Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der Physik und ist deshalb ein wesentlicher Bestandteil des Physikstudiums. Sie stellt am Anfang des Studiums oft eine große Hürde dar. Deshalb sollten Sie schon im Rahmen Ihrer schulischen Ausbildung möglichst umfassende Kenntnisse in der Mathematik erwerben, damit sie für ein Studium der Physik, Mathematik oder den Ingenieurwissenschaften gut gerüstet sind. In den Bachelor- und Masterstudiengängen der Physik an der Universität des Saarlandes legen wir Wert auf eine gründliche Ausbildung in der Mathematik, die auf die tatsächlichen Bedürfnisse von Physikern abgestimmt ist. Um Ihnen den übergang von der Schule zur Universität und ein erfolgreiches Studium zu erleichtern, haben wir in Saarbrücken zahlreiche zusätzliche Lehrangebote eingerichtet, wie z.b.: Mathematischer Vorkurs: Der Vorkurs findet vor dem eigentlichen Studium statt und wiederholt die wichtigsten Inhalte aus der Schulmathematik. Mathematische Methoden der Physik: Diese Vorlesung sorgt dafür, dass Sie die wichtigsten Rechentechniken, die Sie in der Physik benötigen, rechtzeitig erlernen. Die Vorlesung ist nicht formal gehalten, ähnlich wie der heutige Kurs. Tutorien: Zu allen Veranstaltungen, in denen typischerweise Probleme auftreten, werden Tutorien angeboten, in denen Sie ihre individuellen Probleme besprechen können. In der heutigen Mathematikvorlesung, werden Sie einen Crashkurs in den Grundelementen der Vektor- und Wahrscheinlichkeitsrechnung erhalten. Die Inhalte 1
dieser Vorlesung sind auf das Probestudium abgestimmt und dienen dem besseren Verständnis der Theorievorlesungen. In einer echten Vorlesung würden die Themen deutlich ausführlicher besprochen werden. 2 Vektorrechnung 2.1 Koordinatendarstellung von Vektoren Eine gerichtete Größe durch einen Pfeil darzustellen, ist plausibel. Um damit auch vernünftig rechnen zu können, muß man einem Pfeil Zahlen zuordnen. Hierzu müssen erst einmal Vereinbarungen getroffen werden. Wenn sie in einer Stadt jemandem die Lage einer in der Nähe liegenden Straße beschreiben, ist es häufig ganz praktisch, dies mit Hilfe der Anzahl von Abzweigungen zu machen: An der dritten Kreuzung nach links abbiegen und dann die vierte Querstraße. Beschreiben sie die Lage eines Objektes in einem Raum, so liegt es nahe, dies wie folgt zu tun: von der Raumecke an der Eingangstür 2 Meter an der linken Wand entlang und dann zu dieser Wand senkrecht 3 Meter nach rechts. Treffen sie die Vereinbarung, dass die Wegstrecke nach rechts zuerst vor der Wegstrecke nach links genannt wird, so können sie die Lage nun durch das Zahlenpaar (3, 2) Meter angeben. Wenn sie dies mit der gemachten Vereinbarung richtig lesen, ist eigentlich über die Lage des Objektes alles gesagt. Jetzt können sie noch die Richtung an der linken Wand entlang die y-richtung nennen und die an der rechten Wand entlang x-richtung und die Lage wie in Abb. 1 veranschaulicht. Formal können sie für die x- und y-richtung Vektoren angeben. Diese Richtungsvektoren mit der Länge 1 nennen wir e x bzw. e y. Dann ist k = xe x + ye y für geeignete Zahlen x und y. Die Zahlen x und y nennt man die Koordinaten des Vektors k in dem durch e x und e y aufgespannten Koordinatensystem. Die Vektoren e x und e y sind dessen Basis. Es sind viele verschiedene Koordinatensysteme möglich. Tatsächlich definieren zwei beliebige Vektoren e 1 und e 2 ein Koordinatensystem in der Ebene, solange e 1 αe 2 für alle α R. Hat man sich auf ein Koordinatensystem geeinigt, so reicht die Angabe der Koordinaten zur Bestimmung eines Vektors: k = (x, y). Ganz analog liegt es im dreidimensionalen Raum nahe, anstelle eines ebenen Koordinatensystemes ein Koordinatensystem mit drei Raumachsen x, y und z einzurichten und einen Punkt P im Raum bzw. einen Vektor r vom Ursprung zum Punkt P durch ein Zahlentripel (x, y, z) zu beschreiben. 1 Besondere Koordinatensysteme sind die kartesischen Koordinatensysteme. Für diese stehen jeweils zwei Basisvektoren senkrecht aufeinander und jeder ( ) x 1 Manchmal ist es bequemer r = y zu schreiben. Tatsächlich gibt es einen formalen Unterschied zwischen (x, y, z) und ( x y z z ), der hier aber nicht von Bedeutung ist. 2
Abbildung 1: Die Koordinaten (x = 3, y = 2) im kartesischen (x, y)-koordinatensystem geben die Lage des Punktes P an. Andererseits beschreibt das Zahlenpaar auch den Vektorpfeil r, der bei (0, 0) startet und bei (3, 2) endet. Basisvektor hat die Länge 1. Wir beschränken uns zunächst auf solche Koordinatensysteme. 2.1.1 Länge eines Vektors Für die Länge oder Norm eines Vektors schreibt man r. Es entspricht dem Abstand eines Punktes P welcher durch r beschrieben wird vom Ursprung. Dessen Abstand läßt sich in der Ebene mit den Regeln zur Berechnung der Hypothenuse eines Dreieckes bestimmen. Analog ist die Norm eines Vektors in 3 Dimensionen r = x 2 + y 2 (1) r = x 2 + y 2 + z 2 (2) und für einen Vektor in N Dimensionen r = (x 1, x 2,..., x N ) ist die Länge r = N x 2 i. (3) 3
Abbildung 2: Addition von Vektoren bzw. deren Verschiebung ist vertauschbar. 2.1.2 Elementare Rechenregeln für Vektoren Die Addition zweier Vektoren r 1 = x 1 y 1 und r 2 = x 2 y 2 sieht in Komponentenschreibweise z 1 z 2 so aus x 1 + x 2 r 1 + r 2 = y 1 + y 2 z 1 + z 2. (4) Es ist daraus unmittelbar einsichtig, daß die Reihenfolge der Addition beliebig ist. Die Summe ergibt immer den gleichen Endpunkt, was man sich leicht wie in Abb. 2 veranschaulichen kann. Es gibt ein neutrales Element 0 : r + 0 = r (5) und die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl a entspricht einer Multiplikation der Komponenten des Vektors, ax ar = ay az, (6) was einer Änderung der Länge gleichkommt: ar = a r (a > 0). Ausserdem gilt für Vektoren auch das Assoziativgesetz. 2.2 Polarkoordinaten (a + b) + c = a + (b + c). (7) Neben kartesischen Koordinaten (x, y) kann in der Ebene ein durch die Pfeilspitze des Vektors a gekennzeichneter Punkt auch durch den Abstand vom Ursprung, also der Länge des Vektors r = a, und dem Winkel α zwischen dem Vektor und der x-achse beschrieben werden. Dies sind ebenfalls zwei Zahlen, r 4
Abbildung 3: Vektor a = r(cos α, sin α) in Polarkoordinaten. und α, wie die Anzahl der Komponenten des Vektors a = (a 1, a 2 ). Aus diesen Polarkoordinaten erhält man die kartesische Koordinaten über die Beziehung ( ) cos α a = r, (8) sin α wobei π α < π. Wegen cos 2 α + sin 2 α = 1 gilt dann nach Konstruktion für die Länge a = r. 2.3 Skalarprodukt Betrachtet man noch einen zweiten Vektor ( ) ( ) b1 cos β b = = r b b 2 sin β mit r b = b und π β < π, so stellt sich z.b. die Frage, welchen Winkel diese beiden Vektoren a und b einschließen. Diese Frage führt uns auf die Einführung des Skalarprodukts zweier Vektoren. Wir hatten gesehen, dass die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl zu einer Verlängerung desselben führt. Für das Produkt zweier Vektoren kann man sich verschiedene Möglichkeiten vorstellen. Das Skalarprodukt zweier Vektoren so definiert, dass das Ergebnis eine reelle Zahl, ein Skalar, ist. Das Skalarprodukt ermöglicht die Definition eines Winkels ϕ zwischen zwei Vektoren. Definition Skalarprodukt: Für N-dimensionale Vektoren a und b ist (9) N a b = a i b i (10) das Skalarprodukt 2 der Vektoren a und b. 2 Zum Skalarprodukt sagt man in der Literatur auch häufig Inneres Produkt. 5
Mit dem Skalarprodukt definiert man den Winkel zwischen a und b über a b = a b cos ϕ. (11) Mit a in Polardarstellung, a= r(cos α, sin α), und b = (1, 0) ist diese Definition unmittelbar einsichtig: a b = r cos α. Dreht man beide Vektoren um einen Winkel β, verändert aber den Winkel zwischen beiden nicht, dann sind die Lagen beider Vektoren a = r(cos(α, β), sin(α + β)) und b = (cos β, sin β) und das Skalarprodukt von beiden Vektoren muß unverändert bleiben. Man kann dies unmittelbar nachrechnen: a b = r ( cos(α + β) sin(α + β) ) ( cos β sin β = r [cos(α + β) cos β + sin(α + β) sin β] ) = r [(cos α cos β sin α sin β) cos β + (cos α sin β + sin α cos β) sin β] = r cos α [ cos 2 β + sin 2 β ] = r cos α. (12) Im dritten Schritt der Rechnung wurden Additionstheoreme cos(α + β) = (cos α cos β sin α sin β) (13) sin(α + β) = (cos α sin β + sin α cos β) (14) für trigonometrische Funktionen verwendet. In den folgenden Vorlesungen ist die Interpretation des Skalarprodukt als Projektion von großer Bedeutung. Eine Projektion ist eine mathematische Operation, in der nur bestimmte Anteile eines Vektors gemessen werden. Wenn wir beispielsweise einen dreidimensionalen Vektor auf die xy-ebene projizieren, dann lassen wir einfach seine z-komponente weg. Das entspricht in etwa einer Fotografie, bei der wir ein zweidimensionales Bild einer dreidimensionalen Welt aufnehmen. 3 Für das Skalarprodukt gilt: a b = a b cos ϕ (15) = a (Projektion von b auf a.) (16) = b (Projektion von a auf b.) (17) Die Projektion eines Vektors a auf einen Vektor b misst also den Anteil von a, der parallel zu b ist. Regeln für das Skalarprodukt S1 a b = b a kommutativ S2 a (αb) = α a b assoziativ S3 a (b + c) = a b + a c distributiv 3 Bei der Fotografie erzeugen wir natürlich den Eindruck räumlicher Tiefe - das ist bei einer Projektion nicht der Fall. 6
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung 3.1 Wahrscheinlichkeiten Bei vielen Experimenten läßt sich der Ausgang nicht mit Bestimmtheit vorhersagen. Dennoch weisen sie eine gewisse Regularität auf. Dies ist z.b. beim Würfeln der Fall: Man erwartet, dass in etwa 1 6 der Fälle der Wurf die 6 ergibt. Bei dieser Art von Ereignissen A können wir also eine Wahrscheinlichkeit P (A) angeben, mit der das Ereignis eintritt. Für P (A) gilt P (A) = n A ns wobei n A die Anzahl der Ereignisse A angibt und n S die Gesamtzahl aller möglichen Ereignisse S und n s, n A 1. 3.2 Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit Unabhängig von dem betrachteten System besitzen die Wahrscheinlichkeiten folgende Eigenschaften: (i) Für ein beliebiges Ereignis A im Konfigurationsraum F gilt 0 P (A) 1 (18) (ii) Für die Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse S gilt P (S) = n S n S = 1 (19) (iii) Die Zahl der Ereignisse bei denen A oder B auftritt ist n A B = n A + n B n A B, (20) wobei n A B die Zahl der Ereignissen angibt bei denen A und B gemeinsam auftreten. Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (21) Lassen Sie uns für (iii) ein Beispiel betrachten. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, aus einem Skat-Kartenspiel zufällig ein Pik oder einen Buben zu ziehen. Da es 8 Pik-Karten, 4 Buben und einen Pik-Buben gibt, gilt n S = 32; n P = 8; n B = 4; n B P = 1 und damit P (P B) = P (P )+P (B) P (P B) = 8/32 + 4/32 1/32 = 11/32. 3.3 Statistische Größen Sei g eine Funktion der Zufallsgröße A. Die Zufallsgröße A kann die Werte x i mit der Wahrscheinlichkeit f(x i ) annehmen. Dann ist der Durchschnitts- oder Erwartungswert E[g] von g definiert über E[g] = i g(x i )f(x i ). (22) Aus dieser Definition lassen sich folgende Eigenschaften des Erwartungswertes leicht ableiten: 7
(i) Falls a eine Konstante ist, gilt E[a] = a. (ii) Für eine beliebige Konstante gilt a E[ag] = ae[g]. (iii) Falls g(x) = h(x) + k(x), so ist auch E[g] = E[h] + E[k] Der Erwartungswert der Funktion g(x) = x wird auch der Mittelwert der Verteilung f genannt. Also x = i x i f(x i ). (23) Andere Schreibweisen sind E(x) oder [x]. Der Mittelwert einer Verteilung gibt häufig den typischen Wert der zugehörigen Zufallsvariable an. 4 Bei Zufallsprozessen ist es auch wichtig, die Fluktuationen um den Mittelwert zu charakerisieren. Üblicherweise wird dazu die Varianz verwendet. Sie wird definiert als E[(x x ) 2 ] = i (x i x ) 2 f(x i ) = i x 2 i f(x i ) x 2. (24) Eine alternative Notation ist σ 2 oder auch V [x]. Betrachten wir zum Abschluss wieder unser Beispiel des Würfels, allerdings diesmal den Würfel eines Trickbetrügers. Der Würfel ist so manipuliert, dass die 6 bei einem Viertel aller Würfe fällt, die 1 mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/12 und die übrigen Zahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/6 fallen. Dann ergibt sich für den Mittelwert x = 6 und für die Varianz ( 6 6 σ 2 = x 2 x 2 = i 2 p i ip i = 1 12 + 5 i=2 ip i ) 2 = 1 12 + 5 i 6 + 6 4 = 47 3.92 (25) 12 i=2 i 2 ( ) 2 47 6 +36 4 = 395 12 144 2.74. (26) 4 Neben den Mittelwert wird eine Verteilung auch oft durch den Median x med charakterisiert. Das ist der Wert für den P (χ x med ) = 1/2. 8