Algebra und Diskrete Mathematik, Band 2

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1 Dietlinde Lau Algebra und Diskrete Mathematik, Band 2 Lineare Optimierung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen 16. Dezember 2003 Springer Berlin Heidelberg NewYork Hong Kong London Milan Paris Tokyo

2 Vorwort In Fortsetzung von Band 1 in der Reihe Algebra und Diskrete Mathematik behandelt dieses Buch (in drei Teile untergliedert) die Gebiete Lineare Optimierung Graphen und Algorithmen sowie Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen. Teil I zeigt insbesondere, wie gut der mathematische Apparat der Linearen Algebra aus Band 1 zum Lösen von Linearen Optimierungsaufgaben, die sich aus vielen praktischen Aufgaben ergeben, geeignet ist. Auch die im Teil II behandelten Gebiete der Graphentheorie sind durch eine Reihe von praktischen Aufgaben motiviert und Schwerpunkte dieses Teils sind Lösungsalgorithmen für diese Aufgaben. Teil III setzt das Studium algebraischer Strukturen aus Band 1 im Rahmen einer Einführung in die Allgemeine Algebra fort, wobei in Form von Beispielen zu Sätzen der Allgemeinen Algebra wichtige Teile der Gruppen-, Ring-, Körper- und der Verbandstheorie (einschließlich der Theorie der Booleschen Algebren) behandelt werden. Die Auswahl des hier dargebotenen Stoffes wird bestimmt durch die Anwendungen, die viele Teile des hier gebotenen Stoffes in anderen Teilen der Mathematik und Informatik haben. Da es über die Allgemeine Algebra nur wenige (und oft auch nicht für Studenten der ersten Semester geschriebene) Lehrbücher gibt, kann Teil III als Nachschlagewerk beim Lesen weiterführender Literatur benutzt werden. Obwohl dieses Buch dem (verständlichen) Wunsch der Leser nach angewandter Mathematik Rechnung trägt, möchte ich den Lesern von Teil III aber auch etwas von der Leistungsfähigkeit und der Schönheit algebraischen Denkens vermitteln, was z.b. durch das Begründen der Unlösbarkeit gewisser (teilweise aus der Antike stammender) Probleme geschieht. Ausführlichere Informationen über die Bedeutung der in diesem Buch behandelten mathematischen Gebiete und einen Überblick über die behandelten

3 VI Vorwort Stoffkomplexe findet der Leser nachfolgend zu Beginn eines jeden Teils und zu Beginn der einzelnen Kapitel. Entstanden ist das vorliegende Buch aus Vorlesungen, die ich für Informatik- Studenten im Rahmen eines Grundkurses im Fach Mathematik und eines Vorlesungszyklus über Allgemeine Algebra und Mathematische Logik für Informatik- und Mathematik-Studenten gehalten hat. Während die ersten beiden Teile (mehr oder weniger umfangreich) Bestandteil einer Grundkurs-Vorlesung über Mathematik sind, die für Informatik- Studenten gehalten werden, ist der dritte Teil für Informatik-Studenten geschrieben worden, die das Nebenfach Mathematik belegt haben bzw. sich für solche Gebiete der Mathematik interessieren, die ein vertieftes Einarbeiten in die Theoretische Informatik ermöglichen. Ich hoffe jedoch, daß sich auch Mathematik-Studenten und Studenten anderer naturwissenschaftlichen Richtungen sowie Praktiker für dieses Buch interessieren. Um verschiedene Leserkreise anzusprechen, sind die drei Teile dieses Buches und die Kapitel der einzelnen Teile so aufgeschrieben worden, daß man die Teile in beliebiger Reihenfolge lesen kann und ein Übergehen einzelner Kapitel bzw. ein sich auf die Grundbegriffe beschränkendes Lesen der Kapitel es trotzdem ermöglicht, ohne Kenntnis der vorhergehenden Kapitel die nachfolgenden zu verstehen. Während die Teile I und II Stoff für jeweils einen einsemestrigen Kurs enthalten, läßt sich mit dem Stoff von Teil III eine dreisemestrige Vorlesung (a 4 Semesterwochenstunden) halten, wobei durch eine Kombination einzelner Kapitel beliebig kleine Vorlesungen zusammenstellbar sind. Wie im Band 1 sind mit ÜA Übungsaufgaben gekenzeichnet, die neben den in einzelnen Kapiteln (am Ende eines jeden Teils) zusammengestellten Aufgaben dem Leser zwecks Vertiefung des Stoffes empfohlen seien. kennzeichnet wie üblich das Ende eines Beweises. Bezeichnungen und Begriffe, die oft im Band 1 Verwendung fanden, werden hier als bekannt vorausgesetzt. Nicht versäumen möchte ich es, mich bei meinen Rostocker Kollegen Prof. Dr. K. Engel und Prof. Dr. H.-D. Gronau für das Korrekturlesen und die wertvollen Hinweise zu den Teilen I und II zu bedanken. Herrn Dr. F. Börner (Universität Potsdam) gilt mein besonderer Dank für das Zusenden seines Vorlesungsmanuskripts zur Graphentheorie und das Aufspüren einiger Fehler in einer alten Fassung vom Teil II. Eine erste Fassung des Teils über Allgemeine Algebra hatte sich Herr Prof. Dr. L. Berg (Rostock) vor einigen Jahren angesehen, für dessen Hinweise und Verbesserungsvorschläge ich mich an dieser Stelle nochmals bedanken möchte. Da ich einige meiner Schreibfehler oft erst bemerke, wenn zwischen Schreiben und nochmaligem Lesen viel Zeit vergangen ist, bin ich den Herren

4 Vorwort VII Dr. W. Bannuscher (Rostock), Dr. F. Börner (Potsdam) und Dr. W. Harnau (Dresden) sehr dankbar, daß sie mir beim Korrekturlesen der vorletzten Fassung von Teil III sehr geholfen haben und mich davon überzeugten, gewisse Beweisdetails abzuändern. Rostock, im November 2003 Dietlinde Lau

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6 Inhaltsverzeichnis Teil I Lineare Optimierung 1 Einführung in die Lineare Optimierung Das Lineare Optimierungsproblem Die Normalform eines LOP Graphische Lösungsmethoden für LOP mit nur zwei Unbekannten Die Simplexmethode Die theoretischen Grundlagen der Simplexmethode Herleitung des Simplexalgorithmus Der Simplex-Algorithmus und einige seiner Modifikationen Das Dualitätsprinzip Primale und duale LOP Der Dualitätssatz Die duale Simplexmethode Ganzzahlige Lineare Optimierung Problemstellung Das Gomory Verfahren Das Transportproblem Problemstellung und mathematische Modellierung Einige Sätze zum Transportproblem Der Transportalgorithmus Aufgaben zum Teil I Aufgaben zum Kapitel Aufgaben zum Kapitel Aufgaben zum Kapitel

7 X Inhaltsverzeichnis 6.4 Aufgaben zum Kapitel Aufgaben zum Kapitel Teil II Graphen und Algorithmen 7 Grundbegriffe und einige Eigenschaften von Graphen Gerichtete und ungerichtete Graphen Teilgraphen von Graphen und Graphenoperationen Isomorphie von Graphen Beschreibung von Graphen durch Matrizen Kantenfolgen und Zusammenhang von Graphen Abstände in Graphen und bewertete Graphen Algorithmen zum Bestimmen optimaler Wege in Graphen Definitionen einiger spezieller Graphen Wälder, Bäume und Gerüste Wälder und Bäume Gerüste Minimalgerüste Planare Graphen und Färbungen Planare Graphen Färbungen Tourenprobleme Kantenbezogene Aufgaben Eulertouren Das Chinesische Briefträgerproblem Eckenbezogene Aufgaben Hamiltonkreise Das Problem des Handlungsreisenden (Rundreiseproblem) Matching- und Netzwerktheorie Matchings Matchings in bipartiten Graphen Netzwerke und Flüsse in Netzwerken Allgemeines über Algorithmen Suchen und Sortieren Der Greedy-Algorithmus Über die Komplexität von Algorithmen

8 Inhaltsverzeichnis XI 13 Übungsaufgaben zum Teil II Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Teil III Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen 14 Grundbegriffe der Allgemeinen Algebra Allgemeine Algebren Beispiele für allgemeine Algebren Gruppoide Halbgruppen Monoide Gruppen Halbringe Ringe Körper Moduln Vektorräume Halbverbände Verbände Boolesche Algebren Funktionenalgebren Unteralgebren Verbände Zwei Definitionen eines Verbandes Beispiele für Verbände Isomorphe Verbände, Unterverbände Distributive und modulare Verbände Vollständige Verbände und Äquivalenzrelationen Hüllensysteme und Hüllenoperatoren Grundbegriffe Einige Eigenschaften von Hüllensystemen und Hüllenoperatoren Eine Anwendung in der Formalen Begriffsanalyse

9 XII Inhaltsverzeichnis 17 Homomorphismen, Kongruenzen und Galois-Verbindungen Homomorphismen und Isomorphismen Kongruenzrelationen und Faktoralgebren von Algebren Beispiele für Kongruenzrelationen und spezielle Homomorphiesätze Kongruenzen auf Gruppen Kongruenzen auf Ringen Beispiele für Kongruenzen auf Verbänden Kongruenzen auf Booleschen Algebren Isomorphiesätze Galois-Verbindungen Direkte und subdirekte Produkte Direkte Produkte Subdirekte Produkte Zwei Anwendungen Körper Grundbegriffe und einige elementare Eigenschaften Primkörper, Charakteristik Allgemeines über Körpererweiterungen Polynomringe und Körpererweiterungen Endliche Körper Zerfällungskörper und normale Körpererweiterungen Irreduzibilitätskriterien und Faktorisierung von Polynomen Eine Anwendung der Körpertheorie in der Kombinatorik Anwendung der Körpertheorie in der Codierungstheorie Grundbegriffe und Bezeichnungen Lineare Codes Polynomcodes Galois-Theorie Reine Gleichungen und das Lösen von Gleichungen durch Radikale Die Galois-Gruppe einer Körpererweiterung Der Hauptsatz der Galois-Theorie Normalreihen von Gruppen, Auflösbarkeit von Gruppen Über die Lösbarkeit von Gleichungen durch Radikale Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Varietäten, gleichungsdefinierte Klassen und freie Algebren Varietäten Terme, Termalgebren und Termfunktionen Gleichungen und gleichungsdefinierte Klassen Freie Algebren

10 Inhaltsverzeichnis XIII 21.5 Beziehungen zwischen Varietäten und gleichungsdefinierten Klassen Deduktiver Abschluß von Gleichungsmengen und Gleichungstheorie Funktionenalgebren Funktionen über endlichen Mengen Operationen über P A, Funktionenalgebren Superpositionen, Teilklassen und Klone Erzeugendensysteme für P A Einige Anwendungen der Funktionenalgebren Klassifikation von allgemeinen Algebren Mehrwertige Logiken (mehrwertige Kalküle) Informationswandler Die Galois-Beziehung zwischen Funktionen- und Relationenalgebren Relationen Diagonale Relationen Elementare Operationen über R k Relationenalgebren, Ko-Klone, Ableiten von Relationen Aus den elementaren Operationen ableitbare Operationen über R k Das Bewahren von Relationen; Pol, Inv Die Relationen χ n und G n Der Operator Γ A Die Galois-Theorie für Funktionen- und Relationenalgebren Die Teilklassen von P Definitionen der Teilklassen von P 2 und der Satz von Post Ein Beweis des Satzes von Post Ein Vollständigkeitskriterium für P Die Teilklassen von P k, die Pk 1 enthalten Die maximalen Klassen der k-wertigen Logik Vollständigkeitskriterien für P k Eigenschaften des Verbandes der Teilklassen der k-wertigen Logik Übungsaufgaben zum Teil III Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel

11 XIV Inhaltsverzeichnis 23.7 Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Übungsaufgaben zum Kapitel Literaturverzeichnis Index Glossar