Algebra II LVA 405.370 C. Fuchs Inhaltsübersicht 26.06.2015 Inhaltsübersicht Es werden algebraische Grundkenntnisse aus Sicht der universellen Algebra ergänzt und somit in breiteren Kontext gestellt. Die folgenden Themen werden voraussichtlich behandelt: Algebraische Strukturen, grundlegende algebraische Operationen (Unteralgebren, Homomorphismen, Kongruenzrelationen, Faktoralgebren), Isomorphiesätze, Hüllensysteme und Hüllenoperatoren, geordente Mengen und Verbände, Galoisverbindungen und Relationen, direkte und subdirekte Produkte, freie Algebren. Die Vorlesung behandelt (voraussichtlich) die folgenden Themen: 1. Algebraische Strukturen 2. Grundlegende algebraische Methoden 3. Hüllensysteme und Hüllenoperatoren 4. Geordnete Mengen und Verbände 5. Galoisverbindungen und Relationen 6. Isomorphiesätze 7. Direkte und subdirekte Produkte 8. Terme, Gleichungen und freie Algebren Bei Fragen oder Bemerkungen (speziell Hinweise auf Fehler aller Art sind willkommen; Tippfehler ausgenommen) schicken Sie ein Email an clemens.fuchs@sbg.ac.at. 1. Algebraische Strukturen 1.1 Operationen 1.2 Typ einer Algebra 1.3 Universelle Algebren 1.4 Bemerkungen 1.5 e für Algebren Gruppen, Gruppoide, Halbgruppen, Monoide, Quasigruppen, Loops, Ringe, Körper, Moduln, Vektorräume, Verbände, Halbverbände, boolesche Algebren 1
2. Grundlegende algebraische Methoden 2.1 Unteralgebren 2.2 Aussagen über Sub(A) Beweis. 2.3 Hüllen mit Eigenschaften 2.4 Explizite Beschreibung der Hülle Beweis. 2.5 Verbandsstruktur von Sub(A) 2.6 Isomorphismus 2.7 ϕ 1 ist ein Iso wenn ϕ ein Iso ist 2.8 Homomorphismus, Epi, etc., Kern 2.9 Verkettung von Homs, id 2.10 Endomorphismenhalbgruppe, Automorphismengruppe 2.11 Bilder und Urbilder von Unteralgebren unter Homs, Hüllen und Homs e 2.12 Äquivalenzrelationen 2.13 Kongruenzrelationen e 2.14 Kongruenzen und Translationen 2.15 Faktoralgebra 2.16 Kongruenzen sind Kerne von Homs, kanonische Projektion 2.17 Verbandsstruktur von Con(A) 2.18 Unteralgebrenstruktur von Con(A) 2.19 [B] Θ Con(A) für B Sub(A) 3. Hüllensysteme und Hüllenoperatoren 3.1 Hüllensysteme e 2
3.2 Hüllenoperatoren 3.3 Satz Hüllensysteme und Hüllenoperatoren bestimmen einander umgekehrt eindeutig 3.4 Induktivität 3.5 Satz Hüllensysteme sind induktive genau dann der zugehörige Hüllenoperator induktiv ist. 3.6 Satz Unteralgebrenverbände sind genau die induktiven Hüllensysteme 4. Geordnete Mengen und Verbände 4.1 Halbordnungen und lineare Ordnungen 4.2 obere bzw. untere Schranke, Supremum, Infimum, größtes bzw. kleinstes Element, Intervall 4.3 Hasse-Diagramm e 4.4 (ordnungstheoretische) Verbände 4.5 Satz Algebraische und ordnungstheoretische Verbände bestimmen einander umgekehrt eindeutig. 4.6 vollständige Verbände, vollständige Unterverbände, vollständige Homomorphismen 4.7 Bemerkungen e 4.8 Ordnungshomomorphismus und -isomorphismus; Zusammenhang zwischen Verbands- und Ordnungsisomorphismus 4.9 Satz Mengesysteme und geordnete Mengen 4.10 Kompaktheit, algebraische Verbände e 4.11 Hilfsaussage über Hüllen 4.12 Satz verbandstheoretische Charakterisierung des Unteralgebrenverbändes: Ein Verband ist daher isomorph zu einem Unteralgebrenverband genau dann wenn er algebraisch ist. 5. Galoisverbindungen und Relationen 5.1 Galoisverbindung 5.2 Hauptsatz ü ber Galoisverbindungen 3
5.3 Relationen und Galoisverbindungen 5.4 e: a) klassische Galoistheorie; b) Galoisverbindungen zwischen Eq(A) und Op 1 (A); c) Orthogonalität in Vektorräumen und Hilberträumen 6. Isomorphiesätze 6.1 Homomorphiesatz A/Θ = ϕ(a) mit Θ = Kerϕ. 6.2 1. Isomorphiesatz (A/Θ)/(Ψ/Θ) = A/Ψ. 6.3 2. Isomorphiesatz B/Θ B = [B]Θ /Θ [B]Θ ]. 6.4 Satz (Kongruenzen auf Faktoralgebren) Con(A/Θ) = [Θ, A ]. 7. Direkte und subdirekte Produkte 7.1 Definition des direkten Produktes 7.2 Projektionen 7.3 Vertauschbarkeit von Äquivalenzrelationen und Eigenschaften 7.4 Eigenschaften der Projektionen 7.5 Chinesischer Restsatz für universelle Algebren 7.6 direkte Irreduzibilität 7.7 Satz Charakterisierung von direkt irreduziblen Algebren 7.8 Definition des direkten Produktes mit n Faktoren und deren Projektionsabbildungen mit Bemerkungen 7.9 Satz (universelle Eigenschaft des direkten Produktes) 7.10 Satz Jede endliche Algebra ist isomorph zum direkten Produkt direkt irreduzibler Algebren 7.11 Definition des subdirekten Produktes e 7.12 Satz Ist B subdirektes Produkt der Algebren A j, j I, dann gilt j I Ker(α j B ) = B. 7.13 Zerlegungssatz fü r subdirekte Produkte 7.14 subdirekte Darstellung, subdirekte Irreduzibilität 4
7.15 Charakterisierungssatz für subdirekte Irreduzibilitä t e 7.16 Satz von Birkhoff Jede Algebra ist isomorph zu einem subdirekten Produkt subdirekt irreduzibler Algebren. Zusatz aus den Übungen: Die Sä tze von Stone Eine Boolesche Algebra (B,,, 0, 1, ) ist (sub)direkt irreduzibel B 2. (Idee: Für b B setze Θ 1 := {(x, y) B 2 ; x b = y b}, Θ 2 := {(x, y) B 2 ; x b = y b}; diese Kongruenzen erfüllen die Bedingungen.) Daher gilt: Jede endliche Boolesche Algebra ist isomorph zu (P(M) = {0, 1} M,,,, M, ) (Darstellungssatz von Stone). 2. Jede Boolesche Algebra ist isomorph zu einer Unteralgebra von (P(M) = {0, 1} M,,,, M, ) (solche Unteralgebren nennt man Mengenkörperalgebren; Satz von Stone für Boolesche Algebren). Ein distributiver Verband (V,, ) ist subdirekt irreduzibel V 2 (wie oben). Somit gilt: 3. Jeder distributive Verband ist isomorph zu einem Unterverband von (P(M) = {0, 1} M,, ) (genannt Mengenverband; Satz von Stone für distributive Verbände). 8. Terme, Gleichungen und freie Algebren 8.1 H, S, P, I Bermerkung zu Klassen und zur Russelschen Antinomie: Sei R = {M Menge; M / M}. Dann gilt: R R R / R. R ist bereits in der Prädikatenlogik 1. Stufe (beweisbar) keine Menge. Somit ist R in ZF keine Menge. Man unterscheidet daher zwischen Klassen (= Zusammenfassung beliebiger Objekte) und Mengen (definiert z.b. durch das ZF-Axiomensystem). Jede Menge ist eine Klasse. Eine Klasse ist eine Menge, falls sie Element einer Klasse ist. 8.2 Satz H, S und IP sind Hüllenoperatoren : P ist nicht idempotent 8.3 Varietäten 8.4 Satz HSP (K) ist die kleinste K umfassende Varietät; es folgt: K ist eine Varietät genau dann, wenn HSP (K) = K 8.5 Satz Jede Algebra einer Varietät K ist isomorph zu einem subdirekten Produkt subdirekt irreduzibler Algebran aus K. 8.6 Terme und Termalgebra e 8.7 a) die Termalgebra wird von X erzeugt; b) t = (f, t 1,..., t n ) = (g, s 1,..., s m ) n = m, f = g, t 1 = s 1,..., t n = s m ; c) t (x) für alle x X. 8.8 Satz (universelle Eigenschaft der Termalgebra) 8.9 Termfunktionen und Eigenschaften 8.10 Bemerkungen 5
8.11 Satz Termfunktionen verhalten sich wie Homomorphismen 8.12 Gleichung, erfüllt 8.13 Gleichungssysteme, Modelle, gleichungsdefiniert, Gleichungstheorie 8.14 Galoisverbindung der Gleichungstheorie (Teil I) 8.15 Galoisverbindung der Gleichungstheorie (Teil II) 8.16 Satz G X (K) = ConT (X) 8.17 Satz (universelle Eigenschaft der freien Algebra) 8.18 Satz T (X)/G X (K) ISP (K) 8.19 freie Algebren 8.20 Bemerkungen: a) F wird von X erzeugt; b) freie Algebren allgemein 8.21 Hilfsaussagen (ohne Beweis): Jede freie Algebra F K (X) einer Varietät K ist isomorph zu einem subdirekten Produkt der F K (E) mit E X endlich, E. Für jede Varietät K gilt K = HSP ({F K (n); n N}) = HSP ({F K (ω)}). 8.22 Satz G X (K) = G X (H(K)) = G X (S(K)) = G X (P (K)). 8.23 Erster Hauptsatz der Gleichungstheorie nach Birkhoff 8.24 Regeln für Gleichungstheorie: In G X (K) gilt: a) G X (K) ist eine Äquivalenzrelation: s s G X (K), s t G X (K) s t G X (K), s t, t u G X (K) s u G X (K), b) G X (K) ist eine Kongruenz: ω Op n, s i t i G X (K), i = 1,..., n ωs 1 s n ωt 1 t n G X (K, c) s(x 1,..., x n ) t(x 1,..., x n ) G X (K), u 1,..., u n T (X) s(u 1,..., u n ) t(u 1,..., u n ) G X (K), oder äquivalent dazu: ϕ End(T (X)), s t G X (K) ϕ(s) ϕ(t) G X (K). 8.25 Vollinvarianz 8.26 Satz Θ = G X (T (X)/Θ) für jedes vollinvariantes Θ; insbesondere für Θ = T (X), G X (K) 8.27 Zweiter Hauptsatz der Gleichungstheorie nach Birkhoff 8.28 Die beiden folgenden Folgerungsbegriffe sind nach 8.28 gleich (deshalb spricht man bei 8.28 auch vom Vollstndigkeitssatz der Gleichungslogik): Syntaktischer Folgerungsbegriff: Aus Σ folgen alle solchen Gleichungen s t, die sich aus den Gleichungen in Σ durch Zusammensetzen herleiten lassen, d.h. durch - eventuell mehrfache - Anwendung der Regeln. In diesem Sinne ist die Menge der aus Σ folgenden Gleihcungen nichts anderes als die kleinste Σ umfassende vollinvariante Kongrunzrelation auf T (X). Semantischer Folgerungsbegriff: Es folgt s t aus Σ, falls in jeder Algebra A, in der alle Gleichungen aus Σ gelten, automatisch auch s t gilt. 6
Die Menge der Folgerungen von Σ ist dann G X (K). Literatur Thomas Ihringer, Allgemeine Algebra, Berliner Studienreihe zur Mathematik 10, Heldermann Verlag, 2003 7