Einführung in die Wahrscheinlicheitstheorie und Statisti Prof. Dr. Jan Johannes Sandra Schluttenhofer Wintersemester 08/9 7. Übungsblatt - Lösungssien Aufgabe 5 Faltung und Ausdünnung einer Poisson-Verteilung, 4 + Punte. a Ausdünnung einer Poisson-Verteilung: Die Anahl der Siebenmeter während eines Handballspiels sei Poisson-verteilt mit Parameter λ > 0. Die Siebenmeter werden unabhängig voneinander eweils mit Wahrscheinlicheit p > 0 in ein Tor verwandelt. Berechnen Sie die Verteilung der geworfenen Tore durch Siebenmeter während des Spiels. Hinweis: Gesucht ist also eine Zähldichte p, welche die Wahrscheinlicheit angibt, dass während des Spiels Tore durch Siebenmeter geworfen werden. b Faltung weier Poisson-Verteilungen: Wir nehmen an, dass die Lebensdauer in Tagen weier Glühbirnen und Poissonverteilt ist mit Parametern λ > 0 und λ > 0. Wir schrauben nun die Glühbirne in eine Lampe, und erseten sie durch Glühbirne, wenn sie durchgebrannt ist. Berechnen Sie die Verteilung der Zeit in Tagen, bis Sie wieder im Duneln siten. Nehmen Sie dau an, dass die beiden Glühbirnen unabhängig voneinander durchbrennen. Lösung 5. a Es gibt wei Möglicheiten ur Herleitung der Verteilung: Möglicheit mit Ereignissen: Wir definieren die Ereignisse S n n Siebenmeter treten im Handballspiel auf n N 0. T Tore durch Siebenmeter treten im Handballspiel auf N 0. Sei Ω, A, P ein Wahrscheinlicheitsraum, so dass die in der Aufgabenstellung gegebenen Wahrscheinlicheiten gelten: Die Anahl Siebenmeter ist Poisson-verteilt mit Parameter λ > 0: PS n λn e λ, und wenn die Anahl n der Siebenmeter beannt ist, ist die Anahl der Tore binomialverteilt Siebenmeter werden unabhängig voneinander mit Wahrscheinlicheit p > 0 u Toren. Allerdings ann es immer nur höchstens so viele Tore wie Siebenmeter geben: { n PT S n p p n, n 0, > n Wegen S n Ω folgt mit dem Sat von der totalen Wahrscheinlicheit: PT PT S n PS n [ [ n λ p p n n e λ
Möglicheit mit Zufallsvariablen: Sei S Poi λ die Anahl der Siebenmeter in einem Spiel, T S Bin S,p die Anahl der Tore durch Siebenmeter. Dann ist PT S PT S, S n PT S S n PS n PT n PS n [ n p p n PT n PS n [ λ n e λ Erlärung u : Es ist T n Bin n,p, also T n {0,..., n}. Daher ist PT n 0 für > n. Aus eder der beiden Möglicheiten erhalten wir: P Tore durch Siebenmeter n p p n λn e λ e λ p λ n p n! n! e λ p λ n+ p n e λ λp λ p n!! e λ λp! e λ p λp! e λp. Das ist die Zähldichte einer Poisson-Verteilung mit Parameter λ p, d.h. die Anahl der Tore durch Siebenmeter während des Spiels folgt einer Poisson-Verteilung mit Parameter λ p. b Wir definieren die Ereignisse N 0, n N 0 : A : Glühbirne brennt nach Tagen durch, B : Glühbirne brennt nach Tagen durch, C n : Nach n Tagen sitt man wieder im Duneln. Laut Voraussetung der Aufgabe sind A, B l unabhängig für alle, l. Außerdem gilt PA λ! e λ, und PB λ! e λ Lebensdauern sind Poisson-verteilt. Nun gilt beachte nach Definition der Ereignisse A, C n muss A C n sein für > n: PC n unabh. PC n A 0 PC n A 0 PB n PA 0 e λ +λ 0 e λ +λ λ + λ n, 0 [ λ! e λ n λ λ n PB n A 0 [ λ n n! e λ
das ist die Zähldichte der Poisson-Verteilung mit Parameter λ + λ. Bemerung: Diese Aufgabe ann natürlich wie in a auch mit Zufallsvariablen gelöst werden, wir definieren dafür die wei unabhängigen Zufallsvariablen X Poi λ Lebensdauer der ersten Glühbirne, Y Poi λ Lebensdauer der weiten Glühbirne und erhalten die Verteilung von X + Y Poi λ +λ, die Rechnung funtioniert analog u oben. Aufgabe 6 Faltung von stetigen Verteilungen, 4 3 + Punte. Sei Ω, A, P ein Wahrscheinlicheitsraum und X, Y : Ω R wei stochastisch unabhängige und stetig verteilte Zufallsvariablen mit Wahrscheinlicheitsdichten f X, f Y. a Faltung von Normalverteilungen: Seien X N µ,σ und Y N µ,σ mit µ, µ R und σ, σ > 0. Zeigen Sie, dass X + Y N µ +µ,σ +σ. Hinweis: Begründen Sie, warum man o.b.d.a. µ µ 0 und σ annehmen ann. Nuten Sie quadratische Ergänung im Exponenten. b Sei n N und X,..., X n : Ω R Zufallsvariablen mit X,..., X n iid N µ, σ. Sei X n : n n i X i der Mittelwert. Berechnen Sie die Verteilung von Z n : n Xn µ. σ Lösung 6. a Nach dem Sat über die lineare Transformation von Zufallsvariablen vgl. Bspl. 0..a gilt für eine normalverteilte Zufallsvariable W N µ,σ und a R, b > 0: aw + b N aµ+b,a σ. Wir betrachten die Darstellung X + Y σ X µ σ + Y µ σ + µ + µ. Die Zufallsvariablen X : X µ σ N 0,, Y : Y µ σ N 0,σ /σ sind laut Lemma 6.05 Funtionen von unabhängigen Zufallsvariablen sind immer noch unabhängig immer noch unabhängig. Haben wir nun X + Y N 0,+σ /σ geeigt, so folgt wieder mit der linearen Transformation vgl. Bspl 0. a: X + Y σ X + Y + µ + µ N µ +µ,σ +σ. Zum Beweis von nuten wir die Formel für die Faltung aus Lemma 7.0. und die Abürung σ : σ σ : Hier ist f X x π exp x / und f Y y πσ exp x /σ, also für Z X + Y : f Z f X yf Y y dy y exp exp y dy. πσ σ Beachte R y σ + y y σ + y + y + σ y y + σ y + σ 3 R + σ + + + σ. + + + σ σ
Dadurch erhalten wir beachte: im Integral steht die Dichte einer N f Z + σ / πσ +,+ σ exp R π + σ + y σ + dy σ }{{} π + σ exp. + σ Das ist die Dichte einer N 0,+σ -Verteilung. σ -Verteilung: exp + σ b Wenden wir a indutiv an, erhalten wir i X i N n i µ, n i σ N nµ,nσ. Beispiel 0. a über die lineare Transformation von Zufallsvariablen liefert X n n i X i N µ, σ n, und weiter Damit erhalten wir insgesamt X n µ σ N 0, n. n X n µ σ N 0,. Aufgabe 7 Erwartungswert von Summe und Produt von ZV, 4 + 3 Punte. a Sei Ω, A, P ein Wahrscheinlicheitsraum und sei X n n N eine Folge von Zufallsvariablen aus A +. Zeigen Sie, dass E X n E X n n N n N gilt vgl. Lemma 0.8. aus der Vorlesung. b Sei nun A i i I eine Familie von Teil-σ-Algebren für eine nicht-leere Indexmenge I. Zeigen Sie, dass A i, i I, genau dann unabhängig sind, wenn für ede Familie X i i I positiver + numerischer Zufallsvariablen mit X i A i, i I, und ede endliche nicht-leere Teilmenge J I E X E X gilt vgl. Lemma 0.0 aus der Vorlesung. 4
Lösung 7. a Wir definieren Y : n X n und Y : n X n. Da X n 0 für alle n N gilt Y Y. Aus 0.09. iii folgt damit lim EY EY. Außerdem folgt aus der Linearität des Erwartungswertes EY E n X n und damit aus : n EX n lim EX n lim EY EY E X n. n b Wir müssen hier wei Richtungen eigen: n n EX n " " Seien A i A i, i I beliebig, wir müssen eigen, dass die A i i I stochastisch unabhängig sind. Sei dau J eine beliebige endliche Teilmenge von I, wir definieren X i Ai für i J. Dann gilt PA EX Ann. E X E A P A wobei wir in benutt haben, dass A dass die A i i I stochastisch unabhängig sind. A. Damit haben wir geeigt, " " Wir verwenden die Beweisstrategie der maßtheoretischen Indution 09.06.: Schritt : Bernoulli-Zufallsvariablen: Seien X i Ai für A i A i, i J und eine beliebige endliche nicht-leere Indexmenge J I. Dann gilt E X E A E A P A Ann. PA E A EX. Damit ist die Aussage für Bernoulli-Zufallsvariablen geeigt. Schritt : Elementare Zufallsvariablen: Seien X i l i a i, Ai, für A i, A i, a i, R +, {,..., l i }, i J. Dann önnen wir das Produt über die Summe der gewichteten Bernoulli-Zufallsvariablen als Summe über das Produt schreiben: l a, A, {,...,l } a, A, 5
Darauf önnen wir das Resultat des ersten Schrittes anwenden: E X E l a, A, E a, A, Lin. {,...,l } {,...,l } l a, E An,n n J a, E A, {,...,l } a, E A, Lin. E X. Schritt {,...,l } Damit ist die Aussage für elementare Zufallsvariablen geeigt. + Schritt 3: Positive numerische Zufallsvariablen: Seien nun X i A i, i J positive numerische Zufallsvariablen. Dann önnen wir X i als Grenwert einer monoton wachsenden Folge von elementaren Zufallsvariablen schreiben: X i,i X i i für elementare Zufallsvariablen X i,i. Es gilt dann: E X E mon. Konv lim lim X, Schritt lim J endl. mon. Konv E lim J endl. E X, E X, lim E X, E lim X, E X. Aufgabe 8 Multivariate Normalverteilung, 4 + + Punte. Beweisen Sie Korollar 8.0. aus der Vorlesung: Sei Ω, A, P ein Wahrscheinlicheitsraum und sei X X,..., X n N µ,σ gemeinsam normalverteilt mit µ µ,..., µ n t R n, Σ Σ i i, {,...,n} R n n symmetrisch positiv definit. Zeigen Sie: a Für A R m,n und b R m gilt Y AX + b N Aµ+b,AΣA t. b Für i {,..., n} gilt X i N µi,σ ii. c Gelte Σ i 0 für wei i, {,..., n} mit i. Dann sind die Koordinaten X i und X unabhängig. X, a, E An,n n J 6
Lösung 8. a Da X N µ,σ, gilt per Definition 8.06. für alle d R n : X, d N µ,d, Σd,d. Sei nun c R m, dann gilt Y, c AX + b, c AX, c + b, c X, A t c + b, c, }{{} N µ,a t c, ΣA t c,a t c d.h. Y, c N Aµ+b,c, AΣA t c,c für beliebige c R n. Damit folgt Y N Aµ+b,AΣA t. b Wir wenden a mit A e t i, dem transponierten i-ten Einheitsvetor e i 0,..., 0,, 0,..., 0 R n in R n an. Es folgt X i AX N Aµ,AΣA t. Hier ist Aµ e t iµ µ i, und AΣA t e t iσe i Σ ii. Damit folgt also X i N µi,σ ii. c Definiere Y : Σ / X µ. Dann gilt nach a: Y Σ / X Σ / µ N Σ / µ Σ / µ,σ / ΣΣ / N 0,In n. Mit A : e t Σ /, B e t iσ / gilt AY X µ BY X i µ i und A t B e t Σ / t e t / Σ symmetr. i Σ Σ i. Gilt nun Σ i 0, so folgt mit Lemma 8.08. iii die Unabhängigeit von X und X i. Abgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den 6. Deember 08, :5 Uhr. Die Übungsettelästen sind im. OG, INF 05, vor dem Deanat. Homepage der Vorlesung: https://sip.math.uni-heidelberg.de/vl/ews-ws8/ 7