgelegt (z. B. der i-te Knoten auf das Potential ϕ ). Die entsprechende Beziehung lautet: ϕ i = ϕ. Bemerkung: Die Methode kann für nicht- oder nur einfach-zusammenhängende Netzwerke benutzt werden. Ein Problem ergibt sich, falls das Netzwerk Spannungsquellen enthält, da die Stromstärke in einer (idealen) Spannungsquelle nicht bekannt ist und diese sich nicht durch die Knotenpotentiale ausdrücken lässt. Zur Abhilfe sind mehrere Verfahren möglich (siehe weiter hinten im Text). Vorgehen (wenn keine Spannungsquellen in der Schaltung sind) 1) Festlegung der Bezugsrichtungen für alle Zweigspannungen und Aufstellen der Inzidenzmatrix (siehe Anhang) 2) Aus Gründen der Systematik werden alle k Knotengleichungen aufgestellt, auch wenn diese linear abhängig sind. 3) Festlegen des Bezugspotentials eines Knotens ("Erdung"). Ersetzen irgend einer der Knotengleichungen durch diese Beziehung. 4) Auflösen des Gleichungssytems und berechnen der Zweigrössen aus den ermittelten Knotenpotentialen.

11/19 Beispiel R 1 R 3 I q U 1 U 3 U U 2 R 2 U 4 R 4 =ϕ Figur 5.3 Beispiel mit Stromquelle und eingetragenen Bezugsrichtungen für die Zweigspannungen und stromstärken. Der Zusammenhang zwischen den Zweigstromstärken den Zweigleitwerten und den Knotenpotentialen kann wie folgt beschrieben werden: G 1 G = 2 G 3 G 4 U 1 U 2 U 3 U 4 U 1 U 2 U 3 U 4 1 1 1 1 = 1 1 1 1 und damit G 1 1 1 G = 2 1 1 G 3 1 1 G 4 1 1 G 1 G 1 G = 2 G 2 G 3 G 3 G 4 G 4 Mit den gemäss Figur 5.3 gewählten Bezugsrichtungen ergeben sich folgende k = 4 Knotengleichungen in Funktion der Zweigstromstärken (gegebene Grössen rechts vom Gleichheitszeichen): 1 1 1 1 1 1 1 1 I q = I q 1 G 1 G 1 1 1 1 G 2 G 2 1 1 G 3 G 3 1 1 G 4 G 4 I q = I q Bemerkenswert hier ist die Tatsache, dass die Matrix mit der die Knotengleichungen aufgestellt werden (die Inzidenzmatrix) identisch ist mit der Matrix mit der die Zweigspannungen aus den Potentialen bestimmt werden, wenn man die Zeilen mit den Spalten vertauscht 9. Nach ausmultiplizieren der Matrizen bleibt: G 1 G 1 G 1 G 1 + G 2 + G 3 G 3 G 2 G 3 G 3 + G 4 G 4 G 2 G 4 G 2 + G 4 I q = I q Dieses Gleichungssystem beschreibt die k Knotengleichungen des Netzwerkes. Es ist linear abhängig 1 und kann demzufolge nicht gelöst werden. 9 Das Vertauschen der Zeilen mit den Spalten einer Matrix wird mit Transposition bezeichnet. 1 Dies kann hier an der Tatsache gezeigt werden, dass die Summe aller Gleichungen Null ergibt.

12/19 Das Gleichungssystem lautet in allgemeiner Matrixschreibweise: G ϕ k = I s wobei G ϕ k I s (unbestimmte) Leitwertmatrix Vektor der unbekannten Knotenpotentialen Einströmungsvektor (Störvektor der in die Knoten eingeprägten Stomstärken) Folgende Merkmale sind allgemeingültig und ermöglichen die direkte Aufstellung des Gleichungssystems in Matrixform: Die Leitwertmatrix ist symmetrisch 11. Die Diagonalelemente sind jeweils die Summen der Leitwerte der an den Knoten angehängten Widerstände. In den Elementen ausserhalb der Diagonalen stehen immer die negativen Leitwerte der Widerstandselemente zwischen benachbarten Knoten. Die Matrix ist unabhängig von den Bezugsrichtungen der Zweigstromstärken. Die Vorzeichen der eingeprägten Stromstärken im Störvektor sind negativ, falls der Strom aus dem Knoten herausfliesst, sonst sind sie positiv. Die Leitwertmatrix kann z.b. mit der Inzidenzmatrix direkt aufgestellt werden (siehe Anhang). Folgende Eigenschaften ermöglichen eine einfache Überprüfung des Gleichungssystems: Die Spaltensumme der Leitwertmatrix ergibt Null > Matrix ist singulär Da die Matrix symmetrisch ist, ergibt auch die Zeilensumme Null. Die Spaltensumme des Störvektors ergibt ebenfalls Null. Bemerkung: Die (unbestimmte) Leitwertmatrix kann auch aus der Inzidenz- und der Zweigleitwertmatrix ermittelt werden (siehe Beispiel und Anhang). Das Gleichungssystem ist aber linear abhängig: Eine der Knotengleichungen lässt sich aus den anderen herleiten und ist demzufolge überflüssig. Die Leitwertmatrix ist somit nicht invertierbar (ist singulär). Aus diesem Grund wird sie unbestimmte Leitwertmatrix genannt. Um das Gleichungssystem lösen zu können, muss das Potential eines (an sich beliebigen) Knotens (Referenzpunkt) festgelegt werden. Die entsprechende Gleichung lautet für den i-ten Knoten z. B.: ϕ i = ϕ. Irgend eine der Knotengleichungen des Systems kann durch diese Beziehung ersetzt werden. Das Bezugspotential ϕ kann aber muss nicht Null sein. Aus dem Beispiel werde der Knoten 4 auf das Potential ϕ gelegt > Ersetzen der 4. Knotengleichung durch die Beziehung = ϕ (Änderung mit Fettschrift hervorgehoben): G 1 G 1 G 1 G 1 + G 2 + G 3 G 3 G 2 G 3 G 3 + G 4 G 4 1 I q = Diese neue Matrix G ist nicht mehr singulär und kann invertiert werden (das Gleichungssystem kann gelöst werden). Sie wird bestimmte Leitwertmatrix genannt. ϕ 11 D. h. sie entspricht ihrer eigenen Transponierten: A T = A.

13/19 Vorgehen bei Vorhandensein von Spannungsquellen 1. Variante: Erweiterung Das Verfahren soll erläutert werden an Hand einer Spannungsquelle im k-ten Zweig zwischen den Knoten i und j (Plusklemme im Knoten i). Die unbekannte Stromstärke I k durch diese Spannungsquelle muss in den Knotengleichungen der Knoten i und j berücksichtigt werden. Um dies bewerkstelligen zu können, wird die unbekannte Quellenstromstärke als zusätzliche unbekannte Grösse zu den Knotenpotentialen eingeführt. Die beiden Knotengleichungen für die Knoten an denen die Spannungsquelle hängt, werden damit ergänzt. Die zusätzliche, zur Lösung des Problems benötigte Gleichung liefert dann der durch die Quelle eingeprägte Potentialunterschied: falls die eingeprägte Quellenspannung U q beträgt, lautet diese Beziehung: ϕ i ϕ j = U q. 2. Variante: Vereinfachung Im Gegensatz zur Variante 1 wird die unbekannte Stromstärke I k der Spannungsquelle hier nicht als zusätzliche Unbekannte eingeführt. Falls man die Knotengleichungen der Knoten i und j zusammenzählt, so verschwindet diese Stromstärke, da sie bei einem der Knoten hinein- und beim anderen herausfliesst. Die so gebildete Summe (der beiden Knotengleichungen) kann dann anstelle von einer der ursprünglichen Knotengleichungen (i oder j) in das Gleichungssystem aufgenommen werden ohne, dass sich dabei etwas verändert 12. In der anderen übrigbleibenden Knotengleichung ist aber die unbekannte Quellenstromstärke immer noch enthalten. Diese Gleichung kann aber weggelassen und durch die, durch die Quelle eingeprägte Potentialbeziehung ersetzt werden. Beispiel R 1 R 3 I I U 2 I 1 U 4 3 U q U 2 R 2 U 4 R 4 Figur 5.4 Beispiel mit Spannungsquelle Die k Knotengleichungen lauten hier (wie im Beispiel gemäss Figur 5.3): G 1 G 1 G 1 G 1 + G 2 + G 3 G 3 G 2 G 3 G 3 + G 4 G 4 G 2 G 4 G 2 + G 4 I = I Die Stromstärke I durch die Spannungsquelle ist allerdings unbekannt! 12 Wird eine Gleichung in einem Gleichungssystem ersetzt durch eine Linearkombination dieser Gleichung mit irgend einer der anderen Gleichungen des Systems, so ändert sich nichts an der Lösung des Gleichungssystems.

14/19 Die Summe der Knotengleichungen 1 und 4 anstelle der Gleichung 4 ergibt (Änderungen fett hervorgehoben): G 1 G 1 G 1 G 1 + G 2 + G 3 G 3 G 2 G 3 G 3 + G 4 G 4 G 1 G 1 G 2 G 4 G 2 + G 4 I = Ersetz man nun die Knotengleichung 1 durch die Potentialbeziehung = U q ergibt sich: 1 1 G 1 G 1 + G 2 + G 3 G 3 G 2 G 3 G 3 + G 4 G 4 G 1 G 1 G 2 G 4 G 2 + G 4 U q = Dieses Gleichungssystem ist nach wie vor linear abhängig und somit nicht lösbar, wie man durch Zusammenzählen der übrig verbleibenden Knotengleichungen überprüfen kann (die Summe der Gleichungen ergibt Null). Um das Gleichungssystem lösen zu können, muss noch das Potential eines Knotens festgelegt werden ("Erdung"): = ϕ. Diese letzte Beziehung kann anstelle von irgendeiner der Knotengleichungen gesetzt werden. Zweckmässig ist aber die Knotengleichung die zum "geerdeten" Knoten gehört, also hier die 4. Gleichung: 1 1 G 1 G 1 + G 2 + G 3 G 3 G 2 G 3 G 3 + G 4 G 4 1 U q = ϕ Würde der Knoten 1 "geerdet", so darf die Potentialbeziehung natürlich nicht überschrieben werden. In diesem Fall muss ebenfalls Gleichung 4 ersetzt werden. Bei diesem Verfahren kann die Quellenstromstärke im Nachhinein getrennt von den Knotenpotentialen ermittelt werden. Bemerkungen: Bei mehreren Quellen ist auf die Wahl der Reihenfolge der Schritte zu achten, da keine der schon eingebauten Potentialbeziehungen "überschrieben" werden darf. Es können maximal k-1 Spannungsquellen in das Netzwerk eingefügt werden. In diesem Fall wären alle Spannungen zwischen den Knoten festgelegt. 3. Variante: Umwandlung der Spannungsquelle Lineare Spannungsquellen können in äquivalente Stromquellen umgewandelt werden. So enthält das Netzwerk nur noch Stromquellen. Dieses Verfahren ist allerdings nur dann möglich, wenn sich in Serie zur Spannungsquelle auch ein Widerstand befindet. Nach der Auflösung des Gleichungssystems muss natürlich die Quellentransformation rückgängig gemacht werden.

Beurteilung der Knotenpotentialanalyse (1. und 2. Varianten) 15/19 Pluspunkte basiert auf Knotengleichungen > ermöglicht systematisches Aufstellen der Knotengleichungen > ermöglicht systematische Überprüfung des Gleichungssystems (Spaltensumme, Symmetrie) > die Wahl von Bezugsrichtungen für die Zweige beeinflusst das Gleichungssystem nicht keine Netzwerkumformungen oder -umwandlungen nötig: z.b. keine Umrechnungen von linearen Quellen in duale Ersatzquellen (wie in der 3. Variante) unverändert verwendbar für lineare Wechselstromnetzwerke (RLC-Netzwerke, auch mit idealen Transformatoren, Operationsverstärkern, usw.) verwendbar für rechnergestützte, automatisierte Netzwerkberechnung auch einfach- und nicht-zusamenhängende Netzwerke sind mit dieser Methode bestimmbar; nichtzusammenhängende Netzwerke ergeben sich z. B. bei magnetisch gekoppelten Kreisen (mit Transformatoren oder Übertrager) in diesem Fall muss in jedem Kreis ein Knoten geerdet werden Minuspunkte Mehraufwand für die Behandlung von Spannungsquellen durch Potentialbeziehungen. Vorsicht bei der Wahl der zu ersetzenden Knotengleichung für die Einfügung einer Potentialbeziehung: solche Gleichungen dürfen im Nachhinein nicht mehr ersetzt oder "geerdet" werden! Variante 2 liefert die Stromstärken in Spannungsquellen nicht Zusammenfassung des Vorgehens (2. Variante) 1) Festlegung der Bezugsrichtungen für alle Zweigspannungen und Aufstellen der Inzidenzmatrix (siehe Anhang) 2) Aus Gründen der Systematik werden alle k Knotengleichungen aufgestellt, auch wenn diese linear abhängig sind. 3) Für jede Spannungsquelle: ersetzen einer der betroffenen Knotengleichungen durch die Summe der ursprünglichen Knotengleichungen ersetzen der anderen Knotengleichung durch die sich ergebende Potentialbeziehung 4) Festlegen des Bezugspotentials eines Knotens ("Erdung"). Ersetzen irgend einer der übrigbleibenden Knotengleichungen durch diese Beziehung. 5) Auflösen des Gleichungssytems und berechnen der Zweigrössen aus den ermittelten Knotenpotentialen.

Anhang 5.1 Graphen und Netzwerke 16/19 Netzwerke können als Graphen dargestellt werden, wobei jeder Zweig des Graphen ein Zweipol des Netzwerks darstellt. Punkte, bei denen Zweige eines Graphen zusammenstossen, werden Knoten genannt. Ein (beliebiger) geschlossener Pfad längs Zweigen wird Kreis genannt. Ein Kreis, der keinen weiteren Kreis innerhalb oder ausserhalb sich selbst enthält, wird Masche genannt. Bemerkung: Der Maschenregel nach Kirchhoff müsste nach obiger Definition "Kreisregel" und die Maschengleichungen "Kreisgleichungen" heissen. Ein Baum entsteht durch Verbindung aller Knoten des Graphen durch Zweige, ohne, dass dabei Kreise entstehen. Es existieren mehrere Möglichkeiten einen Baum für ein gegebenes Netzwerk festzulegen. Zweige des Baumes werden Äste genannt. Zweige die nicht zum Baum gehören werden Sehnen genannt. Falls der Graph eines beliebigen, zusammenhängenden Netzwerks z Zweige und k Knoten besitzt, so besitzt jeder beliebige Baum dieses Graphs genau k-1 Äste und z-k+1 Sehnen. Für ein Netzwerk können so viele Knotengleichungen wie Knoten aufgestellt werden. Allerdings sind diese Gleichungen linear abhängig: eine der Gleichungen lässt sich als Linearkombination aus den anderen erzeugen. Die Gesamtheit der Information aus den Knotengleichungen kann mit k-1 unabhängigen Gleichungen, so viele wie Äste im Baum, erfasst werden. Welche aus den k Knotengleichungen nicht berücksichtigt wird, ist belanglos. Ein Netzwerk besitzt k-1 linear unabhängige Knotengleichungen. Um, zum Beispiel, die z unbekannten Zweigströme eines Netzwerks berechnen zu können, fehlen neben den k-1 Knotengleichungen noch z-k+1 Gleichungen. Tatsächlich lassen sich zu den k-1 Knotengleichungen genau z-k+1 unabhängige Maschengleichungen, so viele wie Sehnen, aufstellen. Um sicher linear unabhängige Maschengleichungen zu erhalten, ist es zweckmässig, Kreise zu wählen die genau eine Sehne enthalten (für jede Gleichung selbstverständlich eine andere). Ein Netzwerk besitzt z-k+1 linear unabhängige Maschengleichungen.

Anhang 5.2 Lineare Gleichungssysteme 17/19 Ein lineares Gleichungssystem z.b. in den drei Unbekannten x 1, x 2 und x 3, sieht allgemein wie folgt aus: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Dieses System kann mit der Matrix A und den Spalten-Vektoren x und b a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x = x 1 x 2 x 3 b = b 1 b 2 b 3 wie folgt kompakt dargestellt werden: A x = b A ist die Systemmatrix, x der Vektor der Unbekannten und b der sogenannte Störvektor. Sind diese Gleichungen linear unabhängig und ist mindestens ein Element von b ungleich Null, so besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung für die Grössen x 1, x 2 und x 3. Für diese Lösung kann formal geschrieben werden: x = A -1 b A -1 ist die von A inverse Matrix. Sie existiert nur falls die Matrix A nicht-singulär ist. Die Determinante von A muss dafür von Null verschieden sein. Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung nach der linearen unabhängigkeit der Gleichungen 13. Beispiel: 2 1 1 1 x 1 = 3 1 x 2 > x 1 x 2 = 1 1 1 2 3 1 = 2 1 Falls der Vektor b Null ist, so spricht man von einem homogenen Gleichungssystem. So ein System besitzt immer die triviale Lösung x =. Falls ausserdem die Determinante von A verschwindet, so gibt es neben x =, zusätzlich eine von Null verschiedene Lösung für x. Bemerkung: Ein Gleichungssystem verändert sich nicht (seine Lösung bleibt gleich), wenn: die Reihenfolge der Gleichungen vertauscht werden eine der Gleichungen des Systems mit einer beliebigen Konstanten multipliziert wird eine beliebige seiner Gleichungen durch die Summe oder Differenz dieser Gleichung mit einer anderen beliebigen Gleichung des Systems ersetzt wird Überzeugen Sie sich von der Richtigkeit dieser Aussagen an Hand von Beispielen, z.b. durch nachrechnen mit Matlab. Die Matlab-Anweisung zur Berechnung der Lösung des Gleichungssystems lautet: >> x = A\b Vorab müssen die Matrizen A und b definiert werden. 13 Sind die Gleichungen linear abhängig, so ist auch A singulär (kann somit nicht invertiert werden) und das Gleichungssystem besitzt entweder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung.

Anhang 5.3 Inzidenzmatrix 18/19 Um die Struktur eines Netzwerkes und Bezugsrichtungen für seine Zweige darzustellen, wird eine Matrix mit k Zeilen und z p Spalten, die sogenannte Inzidenzmatrix A, verwendet. k ist dabei die Anzahl Knoten des Netzwerkes und z p die Anzahl Zweige mit passiven linearen Zweipolen. Die Inzidenzmatrix wird wie folgt aufgestellt: Zu jedem Zweig wird in der entsprechenden Spalte durch die beiden Zahlen 1 und 1 angegeben welche zwei Knoten durch den Zweipol verbunden sind. Alle anderen Matrixelemente dieser Spalte sind. Die Bezugsrichtung des betrachteten Zweiges geht von dem mit 1 bezeichneten zu dem mit 1 bezeichneten Knoten. Für das Beispiel gemäss Figur 5.3 ergibt sich (k=4, z p =4): Zweig: R 1 R 2 R 3 R 4 Knoten (Index k) 1 1 1 1 A = 1 1 1 1 Sämtliche Knotengleichungen können mit dem Vektor I z der Zweigströme und dem Einströmungsvektor I s (eingeprägte Ströme der Stromquellen) mit dem Gleichungssystem A I z = I s beschrieben werden: 1 1 1 1 1 1 1 1 I q = I q mit I z = I q und I s = I q Ferner kann der Vektor U z der Zweigspannungen aus dem Vektor ϕ k der Knotenpotentiale mit dem Gleichungssystem U z = A T ϕ k berechnet werden (A T ist die Transponierte der Matrix A): U 1 U 2 U 3 U 4 1 1 1 1 = 1 1 1 1 mit U z = U 1 U 2 U 3 U 4 Der Zusammenhang zwischen den Zweigströmen I z und den Zweigspannungen U z kann mit der Zweigleitwertmatrix G z erfasst werden. Diese Matrix enthält in ihrer Diagonalen die Leitwerte der passiven Zweige. G 1 G = 2 G 3 G 4 U 1 U 2 U 3 U 4 Für die Zweigstromstärken in Funktion der Knotenpotentiale erhält man I z = G z U z = G z A T ϕ k und mit A I z = I s die Knotengleichungen in der gewünschten Form: A G z A T ϕ k = I s.

19/19 Die (unbestimmte) Leitwertmatrix G lässt sich aus der Inzidenzmatrix A und der Zweigleitwertmatrix G z direkt berechnen: G = A G z A T Dieses Vorgehen ist einfacher und wesentlich weniger fehleranfällig als die Leitwertmatrix direkt zu erstellen. Wird das Gleichungssystem nach den unbekannten Potentialen aufgelöst, so können mit der Inzidenzmatrix die Zweigspannungen und -stromstärken direkt berechnet werden: U z = A T ϕ k I z = G z U z = G z A T ϕ k