Übung 3: Einfache Graphiken und Näherungen durch Regression M. Schlup, 9. August 010 Aufgabe 1 Einfache Graphik Für die abgegebene Leistung P = UI eines linearen, aktiven Zweipols mit Leerlaufspannung U 0 und Innenwiderstand R i an einen Lastwiderstand R gelten folgende Beziehungen: I = U 0 R i + R U = RI P = UI Erstellen Sie eine Figur mit zwei untereinanderliegenden Graphiken (Funktion subplot) der Leistung in Funktion des Lastwiderstands, in linearer und in halblogarithmischer Darstellung (welche Achse muss dabei logarithmisch sein?). Damit die Graphiken universelle Gültigkeit haben, sollten sie normiert werden: die Leistung mit der maximal möglichen Leistung P max = 1 4 und der Lastwiderstand mit dem dazu notwendigen optimalen Widerstand R opt = R i. Wählen Sie auch einen sinnvollen Wertebereich für die Achsen der beiden Graphiken (Funktion axis). Aufgabe Einfache, graphische Darstellung Eine Phasenanschnittsteurung unterdrückt ein gleichgerichtetes Signal für Winkelwerte zwischen 0 + kπ und α + kπ, k Z. Der Winkel α ist der so genannte Phasenanschnittwinkel (0 α π), cf. Abbildung 1. Überprüfen Sie die Formeln für den linearen und den quadratischen Mittelwert dieses Signals in Funktion von α: U lin = 1 Û ( ) u(t)dt = 1 + cos α T T π 1 U quad = u T (t)dt = Û 1 1 ( 1 α sin α) T π Der lineare Mittelwert wird auch als Gleichwert (direct component) und der quadratische Mittelwert als Effektivwert (RMS, root mean square) bezeichnet. Da die Spannung hier gleichgerichtet wurde, entspricht der Gleichwert auch dem Gleichrichtwert (rectified value). Der maximale Betrag oder Scheitelwert (peak value) der angeschnittenen Spannung entspricht Û für 0 α π und Û sin α für π < α π. 1. Zeichnen Sie den Verlauf des Scheitelfaktors (crest factor) in Funktion des Winkels α. Der Scheitelfaktor entspricht dem Verhältnis Scheitelwert zu Effektivwert.. Zeichnen Sie den Verlauf des Formfaktors (form factor) in Funktion des Winkels α. Der Formfaktor entspricht dem Verhältnis Effektivwert zu Gleichrichtwert. Diese Faktoren sind im Zusammenhang mit der Messung des Effektivwerts für einige Messinstrumente von Bedeutung. U 0 R i 1
Abbildung 1: Phasenangeschnittene, gleichgerichtete Spannung Wechselspannung: u(t) = Û sin(π 50 Hz t) mit Scheitelwert Û = 30 V
Aufgabe 3 Überbestimmte Gleichungssysteme Bei einem 3.3 Ω - 3 W Widerstand wurden folgende Stromstärken, Spannungen und Temperaturen gemessen: Im=[0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95]; Stromstaerke in A Um=[1.6 1.90.8.60.95 3.13]; Spannung in V Tm=[60 7 95 113 14 157]; Widerstandstemperatur in Grad Celsius T0=3; Umgebungstemperatur in Grad Celsius 1. Erzeugen Sie die folgenden Graphiken mit Beschriftung und Titel: (a) U-I-Kennlinie. (b) P-I-Kennlinie (P steht für Leistung). (c) R-I-Kennlinie (d) R-T-Kennlinie (e) T-P-Kennlinie Die Messpunkte sollen als solche gekennzeichnet werden: z. B. mit einem kleinen Kreis, keine Polygonzüge!. Linearisieren Sie zunächst durch lineare Regression (siehe Anhang A) die Kennlinien von denen erwartet werden kann, durch eine Gerade korrekt beschrieben zu werden: (a) U-I-Kennlinie. (b) R-T-Kennlinie (c) T-P-Kennlinie Tragen Sie diese Näherungen in die entsprechenden Graphiken mit den Messpunkten ein und überprüfen Sie die Hypothese der Linearität der Näherung. Bestimmen Sie den mittleren Widerstandswert aus den ermittelten Daten. Achtung: Nicht gemessene Punkte, welche aber bekannt sind, müssen in der Berechnung berücksichtigt werden, z. B. der Ursprung der U-I-Kennlinie. 3
3. Nähern Sie die P-I- und R-I-Kennlinien durch Regressionsparabeln (siehe Anhang B für ein Regressionsmodell zweiter Ordnung). Hinweis: Der Scheitelpunkt der R-I-Kennlinie sollte theoretisch bei I = 0 A sein. Durch Versuchen (Einsetzen eines Widerstandsmesswerts für T 0 ) lässt sich eine Schätzung für den Widerstandswert bei 3 C ermitteln. Tragen Sie diese Näherungen in die entsprechenden Graphiken mit den Messpunkten ein und überprüfen Sie die Gültigkeit der Hypothese zweiter Ordnung. 4. Versuchen Sie den Temperaturkoeffizienten α 0 des Widerstands sowie den Widerstandswert R 0 bei 0 C zu ermitteln: R θ = R 0 (1 + α 0 (θ 0 C)) Dies ergibt, aufgelöst nach α 0 : α 0 = R θ R 0 R 0 (θ 0 C) = 1 R R 0 θ Hinweis: Der direkte Weg zur Bestimmung von R 0 und α 0 über die Linearisierung des R-T- Zusammenhangs ist hier wegen den zufälligen Messwertabweichungen nicht sehr sicher. Der Widerstandswert bei 3 C sollte mitberücksichtigt werden. Das Verhältnis R θ entspricht der Steilheit der linearisierten R-T-Kennlinie. 4
Aufgabe 4 Stereoskopisches Bild Das Betrachten von Stereoskopischen Bildern, wie die in der Abbildung gezeigten, kann die Illusion des Tiefeneindrucks erwecken, wenn jedem Auge eines der beiden Bilder zugewiesen wird. Um diesen Effekt zu erzeugen, müssen die beiden Bilder das dargestellte Objekt aus einer leicht unterscheidlichen Richtung zeigen. Abbildung : Stereoskopisches Bild eines Drahtwürfels Wird durch leichtes Schielen mit dem rechten Auge das Bild links und mit dem linken das Bild rechts betrachtet, so erscheint der Würfel als dreidimensionale Illusion. Wird die Bildzuordnung vertauscht (das rechte Auge betrachtet das rechte Bild, das linke das andere), so kehrt sich der Tiefeneindruck um. Versuchen Sie mit MATLAB die stereoskopischen Bilder eines Drahtwürfels gemäss der Vorlage zu erzeugen. Bei einer Kantenlänge von 1 können die Eck-Koordinaten folgende Werte aufweisen: (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (1,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (1,0,1). Zeichnen Sie zunächst nur einen der beiden Würfel und wählen Sie die Betrachtungsrichtung mit der Funktion view. Unterteilen Sie die Figur mit der Funktion subplot. Das Unterdücken der Achsen-Markierungen und -Skalen kann mit der Funktion set(gca,'xticklabel',[],'xtick',[],..) bewirkt werden. Studieren Sie die Liste der wählbaren axis-parameter im Echo auf die Anweisung get(gca) 1. 1 gca steht für get current axis 5
A Lineare Regression Das lineare Modell des Zusammenhangs zwischen x und y soll wie folgt aussehen: y = a 1 x + a 0. Für die n Messpunkte (Messwertpaare) (x k, y k ), welche nicht auf der Modellgeraden liegen, ergibt sich: y k = a 1 x k + a 0 + e k (1) Die e k sind die Abweichungen (Fehler) vom besten Verlauf gegeben durch die Modellgleichung. Die Aufgabe besteht darin, die Koeffizienten a 1 und a 0 so zu wählen, dass die Summe der Quadrate der Fehler minimiert wird: n 1 e k min k=0 Zunächst soll die Aufgabenstellung in Matrix-Form gebracht werden. Dazu wird die so genannte Vandermonde- Matrix X aufgestellt: 1 x 0 1 x 1 X =.. 1 x n 1 Mit dem Parametervektor a a = a 0 a 1 und den Spaltenvektoren y und e ergibt sich für die Gleichung (1) in Matrix-Schreibweise: y = X a + e. Diese Optimierungsaufgabe kann mit MATLAB auf sehr einfache Weise berechnet werden: Lineare Regression 007, M. Schlup clear all, clc Listing 1: Matlab-Code zur Berechnung der linearen Regression x=[x(1) x().. x(n)]; x=x(:); y=[y(1) y().. y(n)]; y=y(:); X=[ones(size(x)) x]; a=x\y; Vektor der x Messwerte erzwingt einen Spaltenvektor Vektor der y Messwerte Vandermonde Matrix Loesung der Regressionsaufgabe durch Linksdivision Die x k -Werte werden dabei als richtig betrachtet. 6
B Regression. Ordnung Bei einer Regression zweiter Ordnung ist das Modell die Parabel y = a x + a 1 x + a 0. Dies kann einfach durch Erweiterung der Vandermonde-Matrix um eine Spalte erreicht werdent: X = Der Parametervektor erhält eine zusätzliche Zeile: 1 x 0 x0 1 x 1 x1... 1 x n 1 xn 1 a = Diese Optimierungsaufgabe kann mit MATLAB ebenfalls einfach berechnet werden: a 0 a 1 a Listing : Matlab-Code zur Berechnung der Regression zweiter Ordnung Regression zweiter Ordnung 007, M. Schlup clear all, clc x=[x(1) x().. x(n)]; x=x(:); y=[y(1) y().. y(n)]; y=y(:); X=[ones(size(x)) x x.ˆ]; a=x\y; Vektor der x Messwerte erzwingt einen Spaltenvektor Vektor der y Messwerte Vandermonde Matrix Loesung der Regressionsaufgabe durch Linksdivision 7