1.4 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen A Stetigkeitsbedingungen Zwei homogen isotrope optische Medien, die D εe, B µh und j σe mit skalaren Konstanten ε, µ, σ erfüllen, mögen sich an einer Grenzfläche derart in Kontakt befinden, dass der komplexe Brechungsindex dort eine Unstetigkeit hat. Ist n der Normalenvektor und t ein Tangentenvektor an der Grenzfläche, so sind die folgenden Komponenten dort stetig: Aus E Ḃ folgt E t E t ist stetig. Aus B 0 folgt B n B n ist stetig. Aus H Ḋ + j folgt H t H t ist stetig, falls an der Grenzfläche keine Flächenströme vorhanden sind. Aus D ρ folgt D n D n ist stetig, falls es in der Grenzfläche keine Flächenladungen gibt. B Brechungsgesetze Für die Brechung und Reflexion von Lichtstrahlen an der Grenzfläche setzen wir voraus, dass das Medium 1 des einfallenden Strahles nicht absorbiert, d.h. es ist reell und σ 1 0, während das Medium 2 des gebrochenen Strahles absorbiert und einen komplexen Brechungsindex n n 2 iκ mit σ 2 0 besitzt.
Sei dann ϑ der Winkel zwischen dem einfallen Strahl und der Flächenormalen, ϑ der Winkel zwischen dem reflektierten Strahl und der Flächennormalen und ϑ θ +iφ der komplexe Brechungswinkel des gebrochenen Strahles. Liegt die Flächennormale in Richtung der negativen z-achse n (0, 0, 1) und die Tangente t (1, 0, 0) in x-richtung, so hat der einfallende Strahl die Richtung (sinϑ, 0, cosϑ), der reflektierte Strahl (sinϑ, 0, cosϑ ) und der gebrochene Strahl ( R{n sinϑ }, 0, R{n cosϑ } ), wobei R den Realteil bezeichnet. Dann gilt das Brechungsgesetz von Snellius alle drei Strahlen liegen in einer Ebene, der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel ϑ ϑ (Reflexionsgesetz), sinϑ (n 2 iκ) sinϑ mit komplexem Brechungswinkel ϑ. Bezeichnet man die Amplituden der elektrischen Feldstärke parallel zur Einfallsebene für den einfallenden, reflektierten und gebrochenen Strahl mit E p, E p, E p, und senkrecht zur Einfallsebene mit E s, E s und E s, so ergibt sich aus den Fresnelschen Formeln E s sin(ϑ ϑ) E s sin(ϑ + ϑ) E p tan(ϑ ϑ ) E p tan(ϑ + ϑ ) ; ; E s 2 sinϑ cosϑ E s sin(ϑ + ϑ ) E p E p 2 cosϑsinϑ sin(ϑ + ϑ ) cos(ϑ ϑ ).
C Reflexionsgesetze Bei schrägem Einfall einer elektromagnetischen ebenen Welle auf die Detektoreintrittsfläche unter dem Winkel ϑ im Medium mit der Lichtgeschwindigkeit v c/n mit ε n 2, ergibt sich die Intensitiät I aus der gemittelten Energiedichte u E D 1 2 εe2 0 mit reellem ϑ zu I v u cosϑ vε E 2 cosϑ c 2 E2 0n cosϑ mit der Amplitude E 0 der einfallenden elektrischen Feldstärke E. Dann ist das Reflexionsvermögen R s bzw. R p des senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene polarisierten Lichtes mit Amplituden E s bzw. E p und reellen ϑ und ϑ definiert durch R s I s I s ( E s E s ) 2 ; R p I p I p ( E p E p ) 2 ; T s I s I s ( ) E 2 s n 2 cosϑ E s cosϑ, und es gilt für das Transmissionsvermögen T mit der Definition von I: R s + T s 1 und R p + T p 1. Findet Absorption nur im Medium (2) statt, ist also reell und n n 2 iκ komplex, so ergibt sich mit dem komplexen Brechungswinkel ϑ mit sinϑ (n 2 iκ) sinϑ R s sin(ϑ ϑ) sin(ϑ + ϑ) 2 und R p tan(ϑ ϑ) tan(ϑ + ϑ) bei senkrechtem Einfall ohne Dämpfung ϑ ϑ 0, κ 0. 2, und speziell R s R p ( n1 n 2 + n 2 ) 2
Setzt man zur Abkürzung n 2 iκ cosϑ n 2 iκ 1 sin 2 ϑ n 1 (n2 ) 2 iκ sin 2 ϑ α iβ, so erhält man für das Reflexionsvermögen an einem absorbierenden Medium R s (cosϑ α)2 + β 2 (cosϑ + α) 2 + β 2 und R p R s (α sinϑtanϑ) 2 + β 2 (α + sinϑtanϑ) 2 + β 2. D Mehrfachreflexion an einer ebenen Schicht Eine ebene dünne Schicht der Dicke d, die nicht groß ist im Vergleich zur Wellenlänge der optischen Strahlung, mit dem komplexen Brechungsindex ñ n iκ grenze mit der Oberseite an das Medium (1) mit dem reellen Brechungsindex und an der Unterseite an das Medium (2) mit dem reellen Brechungsindex n 2. Im Medium (1) wird eine ebene Welle mit dem Einfallswinkel ϑ in einen reflektierten Anteil r 1 und einen gebrochenen Anteil t 1 unter dem Brechungswinkel ϑ aufgespalten. An der Grenze zum Medium (2) wird der Anteil r 2 reflektiert, und der Anteil t 2 in das Medium (2) mit dem Brechungswinkel ϑ 2 gebrochen. An der Grenzfläche zum Medium (1) wird der zurückreflektierte Strahl mit dem Anteil r 1 erneut reflektiert und mit dem Anteil t 1 in das Medium (1) gebrochen.
ϑ ϑ r 1 t 1 t 1 ϑ r2 r 1 n iκ t 2 n 2 ϑ 2 Dann gilt für das Amplitudenverhältnis der elektrischen Feldstärke nach den Fresnelschen Formeln bei senkrecht zur Einfallsebene polarisiertem Lichtstrahl Brechung 1: r 1 sin(ϑ ϑ) sin(ϑ + ϑ) Brechung 2: r 2 sin(ϑ 2 ϑ ) sin(ϑ 2 + ϑ ) Brechung 3: r 1 sin(ϑ ϑ ) sin(ϑ + ϑ ) und t 1 2 sinϑ cosϑ sin(ϑ + ϑ) und t 2 2 sinϑ 2 cosϑ sin(ϑ 2 + ϑ ) und t 1 2 sinϑcosϑ sin(ϑ + ϑ ) mit mit mit sinϑ n iκ sinϑ sinϑ n 2 sinϑ 2 n iκ sinϑ sinϑ n iκ.
Bei Mehrfachreflexion muss der Phasenunterschied auf Grund verschieden langer Wegstrecken bzw. Laufzeiten berücksichtigt werden. Er berechnet sich bei schwacher Dämpfung aus Re{ϑ } für einen Durchgang durch die Schicht zu δ 2πd λ ( n cosϑ κ ) i cos ϑ mit ω c 2π λ mit der Vakuumwellenlänge λ des einfallenden Strahles. Der insgesamt bei Mehrfachreflexion durch die Schicht hindurchtretende Anteil t ist t t 1 e iδ t 2 + t 1 e iδ r 2 e iδ r 1 e iδ t 2 +... t 1 t 2 exp { iδ} 1 r 1 r 2 exp { i2δ}, und der insgesamt bei Mehrfachreflexion an der Schicht reflektierte Anteil r ist r r 1 + t 1e iδ r 2 e iδ t 1 +... r 1 + t 1t 1 r 2 exp { i2δ} 1 r 1 r 2 exp { i2δ}. E Transmission einer dünnen Schicht 1) Sind beide äußeren Medien gleich und n > n 2, und findet in der Schicht mit dem dichteren Medium keine Absorption statt κ 0, so gilt r 1 r 2, t 2 t 1, r 1 r 1 und t 1 t 1 + r2 1 1. Das Transmissionsvermögen ist dann T t 2 (1 r1 2)2 1 2r1 2 cos{2δ} +. r4 1
Bei senkrechtem Einfall ϑ ϑ 0 erhält man mit der Wellenlänge λ m λ/n in der Schicht das maximale Transmissionsvermögen bei cos{2δ} 1 oder 2π λ dn π bzw. d λ 2n λ m 2, das minimale Transmissionsvermögen bei cos{2δ} 1 oder 2π λ dn π 2 bzw. d λ 4n λ m 4. Dadurch entstehen farbige Ringe, z.b. bei Seifenblasen. 2) Findet in der Schicht keine Absorption statt κ 0, und gilt < n < n 2, so ist t 1 > 0, t 2 > 0, r 1 > 0, r 1 < 0 und r 2 < 0. Das Transmissionsvermögen ist dann mit der Intensität I c 2 E2 0 cosϑ bei schrägem Einfall T I T I t 2n 2 cosϑ 2 cosϑ t 2 1t 2 2 1 + r 1 r 2 2 cos{2δ} + r 2 1 r2 2 Bei senkrechtem Einfall ϑ ϑ 0 erhält man n 2 cosϑ 2 cosϑ. das maximale Transmissionsvermögen bei cos{2δ} 1, und es folgt δ 2π λ dn π 2 oder d λ 4n λ m 4 mit der Wellenlänge in der Schicht λ m λ n. Die Beschichtung von Glasflächen z.b. mit einer sogenannten λ/4-schicht erzeugt in Luft ein Minimum an Reflexion, was u.a. bei der Vergütung optischer Linsen ausgenutzt wird.