Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 5. September 2011
Definition (Menge) Wir verstehen unter einer Menge eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen die Elemente der Menge. Beschreibung von Mengen durch 1 Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {...}, 2 Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft E. Schreibweise: { x x hat Eigenschaft E } oder { x : x hat Eigenschaft E } (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 2 / 12
Beispiele: N := {1, 2, 3, 4,... } : Menge der natürlichen Zahlen, N 0 := {0, 1, 2, 3, 4,... } : Menge, deren Elemente die Zahl 0 und die natürlichen Zahlen sind, Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } : Menge der ganzen Zahlen, Q := { a b a, b ganze Zahlen, b > 0 } : Menge der rationalen Zahlen, R : Menge der reellen Zahlen, C : Menge der komplexen Zahlen, : leere Menge; das ist die Menge, die kein Element enthält. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 3 / 12
Ist a ein Objekt und M eine Menge, so führen wir die folgenden kurzen symbolischen Schreibweisen ein, um auszudrücken, ob das Objekt Element der Menge M ist oder nicht: a M bedeutet: a ist Element von M, a / M bedeutet: a ist nicht Element von M. Für jedes Objekt a gilt genau einer dieser beiden Fälle. Es gibt keine Häufigkeiten, wie oft a in M ist. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 4 / 12
Zwei weitere Beispiele: 1) Wie kann man die ganzen Zahlen durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben? Für jede ganze Zahl a gilt zumindest einer der beiden Fälle: a ist eine natürliche Zahl oder gleich 0, a ist eine natürliche Zahl oder gleich 0. Für 0 gelten sogar beide Fälle. Für 3 gilt z.b. ( 3) = 3 N 0. Also bei Verwendung des Symbols N 0 : Z = {a a N 0 oder a N 0 }. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 5 / 12
2) Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer 1, die nur von 1 und sich selbst geteilt wird. Die Menge aller Primzahlen P ist also schreibbar als P := {a a N, a > 1, nur 1 und a teilen a}. Ein Aussagenteil mit kann dabei vor gezogen werden: P := {a N a > 1, nur 1 und a teilen a}. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 6 / 12
Definition (Mengenoperationen) Es seien M und N Mengen. 1 Die Vereinigung M N besteht aus allen Elementen, die in M oder in N (oder in beiden Mengen) enthalten sind, d.h. M N := { x x M oder x N }. 2 Der Durchschnitt M N besteht aus allen Elementen, die in M und (gleichzeitig) in N liegen, d.h. M N := { x x M und x N }. 3 Das Komplement M oder M (in der Grundmenge G) besteht aus allen Elementen von G, die nicht in M liegen, d.h. M = M := { x G x / M }. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 7 / 12
Definition 4 Die Differenz M \ N besteht aus allen Elementen von M, die nicht in N liegen, d.h. M \ N := { x x M und x / N }. 5 M heißt Teilmenge von N (M N), falls jedes Element aus M auch in N liegt. 6 M = N gilt genau dann, wenn M N und N M ist. Andere Schreibweisen: M N statt M N. Stets ist M M. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 8 / 12
N M : M ist echte Teilmenge von N (M N, M N). Mengen Operationen für Mengen M, N,...: Durchschnitt: M N := {x x M und x N} Vereinigung: M N := {x x M oder x N} Differenz: M \ N := {x x M und x/ N}. Ist M N, so heißt M \ N auch das Komplement von N (in M). Darstellung von Mengen in Venn Diagrammen: Veranschaulichung durch sog. Venn-Diagramme: M N N M M N M N N N M M M N M \ N (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 9 / 12
Satz (Rechenregeln für Mengenoperationen) 1 M N = N M 2 M N = N M 3 M = M 4 (M N) P = M (N P) 5 (M N) P = M (N P) 6 M (N P) = (M N) (M P) 7 M (N P) = (M N) (M P) 8 (M N) = M N 9 (M N) = M N (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 10 / 12
Definition (Kartesisches Produkt) Das kartesische Produkt von M und N, bezeichnet mit M N, ist die Menge aller geordneten Paare (m, n) mit m M und n N, d.h. M N := { (m, n) m M und n N }. G 2 N M N M G 1 Schreibweise: M M = M 2, M M M = M 3 usw. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 11 / 12
Definition Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so schreibt man: x M : Eigenschaft A (sprich: für alle x M gilt Eigenschaft A), wenn jedes Element von M die Eigenschaft A hat. x M : Eigenschaft A (sprich: es gibt ein x M mit Eigenschaft A), falls mindestens ein Element von M die Eigenschaft A hat. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September 2011 12 / 12