Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Frühling 018 Probeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Die Prüfung dauert 10 Minuten. Sie dient der Selbstevaluation. Die Musterlösungen folgen. Die Multiple Choice Aufgaben 1-0 bieten vier Aussagen an, von denen jeweils genau eine richtig ist. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 1 Punkt, für jede unkorrekte oder nicht gegebene Antwort erhalten Sie 0 Punkte. Die Handaufgaben 1 bis 3 sollen mit einem sauberen Lösungsweg dokumentiert werden. Diese drei Aufgaben ergeben bei korrekter Lösung je 10 Punkte. Mit dieser Probeprüfung wollen wir Sie bei Ihrer Prüfungsvorbereitung durch zusätzliches Übungsmaterial unterstützen. Die Prüfung in der Prüfungssession im Herbst wird dieselbe Struktur wie diese Probeprüfung haben. 1. P sei der Vektorraum der Polynome vom Grad. Welche der folgenden Mengen ist eine Basis von P? {(x + 1), x + 1, (x 1) } {(x + 1), (x 1), (x + ) } {x 1, x + x, x + 1, x 1} {(x + 1)(x 1), x + 1, x } Bitte wenden!
. Welche der folgenden Matrizen ist halbeinfach? 0 1 4 0 0 10 0 0 0 1 0 0 1 0 3 5 4 4 4 Keine der obigen Matrizen ist halbeinfach. 3. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Drei Vektoren {v 1, v, v 3 } sind linear unabhängig genau dann wenn sie paarweise linear unabhängig sind (also wenn die drei Pärchen {v 1, v }, {v, v 3 }, {v 3, v 1 } linear unabhängig sind). Jeder Vektor des Vektorraums R bildet eine Basis für diesen eindimensionalen Raum. Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektoren {v 1, v } im R 3. Dann sind auch die Vektoren {v 1, v, v 1 v } linear unabhängig. Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektoren {v 1, v } im R 3. Dann sind auch die Vektoren {v 1, v, v 1 + v } linear unabhängig. Siehe nächstes Blatt!
1 1 0 4. Welche der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix 1 0 1? 0 1 1 (0, 1, 1) (1,, 1) (, 1, 1) (0, 3, ) 0 5. Die Matrix 1 6 hat die Eigenwerte... 0 7,, 7, 3, 6, 3, 6, 1, Bitte wenden!
6. Welche der folgenden Aussage ist wahr? Es gibt eine Matrix A mit charakteristischen Polynom P A (λ) = λ 5λ welche invertierbar ist. Sei v ein Eigenvektor zum Eigenwert für die Matrizen A und B. Dann ist v auch ein Eigenvektor zum Eigenwert für die Matrix AB. Ist v Eigenvektor zum Eigenwert 1 und w Eigenvektor zum Eigenwert 1 der Matrix A, so ist v + w ein Eigenvektor zum Eigenwert 0 (v + w liegt also im Kern von A). Es seien v 1, v zwei Eigenvektoren der Matrix A mit unterschiedlichen Eigenwerten. Dann ist v 1 + v nie ein Eigenvektor von A. 7. P 4 sei der Vektorraum der Polynome vom Grad 4. Auf P 4 sei das Skalarprodukt p, q = 1 0 p(x)q(x) dx gegeben. Wählen Sie eine Orthonormalbasis für den Vektorraum span{1, 3x 4 }. {1, 3x 4 3 5 } {1, 15 4 x4 3 4 } {1, 3x 4 3 4 } {1, 4 15 x4 3 5 } Siehe nächstes Blatt!
8. Für welche Matrix A R 3 3 ist x, y := 1 3 x Ay ein Skalarprodukt auf R 3? 1 3 A = 0 4 5. 0 0 6 1 0 0 A = 0 0. 0 0 7 1 1 1 A = 1 1 1. 1 1 1 4 1 1 A = 1 4 1. 1 1 4 9. Welche der folgenden Aussagen gilt? Falls sich die Graphen zweier Funktionen f und g senkrecht scheiden, so sind f und g orthogonal bezüglich des Skalarprodukts f, g = b a f(x)g(x)dx. Ist f eine ungerade Funktion und g eine gerade Funktion, so sind f und g orthogonal bezüglich des Skalarprodukts f, g = 1 1 f(x)g(x)dx. In einem Vektorraum mit Skalarprodukt können zwei Einheitsvektoren ein beliebig grosses Skalarprodukt haben. In jedem Vektorraum mit Skalarprodukt können wir beliebig viele paarweise orthogonale Einheitsvektoren finden. Bitte wenden!
10. P sei der Vektorraum der Polynome vom Grad. Welche der folgenden Matrizen stellt die Abbildung P P, p(x) p(x) + p (x) bezüglich der Basis B = {, x + 1, x 1} dar? 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 0 0 Siehe nächstes Blatt!
11. Welche der folgenden Matrizen 3 0 4 3 8 7 1 3 A 1 = 0 9 7, A = 0 5 13, A 3 = 0 3 0 0 11 3 3 7 1 1 5 hat 0 als Eigenwert? A 1 A A 3 Keine Bitte wenden!
1. Eine Basis des Bildes von 1 1 4 1 3 3 4 0 3 ist gegeben durch... 1 1 4, 1, 3 4 0 1 0, 3 0 0 1 1 4, 1 3 3 1 4, 3 0 Siehe nächstes Blatt!
13. Eine Basis des Kerns von 1 1 4 1 3 3 4 0 3 ist gegeben durch... 1 4, 1 4 1 1 3, 4 6 0 6 1 1 4, 1 3 3 1 1 1 3, 4 6, 5 9 0 6 6 Bitte wenden!
14. Sei F : R R eine lineare Abbildung mit F ( 3) = ( 1 4) und F ( 3 5) = ( 1 1). Dann ist F ( 3 3) =... ( ) 3 1 ( ) 1 7 ( ) 6 15 Es gibt nicht genug Information, um F ( 3 3) zu bestimmen. 15. Welche der folgenden Aussagen gilt? Gilt P = P, so kann die Matrix P Eigenwerte 0, 1 und 1 besitzen. Jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar. Hat die symmetrische -Matrix A zwei verschiedene Eigenwerte, so ist die Lösungsmenge von ( x y ) ( ) x A = 1 eine Ellipse in R y. Sei A R 3 3 mit Eigenwerten λ 1 λ λ 3 λ 1 0. Dann hat A eine Eigenbasis. Siehe nächstes Blatt!
16. Ein Vektor v R habe bezüglich der Basis B := {( 1 1), ( 3 5)} die Koordinaten ( 1 1). Die Koordinaten von v bezüglich der Standardbasis sind... ( ) 1 1 ( 5 ) 8 1 8 ( ) ( ) 4 4 17. Sei P 3 der Vektorraum der Polynome vom Grad 3. Die lineare Abbildung F : P 3 P 3, p(x) p(x) p (x) + p (x) hat die Eigenwerte... 0 mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit 4. mit algebraischer Vielfachheit 4 und geometrischer Vielfachheit 1. mit algebraischer Vielfachheit und geometrischer Vielfachheit 4. mit geometrischer Vielfachheit 4 und algebraischer Vielfachheit 1. Bitte wenden!
18. Sei P Projektion auf die x 1 x x 3 -Hyperebene in R 4. Bezüglich der Standardbasis hat P also 1 0 0 0 die Darstellungsmatrix 0 1 0 0 0 0 1 0. Dann gilt: 0 0 0 0 Die Determinante der Darstellungsmatrix von P hängt von der gewählten Basis ab. Es gibt eine Basis B, so dass die Darstellungsmatrix von P bezüglich B die Determinante 1 hat. Es gibt eine Basis B, so dass für die Darstellungsmatrix A von P bezüglich B gilt A A. Die Spur der Darstellungsmatix von P bezüglich jeder Basis beträgt 3. 19. Sei 0 10 7 A = 0 0 9. 0 0 0 Sei v 0 R 3, und definiere rekursiv v k := Av k 1. Sei die Euklidische Norm auf R 3. Welche der folgenden Aussagen gilt? Man kann v 0 so wählen, dass v k beliebig gross wird, wenn k strebt. Es gibt v 0 0 so dass v k+ = v k für alle k. Es gibt eine Zahl K > 0 und v R 3, derart dass v k = v für alle k K. Es gibt v 0 so dass v k für k gegen ein v R 3 \ {0} konvergiert. Siehe nächstes Blatt!
0. Sei A R m n, sodass Ax = 0 nur die triviale Lösung hat. Dann gilt: dim(bild A) = n dim(bild A) = 0 dim(kern A) = m dim(bild A) + dim(kern A) = mn 1. [10 Punkte] Betrachten Sie die Abbildung F : R 3 R 3, x Ax, gegeben durch die Matrix 1 1 0 A := 4 1 3 5 1 bezüglich der Standardbasis E = {e 1, e, e 3 }. a) [3 Punkte] Finden Sie die Eigenwerte von A sowie die zugehörigen Eigenvektoren. Ist A diagonalisierbar? Begründen Sie Ihre Antwort. b) [ Punkte] Bestimmen Sie eine Basis von Bild A und Kern A. c) [3 Punkte] Gegeben sei die Basis B = {e 1 + e, e 3, e + e 3 } von R 3. Finden Sie die Übergangsmatrix T von B nach E (d.h. die Matrix T R 3 3, welche Koordinaten bezüglich B auf Koordinaten bezüglich E abbildet) und ihre Inverse T 1. d) [ Punkte] Berechnen Sie die Darstellungsmatrix [F ] B von F bezüglich B. Bitte wenden!
. [10 Punkte] Gegeben sei der Vektorraum P 3 der Polynome vom Grad 3 mit dem Skalarprodukt f, g = 1 1 1 f(x)g(x)dx, (1) sowie die Polynome p 1 (x) = x 3, p (x) = x + x 3 und p 3 (x) = x 3 x + aus P 3. a) [ Punkte] Zeigen Sie, dass der Ausdruck (1) tatsächlich ein Skalarprodukt auf P 3 definiert. b) [ Punkte] Zeigen Sie, dass p 1, p und p 3 linear unabhängig sind. c) [4 Punkte] Sei V := span{p 1, p, p 3 }. Wenden Sie das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren auf der Basis B := {p 1, p, p 3 } in der gegebenen Reihenfolge an, um eine Orthonormalbasis ˆB von V zu erhalten. d) [ Punkte] Vervollständigen Sie ˆB zu einer Orthonormalbasis von P 3. 3. [10 Punkte] Gegeben sei die quadratische Form q : R 3 R, x q(x) = x 1 + x + x 3 + (4 )x 1 x 3. a) [ Punkte] Bestimmen Sie die symmetrische Matrix A, sodass q(x) = x Ax ist. b) [4 Punkte] Eine Quadrik Q ist gegeben durch die Gleichung q(x) = 9. Bringen Sie die Quadrik durch eine Hauptachsentransformation x = T y auf Normalform, und geben Sie dabei auch T explizit an. c) [4 Punkte] Bestimmen Sie, welche der Hauptachsen die Quadrik Q nicht schneidet, und begründen Sie Ihre Antwort.