Übung zu Kapitalmarkttheorie II

Übung zu Kapitalmarkttheorie II Michael Heyna (MSc) Lehrstuhl für Theoretische Volkswirtschaftslehre Prof Dr Lutz Arnold Universität Regensburg Tel: +49-94-943-703 Raum RW(L) 406 WS 08/09 Inhaltsverzeichnis WIEDERHOLUNG 3 Aufgabe 3 Aufgabe 3 3 Aufgabe 4 4 Aufgabe 4 5 Aufgabe 4 6 Aufgabe 5 7 Aufgabe 5 PARADOXA 6 Aufgabe: Allais-Paradoxon 6 Aufgabe: St-Petersburg-Paradoxon 6 3 KOVARIANZ 7 3 Aufgabe 7 3 Aufgabe 7 4 NUTZENMAXIMIERUNG BEI ZWEI GÜTERN 8 4 Aufgabe 8 4 Aufgabe 8 5 EDGEWORTH-BOX 9 5 Aufgabe: Tauschökonomie 9 5 Aufgabe: Spot-Märkte versus Terminmärkte 9 53 Aufgabe: Beweis des Ersten Hauptsatzes der Wohlfahrtstheorie mit CCMs 9 6 FINANZÖKONOMIE I 0 6 Aufgabe 0 6 Aufgabe: Leerverkäufe 0

7 FINANZÖKONOMIE II 7 Aufgabe: Beispiel 7 Aufgabe: Lineare Unabhängigkeit 73 Aufgabe: Beispiel 8 FINANZMÄRKTE 8 Aufgabe: Arrow Securities 8 Aufgabe: Optionen 83 Aufgabe 3 84 Aufgabe: Arbitragefreiheit 3 85 Aufgabe: Assetbewertung 3 9 CONSUMPTION-BASED ASSET PRICING 4 9 Aufgabe: Herleitung 4 9 Aufgabe: SDF-Bestimmung 4 93 Aufgabe: Asset-Pricing-Gleichung 4 0 SPEZIALFÄLLE 5 0 Aufgabe 5 0 Aufgabe: Random Walk 5 03 Aufgabe: Zahlenbeispiel 5 GESETZ DER ITERIERTEN ERWARTUNGEN (LIE) 6 Aufgabe: Konzept 6 Aufgabe: Beispiel 6 3 Aufgabe: Beispiel 7

WIEDERHOLUNG Aufgabe Es sind folgende vier Aktientitel gegeben, die in gegebener Stückzahl zu den entsprechenden Preisen in Ihr Aktienportfolio aufgenommen werden: Titel Anzahl Aktien Preis je Aktie Bank AG 5 60,00 BVB 0 55,5 Versicherungsgesellschaft 5 46,00 Automobilindustrie 5 45,75 Abbildung a) Geben Sie jeweils den zu dieser Transaktion gehörenden Mengen- sowie Preisvektor an b) Ermitteln Sie die Gesamtkosten Ihrer Transaktion Aufgabe Gegeben sind folgende Matrix bzw Vektor: A = 3 5 4 5, x = a) Ermitteln Sie das Produkt Ax = b Berechnen Sie die Determinante und die Inverse der Matrix A Wiederholen Sie, falls nötig, die grundlegenden Regeln der Matrixmultiplikation b) Ermitteln Sie das Produkt aus der Matrix A und dem Vektor x, wobei A =, x = 3 0 3 0 4 3 0,5 3 c) Stellen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Vektorschreibweise dar und lösen Sie es 6x + 3x + x 3 = x + 4x + x 3 = 4x 4x + 5x 3 = 0 x x x 3 3

3 Aufgabe Sie wollen bei Ihrem wöchentlichen Einkauf folgende Güter in den jeweiligen Mengen zu den gegebenen Preisen erwerben: Einkaufsliste Menge Preis je Stück Zahnpasta 3,50 Gurke 0,79 Tomate 3 0,45 Semmel 4 0,35 Fleischwurst,80 Packung Chips,75 Tiefkühlpizza 3,5 Fußballmagazin 6,75 Packung Käse,45 Abbildung a) Erstellen Sie den Mengenvektor und den dazugehörigen Preisvektor für diesen Einkauf b) Geben Sie den Preis des gesamten Einkaufs in Summen- und in Vektorschreibweise an 4 Aufgabe Wiederholen Sie das Konzept der vollständigen Induktion 5 Aufgabe Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N gilt n (k ) = n () k= n k= k 3 = n (n + ) 4 () n k k = (n ) n+ + (3) k= 4

6 Aufgabe Wiederholen Sie folgende Konzepte: a) Indifferenzkurven und Grenzrate der Substitution b) Edgeworth-Box und Pareto-optimale Allokation c) Was besagt in diesem Zusammenhang der Erste Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie? Was der Zweite? d) Diskutieren Sie die Gültigkeit beider Sätze bei nicht konvexen Präferenzen 7 Aufgabe Betrachten Sie die folgende Nutzenfunktion: a) Ermitteln Sie daraus die Grenzrate der Substitution (GRS) U(x, x ) = x α x β (4) b) Nehmen Sie an, dass x = und x = 6 Wie hoch ist die GRS, wenn Sie α = und β = 0,5 unterstellen? 5

PARADOXA Aufgabe: Allais-Paradoxon Es gebe drei mögliche Zustände (s, s, s 3 ) mit den dazugehörigen Payoffs (500000; 500000; 0) Zeigen Sie, dass das Allais-Paradoxon eine Schwäche der Erwartungsnutzentheorie aufzeigt Benutzen Sie dazu die zwei Alternativen mit den gegebenen Lotterien aus Abbildung 3[ ] Alternative Alternative Auszahlung 500000 500000 0 500000 500000 0 Lotterie 0% 00% 0% 0% % 89% Lotterie 0% 89% % 0% 0% 90% Abbildung 3 Aufgabe: St-Petersburg-Paradoxon Es wird Ihnen ein Spiel mit einer fairen Münze vorgeschlagen Die Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal Kopf fällt Dann endet das Spiel Fällt beim ersten Wurf Zahl, erhalten Sie Euro Nach jeder weiteren Runde, in der Zahl fällt, verdoppelt sich der Gewinn Nach der zweiten Runde erhalten Sie also 4 Euro, nach der dritten 8 Euro, nach der vierten schon 6 Euro usw Beantworten Sie die folgenden Fragen a) Wie hoch soll die Teilnahmegebühr für dieses Spiel sein, damit risikoneutrale Individuen daran teilnehmen? b) Zeigen Sie, wie sich mithilfe der Bernoulli-Nutzentheorie dieses Paradoxon scheinbar lösen lässt c) Warum ist die Bernoulli-Nutzentheorie allerdings keine wirkliche Lösung? d) Nennen Sie weitere Beispiele aus dem täglichen Leben, bei denen Entscheidungen unter Unsicherheit ein nicht wegzudenkendes Merkmal sind Vgl Danthine, J-P und Donaldson, JB (00): Intermediate Financial Theory, S33-35 6

3 KOVARIANZ 3 Aufgabe In der Vorlesung wird des Öfteren die Kovarianz zwischen zwei Variablen betrachtet Was sagt diese Maßzahl aus? Beschreiben Sie das Konzept genauer 3 Aufgabe Gegeben seien zwei Assetrenditen X und Y mit vier möglichen Ausprägungen x s bzw y s, die jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten (p s = 05) s: 3 4 x s 0,00 0,05 0,0 0,5 y s -0,0 0,05 0,5 0,40 E(X) E(Y) x s -E(X) y s -E(Y) Abbildung 4 a) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen X und Y b) Welche Probleme ergeben sich bei der Interpretation der Kovarianz? Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizienten? c) Was ist eine Kovarianzmatrix? 7

4 NUTZENMAXIMIERUNG BEI ZWEI GÜTERN 4 Aufgabe Beschreiben und lösen Sie allgemein das Optimierungsproblem, das sich im Zwei-Güter- Fall bei beliebiger Nutzenfunktion und Budgetbeschränkung ergibt Was sagt die Optimalitätsbedingung aus? 4 Aufgabe Betrachten Sie das folgende Beispiel Gegeben sind p = 4, p = 6, b = 30 und a) Bestimmen Sie das nutzenmaximierende Güterbündel b) Wie lautet die Lösung für die Nutzenfunktion mit α = 0, 5, β =, b = 80, p =, p = 4? u(x, x ) = (x + )(x + ) (5) u(x, x ) = x α x β (6) 8

5 EDGEWORTH-BOX 5 Aufgabe: Tauschökonomie Es gebe zwei Individuen, die jeweils zwei Güter,x und y, konsumieren können Die Nutzenfunktionen der beiden Individuen lauten u (x, y) = x α y α (7) und u (x, y) = x β y β (8) a) Ermitteln Sie die Kontraktkurve in der Edgeworth-Box zunächst allgemein b) Setzen Sie α = und β = 3 und interpretieren Sie das Ergebnis 5 Aufgabe: Spot-Märkte versus Terminmärkte Zeigen Sie, wie man die Ökonomie mit Terminmärkten (CCMs) für den Zwei-Individuen- Fall anhand der Edgeworth-Box darstellen kann, vorausgesetzt es gilt für die Anfangsausstattung y i t = 0 und damit c i t = 0 Um einen Vergleich herzustellen, fragen Sie sich zunächst, wie die Darstellung für Spot-Märkte aussehen müsste 53 Aufgabe: Beweis des Ersten Hauptsatzes der Wohlfahrtstheorie mit CCMs Wiederholen Sie den Beweis aus Kapitel 3 der Vorlesung 9

6 FINANZÖKONOMIE I 6 Aufgabe Gehen Sie von einem sicheren und einem riskanten Asset mit den dazugehörigen Preisen und Payoffs aus Kapitel 4 der Vorlesung aus a) Generieren Sie für r t+ = 0,05 die Payoffs (; 0) und (0; ) b) Wie generiert man beliebige andere Payoffs (x; 0) und (0; x)? 6 Aufgabe: Leerverkäufe Nun liefere das riskante Asset in beiden Umweltzuständen einen positiven Payoff, dh a t+,s > 0, s =,, wobei a t+, ( ) a t+, gilt ( Zeigen ) Sie, dass Leerverkäufe unumgänglich 0 sind, um die Payoff-Vektoren und zu generieren 0 0

7 FINANZÖKONOMIE II 7 Aufgabe: Beispiel Sei r t+ = 0, 05, a t+, =, a t+, = 3 Ermitteln Sie, wie viele Einheiten des sicheren ( ) und des riskanten Assets jeweils gehalten 5 werden müssen, um den Payoff-Vektor zu generieren 3 7 Aufgabe: Lineare Unabhängigkeit Nun seien ausschließlich zwei riskante Assets (kein sicheres Asset) gegeben Illustrieren Sie, dass lineare Unabhängigkeit der Payoff-Vektoren Voraussetzung dafür ist, dass Sie die Payoffs (;0) und (0;) mit diesen Assets generieren können 73 Aufgabe: Beispiel Gegeben seien die beiden Vektoren u = a) Ist es möglich, den Payoff-Vektor b) Stellen Sie das Ergebnis grafisch dar ( 5, 5 5 ( 5 ) und v = ) zu generieren? ( 4 )

8 FINANZMÄRKTE 8 Aufgabe: Arrow Securities Es gebe nun drei Umweltzustände (s =,, 3) Nehmen Sie an, dass folgende Wertpapiere, 0 mit dazugehörigen gleichgewichtigen Preisen p k = 0, 6 gehalten werden: 0, 8 3 a,t+,s =, a,t+,s = und a 3,t+,s = 0 0 a) Beschreiben Sie in Matrixschreibweise das Problem, um eine Arrow Security für Zustand s = 3 zu erzeugen Wie lautet das lineare Gleichungssystem? b) Ermitteln Sie den Preis p t,s der Arrow Securities für alle drei Zustände c) Was versteht man allgemein unter Finanzmarktvollständigkeit? d) Ist Finanzmarktvollständigkeit erreichbar, wenn es nicht möglich ist, Arrow Securities für alle s Zustände zu synthetisieren? 8 Aufgabe: Optionen In einer Ökonomiemit drei möglichen Umweltzuständen (s =,, 3) ist ein Wertpapier mit Payoff-Vektor 3 gegeben 5 Zudem gebe es zwei Call-Optionen mit Ausübungspreisen (strike prices p s ) und 3 a) Was ist eine Call-Option und was versteht man unter einem strike price? b) Wie lauten die Payoff-Vektoren der beiden Optionen? c) Wie lautet das lineare Gleichungssystem, das das Portfolio Arrow Security für Zustand s = 3 nachgebildet werden kann? d) Wie lauten die Portfolios, die die anderen beiden Arrow Securities nachbilden? e) Mit welchem Portfolio kann man sich eine sichere Auszahlung von sichern? z z z 3 liefert, mit dem die f) Angenommen, das Wertpapier kostet Euro Call-Option und Call-Option kosten jeweils und 0,4 Euro Bestimmen Sie den Preis der Arrow Security für Zustand s = 3

83 Aufgabe Ein beliebiges Wertpapier liefert in drei Umweltzuständen (s =,, 3) den Payoff-Vektor 5 0 35 Mit welchen Ausübungspreisen (strike prices p s ) von Call-Optionen kann hier die Komplettierung des Finanzmarktes erreicht werden? Wie lauten die Payoff-Vektoren der beiden Optionen? 84 Aufgabe: Arbitragefreiheit Betrachten Sie die drei Wertpapiere aus Aufgabe 8, dh die Payoff-Vektoren und 0 mit Preisen p p p 3 = 0,6 0,8 und den dazugehörigen AS-Preisen p t,s = 0 für alle Umweltzustände s 3 0, a) Erläutern Sie anhand von Arbitrageüberlegungen, ob Asset 3 richtig bepreist ist b) Was wäre, wenn der Preis von Asset 3 größer bzw kleiner, als für Arbitragefreiheit nötig, wäre? 85 Aufgabe: Assetbewertung Gegeben sind ein Asset k mit Payoff-Vektor p t,s = 00 05 040 für alle drei Zustände Das verfügbare Einkommen beträgt 0 Einheiten 3 4 8 und p k = 4, sowie die AS-Preise a) Überprüfen Sie, ob das Asset korrekt bepreist ist b) Wie hoch wäre der mögliche Arbitragegewinn im Falle einer Fehlbepreisung? 3

9 CONSUMPTION-BASED ASSET PRICING 9 Aufgabe: Herleitung Gegeben sind folgende Nutzenfunktionen: u i (c i t) = γ i (ci t) γi (9) und u i (c i t+,s) = γ i (ci t+,s) γi mit c i t = y i t p t η i t bzw c i t+,s = y i t+,s + η i t(p t+,s + a t+,s ), wobei η i t die Menge des riskanten Assets angibt, die der Investor i in t kauft Leiten Sie die fundamentale Asset-Pricing-Gleichung her (0) 9 Aufgabe: SDF-Bestimmung Gegeben sind folgende Nutzenfunktionen: u i (c i ) = c i a i (c i ) () u i (c i ) = ln c i () Bestimmen Sie jeweils den SDF u i (c i ) = (c i ) α (3) u i (c i ) = γ i (ci ) γi (4) 93 Aufgabe: Asset-Pricing-Gleichung a) Schreiben Sie die fundamentale Asset-Pricing-Gleichung auf b) Stellen Sie die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q s in Abhängigkeit vom SDF (M t,t+,s ), der subjektiven Wahrscheinlichkeit π s und dem sicheren Zinssatz ( + r t+ ) auf c) Bestimmen Sie q s für die Nutzenfunktion eines risikoneutralen Marktteilnehmers, dh SDF = d) Formulieren Sie die fundamentale Asset-Pricing-Gleichung in Abhängigkeit von q s e) Gehen Sie von einer beliebigen Nutzenfunktion aus, wie zum Beispiel in den Gleichungen 9, und 3 beschrieben, und bestimmen Sie q s 4

0 SPEZIALFÄLLE 0 Aufgabe a) Welches Gleichgewicht stellt sich ein, wenn Anfangsausstattungen und Nutzenfunktionen für alle Individuen i gleich sind? b) Wie nennt man ein solches Gleichgewicht? c) Wie lautet in diesem Fall der SDF für die Nutzenfunktionen () und () aus Aufgabe 9? 0 Aufgabe: Random Walk a) Zeigen Sie, dass gegeben Risikoneutralität Assetpreise einem Random Walk folgen, wenn Sie die nötigen Annahmen treffen Was bedeutet dies für Preisvorhersagen? b) Zeigen Sie, dass p t = p 0 + t ξ τ gilt τ= c) Angenommen ξ t iid Bestimmen Sie E 0 (p t ) für alle t d) Wie entwickelt sich die Varianz im Zeitablauf? e) Was bedeutet das für die Prognose des zukünftigen Assetkurses? 03 Aufgabe: Zahlenbeispiel Es seien β = 0,8, π = π = 0, 5, sowie die zwei nachfolgende Nutzenfunktionen gegeben: u i (c i ) = + 3c (5) u(c i ) = (ci ) γ γ (6) a) Bestimmen Sie für beide Nutzenfunktionen den SDF b) Bestimmen Sie für Nutzenfunktion (5) den risikolosen Zinssatz r t+ c)nehmen Sie y t = 3, y t+, =, y t+, =,5 und γ = 0,7 an Berechnen Sie für Nutzenfunktion (6) E t [M t;t+ ] und den risikolosen Zinssatz (r t+ ) im No-Trade-Equilibrium 5

Auszahlungen GESETZ DER ITERIERTEN ERWARTUNGEN (LIE) Aufgabe: Konzept t=0 t= t= t=t Zeit 3 S- S K- K K+ J- J J+ S- S 3 S- S x x x 3 x S- x S Abbildung 5 a) Was besagt das Gesetz der iterierten Erwartungen? b) Ergänzen und erklären Sie Abbildung 5 c) Wiederholen Sie den Beweis aus Kapitel 3 der Vorlesung, in dem die Gültigkeit folgender Gleichung gezeigt wird: Aufgabe: Beispiel E(x σ) = E(E(x σ ) σ) Es gebe fünf Umweltzustände, S = {,, 3, 4, 5}, und drei Zeitpunkte, T = {t 0, t, t } Die Auszahlungen sind in Periode t 0 sowie in t unbekannt In der letzten Periode t liegt eine totale Partitionierung vor und Sie wissen, in welchem Umweltzustand Sie sich befinden Jedem einzelnen Elementarereignis {}, {}, {3}, {4}, {5}, mit dazugehöriger Eintrittswahrscheinlichkeit π =, π 0 =, π 0 3 =, π 5 4 =, π 5 5 =, ist eine Auszahlung 5 x s : {00}, {50}, {00}, {300}, {50} zugeordnet In t gibt es zwei Informationsmengen,, σ = {,, 3} und σ = {4, 5}, mit π σ = und 5 π σ = 3 Ferner gilt in t 5 5, π s = 6

a) Welche Partitionierungen von S sind in diesem Beispiel möglich? b) Stellen Sie die Angaben dieses Beispiels graphisch dar c) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E(x σ) d) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E[E(x σ ) σ)] e) Vergleichen und interpretieren Sie die Ergebnisse aus den Teilaufgaben c) und d) 3 Aufgabe: Beispiel Nun gebe es sechs Umweltzustände, S = {,, 3, 4, 5, 6}, und vier Zeitpunkte, T = {t 0, t, t, t 3 } Die Auszahlungen sind in t 0, t sowie t unbekannt In t 3 liegt eine totale Partitionierung vor und die entsprechenden Auszahlungen sind {6}, {}, {8}, {4}, {30}, {36}, mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten π = π =, π 30 3 =, π 5 4 =, π 5 5 = π 6 = 6 In t wissen Sie, dass es zwei Informationsmengen, σ = {,, 3, 4} und σ = {5, 6}, mit π σ = und π 3 σ =, gibt 3 In t sind vier Informationsmengen bekannt: σ = {, }, σ = {3, 4}, σ 3 = {5} und σ 4 = {6}, mit π σ =, π 5 σ = 3, π 5 σ =, π 3 6 σ = 4 6 a) Welche Partitionierungen von S sind in diesem Beispiel möglich? b) Stellen Sie die Angaben dieses Beispiels graphisch dar c) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E(x σ) d) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E[E(x σ ) σ)] in drei Schritten e) Vergleichen und interpretieren Sie die Ergebnisse aus den Teilaufgaben c) und d) 7