Lösungen zu Übungs-Blatt Wahrscheinlichkeitsrechnung Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe ) Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie Ihre Antworten an und begründen Sie sie!. keine, weil p4 < 0 ist (Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und ).. ist eine 3. ist keine, weil die Summe aller Wahrscheinlichkeiten > ist (Die Summe ist immer ). Zu Aufgabe ) Die zufällige Anzahl Y von Ausfällen einer Druckmaschine pro Monat genüge folgender Verteilung: ai 0 3 4 5 6 >6 pi / / 3/ / / / / 0 Ein Ausfall der Maschine verursacht Kosten. Fällt die Maschine mal aus, so kostet das 00 Euro, genauso müssen bei maligem Ausfall 00 Euro bezahlt werden. Bei 3 und 4 maligem Ausfall sind es bereits jeweils 000 Euro und bei mehr als 4 maligem Ausfall im Monat verursachen die Reparaturen 4000 Euro Kosten. Sei Zufallsgröße X Reparaturkosten pro Monat. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mehr als 000 Euro Reparaturkosten im Monat bezahlen zu müssen? b) Wie groß sind die im Monat zu erwartenden Reparatur-Kosten EX? ai 0 3 4 5 6 >6 (Ausfälle) bi 0 00 00 000 000 4000 4000 -- (Kosten) pi / / 3/ / / / / 0 Zu a) X>000 Euro)Y >4) Y 5 oder X6 oder X>6) p5p6 / 0,
Lösungen zu Übungs-Blatt Wahrscheinlichkeitsrechnung EX 6 i 0 0 b pi i 00 00 3 000 000 4000 4000 000 / 00Euro Zu Aufgabe 3) Die zufällige Übertragungszeit von Nachrichten in einer Übertragungseinrichtung sei diskret gleichverteilt auf der Menge {3,4,5,6,} Sekunden, d.h. jede Zahl aus dieser Menge hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Wie groß ist die erwartete Übertragungszeit? Es gilt Xi) /5 für i3,4,5,6,. Daraus folgt: 5 EX i 5 5 5 i 3 Zu Aufgabe 4) Ein Würfel wird geworfen. Sei X die Zufallsgröße, welche die doppelte Augenzahl angibt, und Y die Zufallsgröße, welche die Werte oder 3 annimmt, je nachdem, ob eine ungerade oder gerade Zahl erscheint. Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von a) X b) Y Zu a) Verteilung von X : i 4 6 pixi) /6 /6 /6 /6 /6 /6 EX (46)/6 6 0 35 Var(X) (i ) 6 6 3 i Verteilung von Y : i 3 piyi) / /
Lösungen zu Übungs-Blatt Wahrscheinlichkeitsrechnung EY / 3/ Var(X) ( ) ( 3), 5 Zu Aufgabe 5) Ein Spieler wirft zwei Münzen und gewinnt 5 bei zweimal Wappen, bei genau einmal Wappen und, falls kein Wappen erscheint. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair, d.h. bei welchem Einsatz ist der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz? Sei X die Anzahl der Wappen beim zweimaligen Münzwurf. Mit den Methoden der klassischen Wahrscheinlichkeit bekommen wir folgende Verteilung von X heraus: k 0 pkxk) /4 / /4 Sei Y der zufällige Gewinn pro Spiel. Y ist wie folgt verteilt: k 5Euro Euro Euro pkyk) /4 / /4 Daraus folgt für den erwarteten Gewinn: EY 5/4 (/) /4,5Euro. D.h. wenn der Einsatz,5 Euro beträgt, ist das Spielk fair. Zu Aufgabe 6) Zwei Baugruppen a, a eines Gerätesystems können voneinander unabhängig in einem vorgegebenen Zeitintervall der Länge T mit den Wahrscheinlichkeiten 0,95 bzw. 0, Bestimmen Sie die durchschnittliche Anzahl der ausgefallenen Baugruppen zum betrachteten Zeitintervall! Sei X Anzahl der ausgefallenen Baugruppen im betrachteten Zeitintervall. Dann ist X {0,,}. Seien folgende Ereignisse definiert: a bzw. a Bauelemente a bzw. a sind O.K. a, a heißt: a bzw. a fallen aus. Dann ist: X 0) a a) a) a) ( 0,95) ( 0,) 0,0 Unabhängigkeit X ) a a) a) a) 0,95 0, 0,6 Unabhängigkeit P ( X ) X 0) X ) -0,0-0,6-0, 0,3 3 3
Lösungen zu Übungs-Blatt Wahrscheinlichkeitsrechnung i 0 pixi) 0,0 0,6 0,3 Erwartungswert EX berechnet man nun nach folgender Formel: EX ip i 0,6 0,46, i 0 Zu Aufgabe ) Ein Student habe auf seinen Weg zur HTW fünf voneinander unabhängig geregelte Ampelkreuzungen zu passieren. Es bezeichne X die Anzahl der überquerten Kreuzungen bis zu einem Halt wegen "Rot" oder dem Erreichen der HTW. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Ampel auf Rot steht, ist gleich ½. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die HTW erreicht, ohne vor einer Ampel halten zu müssen? k 0 3 4 5 pkxk) / /4 / /6 /3 /3 X5) /3 Qualitätskontrolle Zu Aufgabe ) (Multiplikationssatz) Lösen Sie unter Verwendung des Multiplikationssatzes folgende Aufgabe! In einem Paket von gleichartigen Bauteilen befinden sich defekte. Bei der Qualitätskontrolle werden zufällig aus diesem Paket 3 Teile entnommen und getestet. X sei die zufällige Anzahl der fehlerhaften Teile unter diesen 3 entnommenen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stellen Sie diese grafisch dar! b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen mindestens defektes Teil befindet? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen höchstens ein defektes befindet? d) Berechnen Sie EX! Es ist: X {0,,}. Zu a) Wir definieren die Ereignisse Ai Bei der i.ten Ziehung wird ein defektes Teil gezogen, i,,3. Dann ist nach Multiplikationssatz: 4 4
Lösungen zu Übungs-Blatt Wahrscheinlichkeitsrechnung 6 P ( X 0) A A / A) 9 X ) ( A ( A ( A ) A A A A / A) A / A) A / A) 9 9 9 5 5 und es ist X) - X0)-X) 5. i 0 pi /5 /5 /5 X ) /5 /5 /50,533 Zu c) X ) /5 /5 4/5 Zu d) 9 EX i pi 0 0, 6 5 5 5 5 i 0 Zu Aufgabe 9) (Multiplikationssatz für Unabhängigkeit) Lösen Sie unter Verwendung des Multiplikationssatzes folgende Aufgabe! In einem Paket von gleichartigen Bauteilen befinden sich defekte. Bei der Qualitätskontrolle werden 3 mal nacheinander jeweils Bauteil entnommen, getestet und vor der nächsten Ziehung wieder in das Paket zurückgelegt. X sei die zufällige Anzahl der fehlerhaften Teile unter diesen 3 entnommenen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stellen Sie diese grafisch dar! 5 5
Lösungen zu Übungs-Blatt Wahrscheinlichkeitsrechnung b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen mindestens defektes Teil befindet? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen höchstens ein defektes befindet? d) Berechnen Sie EX! e) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen in Aufgabe ). Würden Sie bei der Qualitätskontrolle eher ein Ziehungs-Verfahren mit Zurücklegen (Aufgabe 9) oder ohne Zurücklegen (Aufgabe ) bevorzugen oder ist es egal? Es ist: X {0,,,3}. Zu a) Wir definieren die Ereignisse Ai Bei der i.ten Ziehung wird ein defektes Teil gezogen, i,,3. Dann ist nach Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse: P ( X 0) A A) X ) ( A ( A ( A ) analog: A A A 4 5 64 5 A) A) A) P ( X ) 3 ( ) und 5 P ( X 3) ( ) 3 5 i 0 3 pi 64/5 4/5 /5 /5 X ) (4 )/5 6/50,4 6 6
Lösungen zu Übungs-Blatt Wahrscheinlichkeitsrechnung Zu c) X ) (64 4 )/5 /5 Zu d) 3 64 4 5 EX i pi 0 3 0, 6 5 5 5 5 5 i 0 Zu e) Die mittlere Anzahl EX der defekten unter den 3 gezogenen ist gleich, d.h. beide Verfahren sind diesbezüglich gleichwertig. (Man müsste nun die Wahrscheinlichkeit dafür beide defekte zu finden, bei beiden Verfahren miteinander vergleichen.)