Flachheit Eine nützliche Methodik auch für lineare Systeme Michael Zeitz Institut für Systemdynamik Universität Stuttgart Flachheits-Methodik [ FLIESS ET AL. 92ff] Lineare SISO-Systeme zeitinvariant zeitvariant M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 1 / 27
Nichtlineares Beispiel: 2-Gelenk-Roboter-Modell u 2 q 2 q R 2 verallgemeinerte Koordinaten M 2 u R 2 Stellmomente u 1 M 1 q 1 Σ : M(q) q + g(q, q) = u, q() = q, q() = q 1 Flacher Ausgang z(t) = q(t), t zur differenziellen Parametrierung Zustand Eingang x(t) = [z T (t), ż T (t)] T u(t) = M(z) z + g(z,ż) z C 2 Σ 1 inverses System x u Folgeregelung z(t) z d (t) mit Trajektorien-Planung z d (t) C 2 Steuerung u d = M(z d ) z d + g(z d,ż d ) Computed Torque Referenz für Zustandsrückführung x d (t) = [z T d (t), żt d (t)] T Exakte Linearisierung z = w neuer Eingang w mit u = M(z)w +g(z,ż) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 2 / 27
Lineares Beispiel: Zeitinvariantes SISO -System Σ : U(s) G(s) Y (s) G(s) = b + b 1 s +... + b m s m a + a 1 s +... + a n s n (n m ) L 1 : (n) y +... + a 1 ẏ + a y = b u + b 1 u +... + b m (m) u (a n = 1) relativer Grad = Differenzgrad : r = n m Speziell: m = r = n Flacher Ausgang (FLA) z(t) = y(t) Zustand x = [ z, ż,..., (n 1) z ] T Eingang u = (a z + a 1 ż +... + (n) z )/b Differenzielle Parametrierung mit z(t) C n Anwendungen : Steuerung u d = (a z d + a 1 ż d +... + (n) z d )/b C x-referenz x d = [ z d, ż d,..., (n 1) z d ] T mit z d (t) C n Frage: Bestimmung von FLA z y für r < n bzw. m >? M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 3 / 27
Differenziell flache SISO -Systeme [FLIESS ET AL. 92ff] Σ : ẋ = f (x, u), x() = x R n u y = h(x), u, y R, rel.grad r n Definition: Σ = differenziell flaches SISO-System Σ x y r n z r = n Flacher Ausgang : z = λ(x) R, t mit relativem Grad r = n Differenzielle Parametrierung : Zustand x = Ψ x (z, ż,..., (n 1) z ) Eingang u = Ψ u (z, ż,..., (n) z ) Ausgang y = Ψ y (z, ż,..., (n r) z ) z C n Σ 1 inverses System x u y Anwendung: Flachheitsbasierter Steuerungs- und Regler-Entwurf M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 4 / 27
Regelkreis mit zwei Freiheitsgraden (2FHG) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 5 / 27
Institut für Systemdynamik Anwendungen 2FHG-Folgeregelungen am ISYS www.isys.uni-stuttgart.de Feuerwehr-Drehleiter Hafen-Mobilkran Adaptive Optik Glasspeiser Staustufen-Regelung Stuttgart SmartShell 3
Flachheit Eine nützliche Methodik für lineare SISO-Systeme Vortrags-Inhalt Flacher Ausgang / Regler-Normalform Vorsteuerungs-Entwurf 2FHG-Folgeregelung / Beispiel: 3-fach-Pendel Flacher Eingang Zeitvariante SISO-Systeme M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 7 / 27
Lineare zeitinvariante SISO - Systeme Σ : ẋ = Ax + b u, x() = x R n, y = c T x, u, y R relativer Grad r : (i) y c T A i 1 b =, i = 1(1)r 1, (r) y c T A r 1 b Konstruktion: Flacher Ausgang z =λ T x mit relativem Grad r =n λ T [b, Ab,...,A n 1 b ] = [,...,, κ ] }{{}}{{} Steuerbark.-Matr. P e T mit RangP =n Σ = steuerbar λ T = e T P 1 letzte P 1 - Zeile multipliziert mit κ FLA-Koordinaten und Regler-Normalform z λ T x ż =... = λ T A... x = T x Transformation Σ Σ (n 1) z λ T A n 1 Σ : (n) z = λ T A n T 1 x + κu, x () = Tx R n, y = c T T 1 x M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 8 / 27
Linear-zeitinvariante SISO-Regler-Normalform Σ : (n) z = [ a,..., a n 1 ] x + }{{}}{{} κ u, x () = Tx R n λ T A n T 1 z = x 1 flacher Ausgang (FLA) mit r = n y = [ c1,...,c n r+1,,...,] x }{{} c T T 1 Flachheits-Gleichungen mit FLA z =λ T x C n x = [ z, ż,..., (n 1) z ] T = Tx x = T 1 [ z, ż,..., (n 1) z ] T (n 1) u = (a z + a 1 ż +... + a n 1 z + (n) z )/κ y = c1 z + c 2ż +... + (n r) c n r+1 z mit c n r+1, r n FLA-Koordinaten Zustands-Parametrierung Eingangs-Parametrierung Ausgangs-Parametrierung Anwendung von Σ : Flachheits-basierter Vorsteuerungs-Entwurf M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 9 / 27
SISO-Steuerkette mit der inversen Regler-Normalform z Σ d (t) u d (t) x(t) x d (t) d Σ 1 Σ y(t) y d (t) Trajektorien-Planung: Arbeitspunktwechsel x()=x x(t)=x T Σ d : z d () = z = λ T x z d (T) = z T = λ T x T z d (t) C n, t [, T] z T z d (t) z T t Flachheitsbasierter Vorsteuerungs-Entwurf mit Σ 1 u d (t) = Ψ u (z d, ż d,..., (n) z d ) C Steuertrajektorie x d (t) = Ψ x (z d, ż d,..., (n 1) z d ) y d (t) = Ψ y (z d, ż d,..., (n r) z d ) x- Referenz für Zustandsrückführung y- Referenz für Ausgangsregelung M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 1 / 27
Flachheits-basierte 2FHG - Regelkreisstruktur Folgeregelung: Ausgang y(t) y d (t) Ψ u u d PID - Entwurf Σ d zd Ψ y y d PID u Σ y Stabilität Störverhalten Robustheit Folgeregelung: Zustand x(t) x d (t) Ψ u u d k T - Entwurf Σ d zd Ψ x x d k T u Σ x y LQR - Optimierung Eigenwert -Vorgabe..... Vorsteuerung {Σ d, Ψ u, Ψ y /Ψ x } add-on für Führungsverhalten M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 11 / 27
Beispiel: 3-fach-Pendel [NUTSCH/HAGENMEYER 4] z ϕ 3 Σ : ẋ = f (x, u), x() = x R 8, u R x = [ s, ṡ, ϕ 1, ϕ 1, ϕ 2, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 3 ] T ϕ 2 s() s(t) Pendel - Side-Stepping ϕ 1 u = s Σ flaches System TAYLOR-Linearisierung für x 1, A = x f (, ), b = f (, ) u Σ : ẋ = Ax + b u, x() = x R 8, y = [ s, ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ] T P = [b, Ab,..., A 7 b ], RangP = 8 Σ = steuerbar&flach FLA: z = λ T x mit λ T = [,...,, κ ] P 1 z [ 1,, - l 1,, -l 2,, -.7 l 3 ] x oberes Drittel von 3. Pendel M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 12 / 27
Flachheits-basierte 2FHG-Folgeregelung mit Beobachter Ψ u u d Σ d x d u c u y Ψ x LQR z Σ d ˆx ˆΣ Trajektorien-Planung: Side-Stepping s() = s s(t) = s T Σ d : x d() = [ s,,..., ] T = x x d (T) = [ s T,,..., ] T = x T z d () = λ T x = z z d (T) = λ T x T = z T 17 ( t ) i z d (t) = z + (z T z ) p i C 8, t [, T] T i=9 Vorsteuerung u d = Ψ u (z d, ż d,..., (8) z d ) C LQR-Rückführung u c = k T (ˆx x d ) mit x d = Ψ x (z d, ż d,..., (7) z d ) Beobachter-Entwurf ˆΣ mit Eigenwert-Vorgabe M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 13 / 27
Simulation u. Experiment: Side-Stepping 3-fach-Pendel Simulated Snap Shots Video z d [m] s d [m] t [s] t [s] Gegenläufige Wagenbewegung s(t) wegen instabiler Nulldynamik Measurements (solid lines) Nominal Trajectories (dashed lines) s, s d [m] ṡ, ṡ d [m/s].5.5 2 1 2 2.5.5 4 6 8 2 4 6 8 4 t [s] 6 8 2 1 1 2 2 4 t [s] M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 14 / 27 z [m] ϕ; [ ] ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 6 8
Zusammenhang flacher und realer Ausgang für r <n Σ : Y (s) = P(s) Q(s) U(s) = b + b 1 s +... + b m s m a + a 1 s +... + a n s n U(s) (m >, teilerfremd) BÉZOUT-Identität für FLA: Z(s) = Y (s)/p(s) = U(s)/Q(s) Differenzielle Parametrierung des realen Ausgangs Y(s) = P(s) Z(s) (m) y = b z + b 1 ż +... + b m z Dgl. der Ordnung n r für FLA z(t) b n r (n r) z +... + b 1 ż + b z = mit m = n r Referenz y d (t) { y interne Dynamik Nulldynamik Voraussetzung für Umrechnung y d (t) z d (t) [HAGENMEYER/Z 3]: asymptotische Stabilität der internen Dynamik (Nulldynamik) Alternativ: Flacher Eingang v mit relat. Grad r = n und y! = z (FLA) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 15 / 27
Flacher Eingang (FLE) [ WALDHERR/ Z 8] Σ: ẋ = Ax + γv FLE y = c T x! = z FLA mit r = n v Σ y! = z Konstruktion: Eingangsvektor γ mit relativem Grad r = n ẏ ÿ. (n) y c T c T A. } c T A n 1 {{ } Q γ =. κ }{{} e Q = Beob.-Matr. RangQ = n Σ = beobachtbar γ = Q 1 e letzte Q 1 - Spalte multipliziert mit κ Notwendig und hinreichend für FLE-Existenz : Σ = beobachtbar Notwendig: Realisierbarkeit von FLE γv (FLE fiktiv wie FLA) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 16 / 27
Beispiel: Dreifach-Integrator (n=3) Konstruktion eines flachen Eingangs (FLE) für... Σ : ẋ = 1 1 x + γ v FLE, x() = x R 3 a) y = [1,, ]x γ = [,, 1] T v 1 1 1 y =! z (r = 3) s s s x 3 x 2 x 1 b) y = [1, 1, 1]x γ = [, -1, 1] T v 1 1 1 y =! z (r = 3) s s s x 3 x 2 x 1 Beobachtbarkeits-Matrix Q = ct c T A = 1 1 1 1-1 1 1, det Q = 1, Q 1 = 1-1 c T A 2 1 }{{} 1 γ (κ = 1) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 17 / 27
Beispiel: Realisierbarkeits-Bedingung für FLE M φ m L u y z 1 Σ: ẋ = - gm M 1 1 x + M u g(m+m) LM }{{ } - 1 LM A x = [ y, ẏ, ϕ, ϕ] T R 4, ϕ 1, y = c T x (r =2) FLA: z = y+l ϕ Ψ y : z g L z = y (instab. Dgl.) FLE-Konstruktion: ẋ = Ax + γ v, y = c T x =! z (r =4) c T 1 Beob.- Q = c T A Matr.: c T A 2 = 1 - gm c T A 3 M γ = Q 1 = - gm M κ Moment γ v auf Pendel ohne Rückwirkung auf Wagen realisierbar! M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 18 / 27
Periodische 2FHG-Folgeregelung Scheibenwischer-Antrieb M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 19 / 27
TAYLOR-Linearisierung um Referenztrajektorien Σ: ẋ = f (x,u), x() = x R n, y = h(x), u, y R Referenztrajektorien Σ d : {u d (t),x d (t), y d (t), t t } TAYLOR-Linearisierung für x x d, u u d, y y d 1 A(t) = f x (x d, u d ), b(t) = f u (x d, u d ), c T (t) = h x (x d), t t Zeitvariante lineare SISO-Systeme mit A(t),b(t),c T (t) C n Σ : ẋ = A(t)x + b(t)u, x(t ) = x R n, y = c T (t)x, u, y R Relativer Grad < r n ẏ = (ċ T + c T A) }{{} M A c T x + c T b }{{} = u,... Zeitvarianter Differenzial-Operator M A (r) y = MAc r T x + M r 1 A ct b u }{{} κ(t) M A c T = ċ T + c T A, M Ac T = c T, M k A c T = M A (M k 1 A c T ) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 2 / 27
Flacher Eingang (FLE) für linear-zeitvariante SISO-Systeme Σ: ẋ = A(t)x + γ(t)v FLE y = c T (t)x! = z FLA mit r = n v Σ y! = z Konstruktion: Eingangsvektor γ(t) mit relativem Grad r = n ẏ ÿ.. (n) y MA ct M A c T.. M n 1 A c T } {{ } Q(t) γ(t) =. κ(t) } {{ } e(t) M A c T = ċ T +c T A Q(t) = Beob.-Matr. RangQ(t) = n Σ = beobachtbar γ(t) = Q 1 (t)e(t) letzte Q 1 (t)-spalte multipl. mit κ(t) Notwendig und hinreichend für FLE-Existenz : Σ = beobachtbar Notwendig : Realisierbarkeit von FLE γ(t)v (FLE fiktiv wie FLA) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 21 / 27
Beispiel: Zeitvariantes SISO-System 2. Ordnung ( 1 Σ : ẋ = u, x(t t) ) = x R 2, y = [ t, 1 ] x (A(t) = ) }{{}}{{} c b(t) T (t) Relat. Grad : ẏ = x 1 + 2t u r = 1 (t ) ( c T ) ( ) (t) t 1 Beob.-Matr.: Q(t) = ċ T =, det Q(t) = 1 (t) 1 ( FLE : ẋ = γ(t)v, y =! z mit γ(t) = Q 1 (t) ( ż FLA-Koord.: x = = z) Regler-NF Σ : z = v, y =z (r = 2) ) ( 1 = -t) κ=1 ( ) ( )( t 1 1 ż x x =, v = z 1 1 -t z) }{{}}{{} Q(t) Q 1 (t) FLA: ẋ = A(t)x + b(t)u, z = λ T (t)x (r = n) λ T (t) =? M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 22 / 27
Flacher Ausgang (FLA) für linear-zeitvariante SISO -Systeme Σ : ẋ = A(t)x + b(t)u, x(t ) = x R n y = c T (t)x, u, y R, rel.grad r n Konstruktion: FLA z = λ T (t)x mit relativem Grad r =n ż z. (n) z M A λt b M A λ T b. M n 1 A λt b λ T N A b λ T N A b. λ T N n 1 A u =. b κ(t) λ T (t) [b, N A b,..., N n 1 A }{{ b } ] = [,...,, κ(t) ] }{{} Steuerb.-Matr. P(t) e T (t) Σ x y r n z r = n M A λ T = λ T +λ T A N A b = ḃ +Ab N A b = b RangP(t) = n Σ=steuerbar λ T (t)= e T (t)p 1 (t) letzte P 1 (t)-zeile multipl. mit κ(t) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 23 / 27
Linear-zeitvariante SISO-Regler-Normalform Σ: ẋ = A(t)x+b(t)u, x(t ) = x R n, RangP(t) = n FLA: z = λ T (t)x, λ T (t)= [,...,, κ(t) ] P 1 (t) FLA-Koordinaten Regler-NF Σ (M A λ T = λ T +λ T A) z λ T (t) x ż =... = M A λ T (t)... x = T(t)x λ T (t) Σ : (n 1) z M n 1 A (n) z = [ a (t),..., a n 1 (t)] x + κ(t)u, }{{} a T (t) = MA nλt (t)t 1 (t) Transformation Σ Σ Eingangs-Transformation und Kompensation der Zeitvarianz x () =T(t )x R n u = 1 κ(t) [ w + at (t)x ] (n) z = w neuer Eingang w M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 24 / 27
Linear-zeitvariante 2FHG-Folgeregelung Σ: ẋ = A(t)x+b(t)u, x(t ) = x R n, RangP(t) = n FLA: z = λ T (t)x, λ T (t)= [,...,, κ(t) ] P 1 (t) Σ : (n) z = a T (t)x + κ(t)u, x = [ z, ż,..., (n 1) z ] T = T(t)x Folgeregelung z(t) z d (t) C n (M A λ T = λ T +λ T A) 2FHG: u = 1 κ(t) [ (n) z d + a T (t)x d ] } {{ } Vorsteuerung u d + k T (t) [x d x ] }{{} Rückführung u c mit x d =T 1 (t)x d Zeitvariante ACKERMANN-Formel k T (t) = 1 κ(t) [ p MA + p 1 M A +... + p n 1 M n 1 A + MA n ] λt (t) HURWITZ-Dgl.: (n) e +p n 1 (n 1) e + + p 1 ė + p e = für e = z z d M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 25 / 27
F A Z I T Flachheits-Methodik für lineare Systeme : FLA/FLE einfacher bestimmbar als für nichtlineare Systeme FLA definiert Regler-Normalform Σ Σ Σ Σ wichtig für Trajektorien-Planung/Vorsteuerungs-Entwurf nötig für linearen zeitinvarianten Regler-Entwurf wichtig für linearen zeitinvarianten Regler-Entwurf Flachheit nützlich für Entwurf von 2FHG-Folgeregelung Lineare Flachheits-Methodik leicht vermittelbar in RT-Ausbildung V I E L E N D A N K! M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 26 / 27
L I T E R A T U R 1. M.Fliess, J.Lévine, P.Martin, P.Rouchon: Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples. Internat.Journal of Control 61(1995), 1327 1361. 2. R.Rothfuß, J.Rudolph, M.Zeitz: Flachheit: Ein neuer Zugang zur Steuerung und Regelung nichtlinearer Systeme. Automatisierungstechnik 45(1997), 517 525. 3. H.Sira-Ramírez, S.K.Agrawal: Differentially Flat Systems. Marcel Decker, Inc., New York-Basel, 24. 4. V.Hagenmeyer, M.Zeitz: Flachheitsbasierter Entwurf von linearen und nichtlinearen Vorsteuerungen. Automatisierungstechnik 52(24), 3 12. 5. S.Waldherr, M.Zeitz: Conditions for the existence of a flat input. International Journal of Control 81 (28), 439 443. 6. M.Zeitz: Differenzielle Flachheit: Eine nützliche Methodik auch für lineare SISO-Systeme. Automatisierungstechnik 58(21), 1 9. 7. M.Zeitz: Flachheitsbasierter Entwurf linearer zeitvarianter SISO-Systeme. Automatisierungstechnik 58(21), 351 36. 8. M.Zeitz: Flache Systeme. Institut für Systemdynamik, Universität Stuttgart. http://www.isys.uni-stuttgart.de/lehre/systemdynamik/fls M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... Elgersburg 214 27 / 27