Erwartungswert einer Zufallsvariablen / mean value of a random variable

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Hella Schuster
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1 Erwartungswert / mean value / moyen E[X] Aademische isziplin der Statisti/academic field of statistics/ la discipline statistique/estadística/disciplina academica della statistica Erwartungswert einer Zufallsvariablen / mean value of a random variable efinition (Erwartungswert einer disreten Zufallsvariablen X) Sei X eine disrete Zufallsvariable mit Zähldichte p = P(X= ), K. K ist die Indemenge, mit der die Elemente des Ereignisraums Ω bezeichnet werden: Ω = {ω K }. ann heißt die Zahl E(X) := p X K Erwartungswert von X. K enthält endlich viele oder abzählbar viele Werte i ; i = 1,,, n oder i = 1,,,. 1 efinition (Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen X) Sei X eine stetige Zufallsvariable mit der ichtefuntion f: R. ann heißt die Zahl E(X) := Erwartungswert von X. f()d Zu beiden efinitionen werden einige Illustrationen gegeben.

2 Illustration 1 (er faire, ideale, ungezinte Würfel) Ω = { K K={1,,3,4,5,6}} = {1,, 3, 4, 5, 6} sowie p = 1 6 (=1,,3,4,5,6) E(X) = 6 p = 1 6 =1 6 =1 = 3.5. Illustration (Eine disrete reiecsdichte) Sei X eine Zufallsvariable X : Ω R mit Ω = { K K={1,,...,K}} = { 1,, 3,..., K} sowie p = a (=1,,...,K). ann folgt für a (wegen der Eigenschaften der Wahrscheinlicheit) 1 = K p = a K = ak(k+1) =1 =1 a = E(X) = K p = a K = K+1. =1 =1 3 K(K+1) und Illustration 3 (Symmetrie, Formulierung als Aufgabe) Gegeben sei die Zufallsvariable X mit folgenden Werten und zugehöriger Zähldichte p Berechnen Sie den Erwartungswert von X. Lösung: E(X)= aus Symmetrie; dies gilt allgemein für symmetrische Zufallsvariable. Sei X eine Zufallsvariable, deren ichtefuntion f die Eigenschaft f() = f(-) für alle R besitzt. ann gilt, daß der Erwartungswert von X ist, wenn überhaupt ein Erwartungswert eistiert. M.a.W. es gilt der folgend Satz. Satz (Mittelwert einer symmetrischen Zufallsgröße) Eine um den Punt S symmetrisch verteilte Zufallsvariable X hat den Mittelwert S. Beweis: Sei X disret. ann gibt es zu jeder Realisierung S + =: y mit p = P[X = y ] ein anderes y i =S- mit gleichem p = p i = P[X = y i ]; damit ist der Beweis für den disreten Fall abgeschlossen. Sei X stetig. ann gilt für die ichte f(s+) = f(s-). Illustration 4 Sei p 1 = P[X = -], p = P[X = -1], p 3 = P[X = 1], p 4 = P[X = ] und p 1 = p 4 und p = p 3, dann ist S=.

3 Illustration 5 (rei Zähldichten mit identischem Mittelwert nach Prof. Schwarze) j ichte ichte ichte E(X) = 1 Schwarze-1 3,6,5 ichte 1,4,3, ichte 1 ichte ichte 3, M.a.W. er Mittelwert reicht nicht aus, um eine disrete Zufallsvariable zu charaterisieren. ie graphischen Abbildungen der drei ichten folgen auf der nächsten Seite.

4 ie Zähldichten der Illustration 4 4

5 ie Verteilungen der Illustration 5 5

6 ie Verteilungen der drei Zufallsvariablen in einem Bild: 6 M.a.W. der Mittelwert reicht nicht aus, um eine Verteilung zu charaterisieren. Illustration 6 (Eine stetige reiecsverteilung) Sei X gemäß der reiecsverteilung 1. mit Parametern a=b=, c= und h=1 verteilt. ann hat X die ichte f() = 1 -.5, und das Aussehen: f() 1 Es ist E(X) = f()d = 1 (1-.5)d = = 3. Illustration 7 (Eine stetige Zufallsvariable) Sei X eine Zufallsvariable mit der ichtefuntion f() = a b, <<b, d.h. = (,b). Aus der Bedingung f()d = 1 erhält man: b 1 = f()d = abb+1 b+1 a = b+1 und E(X) = b b+1 b b+1 f()d = ( b b+1)b+1 d = b(b+1) b+.

7 Bemerung 1 (Lineare Transformation von Zufallsvariablen) Sei g: R R eine integrierbare Funtion. ann gilt: 7 E(g(X)) = g( )p, falls X disret ist und E(g(X)) = g()f()d, falls X stetig ist. Insbesondere gilt mit Y:= a + bx (a,b R): E(Y) = a + be(x). Beweis: Ist X disret, dann ist auch Y disret und es gilt: E(Y) = p y = p (a + b ) = a Ist X stetig, dann ist auch Y stetig und es gilt: p + b p =a + be(x). E(Y) = yf(y)dy = (a+b)f()d = a f()d + b f()d = a + be(x) Bemerung (Ungleichung von Marov) Sei X eine Zufallsvariable mit nichtnegativen Werten, dann gilt die folgende Marovsche Ungleichung: P[ X c] E(X) c, c >. Beweis: Hier wird nur der disrete Fall vorgeführt. Falls X stetig ist, verläuft der Beweis analog. E(X) = p = : <c p + : c p : c p = c : c p = c P(X c). Beispiel 1 (Eine stetige parametrische Verteilung mit Mittelwert 1 und variabler Varianz) Beispiel (Eine disrete Zufallsvariable für die der Mittelwert nicht eistiert) Beispiel 3 (Eine stetige Zufallsvariable für die der Mittelwert nicht eistiert) Beispiel 4 (ie fragwürdige Rolle des urchschnitts) Beispiel 5 (as arithmetische Mittel einer identisch und unabhängig verteilten Zufallsstichprobe, Formulierung als Aufgabe) Beispiel 6 (Formulierung als Aufgabe zu einer disreten reiecsverteilung) (RELIABILITY, STATISTICS, BIAS, CHEBYSHEV, VARIANCE, EFFICIENCY, VARIATION)

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