Funktionen und Operationen

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1 Kapitel 2 Funktionen und Operationen In diesem Kapitel stellen wir die elementaren mengentheoretischen Grundlagen zusammen und rekapitulieren den Funktionsbegriff. Dann wenden wir uns dem zentralen Konzept der Operationen auf einer Menge zu. Von fundamentaler Bedeutung in der Algebra sind Homomorphismen, Unterstrukturen und Produkte; ihnen ist daher je ein Abschnitt gewidmet. Auf einige der wichtigsten Klassen allgemeiner Algebren, wie (Halb-)Gruppen, Ringe und Körper, gehen wir im Weiteren genauer ein. Parallel zur Theorie studieren wir eine Vielzahl von Beispielen. 2.1 Mengen, Relationen und Funktionen Wir wiederholen hier die wichtigsten Grundbegriffe, wie sie etwa in der linearen Algebra eingeführt wurden. Wer damit vertraut ist, kann diesen Abschnitt getrost überspringen und ihn gegebenenfalls bei Definitions- oder Notationsfragen konsultieren Logische Symbole. und oder nicht impliziert, für alle, es gibt ist äquivalent zu (gleichbedeutend mit) Definition. (Element und Teilmengenbeziehung) A = {x E(x)} steht für A ist die Menge aller Elemente mit der Eigenschaft E. Wir schreiben x A, falls x Element der Menge A ist, und x / A sonst. A B bedeutet, daß A eine Teilmenge von B ist. Falls zusätzlich A von B verschieden ist, so nennen wir A eine echte Teilmenge von B und schreiben A B. Besonders wichtig ist der sichere Umgang mit Mengenoperationen. 8

2 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Definition. (Mengenoperationen) A B := {x x A oder x B} (Vereinigung von A und B) A B := {x x A und x B} (Durchschnitt von A und B) A \ B := {x x A und x / B} (Komplement von B in A) A und B sind disjunkt, falls ihr Durchschnitt leer ist: A B = Definition. (Potenzmenge) Die Potenzmenge P(M) einer Menge M besteht aus allen Teilmengen von M: P(M) := {B B M}. Ein Mengensystem auf M ist eine Teilmenge X von P(M). X := {x es gibt ein B X mit x B} = {x B X (x B)} heißt Vereinigung von X, und falls X =, so heißt X := {x für alle B X gilt x B} = {x B X (x B)} Durchschnitt von X. Konvention: Ist eine feste Grundmenge M vorgegeben, so setzt man := M Definition. (Kartesische Produkte) Das geordnete Paar (a, b) ist definiert als die Menge {{a}, {a, b}}. Das n Tupel (a 1,..., a n ) wird induktiv definiert durch (a 1 ) := a 1, (a 1,..., a n ) := ((a 1,..., a n 1 ), a n ) (n > 1). Für beliebige Mengen A 1,..., A n heißt A 1 A 2 A n = {(a 1,..., a n ) a i A i, i n} das kartesische Produkt von A 1,..., A n. Speziell: A B = {(a, b) a A, b B}. Ist A 1 =A 2 = =A n, so schreibt man A n für das n-fache kartesische Produkt A 1 A 2 A n Definition. (Relationenverknüpfung) Eine Relation zwischen (Elementen von) A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A B. Wir schreiben a R b für (a, b) R ( a steht in Relation zu b ). R d := {(b, a) a R b} heißt die zu R duale Relation oder Umkehrrelation zu R, gelegentlich auch mit R 1 bezeichnet. Die Verknüpfung zweier Relationen R und S ist gegeben durch R S := SR := {(a, c) Es gibt ein b mit a S b und b R c} Rechenregeln. (Assoziativität und Inversion) R (S T ) = (R S) T (R S) d = S d R d, (R d ) d = R.

3 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Definition. (Eigenschaften von Relationen) Eine Relation R auf A ist eine Teilmenge von A A. Sie heißt (r) reflexiv, falls a R a (s) symmetrisch, falls a R b = b R a (t) transitiv, falls a R b und b R c = a R c (a) antisymmetrisch, falls a R b und b R a = a = b (k) konnex oder total, falls a R b oder b R a für alle a, b, c A gilt. Eine reflexive und transitive Relation heißt Quasiordnung. Ist sie auch noch symmetrisch, so spricht man von einer Äquivalenz(relation) und bezeichnet sie oft mit, oder. Eine antisymmetrische Quasiordnung heißt (Halb )Ordnung und wird oft mit oder bezeichnet. Ein kleinstes Element (bzw. größtes Element ) einer Menge B bezüglich einer Relation R ist ein eindeutiges a B mit a R b (bzw. b R a) für alle b B. Eine Wohlordnung ist eine Relation R auf A, so daß jede nichtleere Teilmenge B von A ein kleinstes Element hat Satz. (Wohlordnungen und Induktion) Jede Wohlordnung ist eine totale Ordnung. Die Wohlgeordnetheit der Mengen N k = { n N n k} ist äquivalent zum Prinzip der vollständigen Induktion: Sei M eine Menge und k N 0 derart, daß jedes n N k mit m M für alle kleineren m N k ebenfalls in M liegt. Dann ist N k eine Teilmenge von M. Um eine Aussage A(n) für alle n N k zu beweisen, genügt es, aus der Annahme, daß A(m) für alle m N k mit m < n richtig ist, zu folgern, daß auch A(n) gilt (Induktionsschluss). Dabei muss zunächst A(k) nachgeprüft werden (Induktionsanfang). Meist ist k = 0 oder Beispiele. ist eine Wohlordnung auf jeder Teilmenge von N 0. Auf Z, Q und R ist eine totale Ordnung, aber keine Wohlordnung. Für a, b R gilt: a b b a 0 c R 0 (a + c = b). m k n bzw. m n (k) bedeutet, dass k ein Teiler von m n ist, also bei Division von m und n durch k der gleiche Rest bleibt; man sagt dann, m sei kongruent n modulo k. Relation r s t a k Äquivalenz Ordnung totale Ordnung Wohlordnung = auf N auf N + auf N < auf N + + auf N auf Z + + k auf Z

4 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Definition. (Funktionen und Abbildungen) Eine Funktion von A nach B (oder von A in B) ist eine Relation F A B, so daß zu jedem a A genau ein b B mit a F b existiert. Dieses eindeutig bestimmte b wird mit F (a) bezeichnet; man sagt, F bildet a auf b ab, und nennt b das Bild von a bzw. a ein Urbild von b unter F. Schreibweise: F : A B, a b. Es sind also gleichbedeutend: (a, b) F, a F b, F (a) = b, F : a b. Das Tripel (A, F, B) ist eine Abbildung mit dem Definitionsbereich A und dem Ziel B. Meist unterscheidet man nicht zwischen Funktionen und Abbildungen. Für X A heißt F + (X) := {F (x) x X} Bild(menge) von X unter F, und F + (A) heißt einfach Bild von F. Sind keine Missverständnisse zu befürchten, schreibt man auch F (X) statt F + (X). Für Y B heißt andererseits F (Y ) := {x A F (x) Y } Urbild(menge) von Y unter F. Statt F ({b}) ist auch die Kurzschreibweise F (b) üblich. F heißt injektiv oder Injektion, falls aus F (a) = F (a ) stets a = a folgt. Im Falle F + (A) = B nennt man F eine surjektive Funktion oder Surjektion von A nach B oder kurz eine Funktion von A auf B. Eine zugleich injektive und surjektive Funktion heißt bijektiv oder Bijektion. Entsprechend definiert man injektive, surjektive und bijektive Abbildungen. Surjektivität hängt von der gewählten Zielmenge ab, Injektivität nicht! Lemma. (Eigenschaften von Funktionen) Für jede Funktion F : A B sowie beliebige Mengensysteme X P(A) und Y P(B) gilt: F + ( X ) = {F + (X) X X }, F + ( X ) {F + (X) X X }, F ( Y) = {F (Y ) Y Y}, F ( Y) = {F (Y ) Y Y}. Für injektives F steht in der dritten Beziehung die Gleichheit. Weiter gilt: (1) F ist injektiv jedes Element von B hat höchstens ein Urbild unter F. (2) F ist surjektiv jedes Element von B hat mindestens ein Urbild unter F. (3) F ist bijektiv jedes Element von B hat genau ein Urbild unter F. (4) F ist injektiv F d ist eine Funktion von F (A) nach A. (5) F ist bijektiv F d ist eine Funktion von B nach A. Ist F : A B und G : B C injektiv (bzw. surjektiv bzw. bijektiv), so auch G F. Nach gilt stets H (G F ) = (H G) F ; aber im allgemeinen ist F G G F. Für bijektives F wird F 1 = F d Umkehrfunktion von F genannt. Es ist (F 1 ) 1 = F Definition. (Identität, Gleichheitsrelation) Für eine beliebige Menge A heißt die Relation id A := 1 A = {(a, a) a A} = {(a, b) A A a = b} Diagonale oder Identität oder Gleichheitsrelation auf A.

5 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN 12 id A ist eine Funktion mit id A (a) = a. Für F : A B gilt: F id A = F = id B F. Für Bijektionen F : A B ist F 1 F = id A und F F 1 = id B Definition. (Familien) Ist A : I B eine Abbildung, so schreibt man gelegentlich A i statt A(i) und nennt A eine (durch I indizierte) Familie, die auch mit (A i i I) oder (A i ) i I bezeichnet wird. A i := { F : I {A i i I} F i A i für jedes i I} i I ist die Menge der Auswahlfunktionen von (A i i I). Ist (A i i I) eine Familie von Mengen mit A i = A für jedes i I, so ist A I := i I A i die Menge der Abbildungen von I nach A (nicht umgekehrt). Eine Abbildung F : N k A ist eine Folge in A. Meist ist dabei k = 0 oder k = 1. ist die Menge der Abbildungen F von n = {1, 2,..., n} nach A. Da eine solche Abbildung durch ihr Bildtupel (F 1, F 2,..., F n ) eindeutig festgelegt ist, identifiziert man F mit (F 1, F 2,..., F n ) A n. Umgekehrt bestimmt jedes solche n Tupel genau eine Abbildung F : n A. Die Menge A n ist also im Wesentlichen das Gleiche wie A n. Eine Folge (F n n N) ist eindeutig festgelegt, wenn die Anfangswerte F 0,..., F k 1 bekannt sind und jedes F n mit n N k mit Hilfe der F m für m < n definiert bzw. berechenbar ist ( rekursive Definition oder Definition mittels vollständiger Induktion ). A n Beispiele. (1) Die Fakultät n! ist definiert durch 0! := 1, n! := (n 1)! n (n > 0). Die ersten Werte sind 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = (2) Die Fibonacci Folge (F n ) ist definiert durch F 0 := 1, F 1 := 1, F n := F n 1 + F n 2 (n > 1). Die ersten Werte sind: F 0 = 1, F 1 = 1, F 2 = 2, F 3 = 3, F 4 = 5, F 5 = 8, F 6 = 13, F 7 = Auswahlaxiom. Zu jeder Familie nichtleerer Mengen gibt es eine Auswahlfunktion: A i für alle i I = i I A i Lemma. (Injektive, surjetive und bijektive Funktionen) Sei A eine nichtleere Menge. Eine Funktion F : A B ist (1) injektiv es existiert eine Funktion G : B A mit G F = id A (2) surjektiv es existiert eine Funktion G : B A mit F G = id B (3) bijektiv es existiert eine Funktion G : B A mit G F = id A, F G = id B. Für (2) braucht man das Auswahlaxiom!

6 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Definition. (Mächtigkeit, Endlichkeit) Zwei Mengen heißen gleichmächtig, falls eine Bijektion zwischen ihnen existiert. Eine Menge heißt endlich, wenn sie zu einem n mit n N 0 gleichmächtig ist. Zu N 0 gleichmächtige Mengen heißen abzählbar unendlich. Eine Menge A heißt abzählbar, wenn eine Surjektion von N 0 auf A existiert. Mit A oder A bezeichnet man die Anzahl der Elemente einer Menge A, genannt Kardinalität oder Mächtigkeit der Menge. Für unendliches A erfordert die Definition von A einige mengentheoretische Definitionen und Fakten, die wir hier übergehen. Zum Beispiel gilt N = N k = Z = P = Q R = C Satz. (Mächtigkeitsformeln) Für endliche Mengen A, B gilt: (1) A und B sind gleichmächtig A = B. (2) A + B = (A B) + (A B). (3) (A B) = A B. (4) (A B ) = A B Satz. (Selbstabbildungen endlicher Mengen) Für jede Abbildung F : E E einer endlichen Menge E in sich gilt: F injektiv F surjektiv F bijektiv Definition. Eine Partition oder Zerlegung einer Menge A ist ein Mengensystem Z nichtleerer Teilmengen, so daß jedes Element von A in genau einer der Mengen aus Z liegt. Ist eine Äquivalenzrelation auf A, so bezeichnet a := ã := [a] := { b A a b} die Äquivalenzklasse von a (bzgl. ). Die Menge all dieser Äquivalenzklassen wird Faktormenge modulo genannt und mit A/ bezeichnet Satz. (Äquivalenzrelationen und Partitionen) (1) Für jede Äquivalenzrelation auf A ist A/ eine Partition Z. (2) Für eine Partition Z von A sei F (a) derjenige Block Z Z, der a enthält. Dann ist F : A Z eine surjektive Abbildung mit Z = {F ({Z}) Z Z}, da F ({Z}) = Z. (3) Für jede surjektive Abbildung F : A B definiert a a : F (a) = F (a ) eine Äquivalenzrelation auf A mit A/ = {F ({b}) b B} Folgerung. (Darstellung von Partitionen) Folgende Aussagen über ein Mengensystem Z P(A) sind äquivalent: (a) Z ist eine Partition von A, d. h. Z = A und für X, Y Z gilt X Y X = Y. (b) Es gibt (genau) eine Äquivalenzrelation auf A mit Z = A/. (c) Es gibt eine surjektive Abbildung F : A B mit Z = {F ({b}) b B}.

7 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Definition. Ist eine Ordnung auf A, so ist das Paar (A, ) eine geordnete Menge. Ein Element m B ist minimal (bzw. maximal) in einer Teilmenge B A, falls es kein von m verschiedenes a B mit a m (bzw. m a) gibt. Hingegen ist s A eine obere (bzw. untere Schranke) von B, falls s a (bzw. a s) für alle a B gilt. Gehört s sogar zu B, so ist es ein kleinstes (bzw. größtes) Element von B. Eine kleinste obere Schranke heißt Supremum, eine größte untere Schranke Infimum. Kleinste und größte Elemente geordneter Mengen sind im Gegensatz zu minimalen und maximalen Elementen eindeutig bestimmt. Ein größtes Element ist stets maximal, aber nicht umgekehrt. Bei totalen Ordnungen ist jedoch ein minimales (bzw. maximales) Element bereits das kleinste (bzw. größte) Element Satz. (Extremale Elemente endlicher geordneter Mengen) Jede nichtleere endliche geordnete Menge enthält ein minimales und ein maximales Element. Jede nichtleere endliche total geordnete Menge hat ein kleinstes und ein größtes Element. Im Unendlichen braucht man für einige Existenzaussagen das folgende Maximalprinzip, das sich mit Hilfe des Auswahlaxioms beweisen lässt: Satz. (Maximalprinzip oder Zornsches Lemma) Ist X ein Mengensystem, so daß zu jedem durch die Relation total geordneten Mengensystem Y X ein X X mit Y X existiert, so hat X ein bezüglich maximales Element Definition. (Hüllenoperatoren und Hüllensysteme) (1) Eine Abbildung H : P(A) P(A) heißt Hüllenoperator, falls für X, Y A gilt: X H(Y ) H(X) H(Y ). (2) Eine Teilmenge H von P(A) heißt Hüllensystem (auf A), falls sie gegen beliebige Durchschnitte abgeschlossen ist, d. h. X H = X H Satz. (Charakterisierung von Hüllenoperatoren) Eine Abbildung H : P(A) P(A) ist genau dann ein Hüllenoperator, wenn sie folgende drei Bedingungen für beliebige X, Y A erfüllt: (H1) X H(X) (H ist extensiv). (H2) X Y = H(X) H(Y ) (H ist inklusionserhaltend). (H3) H(H(X)) = H(X) (H ist idempotent) Satz. (Bijektion zwischen Hüllenoperatoren und Hüllensystemen) (1) Ist H : P(A) P(A) inklusionserhaltend, so ist H := {X A H(X) X} ein Hüllensystem; im Falle eines Hüllenoperators H ist H sein Bild, und H kann daraus zurückgewonnen werden durch H(X) = {A H X A}. (2) Ist H P(A), so definiert H(X) := {A H X A} einen Hüllenoperator H : P(A) P(A), und im Falle eines Hüllensystems H ist dieses das Bild von H. Hüllensysteme und Hüllenoperatoren entsprechen einander also bijektiv. Beispiele von Hüllensystemen findet man überall in der Algebra, etwa das Hüllensystem der Unterräume, der affinen Teilräume oder der konvexen Teilmengen eines R-Vektorraums.

8 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Operationen und allgemeine Algebren Allgemeine Algebren umfassen alle bekannten algebraischen Strukturen wie (Halb-)Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, K-Algebren, Boolesche Algebren usw. Zu ihrer Definition muss man erklären, was man generell unter einer Operation auf einer Menge versteht Definition. (Operationen) Sei n N 0 und A eine beliebige Menge. Eine n-stellige Operation auf A ist eine Abbildung o : A n A. Insbesondere erhält man für n = 0 nullstellige Operationen o : A 0 = {0} A, die ein Element aus A auswählen, n = 1 einstellige Operationen o : A 1 = A A, also Selbstabbildungen von A, n = 2 zweistellige Operationen o : A 2 = A A A. Einstellige Operationen nennt man auch unär, zweistellige binär. Letztere stellt man meistens zwischen die beiden Argumente, schreibt also a o b statt o(a, b) (z.b. a+b statt +(a, b)). Analog verfährt man bei unären Operationen u : A A; hier sind ua oder a u statt u(a) gängige Schreibweisen (etwa a oder a statt (a) bei Inversenbildungen). Meist unterscheidet man nicht zwischen Elementen und den entsprechenden nullstelligen Operationen, auch wenn das mengentheoretisch nicht ganz korrekt ist Beispiele. (Operationen auf den reellen Zahlen) Auf der Menge R der reellen Zahlen sind (0) die Auswahl der neutralen Elemente 0 und 1 nullstellige Operationen (1) die Abbildungen a a und a a 2 einstellige Operationen (2) die Addition + und die Multiplikation zweistellige Operationen (n) die Bildung der n-fachen Summe (a 1,..., a n ) a a n und des arithmetischen Mittels (a 1,..., a n ) (a a n )/n n-stellige Operationen. Wir bezeichnen mit dem Minuszeichen die einstellige Negation. In anderer Bedeutung kann es auch als Symbol für die zweistellige Subtraktion (a, b) a b stehen. Die multiplikative Inversenbildung a a 1 ist keine Operation auf R, sondern nur auf R, da sie nur für von 0 verschiedene Elemente definiert ist. Entsprechend ist (a, b) a/b keine binäre Operation auf R, sondern nur auf R Definition. (Typen und allgemeine Algebren) Ein Typ ist eine Familie n = (n i i I) nichtnegativer ganzer Zahlen. Eine (allgemeine) Algebra vom Typ n ist ein Paar A = (A, o), bestehend aus einer Menge A und einer Familie o = (o i i I) von Operationen o i : A n i A. Statt (A, (o 1,...)) schreibt man (A; o 1,...). Das Wort allgemein lassen wir im folgenden zur Vereinfachung weg. Wenn wir die klassischen Algebren über Körpern K (im Sinne der Ring- und Vektorraum-Theorie) meinen, sprechen wir stets von K-Algebren, so dass keine Verwechslungen zu befürchten sind. Oft führt man in der Notation von Algebren die Operationen nicht auf und schreibt einfach A statt A oder (A, o).

9 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Beispiele. (Typen von Algebren mit Grundmenge R) (R; +) und (R; ) sind vom Typ (2). (R; +, 0, ) (mit als unärer Operation!) ist vom Typ (2, 0, 1). (R; +, ) ist vom Typ (2, 2). (R; +, 0,,, 1) ist vom Typ (2, 0, 1, 2, 0) Definition. (Abgeleitete Operationen) Eine durch Zusammensetzen mehrerer (nicht notwendig verschiedener) Operationen einer Algebra (A, o) entstehende Abbildung g : A n A heißt abgeleitete Operation von (A, o) Beispiele. (Abgeleitete Operationen auf R) Für den Ring (R; +, 0,,, 1) sind folgende Abbildungen abgeleitete Operationen: f 0 : {0} R, x 2 und g 0 : {0} R, x f 1 : R R, x x x 2 und g 1 : R R, x x (1 x) f 2 : R 2 R, (x, y) 2(x + y) und g 2 : R 2 R, (x, y) 2x + 2y f 3 : R 3 R, (x, y, z) x (y + z) und g 3 : R 3 R, (x, y, z) x y + x z. Beachten Sie, dass die obigen abgeleiteten Operationen f n und g n jeweils für festes n übereinstimmen, obwohl die definierenden Terme (Zeichenreihen) verschieden sind! Was Terme und Gleichungen sind, definieren wir hier nicht exakt. Wir vereinbaren aber folgende Schreib- und Sprechweise: Die Gleichung f(x 1,..., x n ) = g(x 1,..., x n ) gilt in der Algebra (A, o), falls f und g n-stellige abgeleitete Operationen sind und f(a 1,..., a n ) = g(a 1,..., a n ) für alle (a 1,..., a n ) A n erfüllt ist Definition. (Eigenschaften binärer Operationen) Eine binäre Operation o : A 2 A oder die Algebra (A; o) heißt assoziativ, falls (A) x o (y o z) = (x o y) o z kommutativ, falls (K) x o y = y o x idempotent, falls ( I ) x o x = x in (A; o) gilt. Bezüglich der Operation o heißt ein Element e (bzw. die nullstellige Operation 0 e) links-neutral, falls (L) e o x = x rechts-neutral, falls (R) x o e = x neutral, falls (N) e o x = x und x o e = x in (A; o, e) gilt. Diese Begriffe bleiben bestehen, wenn man außer den angegebenen Operationen noch weitere hat; aber dann muss klar sein, auf welche Operationen man die jeweiligen Eigenschaften bezieht. Jedes linksneutrale Element e ist gleich jedem rechtsneutralen Element e (sofern sie existieren), denn es ist e = e o e = e. Insbesondere gibt es höchstens ein neutrales Element zu o.

10 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Beispiele. (Eigenschaften von binären Operationen auf R 0 ) a o b assoziativ kommutativ idempotent linksneutral rechtsneutral max{a, b} a + b a + + keines jedes (a + b)/2 + + keines keines a 2b + keines 0 2(a + b) + keines keines max{a, 1} + keines keines 3a b 0 keines Die Tabelle zeigt, dass alle Kombinationen der drei Eigenschaften assoziativ, kommutativ und idempotent möglich sind Definition. (Gleichungsdefinierte Klassen ) Eine gleichungsdefinierte Klasse besteht aus allen Algebren gleichen Typs, in denen eine bestimmte (feste) Menge von Gleichungen gilt Definition. (Spezielle gleichungsdefinierte Klassen) Halbgruppen sind assoziative Algebren (A; o) vom Typ (2). Monoide sind assoziative Algebren (A; o, e) vom Typ (2, 0) mit neutralem Element e. Gruppen sind assoziative Algebren (A; o, e, ) vom Typ (2, 0, 1) mit neutralem Element e, in denen x o x = e und x o x = e gilt (also zu jedem a A ein Inverses a existiert). Das neutrale Element o und die Inversenoperation sind durch o eindeutig festgelegt. Abelsche Gruppen (nach dem Norweger Nils Hendrik Abel) sind Gruppen (A; +, 0, ) mit kommutativer Operation + (im kommutativen Fall bevorzugt man additive Notation). Halbverbände sind kommutative und idempotente Halbgruppen. Unitäre Halbverbände sind Halbverbände mit neutralem Element. (4) (1) Halbgruppen (2) Monoide (3) kommut. Halbgr. Gruppen (5) kommut. Monoide (6) Halbverbände (7) abelsche unitäre Gruppen (8) Halbverb. (9) einelem. Gruppen Diagramm einiger Klassen von Algebren mit einer binären Operation

11 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Beispiele. (Algebren mit einer binären Operation) (1) Die Menge der echten oberen Dreiecksmatrizen aus R 3 3 ist eine Halbgruppe bezüglich Matrizenmultiplikation. Sie ist weder kommutativ noch idempotent, noch hat sie ein neutrales Element. (2) Die Menge P(A 2 ) aller Relationen auf einer Menge A ist ein Monoid bezüglich Relationenprodukt mit neutralem Element id A ; für A > 1 ist sie weder kommutativ noch idempotent. (3) (N, +) ist eine kommutative Halbgruppe ohne neutrales Element und kein Halbverband. (4) Die symmetrische Gruppe S(M) aller bijektiven Abbildungen (Permutationen) auf einer Menge M ist eine Gruppe bezüglich Komposition, der Identität als neutralem Element und der Inversenbildung von Funktionen; sie ist für M > 2 nicht kommutativ. (5) (N 0, +) ist ein kommutatives, aber nicht idempotentes Monoid. (6) (Z, max) ist ein Halbverband ohne neutrales Element, also sicher keine Gruppe. (7) (Z, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element, aber kein Halbverband. (8) (N, max) ist ein unitärer Halbverband mit neutralem Element 1, aber keine Gruppe. (9) Die einzigen idempotenten Gruppen sind die einelementigen! Anhang: Halbverbände als geordnete Mengen Für Halbverbände gibt es eine rein ordnungstheoretische Beschreibung ohne Operationen: Satz. (Halbverbände als geordnete Mengen) (1) Für jeden Halbverband (A, ) definiert a b a b = a eine Ordnung auf A, bezüglich derer a b das Infimum, d.h. die größte untere Schranke von {a, b} ist. (2) Für jede geordnete Menge (A, ), in der je zwei Elemente a, b ein Infimum a b besitzen, ist (A, ) ein Halbverband, und die Ordnung lässt sich zurückgewinnen durch a b a b = a. (3) Die Konstruktionen in (1) und (2) sind zueinander invers. Es besteht also eine Bijektion zwischen Halbverbänden und geordneten Mengen, in denen je zwei Elemente ein Infimum besitzen. Zu (1): ist reflexiv wegen der Idempotenz von, transitiv wegen der Assoziativität von (a b c bedeutet a b = a und b c = b, also a c = (a b) c = a (b c) = a b = a, d.h. a c), und antisymmetrisch wegen der Kommutativität von (aus a b a folgt a = a b = b a = b). Wegen (a b) b = a (b b) = a b gilt a b b und analog a b a; aus c a und c b folgt andererseits (a b) c = a (b c) = a c = c, d.h. c a b. Somit ist a b die größte untere Schranke von {a, b}. Zu (2): Nach Definition des Infimums gilt a a = a, a b = b a und a (b c) = inf{a, b, c} = (a b) c, sowie a b a b = a. (3) ist klar nach (1) und (2).

12 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Algebren mit zwei binären Operationen Wir stellen jetzt einige der wichtigsten Klassen von Algebren vor, die zwei binäre Operationen (häufig Addition und Multiplikation genannt) und eventuell weitere Operationen besitzen. Dazu gehören vor allem Ringe und Körper, aber auch Verbände und Boolesche Algebren Definition. (Distributivgesetze) Eine Algebra A mit zwei binären Operationen + und heißt distributiv, falls in (A; +, ) die folgenden beiden Gleichungen erfüllt sind: (D) x (y + z) = (x y) + (x z) und (y + z) x = (y x) + (z x). Den Multiplikationspunkt und Klammern lässt man nach der Regel Punkt geht vor Strich häufig weg und schreibt xy + xz statt (x y) + (x z) etc. Hingegen darf man bei x(y + z) und ähnlichen Ausdrücken die Klammern nicht weglassen, will man Mehrdeutigkeiten vermeiden. Ist kommutativ, so folgt jedes der beiden Distributivgesetze aus dem anderen Definition. (Ringe und Körper) Ein Ring ist eine Algebra (A; +, 0,, ) vom Typ (2, 0, 1, 2), wobei (A; +, 0, ) eine abelsche Gruppe und (A; ) eine Halbgruppe ist und das Distributivgesetz (D) gilt. Ein kommutativer Ring ist ein Ring (A; +, 0,, ) mit kommutativer Multiplikation. Ein unitärer Ring oder Ring mit Eins ist eine Algebra (A; +, 0,,, 1 ) vom Typ (2, 0, 1, 2, 0), wobei (A; +, 0,, ) ein Ring und 1 ein neutrales Element bezüglich ist. Entsprechend definiert man kommutative Ringe mit Eins. Ein Schiefkörper ist ein unitärer Ring, in dem jedes von 0 verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation hat. Ein Körper ist ein kommutativer Schiefkörper Beispiele. (Funktionenringe) (1) Die Menge R R aller reellen Funktionen mit punktweiser Addition, Negation und Multiplikation sowie den konstanten Funktionen 0 als Nullelement bzw. 1 als Einselement ist ein kommutativer Ring mit Eins, aber kein Körper. (2) Die Menge R R aller reellen Funktionen mit punktweiser Addition und der Komposition von Abbildungen als Multiplikation ist kein Ring! Es gilt zwar das rechte Distributivgesetz (f + g) h = f h + g h, aber nicht h (f + g) = h f + h g! Alle anderen definierenden Gleichungen für einen Ring sind erfüllt. (3) Die Menge End(R; +) aller additiven Endomorphismen von R, (d.h. aller Abbildungen f : R R mit f(x + y) = f(x) + f(y)), zusammen mit der punktweisen Addition, der Komposition als Multiplikation und der Identität id R als Einselement, ist ein nichtkommutativer Ring (End(R; +); +, 0,,, id R ) mit Eins. (4) Die Menge aller rationalen Funktionen f/g, d.h. Quotienten zweier reeller Polynomfunktionen f, g, wobei g nicht die Nullfunktion ist, bildet zusammen mit punktweiser Addition, Multiplikation etc. einen Körper. Dabei ist f/g definiert in allen Punkten mit Ausnahme der Nullstellen des Nenners g, und das multiplikativ Inverse zu f/g ist g/f.

13 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN 20 Weitere Beispiele von Ringen und Körpern besprechen wir später. Eine besondere Klasse von Ringen wollen wir jedoch wegen ihrer Bedeutung für die Informatik schon jetzt erwähnen: Definition. (Idempotente und Boolesche Ringe) Ein Ring heißt idempotent, falls jedes seiner Elemente (also seine Multiplikation) idempotent ist. Ein Boolescher Ring ist ein idempotenter Ring mit Eins Lemma. (Idempotente Ringe) Jeder idempotente Ring ist kommutativ und erfüllt die Gleichung x + x = 0, d.h. x = x. Aus der Gleichungskette x + y = (x + y)(x + y) = x 2 + xy + yx + y 2 = x + y + xy + yx folgt nämlich xy + yx = 0, dann x + x = xx + xx = 0, und daraus x = x sowie xy = yx = yx. (4) (2) Schiefkörper (7) (1) Ringe unitäre Ringe (3) kommut. Ringe (5) kommut. idempot. Ringe m.1 (6) Ringe Körper (8) Boolesche Ringe (9) zweielem. Körper Diagramm einiger Klassen von Algebren mit zwei binären Operationen Beispiele. (Algebren mit zwei binären Operationen) (1) Die echten oberen Dreiecksmatrizen aus R 3 3 bilden mit Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation einen weder unitären noch kommutativen Ring. (2) Die oberen Dreiecksmatrizen aus R n n bilden mit Matrizenaddition und -multiplikation einen unitären, für n > 1 nicht kommutativen Ring. (3) Der Ring (2Z; +, 0,, ) der geraden Zahlen ist ein kommutativer, nicht idempotenter Ring ohne Einselement. (4) Die Quaternionen bilden einen nicht-kommutativen Schiefkörper. Er hat als vierdimensionaler R-Vektorraum eine Basis bestehend aus den komplexen Matrizen ( ) ( ) ( ) ( ) ı ı 0 E =, I =, J =, K = (ı 2 = 1) ı 0 0 ı Aber jeder endliche Schiefkörper ist bereits ein Körper! (Das besagt der schöne und schwierige Satz von Wedderburn). (5) Das einfachste Beispiel eines kommutativen Ringes mit Eins ist der Ring (Z; +, 0,,, 1) der ganzen Zahlen. (6) Ein idempotenter Ring ohne Eins ist das System E(M) aller endlichen Teilmengen einer

14 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN 21 unendlichen Menge M, zusammen mit der symmetrischen Differenz X + Y = (X Y ) \ (X Y ) = (X \ Y ) (Y \ X) als Addition und dem binären Durchschnitt X Y = X Y als Multiplikation, sowie der leeren Menge als neutralem Element bezüglich +, und X = X. (7) Der Restklassenring (Z 3 ; +, 0,,, 1) mit Addition, Subtraktion und Multiplikation modulo 3 in Z 3 = {0, 1, 2} ist ein Körper (aber nicht idempotent, da 2 2 = 4 3 1). (8) Jede Potenzmenge P(M) ist mit symmetrischer Differenz und binärem Durchschnitt ein Boolescher Ring mit Einselement M. Nur für einelementiges M ist sie ein Körper. (9) Allgemein sind die einzigen idempotenten Körper die zweielementigen. Eine weitere wichtige Klasse von Algebren mit zwei binären Operationen ist die der Verbände, von Richard Dedekind Ende des 19. Jahrhunderts zur Behandlung algebraischer Probleme eingeführt und damals Dualgruppen genannt; es handelt sich aber nicht um Gruppen im heutigen Sinne! Eng verwandt sind Boolesche Algebren, benannt nach George Boole (Mitte 19. Jh.) Definition. (Verbände und Boolesche Algebren) Ein Verband ist eine Algebra (A; +, ) vom Typ (2, 2), wobei (A; +) und (A; ) kommutative Halbgruppen sind und folgende Verschmelzungs- oder Absorptionsgesetze gelten: (V) x + (x y) = x, x (x + y) = x. Eine Boolesche Algebra ist eine Algebra (A; +, 0, c,, 1 ) vom Typ (2, 0, 1, 2, 0), wobei (A; +, ) ein distributiver Verband, 0 ein neutrales Element bzgl. + und 1 ein neutrales Element bzgl. ist, und die folgenden Komplementgesetze gelten: (C) x + x c = 1, x x c = 0. a c ist hier weder bezüglich + noch bezüglich invers zu a (Rollen von 0 und 1 vertauscht)! Dualitätsprinzip. Im Gegensatz zu Ringen gilt für Verbände ein praktisches Dualitätsprinzip: Ist (A; +, ) ein Verband, so auch (A;, +); und ist (A; +, 0, c,, 1 ) eine Boolesche Algebra, so auch (A;, 1, c, +, 0 ). Analog zu und schreibt man oft statt + und statt Beispiele. (Spezielle Verbände und Boolesche Algebren) (1) Jede Menge A reeller Zahlen ist mit den binären Operationen max (Maximum) und min (Minimum) ein distributiver Verband. (2) Für jede natürliche Zahl n ist die Menge T n der Teiler von n zusammen mit den Operationen x y = kgv(x, y) (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und x y = ggt(x, y) (größter gemeinsamer Teiler) ein distributiver Verband. (3) Die Menge N 0 aller nichtnegativen Zahlen ist mit den Operationen aus (2) ebenfalls ein distributiver Verband. Achtung: Hier ist 0 neutral bezüglich und 1 neutral bzgl.! (4) Die Menge der Unterräume eines Vektorraumes ist ein Verband bezüglich Summe und Durchschnitt; der Nullraum {0 } ist neutral bezüglich +, der Gesamtraum neutral bezüglich. Ein solcher Verband ist nur im höchstens eindimensionalen Fall distributiv. (5) Jede Potenzmenge P(M) wird mit Vereinigung, Durchschnitt und mengentheoretischem Komplement CX = M \ X zu einer Booleschen Algebra (P(M);,, C,, M).

15 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN 22 Anhang: Verbände, Boolesche Algebren und Boolesche Ringe Für die Zahlentheorie von besonderer Wichtigkeit sind die Teilerverbände, bei denen k m das kleinste gemeinsame Vielfache und k m den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen k und m bedeuten (siehe (2) und (3)). Sie werden uns immer wieder begegnen. Verbände treten aber auch überall da auf, wo man gewisse Hüllensysteme, also gegen beliebige Durchschnittbildung abgeschlossene Teilmengen einer Potenzmenge betrachtet (siehe ). Das passiert in der Algebra sehr häufig, z.b. wenn man die Gesamtheit aller Unteralgebren einer Algebra untersucht (siehe Abschnitt 2.5). Jedes Hüllensystem H ist zusammen mit den Operationen U V und U V ein Verband, wobei U V das kleinste U und V umfassende Element von H bedeutet. Ein typisches Beispiel ist (4). Klassische Boolesche Algebren sind die Potenzmengenalgebren (siehe (4)); aber auch die n-stelligen Operationen auf der Menge {0, 1} bilden eine Boolesche Algebra (mit = 1); solche Algebren spielen in der Informatik eine zentrale Rolle. Der Zusammenhang zwischen Verbänden und Halbverbänden ist wie erhofft: Satz. (Verbände und Halbverbände) Eine Algebra (A; +, ) vom Typ (2, 2) ist genau dann ein Verband, wenn (A; +) und (A; ) Halbverbände mit x + y = y x y = x sind. Ein Verband kann demnach als geordnete Menge, in der je zwei Elemente ein Supremum und ein Infimum besitzen, interpretiert werden. Beweis. Für einen Verband (A; +, ) liefern die Absorptionsgesetze x x = x (x + (x x)) = x, x + x = x + (x (x + x)) = x, also die Idempotenz der Operationen + und, und außerdem x + y = y x y = x (x + y) x y = x x + y = y + (y x) x + y = y, wobei wir im vorletzten Schritt die Kommutativität von + und benutzt haben. Sind umgekehrt (A; +) und (A; ) Halbverbände mit x + y = y x y = x ( ) gegeben, so erhält man nach Ersetzen von x durch x y und von y durch x in ( ) folgende Implikation: (x y) x = x y (x y) + x = x. Mittels (K) und (A) sieht man (x y) x = x (x y) = (x x) y = x y und leitet daraus das Verschmelzungsgesetz x + (x y) = x ab; analog bekommt man durch Vertauschen von + und das andere Verschmelzungsgesetz. Erheblich aufwändiger ist der Beweis des folgenden eleganten Zusammenhanges zwischen Booleschen Ringen und Booleschen Algebren: Satz. (Boolesche Ringe und Algebren) (1) Für jeden Booleschen Ring (A; +, 0,,, 1 ) ist (A;, 0, c,, 1 ) mit x y = x + y + (x y) und x c = 1 x eine Boolesche Algebra. (2) Für jede Boolesche Algebra (A;, 0, c,, 1 ) ist (A; +, 0,,, 1 ) mit x+y = (x y c ) (y x c ) und x = x ein Boolescher Ring. (3) Die Konstruktionen (1) und (2) sind zueinander invers. Die Booleschen Ringe entsprechen also bijektiv den Booleschen Algebren. Der schwierigste Teil ist der Nachweis der Äquivalenz der Assoziativität von + und von.

16 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Homomorphismen Homomorphismen übertragen die Struktur von Algebren (homomorph = gleichgestaltig). Für die einzelnen Operationen bedeutet dies, dass das Bild der Verknüpfung von Elementen die Verknüpfung der Bilder ist. Wir kennen Homomorphismen zwischen Gruppen, Ringen oder Vektorräumen. Ganz analog definiert man Homomorphismen zwischen allgemeinen Algebren Notation. (Operationssymbole und Potenzen von Abbildungen) Da Operationen in verschiedenen Algebren häufig mit dem gleichen Symbol bezeichnet werden, empfiehlt sich bei Mehrdeutigkeiten folgende Konvention: Wir interpretieren die Elemente i der Indexmenge I als Operationssymbole und schreiben i A für die zugehörige Operation o i der Algebra A. Meist lässt man allerdings das Subskript weg und bezeichnet Operationssymbole und Operationen mit dem gleichen Zeichen. Ist F : A B eine Abbildung und n N 0, so bezeichnet im Folgenden F n nicht die n-fache Hintereinanderschaltung von F (die für A B gar nicht definiert zu sein braucht), sondern die kartesische Potenz F n : A n B n, (a 1,..., a n ) (F (a 1 ),..., F (a n )) Definition. (Homomorphismen) Ein Homomorphismus zwischen Algebren A = (A, (i A i I)) und B = (B, (i B i I)) gleichen Typs (n i i I) ist eine Abbildung F : A B mit F i A = i B F n i für jedes i I. A n i F n i B n i i A A Eine Homomorphismus F zwischen A und B heißt Monomorphismus, falls er injektiv ist, Epimorphismus, falls er surjektiv ist, Isomorphismus, falls er bijektiv ist, Endomorphismus, falls A = B ist, F i B B Automorphismus, falls er ein bijektiver Endomorphismus ist. Die Menge der Homomorphismen zwischen A und B wird mit Hom (A, B) bezeichnet. A und B heißen isomorph (A B), wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt Satz und Definition. (Homo-, Iso-, Endo- und Automorphismen) Die Komposition von Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus. Die Inverse eines Isomorphismus ist wieder ein Isomorphismus. Die Endomorphismen einer Algebra A bilden mit der Komposition von Abbildungen und der Identität als neutralem Element ein Monoid, bezeichnet mit End A. Die Automorphismen bilden bezüglich Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe von A, bezeichnet mit Aut A.

17 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN 24 A n i F n i B n i G n i C n i i A i B i C A F B G C Beispiele. (Homomorphismen zwischen speziellen Algebren) Gemäß früherer Vereinbarung lassen wir zur Vereinfachung der Schreibweise die Subskripte A und B weg, achten aber darauf, dass in A und B jeweils ganz verschiedene Operationen (und insbesondere auch verschiedene neutrale Elemente) gemeint sein können. (1) Ein Homomorphismus zwischen Halbgruppen A und B ist eine Abbildung F : A B mit (H ) F (a 1 a 2 ) = F (a 1 ) F (a 2 ). (2) Ein Homomorphismus zwischen Monoiden A und B ist eine Abbildung F : A B mit (H ) und (N ) F (e) = e. (3) Ein Homomorphismus zwischen Gruppen A und B ist eine Abbildung F : A B, die (H ) erfüllt. (4) Ein Homomorphismus zwischen Ringen A und B ist eine Abbildung F : A B mit (H + ) F (a 1 + a 2 ) = F (a 1 ) + F (a 2 ) und (H ). (5) Ein Homomorphismus zwischen unitären Ringen A und B ist eine Abbildung F : A B mit (H + ), (H ) und (N ) F (1 ) = 1. (6) Ein Homomorphismus zwischen Booleschen Algebren A und B ist eine Abbildung F : A B mit (H + ), (H ), sowie (N + ) F (0 ) = 0 und (N ). Zu (3): Erfüllt F die Bedingung (H ), so liefert die Eindeutigkeit von neutralen und inversen Elementen: F (e) F (e) = F (e e) = F (e) = F (e) e = F (e) = e. F (a) F (a ) = F (a a ) = F (e) = e = F (a) F (a) = F (a ) = F (a). Zu (4): Für Homomorphismen F zwischen Ringen A und B gilt nach (3) mit + statt und 0 statt e: F (0 ) = 0 und F ( a) = F (a). Zu (5): Sind A und B Körper, so bewahrt F neutrale und inverse Elemente bzgl. Multiplikation: F (1 ) = 1 und F (a ) = F (a) für a 0. Zu (6): Erfüllt ein Homomorphismus zwischen Booleschen Algebren A und B die Regeln (H + ), (H ), (N + ) und (N ), so bewahrt er automatisch Komplemente: Es gilt F (a) + F (a c ) = F (a + a c ) = F (1 ) = 1 = F (a) + F (a) c, F (a) F (a c ) = F (a a c ) = F (0 ) = 0 = F (a) F (a) c, und daraus folgt F (a c ) = F (a) c. Hier kann man aber nicht wie bei der Inversenbildung in Gruppen argumentieren, sondern mit der Eindeutigkeit der Komplemente: Aus a + b = 1 und a b = 0 folgt b = a c (siehe 2.4.7).

18 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Lemma. (Bewahrung von Operationen) Homomorphismen zwischen beliebigen Algebren bewahren alle abgeleiteten Operationen. Dies folgt induktiv über den Aufbau der abgeleiteten Operationen aus den Grundoperationen Beispiele. (Spezielle Homomorphismen) (1) Für jedes feste Element a eines Ringes A = (A; +, 0,, ) ist die Linksmultiplikation l a : A A, x a x und die Rechtsmultiplikation r a : A A, x x a Endomorphismen der additiven Gruppe (A; +, 0, ). Sie sind dann (und im Falle der Existenz eines Einselements nur dann) Endomorphismen des Ringes A, wenn dieser idempotent ist! (2) Für jede positive reelle Zahl r ist die Exponentialfunktion E r : R R, x r x aufgrund der Funktionalgleichung r x+y = r x r y und der strengen Monotonie ein Monomorphismus zwischen den Gruppen (R; +, 0, ) und (R ;, 1, ). Als Abbildung zwischen R und R >0 ist sie wegen der Stetigkeit sogar ein Isomorphismus (Zwischenwertsatz). (3) Für jedes Element a einer Halbgruppe (A; ) ist die durch a 1 = a und a n+1 = a n a induktiv definierte Potenzabbildung P : N A, n a n wegen des (induktiv zu beweisenden) Exponentialgesetzes a n+m = a n a m (vgl.(2)) ein Homomorphismus von (N; +) in (A; ), aber im Allgemeinen weder injektiv noch surjektiv! Welche Homomorphie-Eigenschaft beschreibt das zweite Exponentialgesetz a nm = (a n ) m? Hat man ein Monoid (A;, e), so lässt sich die obige Abbildung durch die Festlegung a 0 = e zu einem Homomorphismus zwischen den Monoiden (N; +, 0) und (A;, e) ergänzen. Ist schließlich sogar eine Gruppe (A;, e, ) gegeben, so liefert die zusätzliche Definition a n := (a ) n einen Homomorphismus zwischen den Gruppen (Z; +, 0, ) und (A;, e, ). Das ist übrigens der Grund, warum wir Inverse allgemein mit a und nicht (wie meist üblich) mit a 1 bezeichnet haben: Die Gleichung a = a 1 ist jetzt einfach der Spezialfall n = 1.

19 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN 26 Anhang: Komplemente, Vektorräume Für jede Boolesche Algebra (A;, 0, c,, 1 ) ist die Komplement-Abbildung c : A A aufgrund des folgenden Lemmas durch die übrigen Operationen festgelegt: Lemma. (Eindeutigkeit der Komplemente) Gilt für Elemente a, b, c eines distributiven Verbandes a+b = a+c und a b = a c, so folgt b = c. Denn mit Hilfe der Verschmelzungs-, Kommutativ- und Distributivgesetze erhält man: b = b (a + b) = b (a + c) = b a + b c = a c + b c = (a + b) c = (a + c) c = c. Die Komplement-Abbildung c : A A ist ein Isomorphismus zwischen (A;, 0, c,, 1 ) und der dualen Algebra (A;, 1, c,, 0 ), die durch Vertauschen der beiden binären Operationen und der zugehörigen neutralen Elemente entsteht. Das besagen gerade die De Morganschen Gesetze (x y) c = x c y c und (x y) c = x c y c zusammen mit (x c ) c = x. Alle drei Gleichungen folgen mit etwas Rechnerei aus der Eindeutigkeit der Komplemente. Für Boolesche Ringe (A; +, 0,,, 1 ) hatten wir die zugehörige Boolesche Algebra durch x y := x + y + x y und x c := 1 x definiert (siehe Satz ). Die Assoziativität der neuen Operation wird oft mit recht viel rechnerischem Aufwand begründet. Schneller geht es mit Hilfe des Isomorphismus c : A A zwischen den Algebren (A; ) und (A; ): Da (A; ) ein Halbverband ist, muss auch (A; ) einer sein, insbesondere also assoziativ! Die Homomorphie-Gleichung sieht man so: (x y) c = 1 x y + x y = (1 x) (1 y) = x c y c. Wie lässt sich ein Vektorraum V über einem Körper K als allgemeine Algebra auffassen? Die skalare Multiplikation ist ja eine Abbildung von K V in V, aber im Falle K V keine Operation auf V. Dennoch hilft ein kleiner Trick: Statt der skalaren Multiplikation m : K V, (λ, v) λv betrachtet man für jedes Körperelement λ K die einstellige Multiplikation m λ : V V, v λv. Dann kann man V als Algebra (V ; +, 0,, (m λ λ K)) vom Typ (2, 0, 1, (1 λ K)) interpretieren. (Hier brauchen wir unendlich viele Operationen, falls K nicht endlich ist.) Definition und Satz. (Vektorräume als allgemeine Algebren) Ein Vektorraum über einem Körper K ist eine Algebra (V ; +, 0,, m = (m λ λ K)) vom Typ (2, 0, 1, (1 λ K)), so dass (V ; +, 0, ) eine abelsche Gruppe und m ein Homomorphismus vom Körper K in den Endomorphismenring End(V ; +, 0, ) (mit als Multiplikation) ist. Denn die zweite Bedingung besagt nichts anderes, als dass die Vektorraum-Axiome erfüllt sind: m λ (v + w) = λ(v + w) = λv + λw = m λ (v) + m λ (w), m λ+µ (v) = (λ + µ)v = λv + µv = (m λ + m µ )(v), m λµ (v) = (λµ)v = λ(µv) = (m λ m µ )(v), m 1 (v) = 1v = v = id V (v).

20 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN Unteralgebren Untergruppen, Unterringe und Untervektorräume sind uns (z.b. aus der linearen Algebra) wohlbekannt. Auch hier gibt es eine naheliegende Verallgemeinerung auf Algebren beliebigen Typs, die sich als sehr nützlich und flexibel erweisen wird: Definition. (Abgeschlossenheit und Unteralgebren) Ist o eine n-stellige Operation auf einer Menge A, so nennt man eine Teilmenge U von A abgeschlossen unter der (oder gegen die) Operation o, falls für jedes n-tupel (u 1,..., u n ) U n die Verknüpfung o(u 1,..., u n ) in U liegt. Unter einer abgeschlossenen Teilmenge einer Algebra A = (A, (i A i I)) versteht man eine unter allen Operationen i A abgeschlossene Teilmenge U der Grundmenge A. Auf einer solchen Teilmenge U induziert jedes i A also eine Operation i U, und U = (U, (i U i I)) wird damit zu einer Algebra vom gleichen Typ, einer sogenannten Subalgebra oder Unteralgebra von A. Wir bezeichnen mit Sub A die Gesamtheit aller abgeschlossenen Teilmengen von A, und mit Sub A die der Subalgeben von A. Häufig unterscheidet man notationell nicht zwischen A und der Grundmenge A. Man spricht dann z.b. vom Durchschnitt einer Menge von Subalgebren, obwohl eigentlich der Durchschnitt der zugrundeliegenden abgeschlossenen Teilmengen gemeint ist. Ein solcher Durchschnitt ist offenbar stets wieder abgeschlossen. Damit gelangen wir zu folgendem Ergebnis: Satz und Definition. (Hüllensystem der Subalgebren) Für jede Algebra A ist Sub A ein Hüllensystem auf A. Daher gibt es zu jeder Teilmenge X von A eine kleinste X umfassende abgeschlossene Teilmenge der Algebra A. Sie wird mit X A oder nur mit X bezeichnet. Zusammen mit den induzierten Operationen ergibt das die von X erzeugte Unteralgebra X. Wieder unterscheidet man in Notation und Sprechweise meist nicht zwischen der erzeugten Unteralgebra X und deren Grundmenge X. Offensichtlich gilt: Lemma. (Bewahrung von Gleichungen) Ist eine Gleichung in einer Algebra A erfüllt, so auch in jeder Unteralgebra von A und in jeder Algebra, die homomorphes Bild von A ist. Denn Homomorphismen übertragen ja definitionsgemäß gerade die jeweiligen Operationen Beispiele. (Spezielle Unteralgebren) (1) Beliebige Durchschnitte von Unterhalbgruppen (d.h. Unteralgebren einer Halbgruppe) sind wieder Unterhalbgruppen. Die kleinste Unterhalbgruppe ist die leere Menge. Für ein fest gewähltes Element a einer Halbgruppe (A; o) besteht die von a bzw. von {a} erzeugte Unterhalbgruppe aus den Potenzen a n (n N), oder in additiver Schreibweise den Vielfachen na. So hat die von a erzeugte Unterhalbgruppe von (N; +) die Grundmenge an. (2) Beliebige Durchschnitte von Untermonoiden (d.h. Unteralgebren eines Monoids) sind wieder Untermonoide. Das kleinste Untermonoid enthält nur das neutrale Element. Für ein festes Element a eines Monoids (A; o, e) besteht das von a erzeugte Untermonoid aus den Potenzen a n (n N 0 ). Das von a N erzeugte Untermonoid von (N 0 ; +, 0) hat die Grundmenge an 0.

21 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN 28 (3) Beliebige Durchschnitte von Untergruppen (d.h. Unteralgebren einer Gruppe) sind wieder Untergruppen. Die kleinste Untergruppe enthält nur das neutrale Element. Für ein fest gewähltes Element a einer Gruppe (A; o, e, ) besteht die von a erzeugte Untergruppe aus den Potenzen a n (n Z), bzw. den Vielfachen na (n Z) bei additiver Schreibweise. Zum Beispiel hat die von a Z erzeugte Untergruppe von (Z; +, 0, ) die Grundmenge az. Von einem Element erzeugte Untergruppen nennt man zyklisch. Vorsicht: Ist (A; o, e, ) eine Gruppe, so ist eine bezüglich der Operation o abgeschlossene Teilmenge nicht notwendig bezüglich der anderen beiden Operationen e und abgeschlossen, kann also nicht immer zu einer Untergruppe gemacht werden! (Betrachte etwa die gegen + abgeschlossenen Teilmengen N k von Z). Dies ist einer der Gründe, warum man für Gruppen einen anderen Typ (2, 0, 1) als für Halbgruppen nehmen sollte. (4) Beliebige Durchschnitte von Unterringen (d.h. Unteralgebren eines Ringes) sind wieder Unterringe. Für ein fest gewähltes Element a eines Ringes (A; +, 0,, ) besteht der von a erzeugte Unterring aus den Polynomausdrücken n i=1 m i a i (n N 0, m i Z). Zum Beispiel hat der von a Z erzeugte Unterring von (Z; +, 0,, ) wieder die Grundmenge az. Vorsicht: Ist (A; +, 0,,, 1 ) ein Ring mit Eins, so muss ein Unterring des Ringes (A; +, 0,, ) dieses Einselement nicht enthalten, kann aber trotzdem ein eigenes Einselement besitzen. Zum Beispiel bilden im Matrizenring R 2 2 die Matrizen ( a ) einen Unterring, dessen Einselement ( ) nicht die Einheitsmatrix (also das Einselement von R2 2 ) ist! In anderen Fällen braucht ein Unterring eines Ringes mit Einselement überhaupt kein Einselement zu besitzen, wie z.b. die Unterringe az von Z mit a > 1. Hingegen muss definitionsgemäß jeder unitäre Unterring eines unitären Ringes (A; +, 0,,, 1 ) das Einselement 1 enthalten! Insbesondere hat jeder Unterkörper eines Körpers das gleiche Nullelement und das gleiche Einselement. Wir betrachten später nur noch kommutative Ringe mit Eins. (5) Beliebige Durchschnitte von Unterverbänden (d.h. Unteralgebren eines Verbandes) sind wieder Unterverbände. Der kleinste Unterverband ist die leere Menge. Jede einelementige Teilmenge bildet ebenfalls einen Unterverband. Analoges gilt für Halbverbände. Ein Unterverband eines Potenzmengenverbandes (P(M);, ) ist nichts anderes als ein Mengenverband, d.h. ein gegen und abgeschlossenes Mengensystem mit den Operationen und. Er muss weder die leere Menge noch die Gesamtmenge M als Element enthalten. Die endlichen Teilmengen einer unendlichen Menge M bilden einen Mengenverband, der, aber nicht M enthält. Umgekehrt bilden die coendlichen Teilmengen (d.h. die Komplemente der endlichen Mengen) einen Mengenverband, der M, aber nicht enthält. Unterverbände distributiver Verbände, insbesondere Mengenverbände, sind wieder distributiv. Weitere wichtige Beispiele distributiver Verbände sind die Teilerverbände T n = {k N 0 k n} (n N 0 ), mit den Operationen = kgv und = ggt. Sie sind allesamt Unterverbände des einzigen unendlichen Teilerverbandes T 0 mit der Grundmenge N 0. (6) Eine Mengenalgebra ist eine Unteralgebra einer Potenzmengenalgebra (P(M),,,,, M). Mengenalgebren spielen in Maßtheorie und Stochastik eine zentrale Rolle. Sie sind als Unteralgebren einer Booleschen Algebra stets wieder Boolesche Algebren. Ein Beispiel einer Mengenalgebra ist das System aller endlichen oder coendlichen Teilmengen einer Menge.

22 KAPITEL 2. FUNKTIONEN UND OPERATIONEN 29 Wir kommen zu einigen allgemeinen Resultaten über Unteralgebren, die später zahlreiche Anwendungen in den speziellen Situationen von Gruppen, Ringen usw. haben werden. Definitionsgemäß ist U genau dann eine Unteralgebra von A, wenn die Inklusionsabbildung I : U A, u u ein Homomorphismus ist Satz. (Bilder und Urbilder von Unteralgebren) Sei F : A B ein Homomorphismus zwischen Algebren A und B. (1) Ist U abgeschlossen in A, so ist F + (U) abgeschlossen in B: Homomorphe Bilder von Unteralgebren sind wieder Unteralgebren. (2) Ist W abgeschlossen in B, so ist F (W ) abgeschlossen in A: Homomorphe Urbilder von Unteralgebren sind wieder Unteralgebren. (3) F + ( X ) = F + (X) für X A: Die Erzeugung ist mit F + vertauschbar. Beweis. (1) Sei W =F + (U). Zu jedem Operationssymbol i und Tupel w = (w 1,..., w ni ) W n i gibt es ein u = (u 1,..., u ni ) U mit w k = F (u k ) (k n i ), d.h. w = F n i (u). Es folgt i B (w) = i B (F n i (u)) = F (i A (u)) F + (U), da i A (u) U. (2) Sei U = F (W ). Für jedes Operationssymbol i und Tupel u = (u 1,..., u ni ) U n i gilt F (u k ) W (k n i ), d.h. F n i (u) W n i. Es folgt F (i A (u)) = i B (F n i (u)) W, i A (u) F (W ). (3) ergibt sich leicht mit Hilfe von (1) und (2) Folgerungen. (Kern eines Homomorphismus) Ist F : A B ein Homomorphismus zwischen Algebren A und B sowie {n} eine abgeschlossene Teilmenge von B, so ist der Kern F (n) := F ({n}) eine Unteralgebra von A. Insbesondere ist der Kern eines Homomorphismus F : A B zwischen Monoiden ein Untermonoid von A ( n neutrales Element von B), Gruppen eine Untergruppe von A ( n neutrales Element von B), Ringen ein Unterring von A ( n Nullelement von B), Verbänden ein Unterverband von A ( n beliebiges Element von B). Bei einem Homomorphismus zwischen Booleschen Algebren A und B ist das Urbild der kleinsten Subalgebra {0, 1 } von B eine Unteralgebra von A Beispiel. (Restklassenringe) Für festes n Z ordne die Abbildung M n jeder ganzen Zahl den nichtnegativen Rest bei Division durch n zu, also M n (a) = a n a n. Der Kern M n (0) ist dann der Unterring nz = {nz z Z}. Ohne Beweis zitieren wir abschließend einen tiefergehenden Satz von Marshall Stone (ca. 1936): Satz. (Darstellung von distributiven Verbänden und Booleschen Algebren) Jeder distributive Verband ist isomorph zu einem Mengenverband, und jede Boolesche Algebra zu einer Mengenalgebra. Diese erstaunliche Tatsache reduziert im Prinzip die gesamte Theorie distributiver Verbände und Boolescher Algebren auf die klassischen Mengenoperationen!