enatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Abschlussprüfung an der Berufsoberschule im chuljahr 8/9 Fach Mathematik (A) Name, Vorname Klasse Prüfungstag 9. April 9 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise 9: - : Uhr Nicht graphikfähiger Taschenrechner mit gelöschtem Programmierteil; Formelsammlung, Rechtschreib-Wörterbuch (Duden) Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die ie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. chwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus-Regelung). Bedenken ie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Aus den fünf Aufgaben müssen ie drei auswählen. Die Aufgabe (Eponentialfunktionen) ist eine Pflichtaufgabe. ie muss von allen bearbeitet werden! pezielle Arbeitshinweise Zwischen Aufgabe (Gebrochenrationale Funktionen) und Aufgabe (Trigonometrische Funktionen) müssen ie wählen. Auch zwischen Aufgabe (Analytische Geometrie) und Aufgabe 5 (tochastik) müssen ie wählen. Die Lösungswege müssen klar gegliedert, schrittweise und eindeutig nachvollziehbar sowie angemessen kommentiert sein. Nebenrechnungen sind durch Einrücken etc. kenntlich zu machen. Nur einwandfrei Leserliches wird bewertet. Die erste nicht durchstrichene Lösung zählt. Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter: Blätter Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte oll Aufgabe Nr. % oder oder 5 umme: Ist Ist (Zweitkorrektur) Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt: - Punkt Punkt Insgesamt: Punkte Punkte Datum, Unterschrift
9 Mathematik Eponentialfunktionen /,5 Gegeben sei die Funktion f mit f ( ) e im Intervall,5 6.. Berechnen ie die Nullstelle von f. /,5. Zeigen ie, dass gilt: ( ) ( ) f '. Bestimmen ie die relativen Etrempunkte von f. '',5 [Verwenden ie: f ( ) ( ),5 e /,5 + e ]. Zeichnen ie den Graphen von f im gegebenen Intervall mithilfe der berechneten Ergebnisse in ein Koordinatensystem..5 Zeichnen ie außerdem den Graphen von f ' mithilfe der Wertetabelle in dasselbe Koordinatensystem. /6 /, 5,5 6 /7 ( ) f ',,89,.6 Welche chlussfolgerung ergibt sich aus dem Verlauf des Graphen von f ' im gegebenen Intervall für die mögliche Eistenz von Wendepunkten von f? Begründen ie Ihre Entscheidung..7 Berechnen ie die Koordinaten der beiden chnittpunkte der Graphen von f und f '..8 Berechnen ie den Inhalt der von den Graphen von f und f ' vollständig eingeschlossenen Fläche A.,5 [Verwenden ie: tammfunktion von f ist F( ) ( ) 8 6 e.] / / /6 9, Mathematik eite /5 eiten
9 Mathematik Gebrochenrationale Funktionen / Die Funktion f sei gegeben mit ( ) f ' mit f '( ) und '' ( ) ( ) + f sowie ihren Ableitungen f mit ''( ) 8 f. ( ). Geben ie den maimalen Definitionsbereich D f von f an. /. Untersuchen ie f auf Polstellen und ermitteln ie das Verhalten der Funktion in deren Umgebung. /. Ermitteln ie die Gleichung der Asymptote A. /. Berechnen ie die Nullstellen von f. /.5 Bestimmen ie die Etrempunkte von f. /6.6 Zeichnen ie den Graphen der Funktion f und die Asymptote A unter Verwendung der berechneten Werte für in ein Koordinatensystem. Ergänzen ie dafür die folgende Wertetabelle: f ( ) /8.7 Prüfen ie, ob die Tangente t an den Graphen von f im Punkt (,5 ) P noch einen weiteren gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von f hat..8 Die Funktion g mit g( ) + hat die Definitionslücke + a a. Bestimmen ie mindestens einen Wert für a so, dass die Definitionslücke hebbar ist. Geben ie den zugehörigen Punkt an, der die Lücke füllt. /5 / 9, Mathematik eite /5 eiten
9 Mathematik Trigonometrische Funktionen / Gegeben seien die Funktionen f und g durch ihre Funktionsgleichungen ( ) + sin( ) und g( ) cos( ) f. Führen ie die nachfolgenden Untersuchungen im Intervall π durch.. Zeichnen ie den Graphen von f im angegebenen Intervall in ein Koordinatensystem ein.. Berechnen ie die Nullstellen von g. Bestimmen ie Hoch- und Tiefpunkte von g. Zeichnen ie den Graphen von g in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe. ein.. Kennzeichnen ie im Diagramm die Fläche, die von den Graphen von f und g vollständig begrenzt wird. Berechnen ie die chnittpunkte und, in denen sich die beiden Graphen schneiden. Ermitteln ie den Inhalt der gekennzeichneten Fläche.. Berechnen ie die tellen, an denen die Graphen von f und g die gleiche teigung besitzen. / / / /9 9, Mathematik eite /5 eiten
9 Mathematik Analytische Geometrie / Ein maritimes Erkundungsfeld mit dem Umriss eines Rechtecks soll markiert werden. Die Wasseroberfläche liegt in der -y-ebene. Ein chiff setzt an den Punkten A (5 ), B ( 5 ), C ( ) und D Bojen aus. Anschließend kehrt das chiff zu seiner Ausgangsposition O ( ) zurück. Alle Koordinaten sind in km angegeben.. Bestimmen ie die Koordinaten des Punktes D. Berechnen ie den Flächeninhalt des Erkundungsfeldes in km. Ein Kurierflugzeug nimmt im Punkt F ( 5 ) Kurs auf das chiff, um es im Punkt G (,5) zu überfliegen. Ein Wetterumschwung führte zur Bildung einer Nebelbank zwischen dem Flugzeug und dem chiff. Die Ebene E : 6 + y + z beschreibt die vom Flugzeug aus sichtbare eite der Nebelbank.. Geben ie eine Parametergleichung der Geraden g an, die den Kurs des Flugzeuges beschreibt. [Zur Kontrolle: Eine mögliche Lösung für g : 5 + r ; r IR ]. Bestimmen ie die Koordinaten des Punktes I, in dem das Flugzeug in die Nebelbank einfliegt. /. Bestimmen ie eine Parametergleichung der Geraden g, die den Verlauf der vom Flugzeug aus sichtbaren eite der Nebelbank entlang der Wasseroberfläche beschreibt. /7.5 Berechnen ie den Winkel zwischen der Nebelbank und der Wasseroberfläche. /5.6 Die dem chiff zugewandte eite der Nebelbank wird durch die Ebene E beschrieben. Die Ebenen E und E verlaufen zueinander parallel. Das Flugzeug durchstößt die Ebene E im Punkt H ( 5,5). /6 Bestimmen ie eine Koordinatengleichung der Ebene E. / /.7 ofort nach dem Überfliegen des chiffes im Punkt G (,5) ändert das Flugzeug seinen Kurs in Richtung des Vektors w und geht in einen teigflug z über. Der teigwinkel beträgt. Bestimmen ie eine Parametergleichung der Geraden g, die den neuen Kurs des Flugzeuges beschreibt. /5 9, Mathematik eite /5 eiten
9 Mathematik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung / Für einen Zulassungstest entwirft die Testerstellungsgruppe Multiple-Choice-Aufgaben. 5. Zu jeder Frage gibt es fünf Antworten, von denen stets genau zwei richtig sind. Bestimmen ie die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Kandidat, der zwei Antworten auf gut Glück ankreuzt, entweder zwei, ein oder kein Kreuz richtig setzt. [Zur Kontrolle: ({ Zwei Kreuze an der richtigen telle} ), P ] Der Kandidat erhält für eine Aufgabe nur dann eine Bewertungseinheit, wenn er die Aufgabe vollständig richtig löst, er also die beiden richtigen Antworten ankreuzt und sonst keine. Ein Prüfling, der eine Aufgabe auf gut Glück bearbeitet, erhält daher nach Aufgabenteil 5. mit der Wahrscheinlichkeit p, eine Bewertungseinheit. Der Zulassungstest besteht aus Aufgaben. 5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält ein lediglich ratender Kandidat für den kompletten Test null Bewertungseinheiten? 5. Wird ein Test mit weniger als vier Bewertungseinheiten bewertet, so kann er nicht wiederholt werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält ein lediglich ratender Kandidat weniger als vier Bewertungseinheiten? P ratender Kandidat erhält weniger als vier BE, ] [Zur Kontrolle: ({ }) 5. Mit wie vielen Bewertungseinheiten kann ein lediglich ratender Kandidat im Mittel rechnen? 5.5 Nach Aufgabenteil 5. erhält ein lediglich ratender Prüfling mit der Wahrscheinlichkeit q, weniger als vier BE. Von denjenigen, die zumindest über gewisse Kenntnisse des toffs verfügen, bekommen nur 8 % weniger als vier Bewertungseinheiten. 5 % der Kandidaten geben zu, lediglich zu raten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Kandidat mit weniger als vier Bewertungseinheiten lediglich geraten? 5.6 Drei Jahre nach Einführung des Zulassungstests mit Multiple-Choice-Aufgaben wird untersucht, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Wohnumfeld (Land/tadt) und dem Abschneiden bei dem Test gibt. Von den.7 Prüflingen vom Land haben.78 den Test bestanden;. der tädter haben leider nicht bestanden. Insgesamt haben.5 den Test gemacht. ind Wohnumfeld und Abschneiden bei der Prüfung stochastisch unabhängig? /6 / / / / /8 9, Mathematik eite 5/5 eiten
9 Mathematik Erwartungshorizont für Teilaufgaben. N.,5,5,5 ( ) ( ) f ' BE in AB I II III e,5 e,5 e.,5 (,5 ) e E. ; ; E E E E f ''( ) > ; T ( ) ; f ''( ) e < ; H (,65) 6.5 f (,5), ; f ( 6), 79, 5,5 6 ( ) f ',,9,89,7,, Zeichnung von f '.6 Da f ' im Intervall einen Etrempunkt und damit eine waagerechte Tangente hat, besitzt f an dieser telle einen Wendepunkt..7,5,5 f ( ) f '( ); e (,5 ) e ; ( ) ; ;,9.8 tammfunktion von f ' ist f. A,5 [ e ],5 ( f '( ) f ( ) ) d e ( 8 6),5 [( + 8 + 6) e ] 6, 6, umme (Aufgabe ) 6 8 Mögliche BE Erwartungshorizont Vorschlag A 9, Mathematik eite /6 eiten
9 Mathematik Erwartungshorizont für Teil- BE in AB aufgaben I II III. D f IR \{,5}., 5; Z (,5),5, N (,5), Untersuchung der Umgebung, P,5 ist Polstelle mit Vorzeichenwechsel.. Polynomdivision ergibt f ( ) + +. A ( ) +. N + N ; N ; N, 5.5 f '( E ) ; E E ; E +, ;, E f ''(,),79 > ; T (,,9) ; f ''(,),79 < ; H (,,9).6 ( ) f,,,,, 5.7.8 m t f '(,5), 5 ; t (,5) f (,5) ; ( ),5 +, 5 t ; f ( B ) t( B ); B + + B + ; B + + ; B B B + B + ; B / Daher gibt es keine weiteren gemeinsamen Punkte. Wegen ( ) ( + ) g füllt für a P (,5,5) und für a + a P,5 die Lücke. Die Angabe eines Wertes für a reicht aus. ( ) umme (Aufgabe ) 7 6 Mögliche BE Erwartungshorizont Vorschlag A 9, Mathematik eite /6 eiten
9 Mathematik Erwartungshorizont für Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. Graph von f zeichnen BE in AB I II III.. g ( ) cos( ) cos( ) N N N N π N Ableitungen: g' ( ) sin( ) ; g' '( ) cos( ) 5 π Hoch- und Tiefpunkte: g '( E ) sin( E ) E π E π g ''( ) > Tiefpunkt T ( ) ''( π ) < H π ''( π ) > g Hochpunkt ( ) g Tiefpunkt T ( π ) E Graph von g zeichnen (siehe unter.) f g führt auf cos( ) sin( ). chnittpunktberechnung ( ) ( ) Additionstheorem ( ) sin( ) cos( ) cos( )[ + sin( )] cos ( ) π sin anwenden π sin + ( ) π π chnittpunkte sind und π. d g f Differenzfunktion ( ) ( ) ( ) aufstellen, d( ) cos( ) sin( ) π + Fläche A d( ) d sin( ) cos( ) π Zwischensumme (Aufgabe ) π π Erwartungshorizont Vorschlag A 9, Mathematik eite /6 eiten
9 Mathematik Erwartungshorizont für Teilaufgaben. Erwartete Teilleistung BE in AB I II III Übertrag (Aufgabe ) f '( ) cos( ), g' ( ) sin( ) und damit f '( ) g ( ) cos( ) sin( ) Umformen mittels Additionstheorem cos( ) sin ( ) sin ( ) sin( ); sin ( ) + sin( ). ubstitution ( ) z ergibt: sin ergibt die quadratische Gleichung z +,5z,5. Lösen der quadratischen Gleichung und Rücksubstitution liefert die Lösungen: z,5 und damit π 5π π und ; z und damit. 6 6 umme (Aufgabe ) 7 6 Mögliche BE Erwartungshorizont Vorschlag A 9, Mathematik eite /6 eiten
9 Mathematik Erwartungshorizont für Teilaufgaben. 5 6 OD OA + BC + ; D ( ) AB BC ; km. Mögliche Geradengleichung durch F( 5 ) und G (,5) : g : 5 + r ; r IR. Durch Einsetzen der Geraden g in die Ebene E erhält man mit (5 r ) + ( r) r und I ( 8,9,67). 9. Der Verlauf der Nebelbank wird durch die chnittgerade g der Ebene E mit der -y-ebene ausgedrückt. y z Aus der Achsenabschnittsform für E : + + folgt als mögliche 6 A und Gleichung der Geraden durch die Punkte ( ) B ( ) g : + r ; r IR..5 Für den chnittwinkel γ zwischen der Ebene E und der -y-ebene folgt aus 6 n E, n ne n y Ebene y Ebene und cosγ γ 7,. n 7 E n y Ebene.6 Wegen der Parallelität von E und E gilt E : 6 + y + z c Punktprobe mit H ( 5,5) liefert mit 5 +,5 77, 5 E : 6 + y + z 77,5..7 BE in AB I II III Mit und y ist z tan,5. Mögliche Geradengleichung zur Beschreibung des neuen Kurses: g : + r ; r IR,5,5 umme (Aufgabe ) 7 6 Mögliche BE 5 5 Erwartungshorizont Vorschlag A 9, Mathematik eite 5/6 eiten
9 Mathematik Erwartungshorizont für Teilaufgaben 5. 5. 5. Erwartete Teilleistung ei X die Anzahl der richtig gesetzten Kreuze. X ist hypergeometrisch verteilt mit N 5, K, n und k. Es gelten ({ }) 6 P X, P ({ X }) und P ({ X }). 5 ei Y die Anzahl der richtig bearbeiteten Aufgaben. Y ist binomialverteilt mit n und p,. P ({ Y } ),,9, 78 k k P ({ Y } ),,9 k k,78 +,6569 +, +,, 5. Für den Erwartungswert gilt ( Y ) n p, 5.5 5.6 BE in AB I II III E. Mit den Abkürzungen < : erhält im Test weniger als vier BE und nur geraten: beantwortet alle Fragen nur durch Raten gilt P ({ < }) P( { < nur geraten} )+ P ({ < nur geraten} ),5,+,85,8,5. Gefragt ist nach P ({ }) ({ < nur geraten} ),5, P< nur geraten, 86. P( { < } ),5 Mit den Abkürzungen Land: wohnt auf dem Land, tadt: wohnt in der tadt und bestanden: hat den Test bestanden gelten 78 PLand ({ bestanden }), 75 und 7 5 7 P tadt ({ bestanden} ), 6. 5 7 Daher sind Wohnumfeld und Abschneiden bei dem Test stochastisch abhängig. umme (Aufgabe 5) 7 6 Mögliche BE 6 Erwartungshorizont Vorschlag A 9, Mathematik eite 6/6 eiten